Poučavanje bez prisile

(Vodič kroz fascinantan svijet matematike)

Matematiku već tada treba učiti, da ona pamet dovede u red. (M.V. Lomonosov)

Dakle, kako naučiti matematiku?

Ovo pitanje zanima mnoge.

Prvi korak je zatvoriti praznine iz prošlosti. Ako ste propustili (niste razumjeli, niste učili u principu itd.) neku temu, prije ili kasnije ćete sigurno stati na ove grablje. S klasičnim rezultatom... Tako funkcionira matematika.

Bez obzira studirate li nova tema, ili ponovite staro - savladajte matematičke definicije i pojmove! Obratite pažnju, ne kažem - "naučiti", nego kažem "svladati". To su različite stvari. Morate razumjeti, na primjer, što je nazivnik, diskriminant ili arcsinus na jednostavnoj, čak i primitivnoj razini. Što je to, zašto je to potrebno i kako se nositi s tim. Život će postati lakši.

Ako vas pitam kako koristiti prijelazni uređaj za gustu ograničenu okolinu, bit će vam neugodno odgovoriti, zar ne? A ako razumijete da je ovaj uređaj obična vrata? Zapravo je nekako zabavnije.

I, naravno, trebate odlučiti. Ako se ne znate odlučiti, ništa strašno. Morate pokušavati i pokušavati. Svi jednom nisu znali kako. Ali oni koji su pokušavali i pokušavali, doduše netočno, s greškama, sada znaju kako riješiti. A tko nije probao, nije učio – nikad nije naučio.

Evo tri komponente odgovora na pitanje: "Kako podučavati matematiku?" Otkloniti nedostatke, savladati pojmove na razumljivoj razini i smisleno rješavati zadatke.

Ako vam se matematika čini kao džungla nekih pravila, formula, izraza u kojima je nemoguće snaći se, onda ću vas utješiti. Tamo ima staza i zvijezda vodilja! Udomaćit ćete se, naviknuti, a i počet ćete se diviti tim divljinama...

Matematika školski tečaj ne rješava složene primjere, jer ne zna kako. Dobra je u rješavanju nečega poput 5x = 10, kvadratna jednadžba kroz diskriminant, te isti jednostavan iz trigonometrije, logaritma itd. A sva snaga matematike usmjerena je na pojednostavljenje složenih izraza. Za to su potrebna pravila i formule za razne transformacije. Omogućuju nam da izvorni izraz napišemo u drugom obliku koji nam odgovara bez mijenjanja njegove suštine.

"Matematika je umijeće nazivanja različitih stvari istim imenom." (A. Poincare)

Na primjer, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Još uvijek je isti broj 8! Samo zabilježeno u raznim oblicima. Koju vrstu odabrati - mi odlučujemo! Dosljedno zadatku i zdravom razumu.

Glavna zvijezda vodilja u matematici je sposobnost transformacije izraza. Gotovo svako rješenje počinje transformacijom izvornog izraza. Uz pomoć pravila i formula, kojih uopće nije tako suludo koliko mislite.

Često kažemo "Sve formule rade s lijeva na desno i s desna na lijevo." Recimo (a + b) gotovo svi to zapisuju kao a + 2ab + b. Ali ne shvaćaju svi (nažalost) da se x + 2x + 1 može napisati kao (x + 1) . A evo što trebate znati! Formule treba znati osobno! Znati ih prepoznati u izrazima koje su šifrirali lukavi učitelji, identificirati dijelove formula, dovesti ih, ako je potrebno, do dovršenih.

Pretvorbe izraza u početku su problematične. Zahtijeva radnu snagu. U početnoj fazi potrebno je provjeriti, gdje je to moguće, ispravnost transformacije inverznom transformacijom. Rastavljeno - umnožite i vratite slične. Ispalo je izvorni izraz - ura! Pronađen korijen jednadžbe - zamjena u izvornom izrazu. Vidi što se dogodilo. I tako dalje.

Pa vas pozivam da predivan svijet matematika. I započnimo naše putovanje upoznavanjem razlomaka, pa ovo je možda i najviše ranjivo mjesto većina školaraca.

Sretno!

Lekcija 1.

Vrste razlomaka. Transformacije.

Tko zna razlomke, taj je jak, taj je hrabar u matematici!

Razlomci su tri vrste.

1. Obični razlomci , Na primjer: , , , .

Ponekad umjesto vodoravne crte stavljaju kosu crtu: 1/2, 3/7, 19/5. Crta, vodoravna (vinkulij) i kosa (solidus), znači istu operaciju: dijeljenje gornjeg broja (brojnik) s donjim brojem (nazivnik). I to je to! Umjesto crte, sasvim je moguće staviti znak podjele - dvije točke. 1/2 = 1:2.

Kada je podjela u potpunosti moguća, mora se izvršiti. Dakle, umjesto razlomka 32/8 puno je ugodnije napisati broj 4. Tj. 32 je jednostavno podijeljeno s 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Ne govorim o razlomku 4/1, koji je također jednak 4. A ako se ne dijeli u potpunosti, ostavljamo ga kao frakcija. Ponekad morate učiniti obrnuto. Napravi razlomak od cijelog broja. Ali o tome kasnije.

2. Decimale , na primjer: 0,5; 3.28; 0,543; 23.32.

3. mješoviti brojevi , Na primjer: , , , .

Mješoviti brojevi praktički se ne koriste u srednjoj školi. Da bismo radili s njima, moraju se pretvoriti u obične razlomke. Ali svakako morate znati kako to učiniti! A onda će se takav broj naći u zadatku i objesiti ... Ispočetka. Ali mi se sjećamo ovog postupka!

Obični razlomci su najsvestraniji. Počnimo s njima. Usput, ako u razlomku ima raznih logaritama, sinusa i drugih slova, to ništa ne mijenja. U smislu da se sve radnje s razlomačkim izrazima ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima!

Zato samo naprijed! Čitavu raznolikost transformacija razlomaka pruža jedno jedino svojstvo! Tako se to zove osnovno svojstvo razlomka. Zapamtite: ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Oni:

I trebamo li to, sve te transformacije? - pitaš. I kako! Sada ćete sami vidjeti. Prvo, upotrijebimo osnovno svojstvo razlomka za smanjivanje razlomaka. Čini se da je stvar elementarna. Brojnik i nazivnik podijelimo s istim brojem i to je to! Nemoguće je pogriješiti! Ali... čovjek je kreativno biće. Svugdje možete pogriješiti! Pogotovo ako morate reducirati ne razlomak oblika 5/10, već razlomački racionalni izraz.

Učenik obično ne razmišlja o dijeljenju brojnika i nazivnika istim brojem (ili izrazom)! Samo prekriži sve isto odozgo i odozdo! Ovdje se skriva tipična greška, gaf ako hoćeš.

Na primjer, morate pojednostaviti izraz: .

Što radimo? Prekrižimo faktor a iznad i stupanj ispod! Dobivamo: .

Sve je točno. Ali stvarno ste dijelili cijeli brojnik I cijeli nazivnik na multiplikator a. Ako ste navikli samo precrtavati, tada, u žurbi, možete precrtati slovo a u izrazu i ponovno dobiti. Što bi bilo kategorički pogrešno: neoprostiva pogreška. Jer ovdje cijeli brojnik na već nije podijeljeno! Ovaj se udio ne može smanjiti.

Kod smanjivanja treba podijeliti cijeli brojnik i cijeli nazivnik!

Smanjenje razlomaka čini život puno lakšim. Negdje ćete dobiti razlomak, npr. 375/1000. I kako sad s njom raditi? Bez kalkulatora? Pomnožite, recite, zbrojite, kvadrirajte!? A ako niste previše lijeni, nego pažljivo smanjite za pet, pa čak i za pet, pa čak ... dok se smanjuje. Dobivamo 3/8! Puno ljepše, zar ne?

Glavno svojstvo razlomka omogućuje pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto, bez kalkulatora! Važno je u CT-u, zar ne?

S decimalama je lako. Kako se čuje, tako se i piše! Recimo 0,25. To je nula točka, dvadeset pet stotinki. Dakle, pišemo: 25/100. Smanjimo (podijelimo brojnik i nazivnik sa 25), dobijemo obični razlomak: 1/4. Svi. To se događa, a ništa se ne smanjuje. Na primjer, 0,3. Ovo su tri desetine, tj. 3/10.

Što ako su cijeli brojevi različiti od nule? U redu je. U brojniku pišemo cijeli razlomak bez zareza, au nazivniku ono što se čuje. Na primjer: 3.17. Ovo je tri cijela, sedamnaest stotinki. U brojnik upišemo 317, a u nazivnik 100. Dobijemo 317/100. Ništa nije sniženo, znači sve. Ovo je odgovor. Iz svega navedenog koristan zaključak: Bilo koji decimalni razlomak može se pretvoriti u obični razlomak.

Ali obrnutu pretvorbu, običnu u decimalnu, neki ne mogu bez kalkulatora. I potrebno je! Kako ćeš napisati odgovor? Pažljivo čitamo i svladavamo ovaj proces.

Što je decimalni razlomak? Njezin je nazivnik uvijek 10, ili 100, ili 1000, ili 10 000, i tako dalje. Ako vaš obični razlomak ima takav nazivnik, nema problema. Na primjer, 4/10 = 0,4. Ili 7/100 = 0,07. Ili 12/10 = 1,2. Što ako je rezultat 1/2? I odgovor mora biti napisan u decimalama ...

Sječamo se osnovno svojstvo razlomka! Matematika povoljno omogućuje množenje brojnika i nazivnika istim brojem. Usput, za bilo koga! Osim nule, naravno. Iskoristimo ovu značajku u svoju korist! Čime se može pomnožiti nazivnik, tj. 2 tako da postane 10, ili 100, ili 1000 (manje je bolje, naravno...)? 5, očito. Nazivnik slobodno pomnožite s 5. Ali tada se i brojnik mora pomnožiti s 5. Dobivamo 1/2 = 0,5. To je sve.

Međutim, nazivnici mogu biti različiti. Na primjer, razlomak 3/16. Tada možete jednostavno podijeliti 3 sa 16. U nedostatku kalkulatora, morat ćete dijeliti kutom, kako su učili u osnovnim razredima. Dobivamo 0,1875.

A ima i vrlo loših nazivnika. Na primjer, razlomak 1/3 ne može se pretvoriti u dobru decimalu. I na kalkulatoru, i kada dijelimo s kutom, dobivamo 0,3333333 ... Stoga još jedan koristan zaključak. Ne pretvara se svaki obični razlomak u decimalu!

Dakle, poredani obični i decimalni razlomci. Ostaje se baviti mješovitim brojevima. Da biste radili s njima, potrebno ih je pretvoriti u obične frakcije. Kako to učiniti? Možete uhvatiti učenika petog razreda i pitati ga. Ali neće uvijek učenik petog razreda biti u blizini ... Morat ćete to učiniti sami. Nije teško. Pomnožite nazivnik razlomljenog dijela s cijelim dijelom i dodajte brojnik razlomljenog dijela. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. Što je s nazivnikom? Nazivnik će ostati isti. Zvuči komplicirano, ali zapravo je vrlo jednostavno. Pogledajmo primjer.

Pretpostavimo da ste u zadatku s užasom vidjeli broj:

Mirno, bez panike, raspravljamo. Cijeli dio je 1. Jedan. Razlomački dio je 3/7. Dakle, nazivnik razlomka je 7. Taj nazivnik bit će nazivnik običnog razlomka. Razmotrimo: brojnik. Množimo 7 s 1 (cijeli dio) i dodamo 3 (brojnik razlomljenog dijela). Dobivamo 10. To će biti brojnik običnog razlomka. To je sve. U matematičkom zapisu izgleda još jednostavnije:

Lako? Onda osigurajte svoj uspjeh! Pretvorite ove mješovite brojeve , , u obične razlomke. Trebali biste dobiti 10/3, 23/10 i 21/4.

Pa skoro sve. Zapamtili ste vrste razlomaka i razumjeli kako ih prevesti iz jedne vrste u drugu. Ostaje pitanje: zašto to učiniti? Gdje i kada primijeniti ovo duboko znanje?

Svaki primjer sam po sebi sugerira potrebne radnje. Ako su u primjeru obični razlomci, decimale, pa čak i miješani brojevi pomiješani u hrpu, sve prevodimo u obične razlomke. Uvijek se može. Pa, ako je napisano, na primjer, 0,8 + 0,3, onda tako i mislimo, bez ikakvog prijevoda. Zašto nam treba dodatni posao? Mi biramo način rješavanja što nam odgovara!

Ako je zadatak u cijelosti decimale, ali hm... neki strašni, idite na obične, probajte! Možda će sve uspjeti. Na primjer, morate kvadrirati broj 0,125. Nije tako lako ako niste izgubili naviku kalkulatora! Ne samo da trebate množiti brojeve u stupcu, već i razmisliti o tome gdje umetnuti zarez! Meni sigurno ne ide u glavu! A ako idete na obični razlomak? 0,125 = 125/1000. Smanjujemo za 5 (ovo je za početak). Dobivamo 25/200. Još jednom na 5. Dobivamo 5/40. Još se smanjuje! Natrag na 5! Dobivamo 1/8. Jednostavno kvadrirajte (u svom umu!) i dobijete 1/64. Svi!

Sažmimo našu lekciju.

1. Postoje tri vrste razlomaka: obični, decimalni i mješoviti brojevi.

2. Decimale i mješovite brojeve uvijek je moguće pretvoriti u obične razlomke. Obrnuti prijenos nije uvijek moguć.

3. Izbor vrste razlomaka za rad sa zadatkom ovisi upravo o ovom zadatku. U prisutnosti različiti tipovi razlomaka u jednom zadatku, najpouzdanije je prijeći na obične razlomke.

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Ovo nisu obične riječi, nisu dobre želje! Ovo je teška potreba! Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego pogriješiti u računanju u glavi.

2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka – prijeći na obične razlomke.

3. Sve razlomke svodimo do kraja.

4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.

Sada pokušajte teoriju pretočiti u praksu.

Dakle, riješimo ga u ispitnom modu! Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili - ponovno smo provjerili od prvog do zadnjeg primjera. A onda gledamo odgovore.

Odlučio? Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Odgovori su ispisani u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

A sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne... Strpljenje i rad sve će samljeti.

Racionalni izrazi i razlomci kamen su temeljac cijelog tečaja algebre. Oni koji nauče raditi s takvim izrazima, pojednostaviti ih i faktorizirati, zapravo će moći riješiti svaki problem, jer je transformacija izraza sastavni dio svake ozbiljne jednadžbe, nejednakosti, pa čak i problema s riječima.

U ovom video vodiču vidjet ćemo kako ispravno primijeniti skraćene formule množenja za pojednostavljenje racionalnih izraza i razlomaka. Naučimo vidjeti ove formule tamo gdje, na prvi pogled, nema ničega. U isto vrijeme, ponavljamo tako jednostavan trik kao što je rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore kroz diskriminant.

Kao što ste vjerojatno već pogodili iz formula iza mojih leđa, danas ćemo proučavati formule za skraćeno množenje, točnije, ne same formule, već njihovu primjenu za pojednostavljenje i smanjenje složenih racionalnih izraza. No, prije nego prijeđemo na rješavanje primjera, pogledajmo pobliže ove formule ili ih se prisjetimo:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\lijevo(a-b \desno)\lijevo(a+b \desno)$ je razlika kvadrata;
$((\lijevo(a+b \desno))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ je kvadrat zbroja;
$((\lijevo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ je razlika na kvadrat;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\lijevo(a+b \desno)\lijevo(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ je zbroj kubova;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\lijevo(a-b \desno)\lijevo(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ je razlika kubova.

Također želim napomenuti da je naš školski obrazovni sustav koncipiran na način da je uz proučavanje ove teme, tj. racionalni izrazi, kao i korijeni, moduli, svi studenti imaju isti problem, koji ću sada objasniti.

Činjenica je da na samom početku proučavanja formula za skraćeno množenje i, sukladno tome, radnji za smanjivanje razlomaka (radi se o 8. razredu), učitelji kažu nešto poput ovoga: "Ako vam nešto nije jasno, nemojte brini, hoćemo, vratit ćemo se na ovu temu više puta, u srednjoj školi sigurno. Kasnije ćemo to shvatiti." Pa onda na prijelazu iz 9. u 10. razred isti ti učitelji objašnjavaju istim učenicima koji još ne znaju rješavati racionalne razlomke, otprilike ovako: “Gdje si bio prethodne dvije godine? Isto se učila i algebra u 8. razredu! Što tu može biti neshvatljivo? Tako je očito!"

No, običnim učenicima takva objašnjenja nisu nimalo lakša: oni su još uvijek imali zbrku u glavi, pa ćemo upravo sada analizirati dva jednostavna primjera, na temelju kojih ćemo vidjeti kako odabrati te izraze u stvarnim problemima, što će nas dovesti do kratkih formula množenja i kako ih kasnije primijeniti za transformaciju složenih racionalnih izraza.

Redukcija jednostavnih racionalnih razlomaka

Zadatak #1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Prvo što trebamo naučiti je razlikovati točne kvadrate i više od izvornih izraza. visoki stupnjevi, na temelju kojih onda možemo primijeniti formule. Pogledajmo:

Prepravimo naš izraz uzimajući u obzir ove činjenice:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\lijevo(3((y)^(2)) \desno))^(2))-((\lijevo(4x \desno))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\lijevo(3((y)^(2))-4x \desno)\lijevo(3 ((y)^(2))+4x \desno))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Odgovor: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Zadatak #2

Prijeđimo na drugi zadatak:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nema tu što pojednostavljivati, jer je brojnik konstanta, ali sam ovaj problem predložio upravo zato da naučite faktorizirati polinome koji sadrže dvije varijable. Da je umjesto njega dolje napisan polinom, kako bismo ga rastavili?

\[((x)^(2))+5x-6=\lijevo(x-... \desno)\lijevo(x-... \desno)\]

Riješimo jednadžbu i pronađimo $x$ koje možemo staviti umjesto točkica:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Trinom možemo prepisati na sljedeći način:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x+6 \desno)\]

Naučili smo kako raditi s kvadratnim trinomom - za to smo morali snimiti ovu video lekciju. Ali što ako uz $x$ i konstantu postoji i $y$? Pogledajmo ih kao još jedan element koeficijenata, tj. Prepišimo naš izraz na sljedeći način:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Zapisujemo dekompoziciju naše kvadratne konstrukcije:

\[\lijevo(x-y \desno)\lijevo(x+6y \desno)\]

Ukupno, ako se vratimo na izvorni izraz i prepišemo ga uzimajući u obzir promjene, dobivamo sljedeće:

\[\frac(8)(\lijevo(x-y \desno)\lijevo(x+6y \desno))\]

Što nam daje takva evidencija? Ništa, jer se ne može smanjiti, ničim se ne množi niti dijeli. Međutim, čim je ovaj razlomak sastavni dio složenijeg izraza dobro će doći takva dekompozicija. Stoga, čim vidite kvadratni trinom (bio on opterećen dodatnim parametrima ili ne), uvijek ga pokušajte faktorizirati.

Nijanse rješenja

Zapamtite osnovna pravila za pretvaranje racionalnih izraza:

Svi nazivnici i brojnici moraju biti rastavljeni na faktore ili kroz skraćene formule množenja ili kroz diskriminant.
Moramo raditi prema ovom algoritmu: kada gledamo i pokušavamo istaknuti skraćenu formulu množenja, tada, prije svega, pokušavamo sve prevesti do najvećeg mogućeg stupnja. Nakon toga opći stupanj izbacujemo iz zagrade.
Vrlo često će postojati izrazi s parametrom: druge varijable će se pojaviti kao koeficijenti. Nalazimo ih koristeći formulu kvadratnog širenja.

Dakle, čim vidite racionalne razlomke, prvo što treba učiniti je rastaviti i brojnik i nazivnik na faktore (u linearne izraze), a mi koristimo formule smanjenog množenja ili diskriminant.

Pogledajmo nekoliko takvih racionalnih izraza i pokušajmo ih faktorizirati.

Rješavanje složenijih primjera

Zadatak #1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Prepisujemo i pokušavamo proširiti svaki pojam:

Napišimo ponovno cijeli naš racionalni izraz imajući na umu ove činjenice:

\[\frac(((\lijevo(2x \desno))^(2))-2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\lijevo(3y \desno))^(2))-((\lijevo(2x \desno))^(2)))(((\lijevo(2x \desno))^(3))+ ((\lijevo(3y\desno))^(3)))=\]

\[=\frac(((\lijevo(2x \desno))^(2))-2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\lijevo(3y-2x \desno)\lijevo(3y+2x \desno))(\lijevo(2x+3y \desno)\lijevo(((\lijevo(2x \desno))^(2))- 2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)) \desno))=-1\]

Odgovor: $-1$.

Zadatak #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Pogledajmo sve razlomke.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\lijevo(x-2 \desno))^(2))\]

Prepravimo cijelu strukturu uzimajući u obzir promjene:

\[\frac(3\lijevo(1-2x \desno))(2\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))\cdot \frac( 2x+1)(((\lijevo(x-2 \desno))^(2)))\cdot \frac(\lijevo(2-x \desno)\lijevo(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \desno))(\lijevo(2x-1 \desno)\lijevo(2x+1 \desno))=\]

\[=\frac(3\cdot \lijevo(-1 \desno))(2\cdot \lijevo(x-2 \desno)\cdot \lijevo(-1 \desno))=\frac(3)(2 \lijevo(x-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(3)(2\lijevo(x-2 \desno))$.

Nijanse rješenja

Dakle, što smo upravo naučili:

Nije svaki kvadrat trinoma faktoriziran, posebno se to odnosi na nepotpuni kvadrat zbroja ili razlike, koji se vrlo često nalaze kao dijelovi kuba zbroja ili razlike.
Konstante, tj. obični brojevi koji uz sebe nemaju varijable također mogu djelovati kao aktivni elementi u procesu dekompozicije. Prvo, mogu se izvući iz zagrada, a drugo, same konstante mogu se predstaviti kao potencije.
Vrlo često, nakon rastavljanja svih elemenata na faktore, nastaju suprotne konstrukcije. Te razlomke morate vrlo pažljivo smanjivati, jer kada ih prekrižite odozgo ili odozdo, pojavljuje se dodatni faktor $-1$ - to je upravo posljedica činjenice da su suprotni.

Rješavanje složenih problema

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Razmotrimo svaki pojam zasebno.

Prvi razlomak:

\[((\lijevo(3a \desno))^(3))-((\lijevo(4b \desno))^(3))=\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(((\lijevo (3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2)) \desno)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\lijevo(b-2 \desno)\lijevo(b+2 \desno)\]

Cijeli brojnik drugog razlomka možemo prepisati na sljedeći način:

\[((\lijevo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2))\]

Sada pogledajmo nazivnik:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\lijevo(b+2 \desno) ))^(2))\]

Prepišimo cijeli racionalni izraz imajući na umu gornje činjenice:

\[\frac(\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(((\lijevo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2 )) \desno))(\lijevo(b-2 \desno)\lijevo(b+2 \desno))\cdot \frac(((\lijevo(b+2 \desno))^(2)))( ((\lijevo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(b+2 \desno))(\lijevo(b-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(b+2 \desno))(\lijevo(b-2 \desno))$.

Nijanse rješenja

Kao što smo još jednom vidjeli, nepotpuni kvadrati zbroja ili nepotpuni kvadrati razlike, koji se često nalaze u realnim racionalnim izrazima, međutim, ne bojte ih se, jer se nakon transformacije svakog elementa gotovo uvijek poništavaju. . Osim toga, ni u kojem slučaju se ne biste trebali bojati velikih konstrukcija u konačnom odgovoru - sasvim je moguće da to nije vaša pogreška (pogotovo ako se sve faktorizira), već je autor zamislio takav odgovor.

Zaključno, želio bih analizirati još jedan složen primjer, koji više nije izravno vezan uz racionalne razlomke, ali sadrži sve ono što vas čeka na pravim kolokvijima i ispitima, a to su: rastavljanje na faktore, svođenje na zajednički nazivnik, svođenje sličnih članova. Upravo to ćemo sada učiniti.

Rješavanje složenog problema pojednostavljivanja i transformiranja racionalnih izraza

\[\lijevo(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

Prvo razmotrite i proširite prvu zagradu: u njoj vidimo tri odvojena razlomka s različitim nazivnicima, tako da prvo što trebamo učiniti je dovesti sva tri razlomka na zajednički nazivnik, a za to svaki od njih treba rastaviti na faktore:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \desno)\]

Prepišimo cijelu našu strukturu na sljedeći način:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\lijevo(x -2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\lijevo(x-2 \desno)+((x)^(3))+8-\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \desno))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((\lijevo(x-2 \desno))^(2)))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \desno))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ovo je rezultat izračuna iz prve zagrade.

Rad s drugom zagradom:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \ pravo)\]

Prepišimo drugu zagradu, uzimajući u obzir promjene:

\[\frac(((x)^(2)))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\lijevo(x+2 \desno))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))\]

Sada napišimo cijelu izvornu konstrukciju:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\lijevo(x-2) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: $\frac(1)(x+2)$.

Nijanse rješenja

Kao što vidite, odgovor se pokazao sasvim razumnim. Međutim, imajte na umu: vrlo često s takvim velikim izračunima, kada je jedina varijabla samo u nazivniku, učenici zaborave da je to nazivnik i da bi trebao biti na dnu razlomka i zapišu ovaj izraz u brojniku - ovo je velika greška.

Osim toga, želio bih vam skrenuti posebnu pozornost na to kako su takvi zadaci formalizirani. U svakom složenom izračunu svi se koraci izvode korak po korak: prvo računamo posebno prvu zagradu, zatim drugu zagradu i tek na kraju spajamo sve dijelove i izračunavamo rezultat. Tako se osiguravamo od glupih pogrešaka, pažljivo zapisujemo sve izračune i istovremeno ne gubimo dodatno vrijeme, kao što bi se moglo činiti na prvi pogled.

U školi VIII tipa učenici se upoznaju sa sljedećim transformacijama razlomaka: izražavanje razlomka većim razlomcima (6. razred), izražavanje nepravog razlomka cijelim ili mješovitim brojem (6. razred), izražavanje razlomka jednakim dijelovima. (7. razred), izražavanje mješovitog broja kao nepravog razlomka (7. razred).

Izražavanje nepravog razlomka cijelim ili mješovitim brojem

studiranje ovaj materijal trebali biste početi sa zadatkom: uzmite 2 jednaka kruga i svaki od njih podijelite na 4 jednaka dijela, izbrojite četvrtine (slika 25). Nadalje, predlaže se da se ovaj iznos zapiše kao razlomak. Zatim četvrta dionica na-

legnu jedni do drugih i učenici se uvjere da je ispao cijeli krug. Stoga, na četiri četvrtine dodaje-

Xia redom na i učenici zapisuju:

Nastavnik skreće pozornost učenicima da su u svim razmatranim slučajevima uzeli nepravi razlomak, a kao rezultat transformacije dobili ili cijeli ili mješoviti broj, odnosno nepravi razlomak izrazili su cijelim brojem. ili mješoviti broj. Zatim, moramo nastojati osigurati da učenici samostalno utvrde koju aritmetičku operaciju ova transformacija može izvesti. Živopisni primjeri koji vode do odgovora na pitanje su: Zaključak: do

Da biste nepravi razlomak izrazili cijelim ili mješovitim brojem, potrebno je brojnik razlomka podijeliti nazivnikom, kvocijent napisati cijelim brojem, ostatak upisati u brojnik, a nazivnik ostaviti isti. Budući da je pravilo glomazno, nije uopće potrebno da ga učenici uče napamet. Trebali bi moći dosljedno govoriti o radnjama tijekom izvođenja ove transformacije.

Prije nego što učenike uvedemo u izražavanje nepravog razlomka cijelim ili mješovitim brojem, uputno je s njima ponoviti dijeljenje cijelog broja cijelim brojem s ostatkom.

Konsolidacija nove transformacije za učenike olakšava se rješavanjem problema vitalne i praktične prirode, na primjer:

“U vazi je devet četvrtina naranče. Koliko se cijelih naranči može dodati od tih dionica? Koliko je četvrtina ostalo?

Izražavanje cijelog i mješovitog broja kao nepravog razlomka

Uvođenju učenika u ovu novu transformaciju treba prethoditi rješavanje problema, na primjer:

“2 komada platna jednake dužine, kvadratnog oblika, izrezana su na 4 jednaka dijela. Od svakog takvog dijela sašiven je rubac. Koliko ste rupčića dobili? .

Zatim učitelj poziva učenike da izvrše sljedeći zadatak: „Uzmite cijeli krug i još jednu polovicu kruga, jednake veličine prvom. Prerežite cijeli krug na pola. Koliko ste polovica dobili? Zapiši: bio je krug, postao je krug.

Stoga, na temelju vizualne i praktične osnove, razmatramo niz primjera. U primjerima koji se razmatraju od učenika se traži da usporede izvorni broj (mješoviti ili cijeli broj) i broj koji je nastao nakon pretvorbe (nepravilan razlomak).

Da bismo učenike upoznali s pravilom izražavanja cijelog i mješovitog broja nepravim razlomkom, potrebno im je skrenuti pozornost na usporedbu nazivnika mješovitog broja i nepravog razlomka, kao i na to kako se dobiva brojnik, tj. primjer:

bit će 15/4. Kao rezultat toga, formulira se pravilo: da bi se mješoviti broj izrazio kao nepravi razlomak, potrebno je nazivnik pomnožiti s cijelim brojem, umnošku dodati brojnik i kao brojnik napisati zbroj, a nazivnik ostaviti nepromijenjeno.

Prvo treba uvježbati učenike u izražavanju jedinice kao nepravog razlomka, zatim bilo kojeg drugog cijelog broja s naznakom nazivnika, pa tek onda mješovitog broja -

Osnovno svojstvo razlomka 1

Koncept nepromjenjivosti razlomka dok se povećavaju ili smanjuju njegovi članovi, tj. brojnik i nazivnik, učenici usvajaju Škola VIII vrsta s velikim poteškoćama. Ovaj koncept mora biti predstavljen na vizualnom i didaktičkom materijalu, a važno je da učenici ne samo promatraju aktivnosti nastavnika, već i aktivno rade s didaktički materijal te na temelju zapažanja i praktičnih aktivnosti došli do određenih zaključaka, generalizacija.

Na primjer, učitelj uzme cijelu repu, podijeli je na 2 jednaka dijela i pita: „Što ste dobili kad ste cijelu repu podijelili na pola? (2 polovice.) Pokažite repu. Polovicu repe prerežite (podijelite) na još 2 jednaka dijela. Što ćemo dobiti? Napiši: Usporedi brojnike i nazivnike ovih razlomaka. Kada

puta povećao se brojnik? Koliko se puta povećao nazivnik? Koliko su se puta povećali i brojnik i nazivnik? Je li se razlomak promijenio? Zašto se nije promijenilo? Kakvi su bili udjeli: veći ili manji? Je li se broj dionica povećao ili smanjio?

Zatim svi učenici dijele krug na 2 jednaka dijela, svaku polovicu dijele na još 2 jednaka dijela, svaku četvrtinu na još 2 jednaka dijela itd. i zapisuju: itd. Zatim

ustanoviti koliko su se puta povećali brojnik i nazivnik razlomka, je li se razlomak promijenio. Zatim nacrtajte segment i podijelite ga redom na 3, 6, 12 jednake dijelove i napiši:

Pri usporedbi razlomaka ispostavilo se da

brojnik i nazivnik razlomka se povećavaju za isti broj puta, razlomak se od toga ne mijenja.

Nakon razmatranja niza primjera, učenike treba zamoliti da odgovore na pitanje: „Hoće li se razlomak promijeniti ako brojnik

Neka znanja o temi "Obični razlomci" isključena su iz kurikuluma matematike u popravnim školama VIII vrste, ali se sa zakašnjenjem saopštavaju učenicima u školama za djecu. mentalni razvoj, u razredima izravnavanja za djecu s poteškoćama u učenju matematike. U ovom udžbeniku zvjezdicom (*) označeni su paragrafi koji daju metodologiju proučavanja ovog gradiva.

i nazivnik razlomka pomnožiti s istim brojem (povećati za isti broj puta)? Osim toga, od učenika treba tražiti da sami daju primjere.

Slični primjeri navedeni su i kada se razmatra smanjivanje brojnika i nazivnika za isti broj puta (brojnik i nazivnik podijeljeni su istim brojem). Na primjer, krug je podijeljen na 8 jednakih dijelova, uzmite 4 osmine kruga,

povećavši udjele, uzmu četvrti, bit će ih 2. Ukrupnivši udjele, uzmu drugi. Uspoređivat će se redom

brojnike i nazivnike tih razlomaka odgovarajući na pitanja: „Koliko se puta umanje brojnik i nazivnik? Hoće li se razlomak promijeniti?*.

dobra pomoć su pruge podijeljene na 12, 6, 3 jednaka dijela (slika 26).

Na temelju razmotrenih primjera učenici mogu zaključiti da se razlomak neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik razlomka podijele istim brojem (umanjenim istim brojem puta). Zatim se daje poopćeni zaključak – glavno svojstvo razlomka: razlomak se neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik razlomka povećaju ili smanje za isti broj puta.

Smanjenje razlomaka

Prvo je potrebno učenike pripremiti za ovo pretvaranje razlomaka. Kao što znate, smanjiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik razlomka istim brojem. Ali djelitelj mora biti broj koji u odgovoru daje nesmanjiv razlomak.

Mjesec i pol dana prije nego što se učenici upoznaju sa smanjenjem razlomaka, provodi se pripremni rad - predlaže se imenovati dva odgovora iz tablice množenja, koji su podijeljeni istim brojem. Na primjer: "Imenuj dva broja djeljiva s 4." (Prvo učenici gledaju 1 u tablici, a zatim te brojeve nazivaju iz memorije.) Nazivaju oba broja i rezultate njihovog dijeljenja s 4. Zatim učitelj nudi učenicima razlomke, 3

na primjer, odaberite djelitelj - za brojnik i nazivnik (osnova za izvođenje takve radnje je tablica množenja).

koju tablicu da pogledam? Kojim se brojem mogu podijeliti 5 i 15?) Ispada da se pri dijeljenju brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem vrijednost razlomka nije promijenila (to se može prikazati na traci, segmentu, krugu) , samo što su postali veći od razlomka: Prikaz razlomka postao je jednostavniji . Učenici se navode na zaključak o pravilu redukcije razlomaka.

Učenicima tipa VIII često je teško pronaći najveći broj, koji dijeli i brojnik i nazivnik razlomka. Stoga se često uočavaju pogreške ove prirode, kao što je 4/12 = 2/6, tj. učenik nije pronašao najveći zajednički

djelitelj za brojeve 4 i 12. Dakle, u početku možete dopustiti postupno dijeljenje, tj. ali pritom pitati na koji su broj najprije podijeljeni brojnik i nazivnik razlomka, na koji broj tada, a zatim na koji bi broj mogli odmah podijeliti razlomke brojnik i nazivnik. Takva pitanja pomažu učenicima da postupno pronađu najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka.

Lijevanje razlomci na najmanji zajednički nazivnik*

Svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik ne treba smatrati samom svrhom, već transformacijom potrebnom za usporedbu razlomaka, a potom i za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Učenici su već upoznati s usporedbom razlomaka s istim brojnikom, ali različitim nazivnicima i s istim nazivnikom, ali različitim brojnicima. No, još uvijek ne znaju usporediti razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima.

Prije nego što učenicima objasnimo značenje nove transformacije, potrebno je ponoviti pređeno gradivo rješavajući npr. sljedeće zadatke:

Usporedi razlomke 2/5.2/7.2/3 Izgovori pravilo za usporedbu razlomaka s

isti brojnici.

Usporedi razlomke Recite pravilo usporedbe razlomaka

s istim nazivnicima.

Usporedite razlomke Učenicima je ove razlomke teško uspoređivati

jer imaju različite brojnike i različite nazivnike. Da biste usporedili ove razlomke, brojnike ili nazivnike tih razlomaka morate izjednačiti. Obično se nazivnici izražavaju jednakim udjelima, odnosno razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik.

Učenike je potrebno upoznati s načinom izražavanja razlomaka jednakim dijelovima.

Najprije se razmatraju razlomci s različitim nazivnicima, ali oni kod kojih je nazivnik jednog razlomka djeljiv bez ostatka s nazivnikom drugog razlomka i, prema tome, može biti i nazivnik drugog razlomka.

Na primjer, u razlomcima, nazivnici su brojevi 8 i 2.

Da bi se ti razlomci izrazili jednakim udjelima, učitelj predlaže da se manji nazivnik uzastopno pomnoži s brojevima 2, 3, 4 itd., i to sve dok se ne dobije rezultat jednak nazivniku prvog razlomka. Na primjer, pomnožimo 2 s 2 i dobijemo 4. Opet, nazivnici dvaju razlomaka su različiti. Nadalje, množimo 2 sa 3, dobivamo 6. Broj 6 također ne odgovara. Pomnožimo 2 sa 4, dobijemo 8. U ovom slučaju, nazivnici su postali isti. Da se razlomak ne bi mijenjao, potrebno je brojnik razlomka pomnožiti s 4 (na temelju glavnog svojstva razlomka). Odredite razlomak Sada su razlomci izraženi u jednakim dijelovima. Njihovo

lako ih je usporediti i izvoditi radnje s njima.

Možete pronaći broj kojim ćete pomnožiti manji nazivnik jednog od razlomaka tako da veći nazivnik podijelite s manjim. Na primjer, ako je 8 podijeljeno s 2, tada ćemo dobiti broj 4. Trebate pomnožiti i nazivnik i brojnik razlomka s ovim brojem. To znači da za izražavanje nekoliko razlomaka u jednakim dijelovima trebate veći nazivnik podijeliti s manjim, pomnožiti kvocijent s nazivnikom i brojnik razlomka s manjim nazivnicima. Na primjer, dani razlomci Da bismo doveli ove razlomke

na najmanji zajednički nazivnik, trebate 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Razlomak će poprimiti oblik . Tada je 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Razlomak će poprimiti oblik Dakle, razlomci će poprimiti oblik, tj. bit će izraženi

nym u jednakim omjerima.

Provode se vježbe koje vam omogućuju da formirate sposobnost svođenja razlomaka na zajednički najmanji nazivnik.

Na primjer, potrebno je izraziti u jednakim dijelovima razlomak

Kako učenici ne bi zaboravili kvocijent koji se dobije dijeljenjem većeg nazivnika s manjim, poželjno je.

prepisati razlomak s manjim nazivnikom. Na primjer, i

Zatim razmatramo razlomke u kojima veći nazivnik nije djeljiv s manjim i, prema tome, nije

zajedničke ovim razlomcima. Na primjer, nazivnik 8 nije

djeljiv sa 6. U tom ćemo slučaju veći nazivnik 8 sukcesivno množiti brojevima niza brojeva, počevši od 2, sve dok ne dobijemo broj koji je bez ostatka djeljiv s oba nazivnika 8 i 6. Da bismo kako bi razlomci ostali jednaki podacima, brojnike treba pomnožiti s istim brojevima. na-

3 5 primjer, tako da su razlomci r i * izraženi u jednakim udjelima,

veći nazivnik 8 pomnožimo s 2(8x2=16). 16 nije djeljivo sa 6, pa se 8 množi sa sljedećim brojem 3 (8x3=24). 24 je djeljivo sa 6 i 8, pa je 24 zajednički nazivnik za ove razlomke. Ali da bi razlomci ostali jednaki, njihovi se brojnici moraju povećati onoliko puta koliko su se povećali nazivnici, 8 uvećati 3 puta, što znači da će se brojnik ovog razlomka 3 povećati 3 puta.

Razlomak će imati oblik Nazivnik 6 uvećan 4 puta. Prema tome, brojnik 5. razlomka mora se povećati 4 puta. Razlomci će poprimiti oblik

Time učenike dovodimo do općeg zaključka (pravila) i upoznajemo ih s algoritmom izražavanja razlomaka jednakim dijelovima. Na primjer, dana su dva razlomka ¾ i 5/7

1. Pronađite najmanji zajednički nazivnik: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 je djeljivo s 4 i 7. 28 je najrjeđi banner
držač razlomaka

2. Pronađite dodatne množitelje: 28:4=7,

3. Zapišimo ih preko razlomaka:

4. Brojnike razlomaka množimo dodatnim faktorima:
3x7=21, 5x4=20.

Dobivamo razlomke s istim nazivnicima. Dakle,

sveli smo razlomke na zajednički najmanji nazivnik.

Iskustvo pokazuje da je uputno učenike upoznati s pretvorbom razlomaka prije proučavanja raznih aritmetičkih operacija s razlomcima. Na primjer, preporučljivo je smanjiti razlomke ili zamijeniti nepravilan razlomak cijelim ili mješovitim brojem prije proučavanja zbrajanja i oduzimanja razlomaka s istim nazivnicima, jer u rezultirajućem zbroju ili razlici

Morat ćete napraviti jednu ili obje transformacije.

Svođenje razlomka na najmanji zajednički nazivnik najbolje je proučiti s učenicima prije teme "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima", a zamjenu mješovitog broja nepravim razlomkom - prije teme "Množenje i dijeljenje razlomaka cijelim brojem". .

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka

1. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Studija koju je provela Alysheva T.V. 1, ukazuje na svrsishodnost, pri proučavanju radnji zbrajanja i oduzimanja običnih razlomaka s istim nazivnicima, koristiti analogiju s učenicima već poznatim zbrajanjem i oduzimanjem.

brojeva dobivenih kao rezultat mjerenja veličina, te proučavati radnje deduktivnom metodom, to jest "od općeg prema posebnom".

Najprije se ponavlja zbrajanje i oduzimanje brojeva s nazivima mjera vrijednosti i duljine. Na primjer, 8 str. 20 k. ± 4 str. 15 k. Prilikom usmenog zbrajanja i oduzimanja potrebno je dodati (oduzeti) prvo rublje, a zatim kopejke.

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - prvo zbroji (oduzmi) metre, a zatim centimetre.

Pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka razmislite Općenito slučaj: izvođenje ovih radnji s mješovitim brojevima (nazivnici su isti): U ovom slučaju potrebno je: "Dodajte (oduzmite) cijele brojeve, zatim brojnike, a nazivnik ostaje isti." Ovo opće pravilo vrijedi za sve slučajeve zbrajanja i oduzimanja razlomaka. Postupno se uvode pojedini slučajevi: zbrajanje mješovitog broja s razlomkom, zatim mješovitog broja s cijelim brojem. Nakon toga se razmatraju teži slučajevi oduzimanja: 1) od mješovitog broja razlomka: 2) od mješovitog broja cijelog broja:

Nakon savladavanja ovih prilično jednostavnih slučajeva oduzimanja, učenici se upoznaju s težim slučajevima kada je potrebno svođenje: oduzimanjem od jedne cijele cjeline ili od više cjelina, npr.:

U prvom slučaju, jedinica mora biti predstavljena kao razlomak s nazivnikom jednakim nazivniku subtrahenda. U drugom slučaju, uzmemo jedinicu iz cijelog broja i također je zapišemo kao nepravi razlomak s oduzetim nazivnikom, dobivamo mješoviti broj u smanjenom broju. Oduzimanje se provodi prema općem pravilu.

Konačno, razmatra se najteži slučaj oduzimanja: od mješovitog broja, a brojnik razlomka je manji od brojnika u subtrahendu. U tom slučaju umanjenik se mora promijeniti tako da se može primijeniti opće pravilo, tj. u umanjeniku uzeti jednu jedinicu iz cjeline i podijeliti

u petinama, dobivamo, da, dobivamo primjer

poprimit će sljedeći oblik: već je moguće primijeniti na njegovo rješenje

opće pravilo.

Korištenje deduktivne metode poučavanja zbrajanja i oduzimanja razlomaka pridonijet će razvoju sposobnosti učenika za generaliziranje, uspoređivanje, razlikovanje, uključivanje pojedinih slučajeva izračuna u zajednički sustav znanje o operacijama s razlomcima.

Članak govori o transformaciji racionalnih izraza. Razmotrite vrste racionalnih izraza, njihove transformacije, grupiranja, stavljajući u zagrade zajednički faktor. Naučimo kako predstaviti razlomačke racionalne izraze kao racionalne razlomke.

Definicija i primjeri racionalnih izraza

Definicija 1

Izrazi koji se sastoje od brojeva, varijabli, zagrada, stupnjeva s radnjama zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja uz prisutnost razlomka nazivaju se racionalni izrazi.

Na primjer, imamo da je 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Odnosno, to su izrazi koji nemaju podjelu na izraze s varijablama. Proučavanje racionalnih izraza počinje u 8. razredu, gdje se nazivaju razlomački racionalni izrazi.Posebna se pažnja posvećuje razlomcima u brojniku koji se pretvaraju pomoću pravila transformacije.

To nam omogućuje da prijeđemo na transformaciju racionalnih razlomaka proizvoljnog oblika. Takav se izraz može smatrati izrazom s prisutnošću racionalnih razlomaka i cjelobrojnih izraza s predznacima akcije.

Glavne vrste transformacija racionalnih izraza

Racionalni izrazi služe za izvođenje identičnih transformacija, grupiranja, redukciju sličnih, izvođenje drugih operacija s brojevima. Svrha takvih izraza je pojednostavljenje.

Primjer 1

Pretvori racionalni izraz 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Riješenje

Može se vidjeti da je takav racionalni izraz razlika 3 · x x · y - 1 i 2 · x x · y - 1 . Primijetite da imaju isti nazivnik. To znači da redukcija sličnih pojmova poprima oblik

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Odgovor: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Primjer 2

Izvršite transformaciju 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Riješenje

U početku izvodimo akcije u zagradama 3 · x − x = 2 · x . Ovaj izraz je predstavljen kao 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Dolazimo do izraza koji sadrži radnje s jednim stupnjem, odnosno ima zbrajanje i oduzimanje.

Riješite se zagrada korištenjem svojstva dijeljenja. Tada dobivamo da je 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Grupiramo numeričke faktore s varijablom x, nakon toga možemo izvoditi operacije s potencijama. Shvaćamo to

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Odgovor: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Primjer 3

Pretvorite izraz oblika x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Riješenje

Prvo pretvorimo brojnik i nazivnik. Tada dobivamo izraz oblika (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, a radnje u zagradama se izvršavaju prvo. U brojniku se izvode akcije i grupiraju faktori. Tada dobivamo izraz oblika x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Transformiramo formulu za razliku kvadrata u brojnik, onda to dobijemo

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odgovor: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Predstavljanje kao racionalni razlomak

Algebarski razlomak najčešće se podvrgava pojednostavljenju prilikom rješavanja. Svaki racionalan se svodi na ovo različiti putevi. Potrebno je izvršiti sve potrebne operacije s polinomima kako bi racionalni izraz na kraju dao racionalni razlomak.

Primjer 4

Izrazi racionalnim razlomkom a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Riješenje

Ovaj izraz se može prikazati kao 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Množenje se izvodi prije svega prema pravilima.

Trebali bismo početi s množenjem, onda ćemo to dobiti

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Izrađujemo prikaz rezultata dobivenog s originalom. Shvaćamo to

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Sada napravimo oduzimanje:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Nakon toga je očito da će izvorni izraz poprimiti oblik 16 a 2 - 9 .

Odgovor: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Primjer 5

Izrazi x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x kao racionalni razlomak.

Riješenje

Zadani izraz napisan je kao razlomak u čijem je brojniku x x + 1 + 1, a u nazivniku 2 x - 1 1 + x. Potrebno je napraviti transformacije x x + 1 + 1 . Da biste to učinili, morate dodati razlomak i broj. Dobivamo da je x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Slijedi da je x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Dobiveni razlomak može se napisati kao 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Nakon dijeljenja dolazimo do racionalnog razlomka oblika

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Možete to riješiti drugačije.

Umjesto dijeljenja s 2 x - 1 1 + x, množimo s recipročnom vrijednošću 1 + x 2 x - 1 . Primjenom svojstva distribucije, dobivamo to

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Odgovor: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Razlomci

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Razlomci u srednjoj školi nisu jako dosadni. Za sada. Sve dok ne naletite na stupnjeve sa racionalni pokazatelji da logaritmi. Ali tamo…. Pritisneš, pritisneš kalkulator, i on pokaže cijeli semafor nekih brojeva. Moraš misliti svojom glavom, kao u trećem razredu.

Pozabavimo se konačno razlomcima! Pa, koliko se možete zbuniti u njima!? Štoviše, sve je jednostavno i logično. Tako, što su razlomci?

Vrste razlomaka. Transformacije.

Razlomci su tri vrste.

1. Obični razlomci , Na primjer:

Ponekad, umjesto vodoravne crte, stavljaju kosu crtu: 1/2, 3/4, 19/5, dobro, i tako dalje. Ovdje ćemo često koristiti ovaj pravopis. Poziva se gornji broj brojnik, niži - nazivnik. Ako stalno brkate ova imena (događa se ...), recite sebi izraz s izrazom: " Zzzzz zapamtiti! Zzzzz nazivnik – van zzzz u!" Gle, sve će se pamtiti.)

Crtica, što horizontalna, što kosa, znači podjela gornji broj (brojnik) do donjeg broja (nazivnik). I to je to! Umjesto crtice, sasvim je moguće staviti znak podjele - dvije točke.

Kada je podjela u potpunosti moguća, mora se izvršiti. Dakle, umjesto razlomka "32/8" mnogo je ugodnije napisati broj "4". Oni. 32 je jednostavno podijeljeno sa 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ne govorim o razlomku "4/1". Što je također samo "4". A ako se ne podijeli potpuno, ostavljamo ga kao razlomak. Ponekad morate učiniti obrnuto. Napravi razlomak od cijelog broja. Ali o tome kasnije.

2. Decimale , Na primjer:

Upravo u ovom obliku bit će potrebno zapisati odgovore na zadatke "B".

3. mješoviti brojevi , Na primjer:

Mješoviti brojevi praktički se ne koriste u srednjoj školi. Da bismo radili s njima, moraju se pretvoriti u obične razlomke. Ali svakako morate znati kako to učiniti! A onda će se takav broj naći u slagalici i objesiti ... Ispočetka. Ali mi se sjećamo ovog postupka! Malo niže.

Najsvestraniji obični razlomci. Počnimo s njima. Usput, ako u razlomku ima raznih logaritama, sinusa i drugih slova, to ništa ne mijenja. U smislu da sve radnje s razlomačkim izrazima ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima!

Osnovno svojstvo razlomka.

Pa, idemo! Prije svega, iznenadit ću vas. Čitavu raznolikost transformacija razlomaka pruža jedno jedino svojstvo! Tako se to zove osnovno svojstvo razlomka. Zapamtiti: Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Oni:

Jasno je da možeš dalje pisati, dok ne pomodriš. Neka vas sinusi i logaritmi ne zbune, njima ćemo se baviti dalje. Najvažnije je razumjeti da su svi ti različiti izrazi isti razlomak . 2/3.

I trebamo li to, sve te transformacije? I kako! Sada ćete sami vidjeti. Prvo, upotrijebimo osnovno svojstvo razlomka za kratice razlomaka. Čini se da je stvar elementarna. Brojnik i nazivnik podijelimo s istim brojem i to je to! Nemoguće je pogriješiti! Ali... čovjek je kreativno biće. Svugdje možete pogriješiti! Pogotovo ako ne morate smanjiti razlomak poput 5/10, već razlomački izraz sa svim vrstama slova.

Kako pravilno i brzo smanjiti razlomke bez nepotrebnog rada možete pronaći u posebnom odjeljku 555.

Normalan učenik ne zamara se dijeljenjem brojnika i nazivnika istim brojem (ili izrazom)! Samo prekriži sve isto odozgo i odozdo! Ovdje se krije tipična pogreška, gaf, ako želite.

Na primjer, trebate pojednostaviti izraz:

Nema se što razmišljati, precrtavamo slovo "a" odozgo i dvojku odozdo! Dobivamo:

Sve je točno. Ali stvarno ste dijelili cjelina brojnik i cjelina nazivnik "a". Ako ste navikli samo precrtavati, onda u žurbi možete precrtati "a" u izrazu

i dobiti opet

Što bi bilo kategorički pogrešno. Jer ovdje cjelina brojnik na "a" već nije podijeljeno! Ovaj se udio ne može smanjiti. Inače, takva kratica je, hm ... ozbiljan izazov učitelju. Ovo se ne prašta! Zapamtiti? Kod smanjivanja potrebno je podijeliti cjelina brojnik i cjelina nazivnik!

Smanjenje razlomaka čini život puno lakšim. Negdje ćete dobiti razlomak, npr. 375/1000. I kako sad s njom raditi? Bez kalkulatora? Pomnožite, recite, zbrojite, kvadrirajte!? I ako niste previše lijeni, nego pažljivo smanjite za pet, pa čak i za pet, pa čak ... dok se smanjuje, ukratko. Dobivamo 3/8! Puno ljepše, zar ne?

Osnovno svojstvo razlomka omogućuje pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto bez kalkulatora! Ovo je važno za ispit, zar ne?

Kako pretvoriti razlomke iz jednog oblika u drugi.

S decimalama je lako. Kako se čuje, tako se i piše! Recimo 0,25. To je nula točka, dvadeset pet stotinki. Dakle, pišemo: 25/100. Smanjujemo (podijelimo brojnik i nazivnik s 25), dobivamo uobičajeni razlomak: 1/4. Svi. To se događa, a ništa se ne smanjuje. Kao 0,3. Ovo su tri desetine, tj. 3/10.

Što ako su cijeli brojevi različiti od nule? U redu je. Zapiši cijeli razlomak bez ikakvih zareza u brojniku, a u nazivniku - ono što se čuje. Na primjer: 3.17. Ovo je tri cijela, sedamnaest stotinki. U brojnik upišemo 317, a u nazivnik 100. Dobijemo 317/100. Ništa nije sniženo, znači sve. Ovo je odgovor. Osnovno Watsone! Iz svega navedenog koristan zaključak: bilo koji decimalni razlomak može se pretvoriti u obični razlomak .

Ali obrnutu pretvorbu, običnu u decimalnu, neki ne mogu bez kalkulatora. I potrebno je! Kako ćeš napisati odgovor na ispitu!? Pažljivo čitamo i svladavamo ovaj proces.

Što je decimalni razlomak? Ona ima u nazivniku Stalno vrijedi 10 ili 100 ili 1000 ili 10000 i tako dalje. Ako vaš uobičajeni razlomak ima takav nazivnik, nema problema. Na primjer, 4/10 = 0,4. Ili 7/100 = 0,07. Ili 12/10 = 1,2. A ako je u odgovoru na zadatak odjeljka "B" ispalo 1/2? Što ćemo napisati kao odgovor? Decimale su potrebne...

Sječamo se osnovno svojstvo razlomka ! Matematika povoljno omogućuje množenje brojnika i nazivnika istim brojem. Usput, za bilo koga! Osim nule, naravno. Iskoristimo ovu značajku u svoju korist! Čime se može pomnožiti nazivnik, tj. 2 tako da postane 10, ili 100, ili 1000 (manje je bolje, naravno...)? 5, očito. Slobodno pomnožite nazivnik (ovo je nas potrebno) s 5. Ali, onda se i brojnik mora pomnožiti s 5. Ovo je već matematika zahtjevi! Dobivamo 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To je sve.

Međutim, svakakvi nazivnici nailaze. Na primjer, razlomak 3/16 će pasti. Pokušajte, smislite s čime pomnožiti 16 da dobijete 100, ili 1000... Ne radi? Tada možete jednostavno podijeliti 3 sa 16. U nedostatku kalkulatora, morat ćete dijeliti u kutu, na komadu papira, kako su učili u osnovnim razredima. Dobivamo 0,1875.

A ima i vrlo loših nazivnika. Na primjer, razlomak 1/3 ne može se pretvoriti u dobru decimalu. I na kalkulatoru i na komadu papira dobijemo 0,3333333 ... To znači da je 1/3 u točnom decimalnom razlomku ne prevodi. Baš kao 1/7, 5/6 i tako dalje. Mnogi od njih su neprevodivi. Otud još jedan koristan zaključak. Ne pretvara se svaki obični razlomak u decimalu. !

Usput, ovo korisne informacije za samotestiranje. U odjeljku "B" kao odgovor morate zapisati decimalni razlomak. I dobili ste npr. 4/3. Ovaj se razlomak ne pretvara u decimalni. To znači da ste negdje na putu pogriješili! Vrati se, provjeri rješenje.

Dakle, poredani obični i decimalni razlomci. Ostaje se baviti mješovitim brojevima. Da biste radili s njima, sve ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke. Kako to učiniti? Možete uhvatiti učenika šestog razreda i pitati ga. Ali neće uvijek šesti razred biti pri ruci ... Morat ćemo to učiniti sami. Nije teško. Pomnožite nazivnik razlomljenog dijela s cijelim dijelom i dodajte brojnik razlomljenog dijela. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. Što je s nazivnikom? Nazivnik će ostati isti. Zvuči komplicirano, ali zapravo je vrlo jednostavno. Pogledajmo primjer.

Pustite u problem koji ste s užasom vidjeli broj:

Mirno, bez panike, razumijemo se. Cijeli dio je 1. Jedan. Razlomački dio je 3/7. Dakle, nazivnik razlomka je 7. Taj nazivnik bit će nazivnik običnog razlomka. Brojimo brojnik. Množimo 7 s 1 (cijeli dio) i dodamo 3 (brojnik razlomljenog dijela). Dobivamo 10. To će biti brojnik običnog razlomka. To je sve. U matematičkom zapisu izgleda još jednostavnije:

Jasno? Onda osigurajte svoj uspjeh! Pretvori u obične razlomke. Trebali biste dobiti 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

Obrnuta operacija - pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj - rijetko je potrebna u srednjoj školi. Pa, ako... A ako niste u srednjoj školi - možete pogledati poseban odjeljak 555. Na istom mjestu, usput, naučit ćete o nepravim razlomcima.

Pa skoro sve. Prisjetili ste se vrsta razlomaka i razumjeli Kako pretvoriti ih iz jedne vrste u drugu. Ostaje pitanje: Za što učini to? Gdje i kada primijeniti ovo duboko znanje?

Ja odgovaram. Svaki primjer sam po sebi sugerira potrebne radnje. Ako su u primjeru obični razlomci, decimale, pa čak i miješani brojevi pomiješani u hrpu, sve prevodimo u obične razlomke. Uvijek se može. Pa, ako je napisano nešto poput 0,8 + 0,3, onda tako i mislimo, bez ikakvog prijevoda. Zašto nam treba dodatni posao? Biramo rješenje koje nam odgovara nas !

Ako je zadatak pun decimalnih razlomaka, ali hm... nekakvih zlih, prijeđi na obične, probaj! Vidi, sve će biti u redu. Na primjer, morate kvadrirati broj 0,125. Nije tako lako ako niste izgubili naviku kalkulatora! Ne samo da trebate množiti brojeve u stupcu, već i razmisliti o tome gdje umetnuti zarez! Meni sigurno ne ide u glavu! A ako idete na obični razlomak?

0,125 = 125/1000. Smanjujemo za 5 (ovo je za početak). Dobivamo 25/200. Još jednom na 5. Dobivamo 5/40. Oh, smanjuje se! Natrag na 5! Dobivamo 1/8. Jednostavno kvadrirajte (u svom umu!) i dobijete 1/64. Svi!

Sažmimo ovu lekciju.

1. Postoje tri vrste razlomaka. Obični, decimalni i mješoviti brojevi.

2. Decimale i mješoviti brojevi Stalno mogu se pretvoriti u obične razlomke. Obrnuti prijevod ne uvijek dostupno.

3. Izbor vrste razlomaka za rad sa zadatkom ovisi upravo o ovom zadatku. Ako u jednom zadatku postoje različite vrste razlomaka, najpouzdanije je prijeći na obične razlomke.

Sada možete vježbati. Prvo pretvorite ove decimalne razlomke u obične:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Trebali biste dobiti ovakve odgovore (u neredu!):

Na ovome ćemo završiti. U ovoj lekciji obnovili smo ključne točke o razlomcima. Dogodi se, međutim, da nema ništa posebno za osvježiti ...) Ako je netko potpuno zaboravio ili još nije savladao ... To može ići na poseban odjeljak 555. Tamo su detaljno opisane sve osnove. Mnogi iznenada razumjeti sve počinju. A razlomke rješavaju u hodu).