Dekompozicija polinoma nad poljem realnih brojeva. Temeljni teorem algebre kompleksnih brojeva. Što ćemo učiniti s primljenim materijalom?

Iznad terena realni brojevi bilo koji nesvodljivi polinom jedna varijabla ima stupanj 1 ili 2, a polinom 2. stupnja je nesvodljiv nad poljem R ako i samo ako ima negativnu diskriminaciju, npr. polinom je nesvodljiv nad poljem realnih brojeva, jer mu je diskriminanta negativna .

Eisensteinov kriterij je kriterij nesvodljivosti polinoma, nazvan po njemačkom matematičaru Ferdinandu Eisensteinu. Unatoč (tradicionalnom) nazivu, to je upravo znak, odnosno dovoljan uvjet - ali nikako neophodan, kako bi se moglo pretpostaviti na temelju matematičkog značenja riječi "kriterij"

Teorem (Eisensteinov kriterij). Neka je polinom nad faktorijelnim prstenom R ( n>0), i za neki nesvodljivi element str ispunjeni su sljedeći uvjeti:

Nije djeljivo sa str,

Podjeljeno sa str, za bilo koga ja iz 0 prije n- 1,

Nije djeljivo sa.

Tada je polinom nesvodljiv preko F polje privatnih prstenova R.

Posljedica. Nad bilo kojim poljem algebarskih brojeva postoji nesvodljivi polinom bilo kojeg unaprijed određenog stupnja; na primjer, polinom, gdje n>1 i strÍ neki prosti broj.

Razmotrimo primjere primjene ovog kriterija kada je R prsten cijelih brojeva, a F polje racionalnih brojeva.

Primjeri:

Polinom je nesvodljiv nad Q.

Polinom kružnog dijeljenja je nesvodljiv. Doista, ako je reducibilan, onda je i polinom reducibilan, a kako su svi njegovi koeficijenti, osim prvog, binomni, odnosno djeljivi s str, a posljednji koeficijent `amen str a osim toga, nije djeljiv po Eisensteinovom kriteriju, suprotno pretpostavci.

Sljedećih pet polinoma pokazuju neka elementarna svojstva nesvodljivih polinoma:

Nad prstenom Z cijelih brojeva, prva dva polinoma su reducibilna, a posljednja dva su nesvodljiva. (Treći uopće nije polinom nad cijelim brojevima).

Nad poljem Q racionalnih brojeva prva tri polinoma su svodljiva, a druga dva su nesvodljiva.

Nad poljem R realnih brojeva prva četiri polinoma su reducibilna, ali su nesvodljiva. U području realnih brojeva, linearni polinomi i kvadratni polinomi bez realnih korijena su nesvodljivi. Na primjer, dekompozicija polinoma u polju realnih brojeva ima oblik. Oba faktora u ovoj ekspanziji su nesvodljivi polinomi.

Iznad polja C kompleksni brojevi, svih pet polinoma je reducibilno. Zapravo, svaki nekonstantni polinom nad C može se faktorizirati na sljedeći način:

gdje n- stupanj polinoma, a- vodeći koeficijent, - korijeni polinoma. Stoga su jedini nesvodljivi polinomi nad C linearni polinomi (temeljni teorem algebre).

Polje F se naziva algebarski zatvorenim ako svaki polinom pozitivnog stupnja nad F ima korijen u F.

Teorem 5.1 (osnovni teorem polinomske algebre). Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno.

Posljedica 5 .1.1. Iznad IZ postoje nesvodljivi polinomi samo prvog stupnja.

Korolar 5.1.2. Polinom n stupanj više IZ Ima n složeni korijeni.

Teorem 5.2. Ako je  kompleksan korijen polinoma f s realnim koeficijentima, tada je kompleksni konjugiran također korijen f.

Posljedica 5 .2.1. Iznad R postoje nesvodljivi polinomi samo prvog ili drugog stupnja.

Korolar 5.2.2. Imaginarni korijeni polinoma nad R podijeliti u parove kompleksnih konjugata.

Primjer 5.1. Faktoriziraj na nesvodljive faktore preko IZ I gotovo R polinom x 4 + 4.

Riješenje. Imamo

x 4 + 4 =x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2 = (x 2 + 2) 2 – 4x 2 = (x 2 – 2x+ 2)(x 2 + 2x+ 2) –

razlaganje preko R. Pronalazeći na uobičajeni način kompleksne korijene polinoma drugog stupnja u zagradama, dobivamo dekompoziciju preko IZ:

x 4 + 4 = (x – 1 – ja) (x – 1 + ja) (x + 1 – ja) (x + 1 + ja).

Primjer 5.2. Konstruirajte polinom najmanjeg stupnja s realnim koeficijentima koji imaju korijene 2 i 1 + ja.

Riješenje. Prema korolaru 5.2.2, polinom mora imati korijene 2, 1 - ja i 1+ ja. Njegovi koeficijenti se mogu pronaći pomoću Vieta formula:

 1 \u003d 2 + (1 - ja) + (1 +ja) = 4;

 2 \u003d 2 (1 - ja) + 2(1 + ja) + (1 – ja)(1 + ja) = 6;

 3 \u003d 2 (1 - ja)(1 + ja) = 4.

Odavde f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Vježbe.

5.1. Faktoriziraj na nesvodljive faktore preko IZ I gotovo R polinomi:

a) x 3 – 6x 2 + 11x – 6;

b) x 4 – 10x 2 + 1.

5.2. Nacrtajte polinom najmanjeg stupnja sa stvarnim koeficijentima koji imaju dvostruki korijen od 1 i jednostavni korijen od 1 – 2 ja.

6. Polinomi nad poljem racionalnih brojeva

Teorem 6.1 (Eisensteinov kriterij). Neka f = a 0 + a 1 x + ...+ a n x n je polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Ako postoji takav prost broj str, što a 0 , a 1 , … , a n-1 podijeljeno s str, a n nije djeljiv sa str,a 0 nije djeljiv sa str 2, dakle f nije reducibilan nad poljem racionalnih brojeva.

Vježba 6.1. Dokazati nesvodljivost preko Q polinomi:

a) f= 2x 5 + 3x 4 – 9x 3 – 6x+ 3;b) f= 5x 4 + 6x 3 – 18x 2 – 12x + 54.

Teorem 6.2. Neka je nesvodivi razlomak koji je korijen polinoma f = a 0 + a 1 x + … + a n x n s cjelobrojnim koeficijentima. Zatim

a 0  str, a n  q;

f(1)  p-q,f(–1)  p+q.

Ovaj teorem nam omogućuje da riješimo problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Da bismo to učinili, određujemo sve djelitelje slobodnog člana i glavnog koeficijenta i od njih gradimo sve vrste nesvodljivih razlomaka. Svi racionalni korijeni nalaze se među tim razlomcima. Za njihovo određivanje može se koristiti Hornerova shema. Da bismo izbjegli nepotrebne proračune u njemu, koristimo se tvrdnjom 2) teorema 6.2.

Primjer 6.1. Pronađite racionalne korijene polinoma

f = 2x 4 + 7x 3 + 3x 2 – 15x– 18.

Riješenje. Ispisujemo sve razlomke čiji su brojnici str su djelitelji 18, a nazivnici q- razdjelnici 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Provjeravamo ih prema Hornerovoj shemi:

						Komentar
						f(1) = –21  p–q
						f(–1) = –3  p+q

						x 1 = –2


						x 2 = 3/2

Pronalaženje korijena x 1 = -2 i dijeljenje polinoma s x+ 2, dobivamo polinom s novim slobodnim članom –9 (koeficijenti su mu podcrtani). Brojnici preostalih korijena moraju biti djelitelji tog broja, a razlomci koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet mogu se isključiti s liste. Preostale cjelobrojne vrijednosti su isključene jer ne zadovoljavaju uvjet f(1)str – q ili f(–1)str + q. Na primjer, za 3 imamo str = 3, q= 1, i uvjet f(1) = –21str – q(kao i drugi uvjet).

Slično, pronalaženje korijena x 2 \u003d 3/2, dobili smo polinom s novim slobodnim članom 3 i višim koeficijentom 1 (kada je korijen razlomački, koeficijente rezultirajućeg polinoma treba smanjiti). Nijedan preostali broj s popisa više ne može biti njegov korijen, a popis racionalnih korijena je iscrpljen.

Pronađene korijene treba provjeriti na višestrukost.

Ako smo u procesu rješavanja došli do polinoma drugog stupnja, a popis razlomaka još nije iscrpljen, tada se preostali korijeni mogu pronaći pomoću uobičajenih formula kao korijeni kvadratnog trinoma.

Vježba 6.2. Pronađite racionalne korijene polinoma

a) x 3 – 6x 2 + 15x– 14;

b) x 5 – 7x 3 – 12x 2 + 6x+ 36;

u 2 x 4 – 11x 3 + 23x 2 – 24x+ 12;

d) 4 x 4 – 7x 2 – 5x– 1.

Polje se naziva algebarski zatvorenim ako svaki polinom nad tim poljem koji nije jednak konstanti ima barem jedan korijen. Iz Bezoutovog teorema neposredno slijedi da se nad takvim poljem bilo koji nekonstantni polinom može rastaviti na produkt linearnih faktora. U tom smislu algebarski zatvorena polja imaju jednostavniju strukturu od nealgebarski zatvorenih. Znamo da nema svaki kvadratni trinom korijen iz polja realnih brojeva, tako da polje ℝ nije algebarski zatvoreno. Ispostavilo se da mu malo nedostaje do algebarskog zatvaranja. Drugim riječima: nakon što smo riješili naizgled određeni problem o jednadžbi, istovremeno smo se nosili sa svim ostalim polinomnim jednadžbama.

GLAVNI TEOREM ALGEBRE. Svaki polinom nad poljem ℂ koji nije jednak konstanti ima barem jedan kompleksni korijen.

POSLJEDICA. Svaki polinom koji nije jednak konstanti može se proširiti preko polja kompleksnih brojeva u produkt linearnih faktora:

Ovdje je vodeći koeficijent polinoma, jesu li svi različiti kompleksni korijeni polinoma, njihovi su višestrukosti. Jednakost mora postojati

Dokaz korolara je jednostavna indukcija po stupnju polinoma.

U drugim poljima situacija nije tako dobra u pogledu raščlanljivosti polinoma. Polinom nazivamo nesvodivim ako, prvo, nije konstanta, i, drugo, ne može se rastaviti na produkt polinoma nižih stupnjeva. Jasno je da je svaki linearni polinom (nad bilo kojim poljem) nesvodljiv. Korolar se može preformulirati na sljedeći način: nesvodljivi polinomi nad poljem kompleksnih brojeva s jediničnim vodećim koeficijentom (drugim riječima: unitarnim) iscrpljuju se polinomima oblika ().

Rastavljivost kvadratnog trinoma je ekvivalentna postojanju barem jednog korijena. Pretvarajući jednadžbu u oblik, zaključujemo da korijen kvadratnog trinoma postoji ako i samo ako je diskriminant kvadrat nekog elementa polja K (ovdje pretpostavljamo da je 2 ≠ 0 u polju K). Odavde dobivamo

REČENICA. Kvadratni trinom nad poljem K u kojem je 2 ≠ 0 nesvodiv je ako i samo ako nema korijena u polju K. To je ekvivalentno činjenici da diskriminant nije kvadrat bilo kojeg elementa polja K. Posebno , nad poljem realnih brojeva, kvadratni trinom nesvodljiv ako i samo ako.

Dakle, nad poljem realnih brojeva postoje najmanje dvije vrste nesvodljivih polinoma: - linearni i kvadratni te negativna diskriminacija. Ispada da ova dva slučaja iscrpljuju skup nesvodljivih polinoma nad ℝ.

TEOREMA. Bilo koji polinom nad poljem realnih brojeva može se rastaviti na umnožak linearnih faktora i kvadratnih faktora s negativnim diskriminantima:

Ovdje su svi različiti pravi korijeni polinoma, jesu li njihovi višestruki, svi diskriminanti su manji od nule, a kvadratni trinomi su svi različiti.

Najprije dokažemo lemu

LEMA. Ako i za bilo koji, tada je konjugirani broj također korijen polinoma.

Dokaz. Neka, i bude kompleksan korijen polinoma. Zatim

gdje smo koristili svojstva uparivanja. Posljedično,. Dakle, to je korijen polinoma. □

Dokaz teorema. Dovoljno je dokazati da je bilo koji nesvodljivi polinom nad poljem realnih brojeva linearan ili kvadratan s negativnom diskriminantom. Neka je nesvodljivi polinom s jediničnim vodećim koeficijentom. U slučaju, mi odmah dobiti za neke stvarne. Hajdemo to pretvarati. Označimo s nekim kompleksnim korijenom tog polinoma, koji postoji prema glavnom teoremu algebre kompleksnih brojeva. Budući da je nesvodljiv, onda (vidi Bezoutov teorem). Tada će, prema lemi, biti drugi korijen polinoma, različit od.

Polinom ima realne koeficijente. Osim toga, dijeli se prema Bezoutovom teoremu. Budući da je nesvodiv i ima jedinični vodeći koeficijent, dobivamo jednakost. Diskriminant ovog polinoma je negativan jer bi inače imao realne korijene.□

PRIMJERI. ALI. Polinom rastavljamo na nesvodljive faktore. Među djeliteljima konstantnog člana 6 tražimo korijene polinoma. Provjeravamo da su 1 i 2 korijeni. Dakle, polinom je djeljiv sa. Dijeljenjem nalazimo

Konačna dekompozicija nad poljem, jer je diskriminant kvadratnog trinoma negativan i stoga nije dalje razložljiv nad poljem realnih brojeva. Dobivamo proširenje istog polinoma preko polja kompleksnih brojeva ako nađemo kompleksne korijene kvadratnog trinoma. Oni su suština. Zatim

Razlaganje ovog polinoma nad

B. Proširi preko polja realnih i kompleksnih brojeva. Budući da ovaj polinom nema pravih korijena, može se rastaviti na dva kvadratna trinoma s negativnim diskriminantima

Budući da se polinom ne mijenja kada se zamijeni s, onda s takvom zamjenom kvadratni trinom mora ići na i obrnuto. Odavde. Izjednačavanjem koeficijenata pri , dobivamo Posebno, . Zatim iz relacije (dobivene supstitucijom izdvajamo, i konačno, . Dakle,

Dekompozicija nad poljem realnih brojeva.

Da bismo proširili ovaj polinom na kompleksne brojeve, rješavamo jednadžbu ili. Jasno je da će biti korijena. Dobit ćemo sve različite korijene na. Posljedično,

Dekompozicija preko kompleksnih brojeva. Lako se izračunati

te dobivamo drugo rješenje problema proširenja polinoma preko polja realnih brojeva.

Kraj posla -

Ova tema pripada:

Fundamentalna i računalna algebra

Uvod.. kolegij fundamentalne i računalne algebre namijenjen je studentima smjerova primijenjene matematike..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretragu u našoj bazi radova:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako se ovaj materijal pokazao korisnim za vas, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Sve teme u ovom odjeljku:

N.I. Dubrovin
Naselje Spasskoye 2012. Sadržaj Uvod. 4 Popis simbola i pojmova. 5 1 Malo o BASIC-u. 6 2 Naivna teorija skupova. 9

Malo o BASIC-u
U matematici se bave takvim objektima kao što su brojevi različite prirode (prirodni, cijeli, racionalni, realni, složeni), polinomi jedne i više varijabli, matrice

Naivna teorija skupova
Matematički tekst sastoji se od definicija i izjava. Neki iskazi, ovisno o važnosti i odnosu s drugim iskazima, nazivaju se jednim od sljedećih pojmova:

Kartezijanski produkti
Uređeni par, ili jednostavno par elemenata, jedna je od temeljnih konstrukcija u matematici. Možete ga zamisliti kao policu s dva mjesta – prvim i drugim. Vrlo često u matematici

Cijeli brojevi
Brojevi (1,2,3,…) koji se operacijom zbrajanja mogu dobiti iz jedinice nazivaju se prirodnim brojevima i označavaju s ℕ. Aksiomatski opis prirodni brojevi može biti (usp.

rekurzija
Od aksioma N1-N3 do onih s kojima su svi upoznati osnovna škola operacije zbrajanja i množenja prirodnih brojeva, uspoređivanje prirodnih brojeva među sobom i svojstva oblika "od promjene mjesta članova zbroj ne

Red na skupu prirodnih brojeva
Skup ima linearni odnos reda. Recimo da n

Djeljivost prirodnih brojeva
Operacija dijeljenja nije uvijek moguća u području prirodnih brojeva. To nam daje pravo da uvedemo relaciju djeljivosti: recimo da broj n dijeli broj m ako je m=nk za neki odgovarajući k∈

Djeljivost cijelih brojeva
Označimo s -- prsten cijelih brojeva. Izraz "prsten" znači da imamo posla sa skupom R, na kojem su zadane dvije operacije - zbrajanje i množenje, po poznatim pravilima.

Euklidov algoritam
Zadan je par cijelih brojeva (m,n). Smatramo da je n ostatak s brojem 1. Prvi korak Euklidovog algoritma je podijeliti m s n s ostatkom, a zatim podijeliti ostatak s novodobivenim ostatkom, sve dok ovaj ponovno ne dobijemo

Matrična interpretacija Euklidovog algoritma
Dajmo matričnu interpretaciju Euklidovom algoritmu (za matrice vidi sljedeći odjeljak). Prepišimo niz dijeljenja s ostatkom u matričnom obliku: Zamjena u svaki

Elementi logike
Matematičari se bave objektima, kao što su -- brojevi, -- funkcije, -- matrice, -- linije u ravnini itd., a također se bave i propozicijama. Izreka je priča

Predložni oblici
Hoće li izraz biti izjava? Ne, ova notacija je iskazni oblik iz jedne varijable. Ako umjesto varijable zamijenimo valjane vrijednosti, tada dobivamo razne izjave koje

Matrična algebra
Matrična algebra nad prstenom R (R je prsten cijelih brojeva, polje racionalnih brojeva, polje realnih brojeva) najrašireniji je algebarski sustav sa skupom operacija.

Odrednice
Determinanta kvadratne matrice A je njezina numerička karakteristika, označena sa ili. Počnimo s determinantama niskodimenzionalnih matrica 1,2,3: DEFINICIJA. Pu

Transformacije linearne ravnine
Poznato je da je svaka transformacija ravnine ϕ koja zadržava udaljenosti ili paralelna translacija vektorom, ili rotacija oko točke O za kut α, ili simetrija u odnosu na pravu

Kompleksni brojevi
U ovom dijelu proučava se samo jedno područje -- polje kompleksnih brojeva ℂ . S geometrijskog gledišta to je ravnina, a s algebarskog

Konstrukcija polja kompleksnih brojeva
Zapravo smo već konstruirali polje kompleksnih brojeva u prethodnom paragrafu. Zbog iznimne važnosti područja kompleksnih brojeva, donosimo njegovu izravnu konstrukciju. Razmislite o prostoru sa

Konjugacija kompleksnih brojeva
Polje kompleksnih brojeva daje nam novo svojstvo - prisutnost neidentičnog kontinuiranog automorfizma (izomorfizma na sebe). Kompleksni broj se naziva konjugat od k, i karta

Trigonometrijski zapis kompleksnih brojeva
Predstavimo kompleksan broj kao vektor. Duljina ovog vektora, tj. veličina se naziva modul kompleksnog broja i označava se. Vrijednost nazivamo normom broja, ponekad je prikladnije koristiti npr

Složeni izlagač
Pravilo (2) paragrafa daje nam pravo da definiramo eksponent čisto imaginarnog broja: Doista, ovako definirana funkcija ima sljedeća svojstva: &

Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Linearni polinom na uvijek ima korijen. Kvadratni trinom više nema uvijek korijene nad poljem realnih brojeva. Neka bude kvadratni trinom nad poljem kompleksnih brojeva (). konvoj

TEOREM o relaciji ekvivalencije
Neka je “ ” relacija ekvivalencije na skupu M. Označite za element s klasom ekvivalencije. Tada se skup M cijepa u uniju klasa ekvivalencije; svaki element iz M sa

Nesvodljivi polinom je polinom koji se ne može rastaviti na netrivijalne polinome. Nesvodljivi polinomi su nesvodljivi elementi polinomskog prstena.

Nesvodljivi polinom nad poljem je polinom od varijabli preko polja je jednostavan element prstena , tj. ne može se predstaviti kao produkt , gdje su i polinomi s koeficijentima iz , koji su različiti od konstanti.

Polinom f nad poljem F naziva se nesvodljivim (jednostavnim) ako ima pozitivan stupanj i nema netrivijalnih djelitelja (tj. svaki djelitelj je ili pridružen njemu ili jedinici)

Prijedlog 1

Neka R- nesvodljivo i a je bilo koji polinom prstena F[x]. Onda bilo R dijeli a, ili R i a su prosti.

prijedlog 2

Neka f∈ F[x], a stupanj f = 1, stoga je f nesvodljivi polinom.

Na primjer: 1. Uzmimo polinom x+1 nad poljem Q. Njegov stupanj je 1, što znači da je nesvodiv.

2. x2 +1 je nesvodljiv, jer nema korijena

SLN. Sustavno rješenje. Zglobni, nekompatibilni, određeni i neodređeni sustavi. Ekvivalentni sustavi

Sustav linearnih jednadžbi nad poljem F s varijablama h1,…hn je sustav oblika

a 11 x 1 + … + a 1n x n= b 1

………………………..

a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

gdje ik,b ja∈ F, m je broj jednadžbi, a n je broj nepoznanica. Ukratko, ovaj sustav se može napisati na sljedeći način: ai1x1 + … + a u x n= b ja (i = 1,…m.)

Ovaj SLE je uvjet s n slobodnih varijabli x 1,….hn.

SLN se dijele na nespojive (nemaju rješenja) i zajedničke (određene i neodređene). Sustav zajedničkog pogleda naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje; ako ima barem dva različita rješenja, naziva se neodređenim.

Na primjer: preko polja Q

x + y \u003d 2 - nekompatibilan sustav

x - y \u003d 0 - određeni spoj (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - zglob neodređeno

Dva L.O. sustava su ekvivalentni ako su skupovi rješenja tih sustava isti, odnosno svako rješenje jednog sustava je istovremeno rješenje drugog. Sustav ekvivalentan ovom može se dobiti:

1. zamjenom jedne od jednadžbi ovom jednadžbom, pomnoženom s bilo kojim brojem koji nije nula.

2. zamjena jedne od jednadžbi sumom ove jednadžbe drugom jednadžbom sustava.

Rješenje SLE-a provodi se Gaussovom metodom.

45* Elementarne transformacije sustava linearnih jednadžbi (slu). Gaussova metoda.

Def.Elementarne transformacije S.L.U n-Xia sljedeće transformacije:

1. Množenje jedne od jednadžbi sustava s elementom polja koji nije nula.

2. Dodaci jednoj od jednadžbi sustava druge jednadžbe, pomnoženi s elementom polja.

3. Dodaci sustavu ili isključenje iz sustava jednadžbe različite od nule 0*h1+0*h2+…+0*hn=0

4. Zamjena jednadžbi

PrijedlogNeka je sustav (**) dobiven ili sustav (*) uz pomoć konačnog broja. Elementarne transformacije. Zatim sustav (**) ~ sustav (*). (Bez priključne stanice)

Zamjenik Pri zapisivanju sustava linearnih jednadžbi koristit ćemo matrični zapis.

a11 a12 ... a1n u1

a21 a22 ... a2n v2

………………….... …

Am1 am2 ... amn gostionica

Primjeri: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3