Izgradite funkciju
Predstavljamo vam uslugu crtanja funkcijskih grafova online, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor grafikona, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.
Prednosti online crtanja grafikona
- Vizualni prikaz uvedenih funkcija
- Izgradnja vrlo složenih grafikona
- Iscrtavanje implicitno definiranih grafova (npr. elipse x^2/9+y^2/16=1)
- Mogućnost spremanja grafikona i dobivanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
- Kontrola mjerila, boja linije
- Sposobnost crtanja grafova po točkama, korištenje konstanti
- Istodobna konstrukcija više grafova funkcija
- Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))
S nama je lako izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka sjecišta funkcija, za prikaz grafova za njihov daljnji prijenos u Word dokument kao ilustracije za rješavanje problema, za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Najbolji preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici web mjesta je Google Chrome. Kada koristite druge preglednike, ispravan rad nije zajamčen.
U ovoj lekciji pobliže ćemo pogledati crtanje jednadžbi. Prvo se prisjetimo što je racionalna jednadžba i skupa njezinih rješenja koji čini graf jednadžbe. Pogledajmo pobliže graf Linearna jednadžba i svojstva linearne funkcije, naučiti čitati grafove. Zatim, razmotrite grafikon kvadratna jednadžba i svojstva kvadratne funkcije. Promotrimo hiperboličku funkciju i njezin graf te graf jednadžbe kružnice. Zatim se okrećemo konstrukciji i proučavanju skupa grafova.
Tema: Sustavi jednadžbi
Lekcija: Grafikoni jednadžbi
Razmatramo racionalnu jednadžbu oblika i sustava racionalne jednadžbe ljubazan
Rekli smo da svaka jednadžba u ovom sustavu ima svoj graf, osim ako naravno ne postoje rješenja jednadžbi. Pogledali smo nekoliko grafova različitih jednadžbi.
Sada ćemo sustavno razmotriti svaku od nama poznatih jednadžbi, tj. napraviti pregled na grafovi jednadžbi.
1. Linearna jednadžba s dvije varijable 
x, y - do prvog stupnja; a,b,c - određeni brojevi.
Primjer: 
Graf ove jednadžbe je ravna linija.
Postupili smo s ekvivalentnim transformacijama - ostavili smo y na mjestu, sve ostalo pomaknuli smo na drugu stranu sa suprotnim predznakom. Izvorna i rezultirajuća jednadžba su ekvivalentne, tj. imaju isti skup rješenja. Možemo izgraditi graf ove jednadžbe, a metoda za njegovu konstrukciju je sljedeća: pronađemo točke sjecišta s koordinatnim osima i izgradimo ravnu liniju duž njih.
U ovom slučaju
Poznavajući graf jednadžbe, možemo puno reći o rješenjima izvorne jednadžbe, naime: ako 
ako 
Ova se funkcija povećava, tj. kako x raste, y raste. Dobili smo dva posebna rješenja, ali kako zapisati skup svih rješenja?
Ako točka ima apscisu x, onda je ordinata te točke
Dakle, brojke
Imali smo jednadžbu, izgradili smo graf, pronašli rješenja. Skup svih parova - koliko ih ima? Bezbroj.
Ovo je racionalna jednadžba
Nađimo y, ekvivalentnim transformacijama dobivamo 
Stavljamo i dobivamo kvadratna funkcija, njegov raspored nam je poznat.
Primjer: Nacrtajte racionalnu jednadžbu.
Graf je parabola, grane su usmjerene prema gore.
Nađimo korijene jednadžbe:
Shematski prikažite grafikon ( Riža. 2).
Uz pomoć grafa dobivamo sve vrste informacija o funkciji i rješenjima racionalne jednadžbe. Odredili smo intervale konstantnosti predznaka, sada ćemo pronaći koordinate vrha parabole.
Jednadžba ima beskonačan broj rješenja, tj. bezbroj parova koji zadovoljavaju jednadžbu, ali svi A što može biti x? Bilo tko!
Ako postavimo bilo koji x, dobit ćemo bod
Rješenje izvorne jednadžbe je skup parova
3. Nacrtajte jednadžbu
Morate izraziti y. Razmotrimo dvije mogućnosti.
Graf funkcije je hiperbola, funkcija nije definirana za
Funkcija se smanjuje.
Ako uzmemo točku s apscisom, tada će njena ordinata biti jednaka
Rješenje izvorne jednadžbe je skup parova
Konstruirana hiperbola može se pomicati u odnosu na koordinatne osi.
Na primjer, graf funkcije 
- također hiperbola - bit će pomaknuta za jedan prema gore duž y-osi.
4. Jednadžba kružnice
Ovo je racionalna jednadžba s dvije varijable. Skup rješenja su točke kružnice. Polumjer središnje točke je R (slika 4).
Razmotrimo konkretne primjere.
a. 
Jednadžbu dovodimo u standardni oblik kružne jednadžbe, za to odabiremo puni kvadrat zbroja:
- dobio je jednadžbu kružnice sa središtem u 
.
Izgradimo graf jednadžbe 
(slika 5).
b. Jednadžba parcele
Podsjetimo se da je umnožak jednak nuli ako i samo ako je jedan od faktora nula, dok drugi postoji.
Graf zadane jednadžbe sastoji se od skupa grafova prve i druge jednadžbe, tj. dvije ravne linije.
Sagradimo ga (slika 6).
Izgradimo graf funkcije Pravac će prolaziti točkom (0; -1). Ali kako će proći - hoće li se povećati ili smanjiti? Pomoći će nam da odredimo nagib, koeficijent pri x, negativan je, pa je funkcija opadajuća. Pronađite točku sjecišta s osi vola, to je točka (-1; 0).
Slično, gradimo graf druge jednadžbe. Pravac prolazi kroz točku (0; 1), ali se povećava, jer nagib je pozitivan.
Koordinate svih točaka dvaju konstruiranih pravaca rješenje su jednadžbe.
Dakle, analizirali smo grafove najvažnijih racionalnih jednadžbi, oni će se koristiti kako u grafičkoj metodi tako i za ilustraciju drugih metoda rješavanja sustava jednadžbi.
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zbornik. Za opće obrazovanje Institucije - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.
2. Mordkovich A.G. i dr. Algebra, 9. razred: Zadatnica za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.
3. Yu.N. Makarychev, Algebra. 9. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. institucije / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izdanje, vlč. i dodatni - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred 16. izd. - M., 2011. - 287 str.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. izd., izbrisano. — M.: 2010. — 224 str.: ilustr.
6. Algebra. 9. razred Na 2 sata Dio 2. Knjiga zadataka za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i drugi; ur. A. G. Mordkovich. - 12. izdanje, vlč. — M.: 2010.-223 str.: ilustr.
1. College.ru odjeljak o matematici ().
2. Internetski projekt "Zadaci" ().
3. Edukativni portal"RIJEŠIĆU UPOTREBU" ().
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra, 9. razred: Zadatnica za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. broj 95-102.
CILJ: 1) Upoznati učenike s pojmom „jednadžbe s dvije varijable“;
2) Naučiti odrediti stupanj jednadžbe s dvije varijable;
3) Naučite prepoznati po dana funkcija koja je figura graf
dana jednadžba;
4) Razmotrite transformacije grafova s dvije varijable;
zadana jednadžba s dvije varijable pomoću programa Agrapher;
6) Razviti logično mišljenje učenicima.
I. Novo gradivo - objašnjavajuće predavanje s elementima razgovora.
(predavanje se izvodi pomoću autorovih slajdova; crtanje je rađeno u programu Agrapher)
U: Kada proučavate linije, postoje dva problema:
Na temelju geometrijskih svojstava zadanog pravca pronaći njegovu jednadžbu;
Inverzni zadatak: prema zadanoj jednadžbi pravca istražiti njegova geometrijska svojstva.
Prvi problem u tečaju geometrije razmatrali smo u odnosu na kružnicu i ravnu liniju.
Danas ćemo razmotriti inverzni problem.
Razmotrimo jednadžbe oblika:
A) x(x-y)=4; b) 2y-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.
su primjeri jednadžbi s dvije varijable.
Jednadžbe s dvije varijable x I na ima oblik f(x,y)=(x,y), Gdje f I – izrazi s varijablama x I g.
Ako je u jednadžbi x(x-y)=4 zamjena za varijablu x njegova vrijednost je -1, a umjesto na- vrijednost 3, ispast će istinska jednakost: 1*(-1-3)=4,
Par (-1; 3) vrijednosti varijable x I na je rješenje jednadžbe x(x-y)=4.
To je rješenje jednadžbe s dvije varijable se zove skup uređenih parova varijabilnih vrijednosti koje tvore ovu jednadžbu u pravu jednakost.
Jednadžba s dvije varijable obično ima beskonačan broj rješenja. Iznimkečine, na primjer, jednadžbe kao što su x 2 +(g 2 - 4) 2 = 0 ili
2x 2 + na 2 = 0 .
Prvi od njih ima dva rješenja (0; -2) i (0; 2), drugi ima jedno rješenje (0; 0).
Jednadžba x 4 + y 4 + 3 = 0 uopće nema rješenja. Zanimljivo je kada su vrijednosti varijabli u jednadžbi cijeli brojevi. Rješavajući takve jednadžbe s dvije varijable, pronađite parove cijelih brojeva. U takvim slučajevima se kaže da su jednadžbe riješene u cijelim brojevima.
Dvije jednadžbe koje imaju isti skup rješenja nazivaju se ekvivalentne jednadžbe. Na primjer, jednadžba x (x + y 2) \u003d x + 1 je jednadžba trećeg stupnja, budući da se može pretvoriti u jednadžbu xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, desna strana koji je polinom standardnog oblika trećeg stupnja.
Stupanj jednadžbe s dvije varijable, predstavljen kao F(x, y) = 0, gdje je F(x, y) polinom standardnog oblika, stupanj je polinoma F(x, y).
Ako sva rješenja jednadžbe s dvije varijable prikažemo točkama u koordinatnoj ravnini, tada dobivamo graf jednadžbe s dvije varijable.
raspored Jednadžba s dvije varijable je skup točaka čije koordinate služe kao rješenja te jednadžbe.
Dakle, graf jednadžbe ax + by + c = 0 je pravac ako je barem jedan od koeficijenata a ili b nije jednak nuli (slika 1). Ako a=b=c=0, tada je graf ove jednadžbe koordinatna ravnina (slika 2), ako a=b=0, A c0, tada je graf prazan skup (slika 3).
Grafikon jednadžbe y = sjekira 2 + od + c je parabola (slika 4), graf jednadžbe xy=k (k0) – hiperbola (sl. 5). graf jednadžbe x 2 + g 2 = r, gdje su x i y varijable, r je pozitivan broj, is krug sa središtem u ishodištu i radijusom jednakim r(slika 6). Graf jednadžbe je elipsa, Gdje a I b- velika i mala poluos elipse (slika 7).
Iscrtavanje nekih jednadžbi olakšava se korištenjem njihovih transformacija. Smatrati transformacije grafova jednadžbi s dvije varijable te formulirati pravila po kojima se izvode najjednostavnije transformacije grafova jednadžbi
1) Graf jednadžbe F (-x, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 korištenjem simetrije oko osi g.
2) Graf jednadžbe F(x, -y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem simetrije oko osi x.
3) Graf jednadžbe F(-x, -y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem centralne simetrije oko ishodišta.
4) Graf jednadžbe F (x-a, y) = 0 dobijemo iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 pomicanjem paralelno s osi x za |a| jedinice (desno ako a> 0, a lijevo if A < 0).
5) Prikaz jednadžbe F(x, y-b) = 0 dobije se iz prikaza jednadžbe F(x, y) = 0 pomicanjem |b| jedinice paralelne s osi na(gore ako b> 0, i dolje if b < 0).
6) Graf jednadžbe F (ax, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 skupljanjem na y-os i a puta ako A> 1, i istezanjem od y-osi u vremenima ako je 0< A < 1.
7) Graf jednadžbe F(x, by) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem kompresije na x-os u b puta ako b> 1, i istezanjem od x-osi u puta ako je 0 < b < 1.
Ako se graf neke jednadžbe zakrene za neki kut blizu ishodišta, tada će novi graf biti graf druge jednadžbe. Važni su pojedini slučajevi rotacije za kutove 90 0 i 45 0.
8) Graf jednadžbe F (x, y) \u003d 0 kao rezultat okretanja oko ishodišta za kut od 90 0 u smjeru kazaljke na satu prelazi u graf jednadžbe F (-y, x) \u003d 0, i suprotno od kazaljke na satu - u graf jednadžbe F (y , -x) = 0.
9) Graf jednadžbe F (x, y) = 0 kao rezultat okretanja oko ishodišta za kut od 45 0 u smjeru kazaljke na satu prelazi u graf jednadžbe F = 0, a suprotno od kazaljke na satu - u graf jednadžbe F 
= 0.
Iz pravila koja smo razmotrili za transformaciju grafova jednadžbi s dvije varijable lako se dobivaju pravila za transformaciju grafova funkcija.
Primjer 1. Pokažimo da je graf jednadžbe x 2 + g 2 + 2x - 8y + 8 = 0 je krug (slika 17).
Transformirajmo jednadžbu na sljedeći način:
1) grupirati pojmove koji sadrže varijablu x i koji sadrži varijablu na, i predstavite svaku grupu članova kao puni kvadrat trinoma: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;
2) zapisujemo dobivene trinome kao kvadrat zbroja (razlike) dvaju izraza: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;
3) analizirajte, prema pravilima za pretvaranje grafova jednadžbi s dvije varijable, jednadžbu (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: graf ove jednadžbe je krug sa središtem u točka (-1; 4) i radijus od 3 jedinice.
Primjer 2. Nacrtajte jednadžbu x 2 + 4g 2 = 9 .
Predstavimo 4y 2 u obliku (2y) 2, dobivamo jednadžbu x 2 + (2y) 2 \u003d 9, čiji se grafikon može dobiti iz kruga x 2 + y 2 \u003d 9 kompresijom na x -osi za 2 puta.
Nacrtajmo krug sa središtem u ishodištu i radijusom od 3 jedinice.
Smanjimo 2 puta udaljenost svake njegove točke od X osi, dobit ćemo graf jednadžbe
x 2 + (2y) 2 = 9.
Lik smo dobili skupljanjem kruga na jedan od njegovih promjera (na promjer koji leži na x-osi). Takav se lik naziva elipsa (slika 18).
Primjer 3. Saznajte što predstavlja graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 8.
Upotrijebimo formulu F= 0.
Zamijenimo u ovu jednadžbu umjesto X i umjesto Y, dobivamo:
U: Što je graf jednadžbe y = ?
D: Graf jednadžbe y = je hiperbola.
Y: Pretvorili smo jednadžbu oblika x 2 - y 2 = 8 u jednadžbu y = .
Koja linija će biti graf ove jednadžbe?
D: Dakle, graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 8 je hiperbola.
Y: Koje su linije asimptote hiperbole y = .
D: Asimptote hiperbole y = su pravci y = 0 i x = 0.
Y: Kada dođe do okretanja, ove linije će ići u linije = 0 i = 0, tj. u linije y \u003d x i y \u003d - x. (sl.19).
Primjer 4: Otkrijmo kakav će oblik poprimiti jednadžba y \u003d x 2 parabole kada se zakrene oko ishodišta za kut od 90 0 u smjeru kazaljke na satu.
Koristeći formulu F (-y; x) \u003d 0, zamijenimo varijablu x s - y u jednadžbi y \u003d x 2, a varijablu y s x. Dobivamo jednadžbu x \u003d (-y) 2, tj. x \u003d y 2 (slika 20).
Ispitali smo primjere grafova jednadžbi drugog stupnja s dvije varijable i otkrili da grafovi takvih jednadžbi mogu biti parabola, hiperbola, elipsa (osobito krug). Osim toga, graf jednadžbe drugog stupnja može biti par pravaca (koji se sijeku ili su paralelni).To je takozvani degenerirani slučaj. Dakle, graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 0 je par linija koje se sijeku (slika 21a), a graf jednadžbe x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 su paralelne linije.
II Konsolidacija.
(Učenicima se dijele „Kartice s uputama“ za izvođenje konstrukcije grafova jednadžbi s dvije varijable u programu Agrapher (prilog 2) i kartice „Praktični zadatak“ (prilog 3) s formulacijom zadataka 1-8 Nastavnik demonstrira grafove jednadžbe za zadatke 4-5 na slajdovima ).
Vježba 1. Koji od parova (5; 4), (1; 0), (-5; -4) i (-1; -) su rješenja jednadžbe:
a) x 2 - y 2 \u003d 0, b) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?
Riješenje:
Zamjena u dana jednadžba, zauzvrat, koordinate tih točaka, osiguravamo da niti jedan zadani par nije rješenje jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 0, a rješenja jednadžbe x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y su parovi (5; 4), (1; 0) i (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1= 0 + 0 (I)
125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)
1 - 1 = - - (I)
Odgovor: A); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).
Zadatak 2. Pronađite takva rješenja jednadžbe xy 2 - x 2 y \u003d 12, u kojima je vrijednost x jednako 3.
Rješenje: 1) Zamijenite vrijednost 3 umjesto X u danoj jednadžbi.
2) Dobivamo kvadratnu jednadžbu u odnosu na varijablu Y koja ima oblik:
3g 2 - 9g = 12.
4) Riješimo ovu jednadžbu:
3y 2 - 9y - 12 = 0
D \u003d 81 + 144 \u003d 225
Odgovor: parovi (3; 4) i (3; -1) su rješenja jednadžbe xy 2 - x 2 y \u003d 12
Zadatak3. Odredite stupanj jednadžbe:
a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;
b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).
Odgovor: a) 3; b) 5; na 4; d) 4.
Zadatak 4. Koja slika je graf jednadžbe:
a) 2x \u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;
d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 \u003d 9.
Zadatak 5. Napišite jednadžbu čiji je graf simetričan grafu jednadžbe x 2 - xy + 3 \u003d 0 (slika 24) u odnosu na: a) os x; b) sjekire na; c) pravac y \u003d x; d) pravac y \u003d -x.
Zadatak6. Napravite jednadžbu čiji se graf dobije rastezanjem grafa jednadžbe y \u003d x 2 -3 (slika 25):
a) od x-osi 2 puta; b) od y-osi 3 puta.
Programom Agrapher provjerite ispravnost zadatka.
Odgovor: a) y - x 2 + 3 = 0 (slika 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (slika 25b).
b) linije su paralelne, pomiču se paralelno s osi x za 1 jedinicu udesno i paralelno s osi y za 3 jedinice prema dolje (slika 26b);
c) pravci se sijeku, simetričan prikaz oko x-osi (slika 26c);
d) pravci se sijeku, simetričan prikaz oko y-osi (slika 26d);
e) linije su paralelne, simetrični prikaz u odnosu na ishodište (slika 26e);
f) linije se sijeku, okreću oko ishodišta za 90 u smjeru kazaljke na satu i prikazuju simetrično oko x-osi (slika 26f).
III. Samostalni rad obrazovnog karaktera.
(učenicima se dijele kartice „Samostalan rad“ i „Izvještaj o rezultatima samostalnog rada“ u koje učenici upisuju svoje odgovore i nakon samoprovjere ocjenjuju rad prema predloženoj shemi) Prilog 4..
I. opcija.
a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).
a) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
b) x 2 -y 2 \u003d 1;
c) x - y 2 \u003d 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.
Odredite koordinate središta kruga i njegov polumjer.
6. Kako treba pomaknuti hiperbolu y \u003d na koordinatnoj ravnini da njezina jednadžba poprimi oblik x 2 - y 2 \u003d 16?
Provjerite svoj odgovor grafičkim iscrtavanjem koristeći Agrapher.
7. Kako pomaknuti parabolu y \u003d x 2 na koordinatnoj ravnini tako da njezina jednadžba poprimi oblik x \u003d y 2 - 1
II opcija.
1. Odredite stupanj jednadžbe:
a) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.
2. Je li par brojeva (-2; 3) rješenje jednadžbe:
a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.
3. Pronađite skup rješenja jednadžbe:
x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.
4. Koja je krivulja (hiperbola, kružnica, parabola) skup točaka ako jednadžba te krivulje ima oblik:
a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9
b) y 2 - x 2 \u003d 1
c) x \u003d y 2 - 1.
(provjeriti uz pomoć programa Agrapher ispravnost zadatka)
5. Pomoću programa Agrapher iscrtajte graf jednadžbe:
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Kako treba pomaknuti hiperbolu y \u003d na koordinatnoj ravnini da njezina jednadžba poprimi oblik x 2 - y 2 \u003d 28?
7. Kako pomaknuti parabolu y \u003d x 2 na koordinatnoj ravnini tako da njezina jednadžba poprimi oblik x \u003d y 2 + 9.
Pravokutni koordinatni sustav je par okomitih koordinatnih linija, zvanih koordinatne osi, koje su postavljene tako da se sijeku u svom ishodištu.
Označavanje koordinatnih osi slovima x i y općenito je prihvaćeno, ali slova mogu biti bilo koja. Ako se koriste slova x i y, tada se ravnina naziva xy-ravnina. Različite aplikacije mogu koristiti slova koja nisu x i y, a kao što je prikazano na slikama u nastavku, postoje uv avioni I ts-ravnina.
Naručeni par
Pod naručeni par realni brojevi mislimo na dva realna broja u određenom redoslijedu. Svaka točka P u koordinatnoj ravnini može se pridružiti jedinstvenom uređenom paru realnih brojeva povlačenjem dviju linija kroz točku P, jedna okomita na x-os, a druga okomita na y-os.
Na primjer, ako uzmemo (a,b)=(4,3), tada na koordinatnoj traci
Izgraditi točku P(a,b) znači definirati točku s koordinatama (a,b) na koordinatnoj ravnini. Na primjer, različite točke su ucrtane na slici ispod.
U pravokutnom koordinatnom sustavu koordinatne osi dijele ravninu na četiri područja koja se nazivaju kvadranti. Označeni su rimskim brojevima u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, kao što je prikazano na slici.
Definicija grafa
raspored jednadžba s dvije varijable x i y, je skup točaka na xy-ravnini čije su koordinate članovi skupa rješenja ove jednadžbe
Primjer: nacrtajte graf y = x 2
Budući da je 1/x nedefiniran kada je x=0, možemo iscrtati samo točke za koje je x ≠ 0
Primjer: Pronađite sva sjecišta s osima
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Neka je y = 0, tada je 3x = 6 ili x = 2
je tražena točka sjecišta x-osi.
Utvrdivši da je x=0, nalazimo da je sjecište y-osi točka y=3.
Na ovaj način možete riješiti jednadžbu (b), a rješenja za (c) su navedena u nastavku
x-prijelaz
Neka je y = 0
1/x = 0 => x se ne može odrediti, tj. nema sjecišta s y-osi
Neka je x = 0
y = 1/0 => y također nije definiran, => nema sjecišta s y-osi
Na donjoj slici točke (x,y), (-x,y),(x,-y) i (-x,-y) predstavljaju kutove pravokutnika.
Graf je simetričan u odnosu na x-osu ako je za svaku točku (x,y) grafa, točka (x,-y) ujedno i točka na grafu.
Graf je simetričan u odnosu na y-osu ako za svaku točku grafa (x,y) točka (-x,y) također pripada grafu.
Graf je simetričan u odnosu na središte koordinata ako za svaku točku (x,y) grafa, točka (-x,-y) također pripada ovom grafu.
Definicija:
Raspored funkcije na koordinatnoj ravnini definiran je kao graf jednadžbe y = f(x)
Nacrtajte f(x) = x + 2
Primjer 2. Nacrtajte f(x) = |x|
Graf se poklapa s linijom y = x za x > 0 i s linijom y = -x
za x< 0 .
graf od f(x) = -x
Kombinirajući ova dva grafikona, dobivamo
graf f(x) = |x|
Primjer 3 Plot
t(x) \u003d (x 2 - 4) / (x - 2) \u003d
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Stoga se ova funkcija može napisati kao
y = x + 2 x ≠ 2
Graf h(x)= x 2 - 4 Ili x - 2
nacrtajte y = x + 2 x ≠ 2
Primjer 4 Plot
Grafovi funkcija s pomakom
Pretpostavimo da je poznat graf funkcije f(x).
Tada možemo pronaći grafikone
y = f(x) + c - graf funkcije f(x), pomaknut
GORE za c vrijednosti
y = f(x) - c - graf funkcije f(x), pomaknut
DOLJE za c vrijednosti
y = f(x + c) - graf funkcije f(x), pomaknut
LIJEVO za c vrijednosti
y = f(x - c) - graf funkcije f(x), pomaknut
Desno po c vrijednostima
Primjer 5. Graditi
graf y = f(x) = |x - 3| + 2
Pomaknite graf y = |x| 3 vrijednosti DESNO da biste dobili grafikon
Pomaknite graf y = |x - 3| GORE 2 vrijednosti za iscrtavanje y = |x - 3| + 2
Zemljište
y = x 2 - 4x + 5
Transformiramo danu jednadžbu na sljedeći način, dodajući 4 na oba dijela:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Ovdje vidimo da se ovaj graf može dobiti pomicanjem grafa y = x 2 udesno za 2 vrijednosti jer je x 2 i gore za 1 vrijednost jer +1.
y = x 2 - 4x + 5
Refleksije
(-x, y) je odraz (x, y) oko y-osi
(x, -y) je odraz (x, y) oko x-osi
Grafički prikazi y = f(x) i y = f(-x) su refleksije jedan drugoga oko y-osi
Grafički prikazi y = f(x) i y = -f(x) su refleksije jedan drugoga oko x-osi
Graf se može dobiti refleksijom i translacijom:
nacrtati graf
Nađimo njegovu refleksiju u odnosu na y-osu i dobijemo grafikon
Pomakni ovaj grafikon pravo za 2 vrijednosti i dobiti grafikon
Ovdje je željeni grafikon
Ako se f(x) pomnoži s pozitivnom konstantom c, tada
graf f(x) se okomito skuplja ako je 0< c < 1
graf f(x) se rasteže okomito ako je c > 1
Krivulja nije graf y = f(x) ni za jednu funkciju f
Neka dano jednadžba s dvije varijable F(x; y). Već ste naučili analitički rješavati takve jednadžbe. Skup rješenja takvih jednadžbi može se prikazati i u obliku grafikona.
Graf jednadžbe F(x; y) je skup točaka koordinatne ravnine xOy čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu.
Da biste nacrtali jednadžbu s dvije varijable, prvo izrazite varijablu y u smislu varijable x u jednadžbi.
Sigurno već znate kako izgraditi razne grafove jednadžbi s dvije varijable: ax + b \u003d c je ravna linija, yx \u003d k je hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 je kružnica čiji je polumjer R, a središte je u točki O(a; b).
Primjer 1
Nacrtajte jednadžbu x 2 - 9y 2 = 0.
Riješenje.
Faktorizirajmo lijevu stranu jednadžbe.
(x - 3y)(x+ 3y) = 0, tj. y = x/3 ili y = -x/3.
Odgovor: slika 1.
Posebno mjesto zauzima zadavanje likova na ravnini jednadžbama koje sadrže znak apsolutna vrijednost, o čemu ćemo detaljno razgovarati. Razmotrimo faze crtanja jednadžbi oblika |y| = f(x) i |y| = |f(x)|.
Prva jednadžba je ekvivalentna sustavu
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ili y = -f(x).
Odnosno, njegov se graf sastoji od grafova dviju funkcija: y = f(x) i y = -f(x), gdje je f(x) ≥ 0.
Za iscrtavanje grafa druge jednadžbe iscrtavaju se grafovi dviju funkcija: y = f(x) i y = -f(x).
Primjer 2
Nacrtajte jednadžbu |y| = 2 + x.
Riješenje.
Zadana jednadžba je ekvivalentna sustavu
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ili y = -x - 2.
Gradimo skup točaka.
Odgovor: slika 2.
Primjer 3
Nacrtajte jednadžbu |y – x| = 1.
Riješenje.
Ako je y ≥ x, tada je y = x + 1, ako je y ≤ x, tada je y = x - 1.
Odgovor: slika 3.
Prilikom konstruiranja grafova jednadžbi koje sadrže varijablu pod znakom modula, prikladno je i racionalno koristiti metoda područja, koji se temelji na cijepanju koordinatne ravnine na dijelove u kojima svaki izraz submodula zadržava svoj predznak.
Primjer 4
Nacrtajte jednadžbu x + |x| + y + |y| = 2.
Riješenje.
U ovom primjeru, predznak svakog izraza submodula ovisi o koordinatnom kvadrantu.
1) U prvoj koordinatnoj četvrtini x ≥ 0 i y ≥ 0. Nakon proširenja modula zadana jednadžba će izgledati ovako:
2x + 2y = 2, a nakon pojednostavljenja x + y = 1.
2) U drugoj četvrtini, gdje je x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) U trećoj četvrtini x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) U četvrtoj četvrtini, za x ≥ 0 i y< 0 получим, что x = 1.
Nacrtat ćemo ovu jednadžbu u četvrtinama.
Odgovor: slika 4.
Primjer 5
Nacrtaj skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednakost |x – 1| + |y – 1| = 1.
Riješenje.
Nule izraza submodula x = 1 i y = 1 dijele koordinatnu ravninu na četiri područja. Razdvojimo module po regijama. Stavimo ovo u obliku tablice.
| Regija |
Znak izraza podmodula |
Rezultirajuća jednadžba nakon proširenja modula |
| ja | x ≥ 1 i y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x+y=1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 i y< 1 | x – y = 1 |
Odgovor: slika 5.
Na koordinatnoj ravnini mogu se odrediti likovi i nejednakosti.
Grafikon nejednakosti s dvije varijable je skup svih točaka koordinatne ravnine čije su koordinate rješenja ove nejednadžbe.
Smatrati algoritam za konstruiranje modela za rješavanje nejednadžbe s dvije varijable:
- Napiši jednadžbu koja odgovara nejednadžbi.
- Nacrtajte jednadžbu iz 1. koraka.
- Odaberite proizvoljnu točku u jednoj od poluravnina. Provjerite zadovoljavaju li koordinate odabrane točke zadanu nejednadžbu.
- Nacrtaj grafički skup svih rješenja nejednadžbe.
Razmotrimo prije svega nejednadžbu ax + bx + c > 0. Jednadžba ax + bx + c = 0 definira ravnu liniju koja ravninu dijeli na dvije poluravnine. U svakoj od njih funkcija f(x) = ax + bx + c čuva predznak. Za određivanje tog predznaka dovoljno je uzeti bilo koju točku koja pripada poluravnini i izračunati vrijednost funkcije u toj točki. Ako se predznak funkcije podudara s predznakom nejednadžbe, tada će ta poluravnina biti rješenje nejednadžbe.
Razmotrite primjere grafičkih rješenja najčešćih nejednadžbi s dvije varijable.
1) ax + bx + c ≥ 0. Slika 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Slika 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Slika 8.
4) y ≥ x2. Slika 9
5)
xy ≤ 1. Slika 10. 
Ako imate pitanja ili želite vježbati crtanje na ravnini modela skupova svih rješenja nejednadžbi u dvije varijable koristeći matematičko modeliranje, možete potrošiti besplatnih 25 minuta sa online učitelj nakon što se registrirate. Za daljnji rad s učiteljem imat ćete mogućnost odabrati tarifni plan koji Vama odgovara.
Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako nacrtati lik na koordinatnoj ravnini?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.
