Ova video lekcija govori o svojstvima funkcija y=tgx,y=ctgx, pokazuje kako nacrtati njihove grafove.

Video tutorial počinje gledanjem funkcije y=tgx.

Osobine funkcije su istaknute.

1) Opseg funkcije y=tgx svi su pozvani realni brojevi, uz iznimku x =π/2 + 2 pk. Oni. na grafu nema točaka koje pripadaju ravnoj liniji x =π/2 i x = -π/2, kao i x = 3π/2 i tako dalje (s istom frekvencijom). Dakle graf funkcije y=tgx sastojat će se od beskonačnog broja grana koje će se nalaziti u prazninama između ravnih linija x = - 3π/2 i x = -π/2 , x = -π/2 i x = π/2 i tako dalje.

2) Funkcija y=tgx je periodična, pri čemu je glavni period π. Time se potvrđuje jednakost tg(x- π ) = tg x =tg(x +π ) . Te su jednakosti proučavane ranije, autor poziva studente da ih se prisjete, ukazujući da za bilo koju dopuštenu vrijednost t jednakosti su istinite:

tg(t + π ) = tg t, i c tg(t +π ) = ctg t. Posljedica ovih jednakosti je da ako jedna grana grafa funkcije y \u003d tg x između redaka x = - π/2 i x\u003d π / 2, tada se preostale grane mogu dobiti pomicanjem ove grane duž osi x za π, 2π i tako dalje.

3) Funkcija y=tgx je čudno, jer . tg(- x) =- tg x.

Zatim prijeđimo na crtanje grafa funkcije y=tgx. Kao što slijedi iz svojstava gore opisane funkcije, funkcija y=tgx periodično i neparno. Stoga je dovoljno izgraditi dio grafa - jednu granu u jednom intervalu, a zatim koristiti simetriju za prijenos. Autor daje tablicu u kojoj su izračunate vrijednosti tgx na određenim vrijednostima x za preciznije crtanje. Te su točke označene na koordinatnoj osi i povezane glatkom linijom. Jer graf je simetričan u odnosu na ishodište, tada se konstruira ista grana, simetrična prema ishodištu. Kao rezultat, dobivamo jednu granu grafa y=tgx. Nadalje, korištenjem pomaka duž x osi za π, 2 π i tako dalje, dobiva se graf y=tgx.

Grafikon funkcije y=tgx naziva se tangentoid, a tri grane grafa prikazane na slici su glavne grane tangentoida.

4) Funkcija y=tgx na svakom od intervala (- + ; +) raste.

5) Graf funkcija y=tgx nema gornje i donje ograničenja.

6) Funkcija y=tgx nema maksimalnu ni minimalnu vrijednost.

7) Funkcija y=tgx kontinuirano u bilo kojem intervalu (- - π/2+π; π/2+π). Pravac π/2+π naziva se asimptota grafa funkcije y=tgx, jer u tim je točkama graf funkcije prekinut.

8) Skup vrijednosti funkcije y=tgx zovu se svi realni brojevi.

Dalje u video tutorialu dat je primjer: riješiti jednadžbu s tgx. Za rješavanje gradimo 2 grafa funkcije na i pronađite točke presjeka ovih grafova: ovo je beskonačan skup točaka čije se apscise razlikuju za πk. Korijen ove jednadžbe bit će x= π/6 + πk.

Razmotrimo graf funkcije y=ctgx. Funkcijski graf može se nacrtati na dva načina.

Prva metoda uključuje crtanje grafa na isti način kao i crtanje grafa funkcije y =tgx. Izgradimo jednu granu grafa funkcije y = ctgx između redaka x= 0i x= pi. Zatim, koristeći simetriju i periodičnost, konstruiramo druge grane grafa.

Drugi način je jednostavniji. Grafikon funkcije y = stgx može se dobiti pretvaranjem tangentoida pomoću redukcijske formule stgx = - tg (x +π/2). Da bismo to učinili, pomaknemo jednu granu grafa funkcije y=tgx duž osi x za π/2 udesno. Preostale grane se dobivaju pomicanjem ove grane duž osi x za π, 2π i tako dalje. Grafikon funkcije y \u003d ctg x naziva se i tangentoid, a grana grafa u intervalu (0; π) je glavna grana tangentoida.

TUMAČENJE TEKSTA:

Razmotrit ćemo svojstva funkcije y \u003d tg x (y je jednak tangentu x), y = ctg x (y je jednak kotangensu x), izgradit ćemo njihove grafove. Razmotrimo funkciju y = tgx

Prije crtanja funkcije y \u003d tg x, zapišimo svojstva ove funkcije.

SVOJSTVO 1. Područje funkcije y \u003d tg x su svi realni brojevi, osim brojeva oblika x \u003d + πk (x jednak je zbroju pi po dva i pi ka).

To znači da na grafu ove funkcije nema točaka koje pripadaju pravoj liniji x = (dobivamo ako je k= 0 ka jednako nuli) i pravoj liniji x = (x je jednako pi sa dva) (dobivamo ako je k= - 1 ka jednako minus jedan), a pravac x = (x je jednak tri pi po dva) (dobivamo ako je k = 1 jednako jedan), itd. Dakle graf funkcije y \u003d tg x sastojat će se od beskonačnog broja grana koje će biti u intervalima između ravnih linija. Naime, u traci između x = i x =-; u traci x = - i x = ; u traci x = i x = i tako u nedogled.

SVOJSTVO 2. Funkcija y = tg x je periodična s glavnim periodom π. (Budući da je dvostruka jednakost istinita

tg(x- π) \u003d tgx \u003d tg (x + π) tangenta x minus pi jednaka je tangentu x i jednaka je tangentu x plus pi). Ovu smo jednakost razmatrali prilikom proučavanja tangente i kotangensa. Prisjetite se:

Za bilo koju dopuštenu vrijednost t, jednakosti su istinite:

tg (t + π)= tgt

ctg(t + π) = ctgt

Iz ove jednakosti slijedi da ćemo, izgradivši granu grafa funkcije y \u003d tg x u intervalu od x \u003d - i x \u003d, dobiti preostale grane pomicanjem izgrađene grane duž osi X za π, 2π i tako dalje.

SVOJSTVO 3. Funkcija y \u003d tg x je neparna funkcija, budući da je jednakost tg (- x) = - tg x istinita.

Izgradimo graf funkcije y \u003d tg x

Budući da je ova funkcija periodična, sastoji se od beskonačnog broja grana (u traci između x \u003d i x \u003d, kao i u traci između x \u003d i x \u003d, itd.) i neparnih, tada ćemo izgraditi dio grafa na intervalu od nule do pi po dva (), tada koristimo simetriju ishodišta i periodičnost.

Napravimo tablicu tangentnih vrijednosti za crtanje.

Pronađite prvu točku: znajući da je pri x = 0 tg x = 0(x nula tangenta x je također nula); sljedeća točka: u x = tg x = (x je jednako pi puta šest, tangenta x jednaka je korijenu tri puta tri); imajte na umu sljedeće točke: kod x = tg x = 1 (x jednako pi za četiri, tangenta x je jednaka jedan), a kod x = tg x = (x jednako pi za tri, tangenta x je jednak kvadratnom korijenu od tri). Označite dobivene točke na koordinatnoj ravnini i spojite ih glatkom linijom (slika 2).

Budući da je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, istu granu ćemo konstruirati simetrično prema ishodištu. (slika 3).

I, konačno, primjenom periodičnosti, dobivamo graf funkcije y \u003d tg x.

Izgradili smo granu grafa funkcije y \u003d tg x u traci od x \u003d - i x \u003d. Preostale grane gradimo pomicanjem izgrađene grane duž osi X za π, 2π i tako dalje.

Konstruirani graf naziva se tangentoid.

Dio tangentoida prikazan na slici 3 naziva se glavna grana tangentoida.

Na temelju grafa zapisati ćemo i svojstva ove funkcije.

SVOJSTVO 4. Funkcija y = tg x raste na svakom od intervala (od minus pi za dva plus pi ka do pi za dva plus pi ka).

SVOJSTVO 5. Funkcija y = tg x nije ograničena ni odozgo ni odozdo.

SVOJSTVO 6. Funkcija y \u003d tg x nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

SVOJSTVO 7. Funkcija y \u003d tg x je kontinuirana na bilo kojem intervalu oblika (od minus pi za dva plus pi ka do pi za dva plus pi ka).

Ravni pravac oblika x = + πk (x je jednak zbroju pi po dva i pi ka) vertikalna je asimptota grafa funkcije, budući da se u točkama oblika x = + πk funkcija prekida.

SVOJSTVO 8. Skup vrijednosti funkcije y \u003d tg x su svi realni brojevi, odnosno (e iz eff jednak je intervalu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti).

PRIMJER 1. Riješite jednadžbu tg x \u003d (tangent od x je korijen od tri po tri).

Odluka. Konstruiramo u jednom koordinatnom sustavu grafove funkcija y \u003d tg x

(y je jednak tangentu od x) i y = (y je jednak korijenu od tri podijeljeno s tri).

Dobili smo beskonačan broj točaka presjeka čije se apscise međusobno razlikuju za πk (pi ka) Kako je tg x = na x =, apscisa presječne točke na glavnoj grani je (pi za šest).

Sva rješenja ove jednadžbe zapisujemo formulom x = + πk (x je jednako pi sa šest plus pi).

Odgovor: x = + πk.

Izgradimo graf funkcije y \u003d stg x.

Razmotrimo dvije metode gradnje.

Prvi način slično crtanju funkcije y = tg x.

Budući da je ova funkcija periodična, sastoji se od beskonačnog broja grana (u traci između x \u003d 0 i x \u003d π, kao i u traci između x \u003d π i x \u003d 2π, itd.) i neparnih , tada ćemo dio grafa graditi po točkama na intervalu od nule do pi po dva (), zatim ćemo koristiti simetriju i periodičnost.

Koristimo tablicu kotangens vrijednosti za izgradnju grafa.

Nakon što ste označili dobivene točke na koordinatnoj ravnini i spojite ih glatkom linijom.

Budući da je graf funkcije relativno simetričan, istu granu ćemo konstruirati simetrično.

Primjenjujemo periodičnost, dobivamo graf funkcije y \u003d stg x.

Izgradili smo granu grafa funkcije y = stg x u traci od x = 0 i x \u003d π. Preostale grane gradimo pomicanjem konstruirane grane duž osi x za π, - π, 2π, - 2π i tako dalje.

Drugi način crtanje funkcije y \u003d stg x.

Najlakši način da dobijete graf funkcije y \u003d stg x je pretvaranje tangentoida pomoću formule redukcije (kotangens od x jednak je minus tangent zbroja x i pi za dva).

U ovom slučaju, prvo, pomičemo granu grafa funkcije y = tg x duž x-osi udesno, dobivamo

y \u003d tg (x +), a zatim izvodimo simetriju rezultirajućeg grafa oko osi apscise. Kao rezultat toga, dobit će se grana grafa funkcije y \u003d stg x (slika 4). Poznavajući jednu granu, možemo izgraditi cijeli graf koristeći periodičnost funkcije. Preostale grane gradimo pomicanjem izgrađene grane duž osi x za π, 2π i tako dalje.

Graf funkcije y \u003d stg x također se naziva tangentoid, kao i graf funkcije y = tg x. Grana, koja se nalazi između nule i pi, naziva se glavnom granom grafa funkcije y \u003d stg x.

, [−5π/2; −3π/2]. . . - jednom riječju, na svim intervalima [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], gdje je k Z, i opada na svim segmentima

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], gdje je n Z.

Problem 11.6. Na kojim se intervalima smanjuje funkcija y = cos x i na kojem?

Problem 11.8. Rasporedite u rastućem redoslijedu: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafovi tangente i kotangensa

Nacrtajmo funkciju y = tg x. Prvo, konstruirajmo ga za brojeve x koji pripadaju intervalu (−π/2; π/2).

Ako je x = 0, tada je tg x = 0; kada se x poveća od 0 do π / 2, povećava se i tg x - to se može vidjeti ako pogledate tangentnu os (slika 12.1 a). Kako se x približava π/2 dok ostaje manji

Riža. 12.2. y = tgx.

π/2, vrijednost tg x raste (točka M na slici 12.1a ide sve više i više) i očito može postati proizvoljno velik pozitivan broj. Slično, kako se x smanjuje s 0 na −π/2, tg x postaje negativan broj, apsolutna vrijednost koji raste kako se x približava −π/2. Za x = π/2 ili −π/2, funkcija tg x nije definirana. Stoga, graf y = tg x za x (−π/2; π/2) izgleda otprilike kao na Sl. 12.1 b.

Blizu ishodišta, naša je krivulja bliska pravoj liniji y = x x: uostalom, za male oštre kutove vrijedi približna jednakost tg x ≈ x. Možemo reći da pravac y = x dodiruje graf funkcije y = tg x u ishodištu. Osim toga, krivulja na slici 12.1 b je simetrična u odnosu na ishodište. To se objašnjava činjenicom da je funkcija y = tg x neparna, odnosno vrijedi identitet tg(−x) = − tg x.

Za prikaz funkcije y = tg x za sve x, zapamtite da je tg x periodična funkcija s periodom π. Stoga, da bismo dobili potpuni graf funkcije y = tg x, potrebno je ponoviti krivulju na sl. 12.1 b, pomičući ga duž apscise na udaljenosti πn, gdje je n cijeli broj. Konačni prikaz grafa funkcije y = tg x nalazi se na sl. 12.2.

Prema grafu još jednom vidimo da je funkcija y = tg x

Riža. 12.3. y = ctg x.

nije definirana za x = π/2 + πn, n Z, odnosno za one x za koje je cos x = 0. Vertikalne linije s jednadžbama x = π/2, 3π/2,. . . , kojima se grane grafa približavaju, nazivaju se asimptotama grafa.

Na istoj sl. 12.2 prikazali smo rješenja jednadžbe tg x = a.

Nacrtajmo funkciju y = ctg x. Najlakši način je upotrijebiti formulu redukcije ctg x = tg(π/2 − x) da dobijete ovaj graf iz grafa funkcije y = tg x pomoću transformacija poput onih opisanih u prethodnom odlomku. Rezultat je na sl. 12.3

Problem 12.1. Graf funkcije y = ctg x dobiva se iz grafa funkcije y = tg x simetrijom oko nekog pravca. Koji? Postoje li drugi redovi s navedenim svojstvom?

Problem 12.2. Kako izgleda jednadžba ravne tangente na graf funkcije y = ctg x u točki s koordinatama (π/2; 0)?

Problem 12.3. Usporedi brojeve: a) tg(13π/11) i tg 3,3π; b) tan 9,6π i ctg(−11,3π).

Problem 12.4. Rasporedite brojeve u rastućem redoslijedu: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Problem 12.5. Nacrtajte grafove funkcije:

a) y = tg(2x − π/3);	b) y = 2ctg(π/4 − x).
Problem 12.6. Nacrtajte grafove funkcije:
a) y = arctg x;	b) y = arcctg x.

Problem 12.7. Nacrtajte funkciju y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Čemu je jednak sin x + cos x?

U ovom dijelu pokušat ćemo riješiti sljedeći problem: koja je najveća vrijednost koju izraz sin x + cos x može uzeti?

Ako ste dobro izbrojali, trebali ste ispasti da je od svih x u ovoj tablici najveća vrijednost sin x + cos x

dobiva se za x blizu 45◦, ili, u radijanskoj mjeri, na π/4.

Ako je x = π/4, točna vrijednost sin x + cos x je 2. Ispada da je naš rezultat, dobiven eksperimentalno, i u

je zapravo istinito: za sve x, nejednakost sin x + cos x 6 je istinita

2, pa je 2 najveća vrijednost koju ovaj izraz može uzeti.

Još nam nedostaju sredstva da tu nejednakost dokažemo na najprirodniji način. Za sada ćemo pokazati kako to svesti na planimetrijski problem.

Ako je 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты pravokutni trokut s hipotenuzom 1 i oštrim kutom x (slika 13.1).

Stoga je naš zadatak preformuliran na sljedeći način: dokazati da će zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom 1 biti maksimalan ako je ovaj trokut jednakokračan.

Problem 13.1. Dokažite ovu tvrdnju.

Budući da je jednakokračan pravokutni trokut s gi-

potenciuse 1, zbroj duljina kateta jednak je 2√ , rezultat ovog problema implicira nejednakost sin x + cos x 6 2 za sve x koji leže u intervalu (0; π/2). Iz ovoga je već lako zaključiti da ova nejednakost općenito vrijedi za sve x.

Rezultat zadatka 13.1 vrijedi ne samo za pravokutne trokute.

Problem 13.2. Dokažite da je među svim trokutima sa zadanom stranom AC i kutom B najveći zbroj AB + BC za jednakokračni trokut s bazom AC.

Vratimo se trigonometriji.

Problem 13.3. Koristeći tablicu sinusa iz § 3, nacrtajte graf funkcije y \u003d sin x + cos x po točkama.

Uputa. Nemojte zaboraviti da x mora biti u radijanima; za x vrijednosti izvan segmenta, koristite formule redukcije.

Ako ste sve učinili kako treba, trebali biste imati krivulju koja izgleda kao sinusni val. Kasnije ćemo vidjeti da ova krivulja nije samo slična, već je sinusoida. Naučit ćemo i kako pronaći najviše vrijednosti izraze kao što su 3 sin x + 4 cos x (inače, graf funkcije y = 3 sin x + 4 cos x je također sinusoida!).

Centrirano u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

tangenta ( tgα) - Ovo trigonometrijska funkcija, ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednak omjeru duljine suprotne noge |BC| na duljinu susjedne noge |AB| .

kotangens ( ctgα) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotne noge |BC| .

Tangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tg x

Kotangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također je usvojena sljedeća oznaka:
;
;
.

Graf kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x i y= ctg x periodični su s periodom π.

Paritet

Funkcije tangenta i kotangensa su neparne.

Područja definicija i vrijednosti, uzlazno, silazno

Funkcije tangenta i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli broj).

	y= tg x	y= ctg x
Opseg i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Uzlazni		-
Silazni	-
Ekstremi	-	-
Nule, y= 0
Točke presjeka s y-osi, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi u terminima sinusa i kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangente i kotangense zbroja i razlike

Ostale formule lako je dobiti, na primjer

Umnožak tangenti

Formula za zbroj i razliku tangenta

Ova tablica prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda s obzirom na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja u serije

Da biste dobili ekspanziju tangente u potencijama x, trebate uzeti nekoliko članova proširenja u nizu potencija za funkcije grijeh x i cos x i podijeliti ove polinome jedan u drugi , . To rezultira sljedećim formulama.

Na .

na .
gdje B n- Bernoullijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangenti i kotangensu su arktangens, odnosno arkkotangens.

Arktangent, arctg

, gdje n- cijeli.

Arc tangenta, arcctg

, gdje n- cijeli.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.
G. Korn, Priručnik za matematiku za istraživače i inženjere, 2012.