Kolika je visina pravokutnog trokuta. Pravokutni trokut. Detaljna teorija s primjerima. IV. Uz krak i oštar kut

Trokuti.

Osnovni koncepti.

Trokut- ovo je lik koji se sastoji od tri segmenta i tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.

Segmenti se nazivaju stranke, i bodova vrhovi.

Zbroj kutova trokut je jednak 180º.

Visina trokuta.

Visina trokuta je okomica povučena iz vrha na suprotnu stranu.

U šiljastokutnom trokutu visina je sadržana unutar trokuta (slika 1).

U pravokutnom trokutu katete su visine trokuta (slika 2).

Kod tupokutnog trokuta visina prolazi izvan trokuta (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trokuta.

Simetrala trokuta- ovo je segment koji prepolovljuje kut vrha i povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trokuta.

Medijan trokuta- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Duljina medijana može se izračunati pomoću formule: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 gdje m a- sredina povučena u stranu a. U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu je polovica hipotenuze: c mc = — 2 gdje mc je medijan povučen na hipotenuzu c(Slika 9c) Medijani trokuta sijeku se u jednoj točki (u središtu mase trokuta) i tom su točkom podijeljeni u omjeru 2:1, računajući od vrha. To jest, odsječak od vrha do središta dvostruko je veći od odsječka od središta do stranice trokuta (slika 9c). Tri središnje strane trokuta dijele ga na šest trokuta jednakih površina.

Srednja linija trokuta.

Srednja linija trokuta- ovo je segment koji povezuje središnje točke njegovih dviju strana (slika 10).

Sredina trokuta paralelna je s trećom stranicom i jednaka je njezinoj polovici.

Vanjski kut trokuta.

vanjski kut trokut jednak je zbroju dva nesusjedna unutarnji kutovi(slika 11).

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg nesusjednog kuta.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut- ovo je trokut koji ima pravi kut (slika 12).

Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane su tzv noge.

Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu, visina povučena iz pravi kut, tvori tri slična trokuta: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, kutovi koje čini visina jednaki su kutovima A i B.

Slika 14a

Jednakokračan trokut.

Jednakokračan trokut- ovo je trokut u kojem su dvije strane jednake (slika 13).

Te jednake strane nazivaju se strane, i treći osnova trokut.

U jednakokračnom trokutu kutovi na osnovici su jednaki. (U našem trokutu, kut A jednaka kutu C).

U jednakokračnom trokutu, središnja povučena na osnovicu je i simetrala i visina trokuta.

Jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trokuta:

Izvanredna svojstva trokuta.

Trokuti imaju izvorna svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme povezane s tim oblicima. Neka od ovih svojstava navedena su gore. Ali mi ih opet ponavljamo, dodajući im još nekoliko sjajnih značajki:

1) U pravokutnom trokutu s kutovima 90º, 30º i 60º krak je b, koji leži nasuprot kutu od 30º, jednako je polovica hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (Sl. 15 a). Na primjer, ako je krak od b 5, tada je hipotenuza c nužno jednak 10, a kat a jednako 5√3. 2) U pravokutnom jednakokračnom trokutu s kutovima od 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta krak (sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, tada je hipotenuza 5√2. 3) Srednja linija trokuta jednaka je polovici paralelne stranice (sl. 15. S). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja linija paralelna s njom 5. 4) U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je polovici hipotenuze (slika 9c): mc= c/2. 5) Medijane trokuta, koje se sijeku u jednoj točki, dijele se ovom točkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do točke presjeka medijana dvostruko je duži od segmenta od točke presjeka medijana do stranice trokuta (slika 9c) 6) U pravokutnom trokutu polovište hipotenuze je središte opisane kružnice (sl. 15. d).

Znakovi jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti: Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i kutovi uz nju jednog trokuta jednaki stranici i kutovima uz nju drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trokutu svaka je stranica manja od zbroja druge dvije stranice.

Pitagorin poučak.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trokuta.

1) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranu:

Ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa kuta između njih:

1
S = — AB · AC · grijeh A
2

Trokut opisan krugu.

Kružnicu nazivamo upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove stranice (sl. 16 a).

Trokut upisan u krug.

Trokut se naziva upisanim u krug ako ga dodiruje svim vrhovima (slika 17. a).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta (slika 18).

Sinus oštar kut x suprotan kateter na hipotenuzu.
Označava se ovako: grijehx.

Kosinus oštar kut x pravokutni trokut je omjer susjedni kateter na hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: cos x.

Tangens oštar kut x je omjer suprotnog kraka prema susjednom kraku.
Označava se ovako: tgx.

Kotangens oštar kut x je omjer susjednog i suprotnog kraka.
Označava se ovako: ctgx.

Pravila:

Noga suprotni kut x, jednak je proizvodu hipotenuza na sin x:

b=c grijeh x

Noga uz kut x, jednak je umnošku hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga suprotni kut x, jednak je umnošku drugog kraka i tg x:

b = a tg x

Noga uz kut x, jednak je umnošku drugog kraka i ctg x:

a = b ctg x.

Za bilo koji oštar kut x:

grijeh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x

Svojstvo: 1. U bilo kojem pravokutnom trokutu, visina spuštena s pravog kuta (na hipotenuzu) dijeli pravokutni trokut na tri slična trokuta.

Nekretnina: 2. Visina pravokutnog trokuta spuštena na hipotenuzu jednaka je sredini geometrijske projekcije kateta na hipotenuzi (ili geometrijskoj sredini onih odsječaka na koje visina dijeli hipotenuzu).

Nekretnina: 3. Kateta je jednaka geometrijskoj sredini hipotenuze i projekciji te katete na hipotenuzu.

Nekretnina: 4. Krak naspram kuta od 30 stupnjeva jednak je polovici hipotenuze.

Formula 1.

Formula 2. gdje je hipotenuza; , klizaljke.

Nekretnina: 5. U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je njezinoj polovici i jednak je polumjeru opisane kružnice.

Svojstvo: 6. Ovisnost stranica i kutova pravokutnog trokuta:

44. Kosinusni teorem. Posljedice: veza između dijagonala i stranica paralelograma; određivanje vrste trokuta; formula za izračunavanje duljine medijana trokuta; izračunavanje kosinusa kuta trokuta.

Kraj posla -

Ova tema pripada:

Klasa. Program kolokvija Osnove planimetrije

Svojstvo susjednih kutova.. definicija dvaju kutova su susjedni ako jedna stranica imaju zajedničku u druge dvije čine ravnu liniju..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretragu u našoj bazi radova:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako se ovaj materijal pokazao korisnim za vas, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan od kutova prav, odnosno jednak 90 stupnjeva.

• Stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza. c ili AB)
• Stranica uz pravi kut naziva se krak. Svaki pravokutni trokut ima dvije noge (označene kao a i b ili AC i BC)

Formule i svojstva pravokutnog trokuta

Oznake formule:

(vidi sliku gore)

a, b- noge pravokutnog trokuta

c- hipotenuza

α, β - oštri kutovi trokuta

S- kvadrat

h- visina spuštena s vrha pravog kuta na hipotenuzu

m a a iz suprotnog ugla ( α )

m b- sredina povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )

mc- sredina povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )

NA pravokutni trokut oba kateta su manja od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posljedica Pitagorinog teorema.

Kosinus bilo kojeg oštrog kuta manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo slijedi iz prethodnog. Budući da je bilo koja kateta manja od hipotenuze, omjer katete i hipotenuze uvijek je manji od jedan.

Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta (Pitagorin poučak). (Formula 5). Ovo se svojstvo stalno koristi u rješavanju problema.

Površina pravokutnog trokuta jednako polovici produkta krakova (Formula 6)

Zbroj kvadrata medijana na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno s četiri (Formula 7). Osim navedenog, postoji Još 5 formula, stoga je preporučljivo da se upoznate i s lekcijom " Medijana pravokutnog trokuta ", koja detaljnije opisuje svojstva medijane.

Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih s hipotenuzom (Formula 8)

Kvadrati kateta obrnuto su proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Taj identitet je također jedna od posljedica Pitagorinog teorema.

Duljina hipotenuze jednak promjeru (dva polumjera) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravokutnog trokuta je promjer opisane kružnice. Ovo se svojstvo često koristi u rješavanju problema.

Upisani radijus u pravokutni trokut krugovi može se pronaći kao polovica izraza, koji uključuje zbroj kateta ovog trokuta minus duljina hipotenuze. Ili kao umnožak kateta podijeljen zbrojem svih stranica (opsega) danog trokuta. (Formula 11)
Sinus kuta suprotan ovaj kutak krak prema hipotenuzi(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo se svojstvo koristi pri rješavanju problema. Znajući dimenzije stranica, možete pronaći kut koji one čine.

Kosinus kuta A (α, alfa) u pravokutnom trokutu bit će jednak odnos susjedni ovaj kutak krak prema hipotenuzi(po definiciji sinusa). (Formula 13)

(ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu, stranicu nasuprot pravog kuta.

Savjet 1: Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu

Stranice koje tvore pravi kut zovu se katete. Bočni crtež AD, DC i BD, DC- noge i strane AC i SW- hipotenuza.

Teorem 1. U pravokutnom trokutu s kutom od 30° krak nasuprot tom kutu otrgnut će se do polovice hipotenuze.

hC

AB- hipotenuza;

OGLAS i DB

Trokut
Postoji teorem:
sustav komentiranja CACKLE

Rješenje: 1) Dijagonale bilo kojeg pravokutnika su jednake Točno 2) Ako u trokutu postoji jedan oštar kut, onda je taj trokut šiljastokutan. Nije istina. Vrste trokuta. Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta oštra, odnosno manja od 90 ° 3) Ako točka leži na.

Ili, u drugom postu,

Prema Pitagorinoj teoremi

Kolika je visina u formuli pravokutnog trokuta

Visina pravokutnog trokuta

Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu može se pronaći na ovaj ili onaj način, ovisno o podacima u tekstu zadatka.

Ili, u drugom postu,

Gdje su BK i KC projekcije kateta na hipotenuzu (odsječke na koje visina dijeli hipotenuzu).

Visina povučena na hipotenuzu može se pronaći kroz područje pravokutnog trokuta. Ako primijenimo formulu za pronalaženje površine trokuta

(polovica umnoška stranice i visine povučene na ovu stranicu) na hipotenuzu i visinu povučenu na hipotenuzu, dobivamo:

Odavde možemo pronaći visinu kao omjer dvostrukog područja trokuta i duljine hipotenuze:

Budući da je površina pravokutnog trokuta polovica proizvoda nogu:

Odnosno, duljina visine povučene na hipotenuzu jednaka je omjeru produkta kateta i hipotenuze. Ako duljine kateta označimo kroz a i b, duljinu hipotenuze kroz c, formula se može prepisati kao

Budući da je polumjer kružnice opisane pravokutnom trokutu jednak polovici hipotenuze, duljina visine može se izraziti preko kateta i polumjera opisane kružnice:

Budući da visina povučena na hipotenuzu tvori još dva pravokutna trokuta, njezina se duljina može pronaći kroz omjere u pravokutnom trokutu.

Iz pravokutnog trokuta ABK

Iz pravokutnog trokuta ACK

Duljina visine pravokutnog trokuta može se izraziti preko duljina kateta. Jer

Prema Pitagorinoj teoremi

Ako kvadriramo obje strane jednadžbe:

Možete dobiti drugu formulu za povezivanje visine pravokutnog trokuta s krakovima:

Kolika je visina u formuli pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut. Prosječna razina.

Želite li testirati svoju snagu i saznati koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili OGE?

Glavni teorem pravokutnog trokuta je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - obnovite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit. Kako biste to dokazali? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente duljina i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledajte sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? Ispravno, . Što je s manjim područjem? Naravno, . Ostaje ukupna površina četiri ugla. Zamislimo da smo uzeli dva od njih i prislonili ih hipotenuzama. Što se dogodilo? Dva pravokutnika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Idemo sad sve spojiti.

Pa smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na antički način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede relacije:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens šiljastog kuta jednak je omjeru susjednog i suprotnog kraka.

I još jednom, sve to u obliku tanjura:

Jeste li primijetili jednu vrlo zgodnu stvar? Pažljivo pogledajte tanjur.

Vrlo je udoban!

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

II. Po kateti i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Uz krak i oštar kut

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su noge "korespondentne". Na primjer, ako ide ovako:

TADA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.

Moram U oba trokuta krak je bio susjedan, ili u oba - nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu “Trokut” i obratite pozornost da je za jednakost “običnih” trokuta potrebna jednakost triju njihovih elemenata: dviju stranica i kuta između njih, dvaju kutova i stranice između njih, ili tri strane. Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Super je, zar ne?

Približno ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znaci sličnosti pravokutnog trokuta

III. Po kateti i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Razmotrite cijeli pravokutnik umjesto pravokutnog trokuta.

Nacrtajte dijagonalu i razmotrite točku u kojoj se dijagonale sijeku. Što znaš o dijagonalama pravokutnika?

Sjecište dijagonala raspolavlja Dijagonale su jednake

I što iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo da

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što još više iznenađuje jest da vrijedi i obrnuto.

Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen na hipotenuzu jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj bolje. Imamo: , to jest, ispostavilo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednake. Ali u trokutu postoji samo jedna točka, udaljenosti od koje su otprilike sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE opisanog kruga. Dakle, što se dogodilo?

Pa počnimo s ovim "osim toga. ".

Ali u sličnim trokutima svi su kutovi jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada to zajedno nacrtajmo:

Oba imaju iste oštre kutove!

Koja se korist može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapisujemo odnose korespondentnih strana:

Da bismo pronašli visinu, riješimo proporciju i dobijemo Prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Kako dobiti drugu?

A sada primjenjujemo sličnost trokuta i.

Dakle, primijenimo sličnost: .

Što će se sada dogoditi?

Opet rješavamo udio i dobivamo drugu formulu "Visina u pravokutnom trokutu":

Obje ove formule moraju se jako dobro zapamtiti i primijeniti onu koja je zgodnija. Zapišimo ih opet.

Pa, sada, primjenjujući i kombinirajući ovo znanje s drugima, riješit ćete svaki problem s pravokutnim trokutom!

Komentari

Distribucija materijala bez odobrenja dopuštena je ako postoji dofollow poveznica na izvornu stranicu.

Politika privatnosti

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontakt s njom.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima. S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju. Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta spušteno na hipotenuzu

Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa. U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Hvala na poruci!

Vaš komentar je prihvaćen, nakon moderiranja bit će objavljen na ovoj stranici.

Želite li znati što se krije ispod kroja i dobiti ekskluzivne materijale o pripremi za OGE i USE? Ostavite e-mail

Svojstva pravokutnog trokuta

Razmotrimo pravokutni trokut (ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu, stranicu nasuprot pravog kuta. Stranice koje tvore pravi kut zovu se katete. Bočni crtež AD, DC i BD, DC- noge i strane AC i SW- hipotenuza.

Znakovi jednakosti pravokutnog trokuta:

Teorem 1. Ako su hipotenuza i krak pravokutnog trokuta slični hipotenuzi i kraku drugog trokuta, tada su ti trokuti jednaki.

Teorem 2. Ako su dvije noge pravokutnog trokuta jednake dvjema kracima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Teorem 3. Ako su hipotenuza i šiljasti kut pravokutnog trokuta slični hipotenuzi i šiljastom kutu nekog drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Teorem 4. Ako su krak i susjedni (nasuprotni) šiljasti kut pravokutnog trokuta jednaki kraku i susjedni (nasuprotni) šiljasti kut drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Svojstva kraka nasuprot kutu od 30 °:

Teorem 1.

Visina u pravokutnom trokutu

U pravokutnom trokutu s kutom od 30°, krak nasuprot tom kutu potrgat će se na polovicu hipotenuze.

Teorem 2. Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovici hipotenuze, tada je suprotni kut 30°.

Ako se visina povuče iz vrha pravog kuta na hipotenuzu, tada se takav trokut dijeli na dva manja, slična izlaznom i slična jedan drugome. Iz ovoga proizlaze sljedeći zaključci:

1. Visina je geometrijska sredina (proporcionalna srednja vrijednost) dva segmenta hipotenuze.
2. Svaka kateta trokuta je sredina proporcionalna hipotenuzi i susjednim segmentima.

U pravokutnom trokutu katete djeluju kao visine. Ortocentar je točka u kojoj se sijeku visine trokuta. Poklapa se s vrhom pravog kuta figure.

hC- visina koja izlazi iz pravog kuta trokuta;

AB- hipotenuza;

OGLAS i DB- segmenti koji su nastali dijeljenjem hipotenuze po visini.

Povratak na pregled referenci o disciplini "Geometrija"

Trokut- ovo je geometrijski lik, koji se sastoji od tri točke (vrhovi) koje nisu na istoj ravnoj liniji i tri segmenta koji povezuju te točke. Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan od kutova od 90° (pravi kut).
Postoji teorem: zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta je 90°.
sustav komentiranja CACKLE

Ključne riječi: trokut, pravokutnik, kateta, hipotenuza, Pitagorin poučak, krug

Trokut tzv pravokutan ako ima pravi kut.
Pravokutni trokut ima dvije međusobno okomite stranice tzv noge; treća strana se zove hipotenuza.

• Prema svojstvima okomite i kose hipotenuze svaka je kateta duža (ali manja od svog zbroja).
• Zbroj dva šiljasta kuta pravokutnog trokuta jednak je pravokutnom kutu.
• Dvije visine pravokutnog trokuta poklapaju se s njegovim katetama. Dakle, jedna od četiri izvanredne točke pada na vrhove pravog kuta trokuta.
• Središte opisane kružnice pravokutnog trokuta nalazi se u središtu hipotenuze.
• Medijan pravokutnog trokuta povučen iz vrha pravog kuta na hipotenuzu polumjer je kružnice opisane oko tog trokuta.

Promotrimo proizvoljni pravokutni trokut ABC i iz vrha C njegovog pravog kuta povucimo visinu CD = hc.

Podijelit će zadani trokut na dva pravokutna trokuta ACD i BCD; svaki od tih trokuta ima zajednički šiljasti kut s trokutom ABC i stoga je sličan trokutu ABC.

Sva tri trokuta ABC, ACD i BCD međusobno su slična.

Iz sličnosti trokuta određuju se relacije:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorin poučak jedan od temeljnih teorema euklidske geometrije, koji utvrđuje odnos između stranica pravokutnog trokuta.

Geometrijski izraz. U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Algebarska formulacija. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.
Odnosno, označavajući duljinu hipotenuze trokuta kroz c, a duljine kateta kroz a i b:
a2 + b2 = c2

Obrnuta Pitagorina teorema.

Visina pravokutnog trokuta

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c tako da
a2 + b2 = c2,
postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• duž katete i hipotenuze;
• na dvije noge;
• duž noge i oštrog kuta;
• hipotenuza i šiljasti kut.

Vidi također:
Površina trokuta, jednakokračni trokut, jednakostranični trokut

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

OGLAS : CD=CD : B.D. Stoga je CD2 = AD ∙ B.D. Oni kažu:

OGLAS : AC=AC : AB. Stoga je AC2 = AB ∙ OGLAS. Oni kažu:

BD : BC=BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36.

Odredi duljinu te visine.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7.

8. Krak pravokutnog trokuta je 30.

Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu?

Odredite udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze ako je polumjer kružnice opisane oko tog trokuta 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Provjerite odgovore!

D8.04.1. Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

U Δ ABC ∠ACV = 90°. AC i BC katete, AB hipotenuza.

CD je visina trokuta povučena na hipotenuzu.

AD projekcija AC katete na hipotenuzu,

BD projekcija kraka BC na hipotenuzu.

Visina CD dijeli trokut ABC na dva njemu slična (i jedan drugome): Δ ADC i Δ CDB.

Iz proporcionalnosti strana sličnih Δ ADC i Δ CDB slijedi:

OGLAS : CD=CD : B.D.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta spuštene na hipotenuzu.

Stoga je CD2 = AD ∙ B.D. Oni kažu: visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu,je prosječna proporcionalna vrijednost između projekcija kateta na hipotenuzu.

Iz sličnosti Δ ADC i Δ ACB slijedi:

OGLAS : AC=AC : AB. Stoga je AC2 = AB ∙ OGLAS. Oni kažu: svaki krak je prosječna proporcionalna vrijednost između cijele hipotenuze i projekcije ovog kraka na hipotenuzu.

Slično, iz sličnosti Δ CDB i Δ ACB slijedi:

BD : BC=BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1. Odredite visinu pravokutnog trokuta povučenu na hipotenuzu ako ona dijeli hipotenuzu na odsječke 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na odsječke 9 i 36. Odredite duljinu te visine.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu je 22, projekcija jedne katete je 16. Odredite projekciju druge katete.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Kateta pravokutnog trokuta je 18, a njegova projekcija na hipotenuzu je 12. Nađite hipotenuzu.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Hipotenuza je 32. Pronađite katet čija je projekcija na hipotenuzu 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 45. Pronađite katet čija je projekcija na hipotenuzu 9.

8. Krak pravokutnog trokuta je 30. Odredite udaljenost od vrha pravokutnog kuta do hipotenuze ako je polumjer kružnice opisane oko tog trokuta 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 41, a projekcija jedne od kateta je 16. Odredite duljinu visine povučene iz vrha pravog kuta na hipotenuzu.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Razlika projekcija kateta na hipotenuzu je 15, a udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze je 4. Odredi polumjer opisane kružnice.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Zapravo, sve uopće nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Ali stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Što je s kutom? Postoji li krak koji je nasuprot kutu, odnosno suprotni (za kut) krak? Naravno da jesu! Ovo je katet!

Ali što je s kutom? Pogledaj bolje. Koji je krak uz kut? Naravno, mačka. Dakle, za kut, krak je susjedan, i

A sada, pozor! Pogledajte što imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada prijeđimo na tangens i kotangens.

Kako to sad pretočiti u riječi? Što je krak u odnosu na kut? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot kutu. A katet? Uz ugao. Dakle, što smo dobili?

Vidite kako su brojnik i nazivnik obrnuti?

I sada opet kutovi i napravili razmjenu:

Sažetak

Zapišimo ukratko što smo naučili.

Pitagorin poučak:

Glavni teorem pravokutnog trokuta je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - obnovite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit. Kako biste to dokazali? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente duljina i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledajte sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata?

Ispravno, .

Što je s manjim područjem?

Naravno, .

Ostaje ukupna površina četiri ugla. Zamislimo da smo uzeli dva od njih i prislonili ih hipotenuzama.

Što se dogodilo? Dva pravokutnika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Idemo sad sve spojiti.

Preobrazimo se:

Pa smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na antički način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede relacije:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens šiljastog kuta jednak je omjeru susjednog i suprotnog kraka.

I još jednom, sve to u obliku tanjura:

Vrlo je udoban!

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

I. Na dvije noge

II. Po kateti i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Uz krak i oštar kut

a)

b)

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su noge "korespondentne". Na primjer, ako ide ovako:

TADA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.

Moram u oba trokuta krak je bio susjedan, ili u oba - nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta?

Pogledaj temu “i obrati pozornost na to da je za jednakost “običnih” trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dviju stranica i kuta između njih, dva kuta i stranice između njih ili tri stranice.

Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Super je, zar ne?

Približno ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znaci sličnosti pravokutnog trokuta

I. Oštri kut

II. Na dvije noge

III. Po kateti i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Zašto je to tako?

Razmotrite cijeli pravokutnik umjesto pravokutnog trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku – točku sjecišta dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika?

I što iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo da

1. - medijan:

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što još više iznenađuje jest da vrijedi i obrnuto.

Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen na hipotenuzu jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj bolje. Imamo: , to jest, ispostavilo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednake. Ali u trokutu postoji samo jedna točka, udaljenosti od koje su otprilike sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE opisanog kruga. Dakle, što se dogodilo?

Pa počnimo s ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trokutima svi su kutovi jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada to zajedno nacrtajmo:

Koja se korist može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapisujemo odnose korespondentnih strana:

Da bismo pronašli visinu, riješimo proporciju i dobijemo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Pa, sada, primjenjujući i kombinirajući ovo znanje s drugima, riješit ćete svaki problem s pravokutnim trokutom!

Dakle, primijenimo sličnost: .

Što će se sada dogoditi?

Opet rješavamo udio i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se jako dobro zapamtiti i primijeniti onu koja je zgodnija.

Zapišimo ih opet.

Pitagorin poučak:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• na dvije noge:
• duž katete i hipotenuze: odn
• uz krak i susjedni šiljasti kut: odn
• uz krak i nasuprot šiljasti kut: odn
• hipotenuzom i šiljastim kutom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar kut: ili
• iz proporcionalnosti dviju nogu:
• iz proporcionalnosti katete i hipotenuze: odn.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze:
• Tangens oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka i susjednog:
• Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trokuta: odn.

U pravokutnom trokutu medijan povučen iz vrha pravog kuta jednak je polovici hipotenuze: .

Površina pravokutnog trokuta:

• kroz katetere: