Slajd 1
Slajd 2
Povijesni podaci Integralni račun nastao je iz potrebe da se stvori opća metoda za pronalaženje površina, volumena i težišta. Ovu je metodu u embrionalnom obliku koristio Arhimed. Sustavno se razvijao u 17. stoljeću u djelima Cavalierija, Torricellija, Fermamea i Pascala. Godine 1659. I. Barrow je uspostavio vezu između problema nalaženja površine i problema nalaženja tangente. Newton i Leib-Nitz 70-ih godina 17. stoljeća tu su vezu odvratili od spomenutih posebnih geometrijskih problema. Tako je uspostavljena veza između integralnog i diferencijalnog računa. Ovu vezu iskoristili su Newton, Leibniz i njihovi učenici za razvoj tehnike integracije. Integracijske metode uglavnom su dosegle svoje današnje stanje u djelima L. Eulera. Radovi M. V. Ostrogradsky-Go i P. L. Chebysheva dovršili su razvoj ovih metoda.
Slajd 3
Pojam integrala. Neka je pravac MN dan jednadžbom I trebamo pronaći površinu F krivocrtnog trapeza aABb. Podijelimo segment ab na n dijelova (jednakih ili nejednakih) i konstruirajmo stepenastu figuru, prikazanu šrafiranom na crtežu 1. Njegova površina, njegova površina je jednaka (1) Ako uvedemo oznaku, tada će formula (1) poprimaju oblik (3) Tražena površina je granica zbroja ( 3) za beskonačno veliki n. Leibniz je uveo oznaku za ovu granicu (4) U kojoj je (kurziv s) početno slovo riječi summa (zbroj), E izraz označava tipični oblik pojedinačnih članova. Leibniz je izraz počeo nazivati integralom – od latinske riječi integralis – integralan. J. B. Fourier poboljšao je Leibnizovu notaciju, dajući joj oblik Ovdje su početne i konačne vrijednosti x eksplicitno naznačene.
Slajd 4
Povezanost integracije i diferencijacije. Smatrat ćemo da je a konstanta, a b varijabla. Tada će integral biti funkcija b. Diferencijal ove funkcije jednak je
Slajd 5
Antiderivativna funkcija. Neka je funkcija derivacija funkcije, T.S. Postoji diferencijal funkcije: tada se funkcija naziva antiderivacija funkcije
Slajd 6
Primjer pronalaženja antiderivata. Funkcija je antiderivacija iz T.S. Postoji diferencijal funkcije. Funkcija je antiderivacija funkcije.
Slajd 7
Neodređeni integral. Neodređeni integral zadanog izraza naziva se most opći oblik svoju primitivnu funkciju. Neodređeni integral izraza označava se Izraz se naziva integrand izraz, Funkcija se naziva integrand funkcija, a varijabla x naziva se varijabla integracije. Pronalaženje neodređenog integrala zadane funkcije naziva se integracija.
GBOU SPO "Navashinsky Marine Mechanical College" Neodređeni integral. Metode proračuna
Eudoks iz Knida c. 408 - cca. 355. pr. Kr e. Integralni račun pojavio se u davnom razdoblju razvoja matematičke znanosti i započeo je metodom iscrpljivanja koju su razvili matematičari Drevna grčka, a bio je skup pravila koje je razvio Eudoks iz Knida. Pomoću ovih pravila izračunate su površine i volumeni
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646.-1716.) Simbol ∫ uveo je Leibniz (1675.). Ovaj znak je modifikacija latiničnog slova S (prvo slovo riječi summa).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.) Isaac Newton (1643. - 1727.) Newton i Leibniz neovisno su otkrili činjenicu poznatu kao Newton-Leibnizova formula.
Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. 1897.) Radovi Cauchyja i Weierstrassa sažimaju stoljećima dug razvoj integralnog računa.
Ruski matematičari sudjelovali su u razvoju integralnog računa: M.V. Ostrogradski (1801. – 1862.) V.Ya. Bunyakovsky (1804. – 1889.) P.L. Čebišev (1821. – 1894.)
INTEGRAL ODŠTETE Neodređeni integral kontinuirane funkcije f(x) na intervalu (a; b) je bilo koja njena antiderivativna funkcija. Gdje je C proizvoljna konstanta (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +S 5. F(x) = s tan x +S 6. F(x) = - cos x +S 5. f (x) = cosx Postavite korespondenciju. Pronađite opći oblik antiderivacije koji odgovara dana funkcija. tg x +C
Svojstva integrala
Svojstva integrala
Osnovne metode integracije Tabularno. 2. Svođenje na tablicu transformacijom integranda u zbroj ili razliku. 3.Integracija pomoću zamjene varijable (supstitucije). 4.Integracija po dijelovima.
Pronađite antiderivacije za funkcije: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x
Je li istina da: a) c) b) d)
Primjer 1. Integral zbroja izraza jednak zbroju integrali ovih izraza Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala
Primjer 2. Provjerite rješenje Zapišite rješenje:
Primjer 3. Provjerite rješenje Zapišite rješenje:
Primjer 4. Provjerite rješenje Napišite rješenje: Uvedite novu varijablu i izrazite razlike:
Primjer 5. Provjerite rješenje Zapišite rješenje:
C samostalan rad Nađi neodređeni integral Provjerite rješenje Razina “A” (na “3”) Razina “B” (na “4”) Razina “C” (na “5”)
Zadatak Uspostavite korespondenciju. Pronađite opći oblik antiderivacije koji odgovara zadanoj funkciji.
Antiderivacija. Problem diferencijalnog računa: za zadanu funkciju pronaći njen izvod. Problem integralnog računa: pronaći funkciju znajući njezinu derivaciju. Funkcija F(x) se zove antiderivacija za funkciju f(x) na zadanom intervalu ako za bilo koji x iz tog intervala vrijedi jednakost F ʹ (x)=f(x).
Teorema. Ako je funkcija F(x) antiderivacija za funkciju f(x) na određenom intervalu, tada skup svih antiderivacija te funkcije ima oblik F(x)+C, gdje C R. y x 0 Geometrijski: F (x)+C obiteljska je krivulja dobivena iz svake od njih paralelnim prijenosom duž osi operacijskog pojačala. C integralna krivulja
Primjer 2. Naći sve antiderivacijske funkcije f(x)=2x i geometrijski ih prikazati. y x
Integrand - integrand - predznak neodređenog integrala x - varijabla integracije F(x) + C - skup svih antiderivacija C - konstanta integracije Proces pronalaženja antiderivacije funkcije naziva se integracija, a grana matematike zove se integralni račun. .
Svojstva neodređenog integrala Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu, a derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:
Osnovne metode integracije. Metoda izravne integracije. Izravna integracija je metoda izračuna integrala u kojoj se oni svode na tablične primjenom osnovnih svojstava neodređenog integrala. U tom se slučaju funkcija integranda obično transformira u skladu s tim.
