Kako pronaći zbroj modula. Modul broja (apsolutna vrijednost broja), definicije, primjeri, svojstva. Jeste li sve razumjeli? Zatim nastavite trenirati na primjerima

Modul je jedna od onih stvari za koje se čini da su svi čuli, ali zapravo ih nitko zapravo ne razumije. Stoga će danas biti velika lekcija posvećena rješavanju jednadžbi s modulima.

Odmah ću vam reći: lekcija će biti jednostavna. Općenito, moduli su općenito relativno jednostavna tema. “Da, naravno, lako je! Od toga mi mozak eksplodira!" – reći će mnogi studenti, ali svi ti lomovi mozga su zbog činjenice da većina ljudi nema znanje u glavi, već nekakvo sranje. A svrha ove lekcije je pretvoriti gluposti u znanje. :)

Malo teorije

Pa, idemo. Počnimo s najvažnijim: što je modul? Dopustite mi da vas podsjetim da je modul broja jednostavno isti broj, ali uzet bez znaka minus. To je, na primjer, $\left| -5 \desno|=5$. Ili $\lijevo| -129,5\desno|=129,5$.

Je li tako jednostavno? Da, jednostavno. Koliki je onda modul pozitivnog broja? Ovdje je još jednostavnije: modul pozitivnog broja jednak je samom ovom broju: $\left| 5\desno|=5$; $\lijevo| 129,5 \right|=129,5$ itd.

\[\lijevo| -a \desno|=\lijevo| a\desno|\]

Još jedna važna činjenica: modul nikada nije negativan. Koji god broj da uzmemo - čak i pozitivan, čak i negativan - njegov modul uvijek se pokaže pozitivnim (ili u ekstremnim slučajevima, nula). Zato se modul često naziva i apsolutna vrijednost broja.

Dodatno, spojimo li definiciju modula za pozitivan i negativan broj, dobit ćemo globalnu definiciju modula za sve brojeve. Naime: modul broja jednak je samom ovom broju, ako je broj pozitivan (ili nula), ili jednak suprotnom broju, ako je broj negativan. Ovo možete napisati kao formulu:

Postoji i nulti modul, ali uvijek postoji nula. Također, nula je jedini broj koji nema suprotnost.

Stoga, ako razmotrimo funkciju $y=\left| x \right|$ i pokušajte nacrtati njegov graf, dobit ćete takvu "čarku":

Grafik modula i primjer rješenja jednadžbe

Na ovoj slici možete odmah vidjeti da je $\left| -m \desno|=\lijevo| m \right|$, a dijagram modula nikad ne pada ispod x-osi. Ali to nije sve: crvena linija označava ravnu liniju $y=a$, koja nam, s pozitivnim $a$, daje dva korijena odjednom: $((x)_(1))$ i $((x) _(2)) $, ali o tome ćemo kasnije. :)

Čisto izvan algebarska definicija, je geometrijska. Recimo da postoje dvije točke na brojevnom pravcu: $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$. U ovom slučaju, izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je samo udaljenost između navedenih točaka. Ili, ako želite, duljina segmenta koji povezuje ove točke:

Modul je udaljenost između točaka na brojevnom pravcu

Iz ove definicije također slijedi da je modul uvijek nenegativan. Ali dosta definicija i teorije - prijeđimo na stvarne jednadžbe. :)

Osnovna formula

U redu, shvatili smo definiciju. Ali nije bilo lakše. Kako riješiti jednadžbe koje sadrže upravo ovaj modul?

Mirno, samo mirno. Počnimo s najjednostavnijim stvarima. Razmotrite nešto poput ovoga:

\[\lijevo| x\desno|=3\]

Dakle, modulo$x$ je 3. Čemu može biti jednako $x$? Pa, sudeći po definiciji, $x=3$ će nam sasvim dobro odgovarati. Stvarno:

\[\lijevo| 3\desno|=3\]

Postoje li drugi brojevi? Cap kao da nagovještava da postoji. Na primjer, $x=-3$ — $\lijevo| -3 \right|=3$, tj. tražena jednakost je zadovoljena.

Pa možda ako tražimo, razmislimo, nađemo još brojeva? Ali prekini: nema više brojeva. Jednadžba $\lijevo| x \right|=3$ ima samo dva korijena: $x=3$ i $x=-3$.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Neka umjesto varijable $x$ ispod znaka modula visi funkcija $f\lijevo(x \desno)$, a desno umjesto trojke stavimo proizvoljni broj $a$. Dobivamo jednadžbu:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\]

Pa, kako ste se odlučili? Da vas podsjetim: $f\left(x \right)$ je proizvoljna funkcija, $a$ je bilo koji broj. Oni. bilo kakav! Na primjer:

\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\]

\[\lijevo| 10x-5 \desno|=-65\]

Pogledajmo drugu jednadžbu. O njemu možete odmah reći: nema korijena. Zašto? Točno: jer zahtijeva da modul bude jednak negativnom broju, što se nikada ne događa, jer već znamo da je modul uvijek pozitivan broj ili, u ekstremnim slučajevima, nula.

Ali s prvom jednadžbom sve je zabavnije. Postoje dvije opcije: ili postoji pozitivan izraz ispod znaka modula, a zatim $\lijevo| 2x+1 \right|=2x+1$, ili je ovaj izraz još uvijek negativan, u kojem slučaju $\left| 2x+1 \desno|=-\lijevo(2x+1 \desno)=-2x-1$. U prvom slučaju, naša jednadžba će se prepisati kao:

\[\lijevo| 2x+1 \desno|=5\desna strelica 2x+1=5\]

I odjednom se ispostavilo da je izraz podmodula $2x+1$ doista pozitivan - jednak je broju 5. To jest, možemo sigurno riješiti ovu jednadžbu - dobiveni korijen bit će dio odgovora:

Oni posebno nevjerljivi mogu pokušati zamijeniti pronađeni korijen u izvornu jednadžbu i uvjeriti se da će ispod modula doista biti pozitivan broj.

Sada pogledajmo slučaj negativnog izraza submodula:

\[\lijevo\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Desna strelica 2x+1=-5\]

Ups! Opet, sve je jasno: pretpostavili smo da je $2x+1 \lt 0$, a kao rezultat smo dobili da je $2x+1=-5$ - doista, ovaj izraz je manji od nule. Rješavamo dobivenu jednadžbu, a već znamo sigurno da će nam pronađeni korijen odgovarati:

Ukupno smo opet dobili dva odgovora: $x=2$ i $x=3$. Da, pokazalo se da je količina izračuna malo veća nego u vrlo jednostavnoj jednadžbi $\left| x \right|=3$, ali suštinski se ništa nije promijenilo. Pa možda postoji nekakav univerzalni algoritam?

Da, takav algoritam postoji. A sada ćemo to analizirati.

Uklanjanje znaka modula

Neka nam je dana jednadžba $\left| f\left(x \right) \right|=a$, a $a\ge 0$ (inače, kao što već znamo, nema korijena). Tada se možete riješiti znaka modulo prema sljedećem pravilu:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a\Desna strelica f\lijevo(x \desno)=\pm a\]

Dakle, naša jednadžba s modulom se dijeli na dvije, ali bez modula. To je cijela tehnologija! Pokušajmo riješiti nekoliko jednadžbi. Počnimo s ovim

\[\lijevo| 5x+4 \desno|=10\desna strelica 5x+4=\pm 10\]

Posebno ćemo razmatrati kada je desno desetka s plusom, a posebno kada je s minusom. Imamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\desna strelica 5x=-14\desna strelica x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

To je sve! Dobili smo dva korijena: $x=1,2$ i $x=-2,8$. Cijelo rješenje trajalo je doslovno dva retka.

Ok, nema sumnje, pogledajmo nešto malo ozbiljnije:

\[\lijevo| 7-5x \desno|=13\]

Ponovno otvorite modul s plusom i minusom:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\desna strelica -5x=-20\desna strelica x=4. \\\end(align)\]

Opet nekoliko redaka - i odgovor je spreman! Kao što sam rekao, u modulima nema ništa komplicirano. Samo trebate zapamtiti nekoliko pravila. Stoga idemo dalje i nastavljamo sa stvarno težim zadacima.

Varijabilno desno bočno kućište

Sada razmotrite ovu jednadžbu:

\[\lijevo| 3x-2 \desno|=2x\]

Ova se jednadžba bitno razlikuje od svih prethodnih. Kako? A činjenica da je izraz $2x$ desno od znaka jednakosti - i ne možemo unaprijed znati je li pozitivan ili negativan.

Kako biti u tom slučaju? Prvo, to moramo shvatiti jednom zauvijek ako je desna strana jednadžbe negativna, tada jednadžba neće imati korijena- već znamo da modul ne može biti jednak negativnom broju.

I drugo, ako je desni dio i dalje pozitivan (ili jednak nuli), tada možete nastaviti na potpuno isti način kao i prije: samo otvorite modul zasebno sa znakom plus i odvojeno sa znakom minus.

Dakle, formuliramo pravilo za proizvoljne funkcije $f\left(x \right)$ i $g\left(x \right)$:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\Desna strelica \lijevo\( \begin(align)& f\lijevo(x \desno)=\pm g\lijevo(x \desno ), \\& g\lijevo(x \desno)\ge 0. \\\end(align) \desno.\]

S obzirom na našu jednadžbu, dobivamo:

\[\lijevo| 3x-2 \right|=2x\desna strelica \lijevo\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Pa, možemo nekako riješiti zahtjev $2x\ge 0$. Na kraju, možemo glupo zamijeniti korijene koje smo dobili iz prve jednadžbe i provjeriti vrijedi li nejednakost ili ne.

Dakle, riješimo samu jednadžbu:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\desna strelica 3x=0\desna strelica x=0. \\\end(align)\]

Pa, koji od ova dva korijena zadovoljava zahtjev $2x\ge 0$? Da, oboje! Stoga će odgovor biti dva broja: $x=(4)/(3)\;$ i $x=0$. To je resenje. :)

Sumnjam da se jednom od učenika već počelo dosađivati? Pa, razmotrite još složeniju jednadžbu:

\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]

Iako izgleda zlo, zapravo je sve ista jednadžba oblika "modul jednako funkcija":

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)\]

I to se rješava na isti način:

\[\lijevo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \lijevo\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \lijevo(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \desno.\]

Nejednakošću ćemo se pozabaviti kasnije - nekako je previše opaka (zapravo jednostavna, ali je nećemo riješiti). Za sada, pogledajmo dobivene jednadžbe. Razmotrite prvi slučaj - to je kada se modul proširuje znakom plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Pa, ovdje nije pametno da trebate skupiti sve s lijeve strane, donijeti slične i vidjeti što će se dogoditi. I evo što se događa:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Stavljajući zajednički faktor $((x)^(2))$ iz zagrade, dobivamo vrlo jednostavnu jednadžbu:

\[((x)^(2))\lijevo(2x-3 \desno)=0\desna strelica \lijevo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \desno.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Ovdje smo upotrijebili važno svojstvo umnoška, radi kojeg smo rastavili izvorni polinom na faktore: umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Sada ćemo se na isti način pozabaviti drugom jednadžbom koja se dobiva proširenjem modula s predznakom minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\lijevo(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\lijevo(-3x+2 \desno)=0. \\\end(align)\]

Opet, ista stvar: umnožak je nula kada je barem jedan faktor jednak nuli. Imamo:

\[\lijevo[ \početak(poravnaj)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\kraj(poravnaj) \desno.\]

Pa, imamo tri korijena: $x=0$, $x=1,5$ i $x=(2)/(3)\;$. Pa, što će ući u konačni odgovor iz ovog skupa? Da biste to učinili, zapamtite da imamo dodatno ograničenje nejednakosti:

Kako uzeti u obzir ovaj zahtjev? Zamijenimo pronađene korijene i provjerimo vrijedi li nejednakost za ove $x$ ili ne. Imamo:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\desna strelica x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Dakle, korijen $x=1,5$ nam ne odgovara. I samo će dva korijena ići kao odgovor:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kao što vidite, ni u ovom slučaju nije bilo ništa teško - jednadžbe s modulima uvijek se rješavaju prema algoritmu. Samo trebate dobro razumjeti polinome i nejednakosti. Stoga prelazimo na složenije zadatke - već neće biti jedan, već dva modula.

Jednadžbe s dva modula

Do sada smo proučavali samo najjednostavnije jednadžbe - bio je jedan modul i nešto drugo. Poslali smo to “još nešto” u drugi dio nejednadžbe, dalje od modula, da bi se na kraju sve svelo na jednadžbu poput $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)$ ili još jednostavnije $\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=a$.

Ali Dječji vrtić gotovo - vrijeme je da razmislite o nečem ozbiljnijem. Počnimo s ovakvim jednadžbama:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\]

Ovo je jednadžba oblika "modul je jednak modulu". Temeljno važna točka je odsutnost drugih pojmova i čimbenika: samo jedan modul s lijeve strane, još jedan modul s desne strane - i ništa više.

Netko bi sada pomislio da je takve jednadžbe teže riješiti od onih koje smo do sada proučavali. Ali ne: te se jednadžbe još lakše rješavaju. Evo formule:

\[\lijevo| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|\Desna strelica f\lijevo(x \desno)=\pm g\lijevo(x \desno)\]

Sve! Jednostavno izjednačavamo izraze podmodula stavljajući ispred jednog od njih znak plus ili minus. A onda rješavamo dobivene dvije jednadžbe - i korijeni su spremni! Bez dodatnih ograničenja, bez nejednakosti itd. Sve je vrlo jednostavno.

Pokušajmo riješiti ovaj problem:

\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\]

Osnovno Watsone! Otvaranje modula:

\[\lijevo| 2x+3 \desno|=\lijevo| 2x-7 \desno|\desna strelica 2x+3=\pm \lijevo(2x-7 \desno)\]

Razmotrimo svaki slučaj zasebno:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\lijevo(2x-7 \desno)\desna strelica 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Prva jednadžba nema korijena. Jer kada je $3=-7$? Za koje vrijednosti $x$? “Koji je kurac $x$? Jeste li napušeni? Uopće ne postoji $x$”, kažete. I bit ćete u pravu. Dobili smo jednakost koja ne ovisi o varijabli $x$, a pritom je jednakost sama po sebi netočna. Zato nema korijena.

S drugom jednadžbom sve je malo zanimljivije, ali i vrlo, vrlo jednostavno:

Kao što vidite, sve je odlučeno doslovno u nekoliko redaka - ništa drugo nismo ni očekivali od linearne jednadžbe. :)

Kao rezultat, konačni odgovor je: $x=1$.

Pa kako? teško? Naravno da ne. Pokušajmo nešto drugo:

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]

Opet imamo jednadžbu poput $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=\lijevo| g\lijevo(x \desno) \desno|$. Stoga ga odmah prepisujemo, otkrivajući znak modula:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \lijevo(x-1 \desno)\]

Možda će se sada netko zapitati: “Hej, kakve gluposti? Zašto je plus-minus na desnoj strani, a ne na lijevoj strani? Smiri se, sve ću ti objasniti. Zaista, na dobar način, trebali smo prepisati našu jednadžbu na sljedeći način:

Zatim morate otvoriti zagrade, pomaknuti sve članove u jednom smjeru od znaka jednakosti (budući da će jednadžba, očito, biti kvadratna u oba slučaja), a zatim pronaći korijene. Ali morate priznati: kada je “plus-minus” ispred tri pojma (pogotovo kada je jedan od tih pojmova kvadratni izraz), to nekako izgleda kompliciranije od situacije kada je “plus-minus” samo ispred dva Pojmovi.

Ali ništa nas ne sprječava da prepišemo izvornu jednadžbu na sljedeći način:

Što se dogodilo? Da, ništa posebno: samo sam zamijenio lijevu i desnu stranu. Sitnica, koja će nam na kraju malo pojednostaviti život. :)

Općenito, rješavamo ovu jednadžbu, razmatrajući opcije s plusom i minusom:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\lijevo(x-1 \desno)\Desna strelica ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Prva jednadžba ima korijene $x=3$ i $x=1$. Drugi je općenito točan kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\lijevo(x-1 \desno))^(2))\]

Stoga ima jedan korijen: $x=1$. Ali ovaj smo korijen već primili ranije. Dakle, samo dva broja će ući u konačni odgovor:

\[((x)_(1))=3;\kvad ((x)_(2))=1.\]

Misija izvršena! Možete ga uzeti s police i pojesti pitu. Ima ih 2, tvoj prosjek. :)

Važna nota. Imati iste korijene različite opcije proširenje modula znači da se izvorni polinomi rastavljaju na faktore, a među tim faktorima nužno će biti jedan zajednički. Stvarno:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\&\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| \lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x-2 \desno) \desno|. \\\end(align)\]

Jedno od svojstava modula: $\left| a\cdot b \desno|=\lijevo| a \right|\cdot \lijevo| b \right|$ (to jest, modul umnoška jednak je proizvodu modula), tako da se izvorna jednadžba može prepisati na sljedeći način:

\[\lijevo| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|\]

Kao što vidite, stvarno imamo zajednički faktor. Sada, ako sakupite sve module s jedne strane, tada možete izvaditi ovaj množitelj iz zagrade:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|; \\&\lijevo| x-1 \desno|-\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo| x-2 \desno|=0; \\&\lijevo| x-1 \desno|\cdot \lijevo(1-\lijevo| x-2 \desno| \desno)=0. \\\end(align)\]

Pa, sada se sjećamo da je proizvod jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli:

\[\lijevo[ \begin(align)& \lijevo| x-1 \desno|=0, \\& \lijevo| x-2 \desno|=1. \\\end(align) \desno.\]

Tako je izvorna jednadžba s dva modula svedena na dvije najjednostavnije jednadžbe o kojima smo govorili na samom početku lekcije. Takve se jednadžbe mogu riješiti u samo par redaka. :)

Ova se primjedba može činiti nepotrebno kompliciranom i neprimjenjivom u praksi. Međutim, u stvarnosti se možete susresti s mnogo složenijim zadacima od onih koje danas analiziramo. U njima se moduli mogu kombinirati s polinomima, aritmetičkim korijenima, logaritmima itd. A u takvim situacijama, mogućnost snižavanja ukupnog stupnja jednadžbe stavljanjem nečega izvan zagrade može biti vrlo, vrlo zgodna. :)

Sada bih želio analizirati još jednu jednadžbu, koja se na prvi pogled može činiti ludom. Mnogi studenti se "drže" toga - čak i oni koji vjeruju da dobro razumiju module.

Međutim, ovu je jednadžbu još lakše riješiti od one koju smo ranije razmatrali. A ako razumijete zašto, dobit ćete još jedan trik za brzo rješavanje jednadžbi s modulima.

Dakle, jednadžba je:

\[\lijevo| x-((x)^(3)) \desno|+\lijevo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]

Ne, ovo nije tipfeler: to je plus između modula. I trebamo pronaći za koji $x$ je zbroj dvaju modula jednak nuli. :)

U čemu je problem? A problem je u tome što je svaki modul pozitivan broj ili u ekstremnim slučajevima nula. Što se događa kada zbrojite dva pozitivna broja? Očito, opet pozitivan broj:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Posljednji redak može vam dati ideju: jedini slučaj u kojem je zbroj modula nula je ako je svaki modul jednak nuli:

Kada je modul jednak nuli? Samo u jednom slučaju - kada je izraz podmodula jednak nuli:

\[((x)^(2))+x-2=0\desna strelica \lijevo(x+2 \desno)\lijevo(x-1 \desno)=0\desna strelica \lijevo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \desno.\]

Dakle, imamo tri točke u kojima je prvi modul postavljen na nulu: 0, 1 i −1; kao i dvije točke u kojima se drugi modul postavlja na nulu: −2 i 1. Međutim, potrebno je da oba modula budu postavljena na nulu u isto vrijeme, pa među pronađenim brojevima trebamo odabrati one koji se nalaze u oba skupa. Očito, postoji samo jedan takav broj: $x=1$ - to će biti konačan odgovor.

metoda cijepanja

Pa, već smo prošli hrpu zadataka i naučili puno trikova. Mislite li da je to to? Ali ne! Sada ćemo razmotriti konačnu tehniku - i ujedno najvažniju. Govorit ćemo o jednadžbama cijepanja s modulom. O čemu će se razgovarati? Vratimo se malo unatrag i razmotrimo neku jednostavnu jednadžbu. Na primjer, ovo:

\[\lijevo| 3x-5\desno|=5-3x\]

U principu, mi već znamo kako riješiti takvu jednadžbu, jer je to standardni $\left| f\lijevo(x \desno) \desno|=g\lijevo(x \desno)$. Ali pokušajmo ovu jednadžbu pogledati iz malo drugačijeg kuta. Točnije, razmotrite izraz ispod znaka modula. Podsjećam vas da modul bilo kojeg broja može biti jednak samom broju ili može biti suprotan ovom broju:

\[\lijevo| a \right|=\lijevo\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Zapravo, u toj dvosmislenosti je cijeli problem: budući da se broj ispod modula mijenja (ovisi o varijabli), nije nam jasno je li pozitivan ili negativan.

Ali što ako u početku zahtijevamo da taj broj bude pozitivan? Na primjer, zahtijevajmo da $3x-5 \gt 0$ - u ovom slučaju, zajamčeno ćemo dobiti pozitivan broj ispod predznaka modula, i možemo se potpuno riješiti ovog modula:

Tako će se naša jednadžba pretvoriti u linearnu, koja se lako rješava:

Istina, sva ova razmatranja imaju smisla samo pod uvjetom $3x-5 \gt 0$ - sami smo uveli ovaj zahtjev kako bismo nedvosmisleno otkrili modul. Dakle, zamijenimo pronađeni $x=\frac(5)(3)$ u ovaj uvjet i provjerimo:

Ispada da za navedenu vrijednost $x$, naš zahtjev nije ispunjen, jer ispostavilo se da je izraz jednak nuli, a potrebno nam je da bude striktno veći od nule. Tužno. :(

Ali to je u redu! Uostalom, postoji još jedna opcija $3x-5 \lt 0$. Štoviše: postoji i slučaj $3x-5=0$ - to također treba uzeti u obzir, inače će rješenje biti nepotpuno. Dakle, razmotrite slučaj $3x-5 \lt 0$:

Očito je da će se modul otvoriti s predznakom minus. Ali tada dolazi do čudne situacije: isti će izraz stršati i s lijeve i s desne strane izvorne jednadžbe:

Pitam se za koji će takav $x$ izraz $5-3x$ biti jednak izrazu $5-3x$? Od takvih jednadžbi očito bi se i Kapetan ugušio u slini, ali znamo da je ova jednadžba identitetska, tj. vrijedi za bilo koju vrijednost varijable!

A to znači da će nam odgovarati svaki $x$. Međutim, imamo ograničenje:

Drugim riječima, odgovor neće biti jedan broj, već cijeli interval:

Na kraju, ostaje još jedan slučaj za razmatranje: $3x-5=0$. Ovdje je sve jednostavno: ispod modula će biti nula, a modul nule također je jednak nuli (ovo izravno proizlazi iz definicije):

Ali onda je izvorna jednadžba $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bit će prepisano ovako:

Već smo dobili ovaj korijen gore kada smo razmatrali slučaj $3x-5 \gt 0$. Štoviše, ovaj korijen je rješenje jednadžbe $3x-5=0$ - ovo je ograničenje koje smo sami uveli da poništimo modul. :)

Tako ćemo se osim intervalom zadovoljiti i brojem koji se nalazi na samom kraju ovog intervala:

Kombiniranje korijena u jednadžbama s modulom

Ukupni konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nije baš uobičajeno vidjeti takvo sranje u odgovoru na prilično jednostavnu (u suštini linearnu) jednadžbu s modulom Pa, naviknite se: složenost modula leži u činjenici da odgovori u takvim jednadžbama mogu ispasti potpuno nepredvidivi.

Mnogo je važnije nešto drugo: upravo smo demontirali univerzalni algoritam za rješavanje jednadžbe s modulom! A ovaj se algoritam sastoji od sljedećih koraka:

Izjednačite svaki modul u jednadžbi s nulom. Nađimo neke jednadžbe;
Riješite sve ove jednadžbe i označite korijene na brojevnoj crti. Kao rezultat toga, ravna linija će biti podijeljena u nekoliko intervala, na svakom od kojih su svi moduli jedinstveno prošireni;
Riješite izvornu jednadžbu za svaki interval i spojite odgovore.

To je sve! Ostaje samo jedno pitanje: što učiniti sa samim korijenima, dobivenim u prvom koraku? Recimo da imamo dva korijena: $x=1$ i $x=5$. Oni će razbiti brojevnu liniju na 3 dijela:

Rastavljanje brojevnog pravca na intervale pomoću točaka

Dakle, koji su intervali? Jasno je da ih ima tri:

Krajnje lijevo: $x \lt 1$ - sama jedinica nije uključena u interval;
Centralno: $1\le x \lt 5$ - ovdje je jedan uključen u interval, ali pet nije uključen;
Krajnje desno: $x\ge 5$ — pet je uključeno samo ovdje!

Mislim da već razumijete obrazac. Svaki interval uključuje lijevi kraj, ali ne uključuje desni kraj.

Na prvi pogled takav zapis može izgledati neugodno, nelogično i općenito pomalo ludo. Ali vjerujte mi: nakon malo prakse, vidjet ćete da je ovaj pristup najpouzdaniji, au isto vrijeme ne ometa nedvosmisleno otkrivanje modula. Bolje je koristiti takvu shemu nego razmišljati svaki put: dati lijevi / desni kraj trenutnom intervalu ili ga "baciti" na sljedeći.

Ovdje lekcija završava. Preuzmite zadatke za neovisno rješenje, trenirajte, usporedite s odgovorima - i vidimo se na sljedećoj lekciji koja će biti posvećena nejednakostima s modulima. :)

Prvo definiramo predznak izraza ispod predznaka modula, a zatim proširimo modul:

ako je vrijednost izraza veća od nule, onda je jednostavno izvadimo ispod znaka modula,
ako je izraz manji od nule, tada ga vadimo ispod znaka modula, mijenjajući predznak, kao što smo radili ranije u primjerima.

Pa, hoćemo li pokušati? Procijenimo:

(Zaboravio, ponovi.)

Ako je tako, koji je znak? Pa naravno, !

I, stoga, otkrivamo znak modula promjenom znaka izraza:

kužiš Onda pokušajte sami:

odgovori:

Koja druga svojstva ima modul?

Ako trebamo pomnožiti brojeve unutar znaka modula, možemo sigurno pomnožiti module tih brojeva!!!

U matematičkom smislu, modul umnoška brojeva jednak je umnošku modula tih brojeva.

Na primjer:

Ali što ako trebamo podijeliti dva broja (izraza) pod znakom modula?

Da, isto kao i kod množenja! Razdvojimo ga na dva odvojena broja (izraza) pod znakom modula:

pod uvjetom da (budući da ne možete dijeliti s nulom).

Vrijedno je zapamtiti još jedno svojstvo modula:

Modul zbroja brojeva uvijek je manji ili jednak zbroju modula ovih brojeva:

Zašto je to? Sve je vrlo jednostavno!

Kao što se sjećamo, modul je uvijek pozitivan. Ali pod znakom modula može biti bilo koji broj: i pozitivan i negativan. Pretpostavimo da su brojevi i pozitivni. Tada će lijevi izraz biti jednak desnom izrazu.

Pogledajmo primjer:

Ako je ispod znaka modula jedan broj negativan, a drugi pozitivan, lijevi izraz će uvijek biti manji od desnog:

Čini se da je s ovim svojstvom sve jasno, razmotrimo još nekoliko korisnih svojstava modula.

Što ako imamo ovaj izraz:

Što možemo učiniti s ovim izrazom? Ne znamo vrijednost x, ali već znamo što, što znači.

Broj je veći od nule, što znači da možete jednostavno napisati:

Tako smo došli do drugog svojstva, koje se općenito može predstaviti na sljedeći način:

Što znači ovaj izraz:

Dakle, moramo definirati znak ispod modula. Treba li ovdje definirati znak?

Naravno da ne, ako se sjetite da je svaki broj na kvadrat uvijek veći od nule! Ako se ne sjećate pogledajte temu. I što se događa? I evo što:

Super je, zar ne? Sasvim povoljno. A sada konkretan primjer popraviti:

Pa zašto sumnjati? Djelujmo hrabro!

Jeste li sve razumjeli? Zatim samo naprijed i vježbajte s primjerima!

1. Pronađite vrijednost if izraza.

2. Kojim brojevima je jednak modul?

3. Pronađite značenje izraza:

Ako još nije sve jasno i postoje poteškoće u donošenju odluka, onda ćemo to shvatiti:

Rješenje 1:

Dakle, zamijenimo vrijednosti u izrazu

Rješenje 2:

Kao što se sjećamo, suprotni brojevi su modulo jednaki. To znači da je vrijednost modula jednaka dvama brojevima: i.

Rješenje 3:

a)
b)
u)
G)

Jeste li sve uhvatili? Onda je vrijeme da prijeđete na nešto kompliciranije!

Pokušajmo pojednostaviti izraz

Riješenje:

Dakle, sjećamo se da vrijednost modula ne može biti manja od nule. Ako je broj ispod znaka modula pozitivan, tada možemo jednostavno odbaciti znak: modul broja bit će jednak ovom broju.

Ali ako je ispod znaka modula negativan broj, tada je vrijednost modula jednaka suprotnom broju (to jest, broju uzetom sa znakom “-”).

Da biste pronašli modul bilo kojeg izraza, prvo morate saznati ima li on pozitivnu ili negativnu vrijednost.

Ispada, vrijednost prvog izraza pod modulom.

Stoga je izraz pod znakom modula negativan. Drugi izraz ispod znaka modula je uvijek pozitivan, jer zbrajamo dva pozitivna broja.

Dakle, vrijednost prvog izraza pod znakom modula je negativna, drugi je pozitivan:

To znači da, kada proširujemo predznak modula prvog izraza, ovaj izraz moramo uzeti sa predznakom “-”. Kao ovo:

U drugom slučaju jednostavno ispuštamo znak modula:

Pojednostavimo ovaj izraz u cijelosti:

Modul broja i njegova svojstva (stroge definicije i dokazi)

Definicija:

Modul ( apsolutna vrijednost) brojevi su sam broj if, i broj if:

Na primjer:

Primjer:

Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Osnovna svojstva modula

Za sve:

Primjer:

Dokažite svojstvo #5.

Dokaz:

Pretpostavimo da postoje

Kvadriramo lijevi i desni dio nejednadžbe (to se može učiniti jer su oba dijela nejednadžbe uvijek nenegativna):

a to je u suprotnosti s definicijom modula.

Posljedično, takvih nema, što znači da za svu nejednakost

Primjeri za neovisno rješenje:

1) Dokažite svojstvo #6.

2) Pojednostavite izraz.

odgovori:

1) Iskoristimo svojstvo br. 3: , a budući da, onda

Radi pojednostavljenja, morate proširiti module. A da biste proširili module, morate saznati jesu li izrazi ispod modula pozitivni ili negativni?

a. Usporedimo brojeve i i:

b. Sada usporedimo:

Zbrajamo vrijednosti modula:

Apsolutna vrijednost broja. Ukratko o glavnom.

Modul (apsolutna vrijednost) broja je sam broj if, i broj if:

Svojstva modula:

Modul broja je nenegativan broj: ;
Moduli suprotnih brojeva su jednaki: ;
Modul umnoška dvaju (ili više) brojeva jednak je umnošku njihovih modula: ;
Modul kvocijenta dvaju brojeva jednak je kvocijentu njihovih modula: ;
Modul zbroja brojeva uvijek je manji od ili jednak je zbroju moduli ovih brojeva: ;
Konstantni pozitivni faktor može se uzeti iz znaka modula: at;

modulni broj naziva se sam ovaj broj ako je nenegativan, ili isti broj sa suprotnim predznakom ako je negativan.

Na primjer, modul od 5 je 5, a modul od -5 je također 5.

To jest, modul broja se shvaća kao apsolutna vrijednost, apsolutna vrijednost ovog broja bez uzimanja u obzir njegovog znaka.

Označava se kako slijedi: |5|, | x|, |a| itd.

Pravilo:

Objašnjenje:

|5| = 5
Ona glasi ovako: modul broja 5 je 5.

|–5| = –(–5) = 5
Ona glasi ovako: modul broja -5 je 5.

|0| = 0
Ona glasi ovako: modul nule je nula.

Svojstva modula:

1) Modul broja je nenegativan broj:

|a| ≥ 0

2) Moduli suprotnih brojeva su jednaki:

|a| = |–a|

3) Kvadrat modula broja jednak je kvadratu ovog broja:

|a| 2 = a2

4) Modul umnoška brojeva jednak je umnošku modula ovih brojeva:

|a · b| = |a| · | b|

6) Modul privatnih brojeva jednak je omjeru modula ovih brojeva:

|a : b| = |a| : |b|

7) Modul zbroja brojeva manji je ili jednak zbroju njihovih modula:

|a + b| ≤ |a| + |b|

8) Modul razlike brojeva manji je ili jednak zbroju njihovih modula:

|a – b| ≤ |a| + |b|

9) Modul zbroja/razlike brojeva veći je ili jednak modulu razlike između njihovih modula:

|a ± b| ≥ ||a| – |b||

10) Konstantni pozitivni faktor može se izbaciti iz znaka modula:

|m · a| = m · | a|, m >0

11) Stupanj broja može se uzeti iz oznake modula:

|a k | = | a| k ako k postoji

12) Ako | a| = |b|, zatim a = ± b

Geometrijsko značenje modula.

Modul broja je udaljenost od nule do tog broja.

Na primjer, uzmimo opet broj 5. Udaljenost od 0 do 5 je ista kao od 0 do -5 (slika 1). A kada nam je važno znati samo duljinu odsječka, onda znak ne samo da nema smisla, nego nema smisla. Međutim, to nije posve točno: udaljenost mjerimo samo pozitivnim brojevima – ili nenegativnim brojevima. Neka vrijednost podjele naše ljestvice bude 1 cm, tada je duljina segmenta od nula do 5 5 cm, od nula do -5 također 5 cm.

U praksi se udaljenost često ne mjeri samo od nule - bilo koji broj može biti referentna točka (slika 2). Ali suština se time ne mijenja. Zapis oblika |a – b| izražava udaljenost između točaka a i b na brojevnoj crti.

Primjer 1. Riješite jednadžbu | x – 1| = 3.

Riješenje .

Smisao jednadžbe je da udaljenost između točaka x a 1 je jednako 3 (slika 2). Dakle, od točke 1 brojimo tri podjeljka lijevo i tri podeljka desno - i jasno vidimo obje vrijednosti x:
x 1 = –2, x 2 = 4.

Možemo izračunati.

│x – 1 = 3
│x – 1 = –3

│x = 3 + 1
│x = –3 + 1

│x = 4
│ x = –2.

odgovor: x 1 = –2; x 2 = 4.

Primjer 2. Pronađite modul izraza:

Riješenje .

Prvo saznajmo je li izraz pozitivan ili negativan. Da bismo to učinili, transformiramo izraz tako da se sastoji od homogenih brojeva. Nemojmo tražiti korijen od 5 - prilično je teško. Učinimo to lakše: podižemo 3 i 10 na korijen. Zatim uspoređujemo veličinu brojeva koji čine razliku:

3 = √9. Prema tome, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vidimo da je prvi broj manji od drugog. To znači da je izraz negativan, odnosno da je njegov odgovor manji od nule:

3√5 – 10 < 0.

Ali prema pravilu, modul negativnog broja je isti broj sa suprotnim predznakom. Imamo negativan izraz. Stoga je potrebno promijeniti njegov predznak u suprotan. Suprotno od 3√5 - 10 je -(3√5 - 10). Otvorimo zagrade u njemu - i dobit ćemo odgovor:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

odgovori .

Uputa

Ako je modul predstavljen kao kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |h| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modul je nula, a modul bilo kojeg pozitivnog broja je njegov modul. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov znak mijenja iz minusa u plus. Iz toga slijedi zaključak da su moduli suprotnosti jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul složeni broj nalazi se po formuli: |a| = √b ² + c ² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan broj kao množitelj, tada se može izvaditi iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Ako je argument predstavljen kao složeni broj, tada je radi lakšeg izračuna dopušten redoslijed članova izraza u uglatim zagradama: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Argument podignut na potenciju je istovremeno pod predznakom korijena istog reda - rješava se s: √a² = |a| = ±a.

Ako pred sobom imate zadatak koji ne specificira uvjet za proširenje zagrada modula, ne morate ih se riješiti - to će biti konačni rezultat. A ako ih želite otvoriti, morate navesti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b)) ². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Budući da je predznak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| >

Modul nule jednak je nuli, a modul bilo kojeg pozitivnog broja jednak je samom sebi. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov znak mijenja iz minusa u plus. Iz toga slijedi zaključak da su moduli suprotnih brojeva jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnog broja nalazi se po formuli: |a| = √b ² + c ² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivni cijeli broj kao množitelj, tada se može izvaditi iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Modul ne može biti negativan, pa se svaki negativni broj pretvara u pozitivan: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ako je argument predstavljen kao složeni broj, tada je radi lakšeg izračuna dopušteno promijeniti redoslijed članova izraza u uglastim zagradama: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Slično, razlika z 1 - z 2 kompleksnih brojeva z 1 i z 2 odgovara razlici vektora koji odgovaraju brojevima z 1 i z 2. Modul dvaju kompleksnih brojeva z 1 i z 2, po definiciji modula , je duljina vektora z 1 - z 2. Konstruirajmo vektor , kao zbroj dva vektora z 2 i (- z 1). Dobivamo vektor jednak vektoru.Zbog toga postoji duljina vektora, odnosno modul razlike dvaju kompleksnih brojeva je udaljenost između točaka kompleksne ravnine koje odgovaraju tim brojevima.

6. Argumenti kompleksnog broja. Argument kompleksnog broja z= a + ib je kut između pozitivnog smjera realne osi i vektora z; vrijednost kuta smatra se pozitivnom ako se broji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnom ako se broji u smjeru kazaljke na satu.

Za označavanje činjenice da je broj j argument broja z= a+ ib, napišite j=argz ili j=arg (a+ib).

Za broj z=0 argument nije definiran. Stoga ćemo u svim narednim argumentima vezanim uz pojam argumenta pretpostaviti da: Imajte na umu da je specificiranjem modula i argumenta kompleksni broj jednoznačno određen; broj z=0 je jedini broj koji se određuje navođenjem samo njegovog modula.

S druge strane, ako je dan kompleksan broj, tada je, očito, modul tog broja uvijek definiran jednoznačno, za razliku od argumenta, koji je uvijek definiran višeznačno: ako je j neki argument broja z, tada je kutovi j + 2pk također su argumenti broja z.

Iz definicije trigonometrijskih funkcija proizlazi da ako je j=arg (a+ib), tada vrijedi sljedeći sustav

Primjer 4 Koliko rješenja ima sustav jednadžbi

a) Nacrtaj u jednoj kompleksnoj ravnini brojeve čiji su moduli jednaki 3 i 1

pronađi modul1- ja: .

Imajte na umu da nijedna točka na većem krugu nije

blizu manjeg na udaljenost jednaku ,

odakle slijedi da sustav nema korijena.

Kada se pomakne za 3 ja samo jedna točka manjeg kruga, dobivamo da ova točka pada na

drugi krug.

Ova točka će biti rješenje sustava.

c) Nacrtajte u jednoj kompleksnoj ravnini brojeve čiji su moduli jednaki 1.

Imajte na umu da kada se samo dvije točke pomaknu za jedan ulijevo, dolazimo do iste kružnice, što znači da će ta dva broja biti rješenja sustava.

7. Algebarski i trigonometrijski oblici kompleksnog broja. Zapisivanje kompleksnog broja z kao a + ib zove se algebarski oblik složeni broj.

Razmotrite druge oblike pisanja kompleksnih brojeva. Neka je r modul i j jedan od argumenata kompleksnog broja z= a+ ib, tj. r = ,j=arg (a+ib). Tada iz formule (5) slijedi da je, dakle,

Zapisivanje kompleksnog broja u obliku naziva se it trigonometrijski oblik.

Za prelazak s algebarskog oblika kompleksnog broja a + ib na trigonometrijski dovoljno je pronaći njegov modul i jedan od argumenata.

Primjer 5 Koji je skup točaka kompleksne ravnine zadan uvjetom

a) Moramo konstruirati točke koje, kada se pomaknu prema dolje za ja a desno po 1 učilo bi se jednako udaljeno od ishodišta, odakle

da bismo konstruirali skup točaka koje zadovoljavaju dani uvjet, moramo:

1) izgradite skup točaka jednako udaljenih od ishodišta za 2

2) pomaknite ga za 1 ulijevo i ja gore

b) Moramo konstruirati točke koje bi se nalazile bliže točki - ja nego da se 2i , Ove točke su označene na slici.

c) Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi

Odnosno, ti će se brojevi ukloniti na daljinu

1 desno. U ovom slučaju, ako je ispunjen drugi uvjet, y će dobiti kut prikazan na slici.

To jest, to će biti točke udaljene od ishodišta koordinata ne više od 1, a istovremeno isključuju broj 0. Uzimajući u obzir drugi i treći uvjet, dobivamo:

f) Da bi se konstruirale točke koje zadovoljavaju prvi uvjet, potrebno je pomaknuti točke koje su udaljene 1,

1 desno. U isto vrijeme, uzimajući u obzir druge uvjete, dobivamo

željeni skup točaka.

Primjer 6 Hoće li sljedeći izrazi biti trigonometrijski oblik broja

Trigonometrijski oblik zapisa broja bit će samo izraz a), jer jedino on zadovoljava definiciju trigonometrijskog oblika zapisa broja (a za sve trigonometrijske funkcije kutovi moraju biti jednaki, a također ako izračunate vrijednost izraz, onda mora biti jednak).

8. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Neka

Na ovaj način, modul i umnožak dva kompleksna broja jednak je umnošku modula faktora, a zbroj argumenata faktora je argument umnoška.

Neka, dakle

Na ovaj način, modul kvocijenta dvaju kompleksnih brojeva jednak je kvocijentu modula djelitelja i djelitelja, a razlika između argumenata djelitelja i djelitelja je argument česti.

9. Potenciranje i vađenje korijena. Formula (6) za umnožak dva kompleksna broja može se generalizirati na slučaj faktora. Koristeći metodu matematičke indukcije, lako je pokazati da su if-argumenti brojevi, odnosno, tada

Odavde se, kao poseban slučaj, dobiva formula koja daje pravilo za dizanje kompleksnog broja na pozitivnu cjelobrojnu potenciju:

Na ovaj način, kada se kompleksni broj diže na potenciju s prirodnim eksponentom, njegov modul se diže na potenciju s istim eksponentom, a argument se množi s eksponentom.

Formula (8) naziva se De Moivreova formula.

Broj se naziva korijen broja w(označeno ako

Ako a w=0, zatim za bilo koji n jednadžba ima jedno i samo jedno rješenje z= 0.

Neka sad.Zamisli z i w u trigonometrijskom obliku:

Tada će jednadžba poprimiti oblik

Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im moduli jednaki i njihovi se argumenti razlikuju višekratnikom od 2 str. Posljedično,

Dakle, sva rješenja jednadžbe dana su formulom

Doista, navođenje broja k u formuli (9) su cjelobrojne vrijednosti različite od 0, 1, …, ( n-1), ne dobivamo druge kompleksne brojeve.

Formula (9) se zove De Moivreova druga formula.

Dakle, ako , Tada postoji točno n stupanj korijena n od broja w: svi su sadržani u formuli (9).

Konkretno, ako je =2, tada jednadžba ima dva korijena:

to jest, ti su korijeni simetrični u odnosu na ishodište.

Također je lako dobiti iz formule (9) da ako su tada točke koje predstavljaju sve korijene jednadžbe vrhovi pravilnog n- kvadrat upisan u krug sa središtem u točki z=0 i radijus .

Iz navedenog proizlazi da simbol nema jednoznačno značenje. Stoga, kada ga koristite, treba jasno razumjeti što se pod tim podrazumijeva. Na primjer, kada koristite notaciju, treba paziti da bude jasno odnosi li se to na par kompleksnih brojeva ja i -i, ili jedan, i ako jedan, koji.

Primjer 7 Napiši u trigonometrijskom obliku:

b) Otkad, dakle, odakle.

Od, dakle, odakle

c) Otkad, dakle, odakle.

10. Kvadratne jednadžbe. NA školski tečaj algebre, razmatrane su kvadratne jednadžbe

s realnim koeficijentima a, b, c. Tamo je pokazano da ako je diskriminant jednadžbe (10) nenegativan, tada su rješenja takve jednadžbe dana formulom

Ako je , rečeno je da jednadžba nema rješenja.

Za izvođenje formule (11) upotrijebili smo metodu izdvajanja kvadrata trinoma, nakon čega je slijedila dekompozicija lijeve strane na linearne faktore:

iz koje je dobivena formula (11). Očito, svi ovi izračuni ostaju na snazi čak i kada a, b, c su kompleksni brojevi, a korijeni jednadžbe nalaze se u skupu kompleksnih brojeva.

Dakle, u skupu kompleksnih brojeva, jednadžba

uvijek dozvoljeno. Ako jednadžba ima jedan korijen, jednadžba ima dva korijena. U svim slučajevima vrijedi formula za korijene kvadratne jednadžbe

gdje se podrazumijevaju sve vrijednosti korijena.

Primjer 8 riješiti jednadžbu

a) Ova jednadžba je kvadratna.

i zbog toga x i g zadovoljiti sustav

i x i g

primijeti da x

Kada dobijemo:

Riješimo jednadžbu (*): x 4 +15x 2 -16 =0 je kvadratna jednadžba s obzirom na x 2, odakle

Vratimo se sustavu:

b) Ova jednadžba je kvadratna.