Zadaci vezani uz inverzne trigonometrijske funkcije često se nude na završnim ispitima u školi i na prijamnim ispitima na nekim sveučilištima. Detaljno proučavanje ove teme moguće je ostvariti samo u okviru izborne nastave ili izbornih kolegija. Predloženi tečaj osmišljen je tako da što potpunije razvije sposobnosti svakog učenika i poboljša njegovu matematičku pripremu.
Tečaj traje 10 sati:
1. Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 sata).
2.Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama (4 sata).
3. Inverzne trigonometrijske operacije na trigonometrijskim funkcijama (2 sata).
Lekcija 1 (2 sata) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.
Cilj: cjelovito pokrivanje ove problematike.
1. Funkcija y = arcsin x.
a) Za funkciju y = sin x na segmentu postoji inverzna (jednoznačna) funkcija koju smo se dogovorili nazvati arcsinus i označiti je na sljedeći način: y = arcsin x. Graf inverzne funkcije je simetričan grafu glavne funkcije u odnosu na simetralu I - III koordinatnih kutova.
Svojstva funkcije y = arcsin x.
1) Domena definicije: segment [-1; 1];
2) Područje promjene: segment;
3) Funkcija y = arcsin x neparan: arcsin (-x) = - arcsin x;
4) Funkcija y = arcsin x je monotono rastuća;
5) Graf siječe osi Ox, Oy u ishodištu.
Primjer 1. Nađi a = arcsin. Ovaj se primjer može detaljno formulirati na sljedeći način: pronađite argument a, koji leži u rasponu od do, čiji je sinus jednak.
Riješenje. Postoji bezbroj argumenata čiji je sinus jednak , na primjer: itd. Ali nas zanima samo argument koji je na segmentu. Ovo bi bio argument. Dakle, .
Primjer 2. Pronađite .Riješenje. Raspravljajući na isti način kao u primjeru 1, dobivamo
.
b) usmene vježbe. Pronađite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primjer odgovora: , jer
. Imaju li smisla izrazi: ; arcsin 1,5;
?
c) Poredajte uzlaznim redoslijedom: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (slično).
Lekcija 2 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi.
Svrha: u ovoj lekciji potrebno je razviti vještine određivanja vrijednosti trigonometrijskih funkcija, konstruirati grafove inverznih trigonometrijskih funkcija pomoću D (y), E (y) i potrebne transformacije.
U ovoj lekciji dovršite vježbe koje uključuju pronalaženje domene definicije, domene vrijednosti funkcija tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.
Treba konstruirati grafove funkcija: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;
d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .
Primjer. Nacrtajmo y = arccos
U svoju domaću zadaću možete uključiti sljedeće vježbe: izgraditi grafove funkcija: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Grafovi inverznih funkcija
Lekcija br. 3 (2 sata) Tema:
Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama.Cilj: proširiti matematičko znanje (ovo je važno za one koji upisuju specijalnosti s povećanim zahtjevima za matematičko obrazovanje) uvođenjem osnovnih odnosa za inverzne trigonometrijske funkcije.
Materijal za lekciju.
Neke jednostavne trigonometrijske operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Vježbe.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Neka je arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;
cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .
Napomena: uzimamo znak “+” ispred korijena jer a = arcsin x zadovoljava .
c) sin (1,5 + arcsin) Odgovor: ;
d) ctg ( + arctg 3) Odgovor: ;
e) tg ( – arcctg 4).
e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .
Izračunati:
a) grijeh (2 arctan 5) .
Neka je arctan 5 = a, tada je sin 2 a = ili grijeh (2 arctan 5) =
;
b) cos ( + 2 arcsin 0,8).
c) arctg + arctg.
Neka je a = arctan, b = arctan,
tada je tg(a + b) = .
d) sin(arcsin + arcsin).
e) Dokažite da je za sve x I [-1; 1] pravi arcsin x + arccos x = .
Dokaz:
arcsin x = – arccos x
sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
Da biste to sami riješili: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Za kućno rješenje: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.
Lekcija br. 4 (2 sata) Tema: Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.
Cilj: U ovoj lekciji pokazati korištenje omjera u transformaciji složenijih izraza.
Materijal za lekciju.
ORALNO:
a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (luk 5), ctg (luk 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcstg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
PISANO:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arctg 0,8) =
3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =
4)
Samostalni rad pomoći će u utvrđivanju razine ovladanosti gradivom.
1) tg (luk 2 – luk g) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1.5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arcctg 2 |
Za domaću zadaću možete predložiti:
1) ctg (luk + luk + luk + luk); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))
Lekcija br. 5 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske operacije na trigonometrijskim funkcijama.
Cilj: formirati razumijevanje učenika o inverznim trigonometrijskim operacijama na trigonometrijskim funkcijama, s fokusom na povećanje razumijevanja teorije koja se proučava.
Pri proučavanju ove teme pretpostavlja se da je opseg teorijskog materijala koji treba zapamtiti ograničen.
Materijal za lekciju:
Možete početi učiti novi materijal proučavanjem funkcije y = arcsin (sin x) i iscrtavanjem njezina grafikona.
3. Svaki x I R je pridružen y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funkcija je neparna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Graf y = arcsin (sin x) na:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .
Tako,
Nakon što smo konstruirali y = arcsin (sin x) na , nastavljamo simetrično oko ishodišta na [- ; 0], s obzirom na neparnost ove funkcije. Koristeći periodičnost, nastavljamo duž cijelog brojevnog pravca.
Zatim zapišite neke odnose: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a ako je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ako< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
I napravite sljedeće vježbe:a) arccos(sin 2).Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Odgovor: - 0,1; c) arctg (tg 2) Odgovor: 2 - ;
d) arcctg(tg 0,6).Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Odgovor: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos
DO inverzne trigonometrijske funkcije Sljedećih 6 funkcija uključuje: arcsinus , arkosinus , arktangens , arkotangens , arcsekant I arkokosekant .
Budući da su izvorne trigonometrijske funkcije periodične, onda su inverzne funkcije, općenito govoreći, periodične polisemantičan . Kako bi se osigurala korespondencija jedan-na-jedan između dviju varijabli, domene definicije izvornih trigonometrijskih funkcija ograničene su uzimajući u obzir samo njih glavne grane . Na primjer, funkcija \(y = \sin x\) razmatra se samo u intervalu \(x \in \lijevo[ ( - \pi /2,\pi /2) \desno]\). Na tom je intervalu funkcija inverznog arkusina jednoznačno definirana.
Arkusinus funkcija
Arkus sinus broja \(a\) (označen s \(\arcsin a\)) je vrijednost kuta \(x\) u intervalu \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \desno]\), za koje je \(\sin x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arcsin x\) definirana je na \(x \in \left[ ( -1,1) \desno]\), njezin raspon vrijednosti je \(y \in \left[ ( - \pi / 2,\pi /2) \desno]\).
Arkus kosinusna funkcija
Arkosinus broja \(a\) (označen s \(\arccos a\)) vrijednost je kuta \(x\) u intervalu \(\lijevo[ (0,\pi) \desno]\ ), pri čemu \(\cos x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arccos x\) definirana je na \(x \in \lijevo[ ( -1,1) \desno]\), njezin raspon vrijednosti pripada segmentu \(y \in \lijevo[ (0,\pi)\desno]\).
Arktangens funkcija
Arktangens broja a(označeno s \(\arctan a\)) vrijednost je kuta \(x\) u otvorenom intervalu \(\lijevo((-\pi/2, \pi/2) \desno)\), na koji \(\tan x = a\). Inverzna funkcija \(y = \arctan x\) definirana je za sve \(x \in \mathbb(R)\), raspon arktangensa jednak je \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\desno)\).
Arkus tangens funkcija
Arcotangens broja \(a\) (označen s \(\text(arccot ) a\)) je vrijednost kuta \(x\) u otvorenom intervalu \(\left[ (0,\ pi) \desno]\), pri čemu \(\cot x = a\). Inverzna funkcija \(y = \text(arccot ) x\) je definirana za sve \(x \in \mathbb(R)\), njen raspon vrijednosti je u intervalu \(y \in \ lijevo[ (0,\pi) \desno]\).
Funkcija arsekansa
Arkuseksant broja \(a\) (označen s \(\text(arcsec ) a\)) je vrijednost kuta \(x\) pod kojim \(\sec x = a\). Inverzna funkcija \(y = \text(arcsec ) x\) definirana je na \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), njegov raspon vrijednosti pripada skupu \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).
Funkcija arkosekansa
Arkusosekant broja \(a\) (označen kao \(\text(arccsc ) a\) ili \(\text(arccosec ) a\)) vrijednost je kuta \(x\) pod kojim \(\ csc x = a\ ). Inverzna funkcija \(y = \text(arccsc ) x\) definirana je na \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), raspon njegovih vrijednosti pripada skupu \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).
Glavne vrijednosti funkcija arksinusa i arkkosinusa (u stupnjevima)
\(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\krug\) | \(45^\krug\) | \(60^\krug\) | \(90^\krug\) |
\(\arccos x\) | \(180^\krug\) | \(150^\krug\) | \(135^\krug\) | \(120^\krug\) | \(90^\krug\) | \(60^\krug\) | \(45^\krug\) | \(30^\krug\) | \(0^\circ\) |
Glavne vrijednosti funkcija arktangensa i arkotangensa (u stupnjevima)
\(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\arctan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\krug\) | \(45^\krug\) | \(60^\krug\) |
\(\text(arccot ) x\) | \(150^\krug\) | \(135^\krug\) | \(120^\krug\) | \(90^\krug\) | \(60^\krug\) | \(45^\krug\) | \(30^\krug\) |
Budući da su trigonometrijske funkcije periodične, njihove inverzne funkcije nisu jedinstvene. Dakle, jednadžba y = grijeh x, za zadano , ima beskonačno mnogo korijena. Doista, zbog periodičnosti sinusa, ako je x takav korijen, onda je i takav x + 2πn(gdje je n cijeli broj) također će biti korijen jednadžbe. Tako, inverzne trigonometrijske funkcije su višeznačne. Radi lakšeg rada s njima, uvodi se pojam njihovih glavnih značenja. Razmotrimo, na primjer, sinus: y = grijeh x. Ograničimo li argument x na interval , tada je funkcija y = grijeh x monotono raste. Stoga ima jedinstvenu inverznu funkciju, koja se naziva arcsinus: x = arcsin y.
Ako nije drugačije navedeno, pod inverznim trigonometrijskim funkcijama podrazumijevamo njihove glavne vrijednosti, koje su određene sljedećim definicijama.
arkusinus ( y= arcsin x) je inverzna funkcija sinusa ( x = siny
Arkus kosinus ( y= arccos x) je inverzna funkcija kosinusa ( x = jer y), ima domenu definicije i skup vrijednosti.
Arktangens ( y= arctan x) je inverzna funkcija tangensa ( x = tg y), ima domenu definicije i skup vrijednosti.
Arkotangens ( y= arcctg x) je inverzna funkcija kotangensa ( x = ctg y), ima domenu definicije i skup vrijednosti.
Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija
Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija dobivaju se iz grafova trigonometrijskih funkcija zrcalnom refleksijom u odnosu na pravac y = x. Pogledajte odjeljke Sinus, kosinus, Tangens, kotangens.
y= arcsin x
y= arccos x
y= arctan x
y= arcctg x
Osnovne formule
Ovdje posebnu pozornost treba obratiti na intervale za koje formule vrijede.
arcsin(sin x) = x na
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x na
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x na
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x na
ctg(arcctg x) = x
Formule koje povezuju inverzne trigonometrijske funkcije
Vidi također: Derivacija formula za inverzne trigonometrijske funkcijeFormule zbroja i razlike
kod ili
kod i
kod i
kod ili
kod i
kod i
na
na
na
na
na
na
na
na
na
na
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
Definicija i zapis
Arkusinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 a skup vrijednosti -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arksinus se ponekad označava na sljedeći način:
.
Graf funkcije arkusina
Graf funkcije y = arcsin x
Arkusinusni graf se dobiva iz sinusnog grafa ako se apscisna i ordinatna os zamijene. Kako bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti ograničen je na interval u kojem je funkcija monotona. Ova se definicija naziva glavnom vrijednošću arkusina.
Arkosinus, arkos
Definicija i zapis
Arkus kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa (x = jer y). Ima opseg -1 ≤ x ≤ 1 i mnogo značenja 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arkosinus se ponekad označava na sljedeći način:
.
Graf ark kosinusne funkcije
Graf funkcije y = arccos x
Arkus kosinusni graf dobiva se iz kosinusnog grafa ako se apscisna i ordinatna os zamijene. Kako bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti ograničen je na interval u kojem je funkcija monotona. Ova se definicija naziva glavnom vrijednošću ark kosinusa.
Paritet
Funkcija arkusina je neparna:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Arkus kosinus funkcija nije paran ili neparan:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Svojstva - ekstremi, porast, pad
Funkcije arksinus i arkosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arksinusa i arkkosinusa prikazana su u tablici.
y= arcsin x | y= arccos x | |
Opseg i kontinuitet | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
Raspon vrijednosti | ||
Uzlazno, silazno | monotono raste | monotono opada |
Visoki | ||
minimalci | ||
Nule, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Tablica arksinusa i arkkosinusa
Ova tablica predstavlja vrijednosti arksinusa i arkkosinusa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.
x | arcsin x | arccos x | ||
tuča | radostan. | tuča | radostan. | |
- 1 | - 90° | - | 180° | π |
- | - 60° | - | 150° | |
- | - 45° | - | 135° | |
- | - 30° | - | 120° | |
0 | 0° | 0 | 90° | |
30° | 60° | |||
45° | 45° | |||
60° | 30° | |||
1 | 90° | 0° | 0 |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vidi također: Derivacija formula za inverzne trigonometrijske funkcijeFormule zbroja i razlike
kod ili
kod i
kod i
kod ili
kod i
kod i
na
na
na
na
Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi
Vidi također: Izvođenje formulaIzrazi preko hiperboličkih funkcija
Derivati
;
.
Vidi Derivacija arksinusa i arkkosinusa > > >
Izvodnice višeg reda:
,
gdje je polinom stupnja . Određuje se formulama:
;
;
.
Vidi Derivacija višeg reda izvoda arksinusa i arkkosinusa > > >
Integrali
Vršimo zamjenu x = grijeh t. Integriramo po dijelovima, vodeći računa da je -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Izrazimo ark kosinus kroz ark sinus:
.
Proširenje serije
Kada |x|< 1
odvija se sljedeća dekompozicija:
;
.
Inverzne funkcije
Inverzi arkusina i arkosinusa su sinus i kosinus.
Sljedeće formule vrijede u cijeloj domeni definicije:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Sljedeće formule vrijede samo za skup vrijednosti arksinusa i arkkosinusa:
arcsin(sin x) = x na
arccos(cos x) = x u .
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
Lekcije 32-33. Inverzne trigonometrijske funkcije
09.07.2015 8495 0Cilj: razmatrati inverzne trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu za pisanje rješenja trigonometrijskih jednadžbi.
I. Priopćavanje teme i svrhe lekcija
II. Učenje novog gradiva
1. Inverzne trigonometrijske funkcije
Započnimo našu raspravu o ovoj temi sa sljedećim primjerom.
Primjer 1
Riješimo jednadžbu: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) Na os ordinata nanesemo vrijednost 1/2 i konstruiramo kutove x 1 i x2, za koje grijeh x = 1/2. U ovom slučaju x1 + x2 = π, odakle je x2 = π – x 1 . Koristeći tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija, nalazimo vrijednost x1 = π/6, zatimUzmimo u obzir periodičnost funkcije sinusa i zapišimo rješenja ove jednadžbe:
gdje je k ∈ Z.
b) Očigledno, algoritam za rješavanje jednadžbe grijeh x = a je isti kao u prethodnom paragrafu. Naravno, sada je vrijednost a iscrtana duž ordinatne osi. Postoji potreba da se nekako označi kut x1. Dogovorili smo se da taj kut označimo simbolom arcsin A. Tada se rješenja te jednadžbe mogu napisati u oblikuOve dvije formule mogu se kombinirati u jednu: pri čemu
Preostale inverzne trigonometrijske funkcije uvode se na sličan način.
Vrlo često je potrebno odrediti veličinu kuta iz poznate vrijednosti njegove trigonometrijske funkcije. Takav problem je višeznačan - postoji bezbroj kutova čije su trigonometrijske funkcije jednake istoj vrijednosti. Stoga, na temelju monotonosti trigonometrijskih funkcija, uvode se sljedeće inverzne trigonometrijske funkcije za jedinstveno određivanje kutova.
Arksinus broja a (arcsin , čiji je sinus jednak a, tj.
Arkus kosinus broja a(arccos a) je kut a iz intervala čiji je kosinus jednak a, tj.
Arktangens broja a(arctg a) - takav kut a iz intervalačiji je tangens jednak a, tj.tg a = a.
Arkotangens broja a(arcctg a) je kut a iz intervala (0; π), čiji je kotangens jednak a, tj. ctg a = a.
Primjer 2
Pronađimo:
Uzimajući u obzir definicije inverznih trigonometrijskih funkcija, dobivamo:
Primjer 3
Izračunajmo
Neka je kut a = arcsin 3/5, onda po definiciji sin a = 3/5 i . Stoga, moramo pronaći cos A. Koristeći osnovni trigonometrijski identitet, dobivamo:Uzima se u obzir da je cos a ≥ 0. Dakle,
Svojstva funkcija | Funkcija |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arctan x | y = arcctg x |
|
Domena | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Raspon vrijednosti | y ∈ [-π/2; π /2] | y ∈ | y ∈ (-π/2; π/2) | y ∈ (0;π) |
Paritet | Neparan | Ni par ni nepar | Neparan | Ni par ni nepar |
Funkcijske nule (y = 0) | Na x = 0 | Na x = 1 | Na x = 0 | y ≠ 0 |
Intervali predznaka | y > 0 za x ∈ (0; 1], na< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 za x ∈ [-1; 1) | y > 0 za x ∈ (0; +∞), na< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 za x ∈ (-∞; +∞) |
Monotonija | Povećavajući se | Silazni | Povećavajući se | Silazni |
Veza s trigonometrijskom funkcijom | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Raspored |
Navedimo još nekoliko tipičnih primjera vezanih uz definicije i osnovna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.
Primjer 4
Nađimo domenu definicije funkcije
Da bi funkcija y bila definirana potrebno je zadovoljiti nejednakostšto je ekvivalentno sustavu nejednakosti
Rješenje prve nejednadžbe je interval x∈
(-∞; +∞), drugi - Ovaj interval i rješenje je sustava nejednadžbi, a time i domena definiranja funkcije
Primjer 5
Nađimo područje promjene funkcije
Razmotrimo ponašanje funkcije z = 2x - x2 (vidi sliku).
Jasno je da je z ∈ (-∞; 1]. S obzirom na to da argument z funkcija arc kotangensa varira unutar navedenih granica, to dobivamo iz podataka u tabliciDakle, područje promjene
Primjer 6
Dokažimo da je funkcija y = arctg x neparan. NekaTada je tg a = -x ili x = - tg a = tg (- a), i
Prema tome, - a = arctg x ili a = - arctg X. Dakle, vidimo datj. y(x) je neparna funkcija.
Primjer 7
Izrazimo kroz sve inverzne trigonometrijske funkcije
Neka Očito je da
Tada od
Predstavimo kut Jer
Da
Slično dakle I
Tako,
Primjer 8
Izgradimo graf funkcije y = cos(arcsin x).
Označimo tada a = arcsin x Uzmimo u obzir da je x = sin a i y = cos a, tj. x 2 + y2 = 1, i ograničenja na x (x∈
[-1; 1]) i y (y ≥ 0). Tada je graf funkcije y = cos(arcsin x) je polukrug.
Primjer 9
Izgradimo graf funkcije y = arccos (cos x ).
Budući da funkcija cos x promjene na intervalu [-1; 1], tada je funkcija y definirana na cijeloj numeričkoj osi i varira na segmentu . Imajmo na umu da je y = arccos(cosx) = x na segmentu; funkcija y je parna i periodična s periodom 2π. S obzirom da funkcija ima ova svojstva cos x Sada je lako izraditi grafikon.
Zabilježimo neke korisne jednakosti:
Primjer 10
Nađimo najmanju i najveću vrijednost funkcije Označimo Zatim
Idemo dobiti funkciju
Ova funkcija ima minimum u točki z = π/4, a jednak je
Najveća vrijednost funkcije postiže se u točki z = -π/2, i jednak je
Dakle, i
Primjer 11
Riješimo jednadžbu
Uzmimo to u obzir Tada jednadžba izgleda ovako:
ili
gdje Po definiciji arktangensa dobivamo:
2. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
Slično primjeru 1, možete dobiti rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.
Jednadžba | Riješenje |
tgx = a | |
ctg x = a |
Primjer 12
Riješimo jednadžbu
Budući da je funkcija sinus neparna, jednadžbu zapisujemo u oblikuRješenja ove jednadžbe:
odakle to nalazimo?
Primjer 13
Riješimo jednadžbu
Koristeći zadanu formulu, zapisujemo rješenja jednadžbe:i naći ćemo
Imajte na umu da u posebnim slučajevima (a = 0; ±1) pri rješavanju jednadžbi sin x = a i cos x = i lakše je i praktičnije koristiti ne općenite formule, već zapisivati rješenja temeljena na jediničnom krugu:
za jednadžbu sin x = 1 rješenje
za jednadžbu sin x = 0 rješenja x = π k;
za jednadžbu sin x = -1 rješenje
za cos jednadžbu x = 1 rješenje x = 2π k ;
za jednadžbu cos x = 0 rješenja
za jednadžbu cos x = -1 rješenje
Primjer 14
Riješimo jednadžbu
Budući da se u ovom primjeru radi o posebnom slučaju jednadžbe, rješenje ćemo napisati odgovarajućom formulom:odakle ćemo ga naći?
III. Kontrolna pitanja (frontalna anketa)
1. Definirati i navesti glavna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.
2. Navedite grafove inverznih trigonometrijskih funkcija.
3. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
IV. Zadatak lekcije
§ 15, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, br. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Domaća zadaća
§ 15, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, br. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).
VI. Kreativni zadaci
1. Pronađite domenu funkcije:
odgovori:
2. Pronađite raspon funkcije:
odgovori:
3. Grafički nacrtajte funkciju:
VII. Sažimanje lekcija