Poglavlje 6. Kontinuirane slučajne varijable.
§ 1. Gustoća i funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable.
Skup vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nebrojiv i obično predstavlja neki konačni ili beskonačni interval.
Slučajna vrijednost x(w) definiran u prostoru vjerojatnosti (W, S,P) naziva se stalan(apsolutno kontinuirano) W ako postoji nenegativna funkcija takva da se za bilo koji x funkcija distribucije Fx(x) može predstaviti kao integral
Funkcija se zove funkcija gustoća distribucije vjerojatnosti.
Svojstva funkcije gustoće distribucije slijede iz definicije:
1..gif" width="97" height="51">
3. U točkama kontinuiteta gustoća raspodjele jednaka je derivaciji funkcije raspodjele: .
4. Gustoća distribucije određuje zakon distribucije slučajne varijable, budući da određuje vjerojatnost da slučajna varijable padne u interval:
5. Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti određenu vrijednost je nula: . Stoga su tačne sljedeće jednakosti:
Zove se dijagram funkcije gustoće distribucije krivulja distribucije, a površina omeđena krivuljom distribucije i x-osi jednaka je jedan. Tada je, geometrijski, vrijednost funkcije distribucije Fx(x) u točki x0 površina ograničena krivuljom distribucije i osi x i koja leži lijevo od točke x0.
Zadatak 1. Funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable ima oblik:
Odredite konstantu C, konstruirajte funkciju distribucije Fx(x) i izračunajte vjerojatnost .
Riješenje. Konstanta C se nalazi iz uvjeta Imamo:
odakle je C=3/8.
Za konstruiranje funkcije distribucije Fx(x), imajte na umu da interval dijeli raspon argumenta x (brojeva) na tri dijela: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">
budući da je gustoća x na poluosi nula. U drugom slučaju
Konačno, u posljednjem slučaju, kada je x>2,
Budući da gustoća nestaje na poluosi . Dakle, dobivena je funkcija distribucije
Vjerojatnost izračunaj po formuli. Na ovaj način,
§ 2. Brojčane karakteristike kontinuirana slučajna varijabla
Očekivana vrijednost za kontinuirano distribuirane slučajne varijable određuje se formulom https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
ako integral s desne strane apsolutno konvergira.
Disperzija x se može izračunati pomoću formule 
, a također, kao u diskretnom slučaju, prema formuli https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Sva svojstva očekivanja i varijance navedena u poglavlju 5 za diskretne slučajne varijable vrijede i za kontinuirane slučajne varijable.
Zadatak 2. Za slučajnu varijablu x iz Zadatka 1, izračunajte očekivana vrijednost i disperzija .
Riješenje.
A to znači
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Grafikon gustoće ujednačena raspodjela vidi sl. .
sl.6.2. Funkcija distribucije i gustoća raspodjele. jedinstveni zakon
Funkcija distribucije Fx(x) jednoliko raspoređene slučajne varijable je
Fx(x)= 
Matematičko očekivanje i disperzija; .
Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla x, koja uzima nenegativne vrijednosti, ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom l>0 ako je gustoća distribucije vjerojatnosti slučajne varijable jednaka
px(x)= 
Riža. 6.3. Funkcija distribucije i gustoća distribucije eksponencijalnog zakona.
Funkcija distribucije eksponencijalne distribucije ima oblik
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> i , ako je njegova gustoća raspodjele jednaka
.
Skup svih slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu s parametrima i parametrima označava se s .
Funkcija distribucije normalno raspoređene slučajne varijable je
.
Riža. 6.4. Funkcija raspodjele i gustoća raspodjele normalnog zakona
Parametri normalne distribucije su matematičko očekivanje https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
U konkretnom slučaju kada https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normalna raspodjela se zove standard, a klasa takvih distribucija označena je https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
dok funkcija distribucije
Takav se integral ne može analitički izračunati (ne uzima se u “kvadraturama”), te se stoga za funkciju sastavljaju tablice. Funkcija je povezana s Laplaceovom funkcijom uvedenom u 4. poglavlju
,
sljedeća relacija 
. U slučaju proizvoljnih vrijednosti parametara https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funkcija raspodjele slučajne varijable povezana je s Laplaceovom funkcijom pomoću relacije:
.
Stoga se vjerojatnost da normalno raspoređena slučajna varijabla padne u interval može izračunati formulom
.
Nenegativna slučajna varijabla x naziva se log-normalno raspoređena ako njezin logaritam h=lnx poštuje normalni zakon. Matematičko očekivanje i varijanca logaritamske normalno raspoređene slučajne varijable su Mx= i Dx=.
Zadatak 3. Neka se zada nasumična vrijednost https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Riješenje. Ovdje i https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Laplaceova distribucija postavljena je funkcijom fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41">, a eksces je gx=3.
sl.6.5. Laplaceova funkcija gustoće raspodjele.
Slučajna varijabla x je raspoređena po Weibullov zakon, ako ima funkciju gustoće distribucije jednaku https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Weibullova distribucija poštuje vrijeme nesmetanog rada mnogih tehničkih uređaja. U zadacima ovog profila važna karakteristika je stopa neuspjeha (stopa mortaliteta) l(t) proučavanih elemenata starosti t, određena relacijom l(t)=. Ako je a=1, tada se Weibullova distribucija pretvara u eksponencijalnu, a ako je a=2 - u distribuciju tzv. Rayleigh.
Matematičko očekivanje Weibullove distribucije: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, gdje je G(a) Euler funkcija..
U raznim problemima primijenjene statistike često se susreću takozvane "krnje" distribucije. Primjerice, porezne vlasti su zainteresirane za raspodjelu dohotka onih osoba čiji godišnji prihodi prelaze određeni prag c0 utvrđen poreznim zakonima. Pokazalo se da su ove distribucije približno jednake Paretovoj distribuciji. Pareto distribucija dano funkcijama
Fx(x)=P(x
Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Zadatak 4. Slučajna varijabla je jednoliko raspoređena na intervalu. Pronađite gustoću slučajne varijable.
Riješenje. Iz uvjeta problema proizlazi da
Dalje, funkcija je monotona i diferencibilna funkcija na intervalu i ima inverznu funkciju 
, čija je derivacija jednaka Dakle,
§ 5. Par kontinuiranih slučajnih varijabli
Neka su zadane dvije neprekidne slučajne varijable x i h. Tada par (x, h) određuje "slučajnu" točku na ravnini. Par (x, h) se zove slučajni vektor ili dvodimenzionalna slučajna varijabla.
funkcija raspodjele zglobova slučajne varijable x i h i funkcija se zove F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. gustoća zglobova distribucija vjerojatnosti slučajnih varijabli x i h je funkcija takva da 
.
Značenje ove definicije gustoće zajedničke raspodjele je sljedeće. Vjerojatnost da će "slučajna točka" (x, h) pasti u područje na ravnini izračunava se kao volumen trodimenzionalne figure - "zakrivljenog" cilindra omeđenog površinom https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Najjednostavniji primjer zajedničke distribucije dviju slučajnih varijabli je dvodimenzionalna ravnomjerna raspodjela na setuA. Neka je zadan ograničeni skup M s površinom. Definiran je kao distribucija para (x, h) zadana sljedećom gustoćom spoja:
Zadatak 5. Neka je dvodimenzionalni slučajni vektor (x, h) jednoliko raspoređen unutar trokuta . Izračunajte vjerojatnost nejednakosti x>h.
Riješenje. Površina navedenog trokuta jednaka je (vidi sliku br.?). Na temelju definicije dvodimenzionalne uniformne raspodjele, zajednička gustoća slučajnih varijabli x, h jednaka je
Događaj odgovara setu 
na ravnini, odnosno poluravni. Zatim vjerojatnost
Na poluravnini B gustoća spoja jednaka je nuli izvan skupa https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Dakle , poluravnina B podijeljena je u dva skupa i https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> i , a drugi integral nula, budući da je tamo gustoća spojeva nula. Zato
Ako je dana zajednička gustoća raspodjele za par (x, h), tada se gustoće i komponente x i h nazivaju privatne gustoće a izračunavaju se po formulama:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Za kontinuirano distribuirane slučajne varijable s gustoćama px(x), ph(y), neovisnost znači da
Zadatak 6. U uvjetima prethodnog zadatka utvrditi jesu li komponente slučajnog vektora x i h neovisne?
Riješenje. Izračunajmo parcijalne gustoće i . Imamo:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Očito, u našem slučaju https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je gustoća spoja x i h, a j(x, y) je dakle funkcija dvaju argumenata
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Zadatak 7. U uvjetima prethodnog zadatka izračunajte .
Riješenje. Prema gornjoj formuli imamo:
.
Predstavljajući trokut kao
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Gustoća zbroja dviju kontinuiranih slučajnih varijabli
Neka su x i h neovisne slučajne varijable s gustoćama https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Gustoća slučajne varijable x + h se izračunava iz formule zavojima
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Izračunajte zbroj gustoće.
Riješenje. Budući da su x i h raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu s parametrom , njihove gustoće su jednake
posljedično,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Ako je x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negativan, pa stoga . Stoga, ako https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Tako smo dobili odgovor:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normalno je raspoređena s parametrima 0 i 1. Slučajne varijable x1 i x2 su neovisne i imaju normalne distribucije s parametrima a1 odnosno a2 Dokažite da x1 + x2 ima normalnu distribuciju Slučajne varijable x1, x2, ... xn su raspoređene i neovisne i imaju istu funkciju gustoće distribucije
.
Nađite funkciju raspodjele i gustoću raspodjele veličina:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )
Slučajne varijable x1, x2, ... xn su neovisne i jednoliko raspoređene na intervalu [a, b]. Pronađite funkcije raspodjele i funkcije gustoće raspodjele veličina
x(1) = min(x1,x2, ... xn) i x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Dokažite da M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Slučajna varijabla je raspoređena prema Cauchyjevom zakonu.Nađi: a) koeficijent a; b) funkcija distribucije; c) vjerojatnost pogađanja intervala (-1, 1). Pokažite da očekivanje od x ne postoji. Slučajna varijabla poštuje Laplaceov zakon s parametrom l (l>0): Pronađite koeficijent a; graditi grafove gustoće distribucije i funkcije raspodjele; pronaći Mx i Dx; pronaći vjerojatnosti događaja (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Napišite formulu za gustoću raspodjele, pronađite Mx i Dx.
Računalni zadaci.
Slučajna točka A ima jednoliku distribuciju u krugu polumjera R. Nađite matematičko očekivanje i varijancu udaljenosti r točke do središta kružnice. Pokazati da je veličina r2 jednoliko raspoređena na segmentu . 
Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik: 
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerojatnost 
Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik: 
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerojatnost 
Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik: 
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x), varijancu i vjerojatnost Slučajna varijabla ima funkciju distribucije 
Izračunajte gustoću slučajne varijable, matematičko očekivanje, varijancu i vjerojatnost. Provjerite je li funkcija = 
može biti funkcija distribucije slučajne varijable. Nađite numeričke karakteristike ove veličine: Mx i Dx. Slučajna varijabla je jednoliko raspoređena na segmentu. Napišite gustoću raspodjele. Pronađite funkciju distribucije. Pronađite vjerojatnost pogađanja slučajne varijable na segmentu i na segmentu. Gustoća raspodjele x je
.
Pronađite konstantu c, gustoću raspodjele h = i vjerojatnost
P (0,25 Vrijeme rada računala je raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu s parametrom l = 0,05 (kvarovi po satu), tj. ima funkciju gustoće p(x) = Rješenje određenog problema zahtijeva nesmetan rad stroja 15 minuta. Ako dođe do kvara tijekom rješavanja problema, tada se pogreška otkriva tek na kraju rješenja, a problem se ponovno rješava. Nađi: a) vjerojatnost da tijekom rješavanja zadatka neće doći do kvara; b) prosječno vrijeme za koje će se problem riješiti. Štap dužine 24 cm razbije se na dva dijela; pretpostavit ćemo da je točka loma raspoređena jednoliko po cijeloj dužini štapa. Kolika je prosječna duljina većine štapa? Komad dužine 12 cm nasumično je izrezan na dva dijela. Točka reza je ravnomjerno raspoređena duž cijele duljine segmenta. Kolika je prosječna duljina malog dijela segmenta? Slučajna varijabla je jednoliko raspoređena na intervalu. Nađite gustoću raspodjele slučajne varijable a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = . Pokažite da ako x ima kontinuiranu funkciju distribucije F(x) = P(x Nađite funkciju gustoće i funkciju distribucije zbroja dviju neovisnih veličina x i h s ujednačenim zakonima raspodjele na intervalima i, respektivno. Slučajne varijable x i h neovisne su i jednoliko raspoređene na intervalima i, respektivno. Izračunajte gustoću zbroja x+h. Slučajne varijable x i h neovisne su i jednoliko raspoređene na intervalima i, respektivno. Izračunajte gustoću zbroja x+h. Slučajne varijable x i h neovisne su i jednoliko raspoređene na intervalima i, respektivno. Izračunajte gustoću zbroja x+h. Slučajne varijable su neovisne i imaju eksponencijalnu distribuciju s gustoćom Kao što je poznato, nasumična varijabla
naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable dijele se na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane. Diskretna slučajna varijabla
naziva se slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima koje nisu nula. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se specificirati na jedan od sljedećih načina. 1
. Zakon raspodjele može se dati tablicom:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … . u) pomoću funkcija distribucije F(x)
, koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, t.j. F(x) = P(X< x). Svojstva funkcije F(x) 3
. Zakon raspodjele može se postaviti grafički
– distribucijski poligon (poligon) (vidi problem 3). Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je poznavati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable. Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable
: Izdano je 1000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću. Riješenje.
Prema uvjetu zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500. Broj listića bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Slično, nalazimo sve ostale vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tablice: Nađite matematičko očekivanje od X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Uređaj se sastoji od tri neovisna radna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastaviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable. Riješenje.
1.
Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela). Kvarovi elemenata su neovisni jedan o drugom, vjerojatnosti kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula
. S obzirom da pod uvjetom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti: Dakle, željeni zakon binomske distribucije X ima oblik: Na osi apscise iscrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerojatnosti r i . Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove točke s segmentima, dobivamo željeni poligon distribucije. 3.
Pronađite funkciju distribucije F(x) = P(X Grafikon funkcije F(x) 4.
Za binomsku distribuciju X: Slučajna vrijednost x ima normalnu raspodjelu (ili Gaussovu raspodjelu) ako gustoća vjerojatnosti ima oblik: Riža. 2.13 Sl. 2.14 Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F(x), koja za svaki x izražava vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost, manji x
Primjer 2.5. Zadan niz distribucije slučajne varijable Pronađite i grafički oslikajte njegovu funkciju distribucije. Riješenje. Prema definiciji F(jc) = 0 for x x F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 na 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 na x > 5. Dakle (vidi sliku 2.1): Svojstva funkcije distribucije: 1. Funkcija distribucije slučajne varijable je nenegativna funkcija zatvorena između nule i jedan: 2. Funkcija distribucije slučajne varijable je neopadajuća funkcija na cijeloj brojevnoj osi, t.j. na x 2
>x 3. Na minus beskonačnosti, funkcija raspodjele je jednaka nuli, na plus beskonačno, jednaka je jedan, t.j. 4. Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable x u intervalu jednaka je određenom integralu njegove gustoće vjerojatnosti u rasponu od a prije b(vidi sliku 2.2), tj. Riža. 2.2 3. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable (vidi sliku 2.3) može se izraziti u smislu gustoće vjerojatnosti pomoću formule: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Nepravilan integral u beskonačnim granicama gustoće vjerojatnosti neprekidne slučajne varijable jednak je jedan: Geometrijska svojstva / i 4
gustoće vjerojatnosti znače da je njegov dijagram krivulja distribucije - ne leži ispod x-ose, i ukupnu površinu figure, ograničena krivulja distribucije i x-os, jednak je jedan. Za kontinuiranu slučajnu varijablu x očekivana vrijednost M(X) i varijance D(X) određuju se formulama: (ako integral konvergira apsolutno); ili (ako se reducirani integrali konvergiraju). Uz gore navedene numeričke karakteristike, koncept kvantila i postotnih bodova koristi se za opisivanje slučajne varijable. q kvantil razine(ili q-kvantil) je takva vrijednostx qnasumična varijabla, pri kojoj njegova funkcija distribucije poprima vrijednost, jednako q, tj. Prema primjeru 2.6 pronađite kvantil xqj i 30% slučajne varijabilne točke x.
Riješenje. Po definiciji (2.16) F(xo t3)= 0,3, tj. ~Y~ = 0,3, odakle kvantil x 0 3 = 0,6. 30% slučajne varijabilne točke x, ili kvantil H)_o,z = xoj» se slično nalazi iz jednadžbe ^ = 0,7. odakle *,= 1.4. ? Među brojčanim karakteristikama slučajne varijable postoje početni v* i središnji R* momenti k-tog reda, određena za diskretne i kontinuirane slučajne varijable po formulama: ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE SLUČAJNE VRIJEDNOSTI Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa. Slučajna vrijednost je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali koja nije unaprijed poznata. Stoga se za slučajnu varijablu mogu navesti samo vrijednosti, od kojih će jednu nužno uzeti kao rezultat eksperimenta. Ove vrijednosti će se nazivati mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja. Slučajne varijable obično se označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima. Postoje tri vrste slučajnih varijabli: diskretna; Stalan; Miješano. Diskretna naziva se takva slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. Zauzvrat, prebrojiv skup je skup čiji se elementi mogu numerirati. Riječ "diskretno" dolazi od latinskog discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od zasebnih dijelova". Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji nfl. Doista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n. Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje se, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti mogu numerirati, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno veliki broj. stalan naziva se slučajna varijabla, čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval brojčane osi, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik. Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je potrošnja električne energije u poduzeću za mjesec dana. Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je pogreška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Iz principa rada visinomjera neka bude poznato da se pogreška nalazi u rasponu od 0 do 2 m. Stoga je interval postojanja ove slučajne varijable interval od 0 do 2 m. Zakon raspodjele slučajnih varijabli. Slučajna varijabla smatra se potpuno specificiranom ako su njezine moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i utvrđen zakon distribucije. Zakon raspodjele slučajne varijable naziva se relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema danom zakonu ili podliježe danom zakonu raspodjele. Kao zakoni distribucije koriste se brojne vjerojatnosti, funkcija distribucije, gustoća vjerojatnosti, karakteristična funkcija. Zakon distribucije daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu distribucije, moguće je prije iskustva prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati češće, a koje rjeđe. Za diskretnu slučajnu varijablu zakon raspodjele može se dati u obliku tablice, analitički (u obliku formule) i grafički. Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica (matrica), koja uzlaznim redoslijedom navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti, tj. Takva tablica naziva se nizom distribucije diskretne slučajne varijable. jedan Događaji X 1 , X 2 ,..., X n , koji se sastoje u činjenici da će, kao rezultat testa, slučajna varijabla X uzeti vrijednosti x 1 , x 2 ,... x n, respektivno , su nedosljedni i jedini mogući (jer su u tablici navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. čine kompletnu grupu. Stoga je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu (Ova je jedinica nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i pojam "distribucija"). Serija distribucije može se prikazati grafički ako su vrijednosti slučajne varijable nacrtane duž osi apscise, a njihove odgovarajuće vjerojatnosti duž osi ordinata. Povezanost dobivenih točaka tvori izlomljenu liniju, nazvanu poligon ili poligon distribucije vjerojatnosti (slika 1.). Primjer Igra se lutrija: automobil vrijedan 5000 den. jedinica, 4 televizora u vrijednosti od 250 den. jedinica, 5 videorekordera u vrijednosti od 200 den. jedinice Ukupno se prodaje 1000 ulaznica po 7 den. jedinice Sastavite zakon raspodjele neto dobitaka koji je dobio sudionik lutrije koji je kupio jedan listić. Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobici po listiću - su 0-7 = -7 den. jedinice (ako tiket nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako je ulaznicu osvojio videorekorder, TV ili automobil). S obzirom na to da je od 1000 listića broj ne-dobitnika 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1, i koristeći klasičnu definiciju vjerojatnosti, dobivamo.
.
. Odrediti gustoću raspodjele njihovog zbroja. Pronađite distribuciju zbroja neovisnih slučajnih varijabli x i h, gdje x ima jednoliku raspodjelu na intervalu, a h ima eksponencijalnu raspodjelu s parametrom l. Pronađite P 
, ako x ima: a) normalnu distribuciju s parametrima a i s2 ; b) eksponencijalna raspodjela s parametrom l; c) ravnomjerna raspodjela na intervalu [-1;1]. Zajednička raspodjela x, h je ravnomjerna na kvadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Pronađite vjerojatnost 
. Jesu li x i h neovisni? Par slučajnih varijabli x i h jednoliko je raspoređen unutar trokuta K=. Izračunajte gustoću x i h. Jesu li ove slučajne varijable neovisne? Pronađite vjerojatnost. Slučajne varijable x i h su neovisne i jednoliko raspoređene na intervalima i [-1,1]. Pronađite vjerojatnost. Dvodimenzionalna slučajna varijabla (x, h) jednoliko je raspoređena u kvadratu s vrhovima (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Pronađite vrijednost zajedničke funkcije raspodjele u točki (1, -1). Slučajni vektor (x, h) jednoliko je raspoređen unutar kruga polumjera 3 sa središtem u ishodištu. Napišite izraz za gustoću raspodjele zglobova. Odredite jesu li ove slučajne varijable ovisne. Izračunajte vjerojatnost. Par slučajnih varijabli x i h jednoliko je raspoređen unutar trapeza s vrhovima u točkama (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Pronađite zajedničku gustoću raspodjele za ovaj par slučajnih varijabli i gustoću komponenti. Jesu li x i h ovisni? Slučajni par (x, h) ravnomjerno je raspoređen unutar polukruga. Pronađite gustoće x i h, istražite pitanje njihove ovisnosti. Zajednička gustoća dviju slučajnih varijabli x i h je 
.
Pronađite gustoće x, h. Istražite pitanje ovisnosti x i h. Nasumični par (x, h) je jednoliko raspoređen na skupu. Pronađite gustoće x i h, istražite pitanje njihove ovisnosti. Pronađite M(xh). Slučajne varijable x i h su nezavisne i raspoređene su prema eksponencijalnom zakonu s parametrom Find
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λPrimjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Zadatak 3.
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je izvjestan. 
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
,
gdje parametri a je bilo koji realan broj i σ >0.
Graf diferencijalne funkcije normalne distribucije naziva se normalna krivulja (Gaussova krivulja). Normalna krivulja (slika 2.12) je simetrična u odnosu na ravnu liniju x =a, ima maksimalnu ordinatu , i u točkama x = a± σ je pregib.
Riža. 2.12
Dokazano je da je parametar a je srednja vrijednost (također mod i medijan), a σ je standardna devijacija. Koeficijenti zakrivljenosti i kurtosis za normalnu distribuciju jednaki su nuli: Kao = npr = 0.
Sada ćemo ustanoviti kako promjena parametara utječe a a σ u obliku normalne krivulje. Prilikom promjene parametra a oblik normalne krivulje se ne mijenja. U ovom slučaju, ako matematičko očekivanje (parametar a) smanjen ili povećan, graf normalne krivulje pomiče se ulijevo ili udesno (slika 2.13).
Kada se promijeni parametar σ, mijenja se oblik normalne krivulje. Ako se ovaj parametar poveća, tada se maksimalna vrijednost funkcije smanjuje i obrnuto. Budući da je područje omeđeno krivuljom raspodjele i osi Oh, treba biti konstantan i jednak 1, tada se s povećanjem parametra σ krivulja približava osi Oh i proteže se duž nje, a kako se σ smanjuje, krivulja se skuplja u ravnu liniju x = a(slika 2.14).
Normalna funkcija gustoće distribucije φ( x) s parametrima a= 0, zove se σ = 1 gustoća standardne normalne slučajne varijable
, a njegov graf je standardna Gaussova krivulja.
Funkcija gustoće normalne standardne vrijednosti određena je formulom, a njen graf je prikazan na Sl. 2.15.
Iz svojstava matematičkog očekivanja i disperzije slijedi da je za količinu , D(U)=1, M(U) = 0. Stoga se standardna normalna krivulja može smatrati krivuljom distribucije slučajne varijable , gdje je x je slučajna varijabla koja podliježe normalnom zakonu distribucije s parametrima a i σ.
Zakon normalne distribucije slučajne varijable u integralnom obliku ima oblik
(2.10)
Uz pretpostavku integrala (3.10) dobivamo
,
gdje . Prvi član je jednak 1/2 (polovica površine krivuljastog trapeza prikazanog na slici 3.15). Drugi termin
(2.11)
pozvao Laplaceova funkcija
, kao i integral vjerojatnosti.
Budući da se integral u formuli (2.11) ne izražava elementarnim funkcijama, radi praktičnosti izračuna, sastavlja se za z≥ 0 tablica Laplaceove funkcije. Za izračunavanje Laplaceove funkcije za negativne vrijednosti z, potrebno je koristiti neparnost Laplaceove funkcije: F(– z) = – F( z). Na kraju dobivamo formulu za izračun
Stoga dobivamo to za slučajnu varijablu x, prema normalnom zakonu, vjerojatnost njegovog pada na interval [ α, β] je
(2.12)
Koristeći formulu (2.12) nalazimo vjerojatnost da će modul odstupanja normalne raspodjele veličine x iz svog distribucijskog centra a manje od 3σ. Imamo
P(| x – a| < 3 s) =P(a–3s< x< a+3 s) \u003d F (3) - F (-3) \u003d 2F (3) "0,9973.
Vrijednost F(3) dobivena je iz tablice Laplaceove funkcije.
Uobičajeno je uzeti u obzir događaj praktički pouzdan
, ako je njegova vjerojatnost blizu jedan, a praktički nemoguća ako je njegova vjerojatnost blizu nule.
Dobili smo tzv tri sigma pravilo
: za događaj normalne distribucije (| x–a| < 3σ) практически достоверно.
Pravilo tri sigme može se formulirati drugačije: iako je normalna slučajna varijabla raspoređena po cijeloj osi x, raspon njegovih praktički mogućih vrijednosti je(a–3σ, a+3σ).
Normalna distribucija ima niz svojstava koja je čine jednom od najčešće korištenih distribucija u statistici.
Ako je moguće smatrati neku slučajnu varijablu kao zbroj dovoljno velikog broja drugih slučajnih varijabli, tada se ta slučajna varijabla obično pokorava zakonu normalne distribucije. Zbrojene slučajne varijable mogu se pridržavati bilo koje distribucije, ali uvjet njihove neovisnosti (ili slabe neovisnosti) mora biti zadovoljen. Također, niti jedna od zbrojenih slučajnih varijabli ne bi se trebala oštro razlikovati od ostalih, t.j. svaka od njih treba imati približno istu ulogu u ukupnoj količini i ne mora imati iznimno veliku disperziju u odnosu na druge količine.
To objašnjava prevalenciju normalne distribucije. Nastaje u svim pojavama, procesima, gdje je raspršenje slučajne veličine koja se proučava uzrokovano velikim brojem slučajnih uzroka, od kojih je utjecaj svakog pojedinačno na raspršenje zanemariv.
Većina slučajnih varijabli koje se susreću u praksi (kao što je, na primjer, broj prodaje određenog proizvoda, pogreška u mjerenju, odstupanje projektila od cilja u dometu ili smjeru, odstupanje stvarnih dimenzija obrađenih dijelova od nominalnih dimenzija, itd.) može se predstaviti kao zbroj velikog broja neovisnih slučajnih varijabli koje imaju jednoliko mali učinak na disperziju zbroja. Smatra se da su takve slučajne varijable normalno raspoređene. Hipoteza o normalnosti takvih veličina svoje teorijsko opravdanje nalazi u središnjem graničnom teoremu i dobila je brojne praktične potvrde.
Zamislite da se određeni proizvod prodaje u nekoliko prodajnih mjesta. Zbog slučajnog utjecaja različitih čimbenika, broj prodaje robe u svakoj točki će se neznatno razlikovati, ali će se prosjek svih vrijednosti približiti pravom prosječnom broju prodaja.
Odstupanja broja prodaja na svakom prodajnom mjestu od prosjeka tvore simetričnu krivulju distribucije blisku krivulji normalne distribucije. Svaki sustavni utjecaj bilo kojeg čimbenika očitovat će se u iskrivljenosti distribucije.
Zadatak. Slučajna varijabla je normalno raspoređena s parametrima a\u003d 8, σ \u003d 3. Pronađite vjerojatnost da će slučajna varijabla kao rezultat eksperimenta poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (12.5; 14).
Riješenje. Koristimo formulu (2.12). Imamo
Zadatak. Broj prodane robe određene vrste tjedno x može se smatrati normalno raspoređenim. Matematičko očekivanje broja prodaja
tisuća komada Srednja kvadratna devijacija ove slučajne varijable je σ = 0,8 tisuća komada. Pronađite vjerojatnost da će se u tjednu prodati od 15 do 17 tisuća jedinica. roba.
Riješenje. Slučajna vrijednost x normalno raspoređena s parametrima a= M( x) = 15,7; σ = 0,8. Potrebno je izračunati vjerojatnost nejednakosti 15 ≤ x≤ 17. Formulom (2.12) dobivamo
