Kao što je poznato, nasumična varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinske abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable dijele se na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla pozvao slučajna vrijednost, koji uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim nenultim vjerojatnostima.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se specificirati na jedan od sljedećih načina.
1 . Zakon raspodjele može se dati tablicom:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
u) preko funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, t.j. F(x) = P(X< x).
Svojstva funkcije F(x)
3 . Zakon raspodjele može se postaviti grafički – distribucijski poligon (poligon) (vidi problem 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Glavni numeričke karakteristike diskretna slučajna varijabla :
- Matematičko očekivanje
(srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija
diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njezina matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Izdano je 1.000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću.
Odluka. Prema uvjetu zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Broj listića bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Slično, nalazimo sve ostale vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tablice:
Nađimo očekivana vrijednost vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadatak 3.
Uređaj se sastoji od tri neovisna radna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastaviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.
Odluka. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).
Kvarovi elemenata su neovisni jedan o drugom, vjerojatnosti kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula
. S obzirom da pod uvjetom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dakle, željeni zakon binomske distribucije X ima oblik:
Na osi apscise ucrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerojatnosti r i . Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove točke s segmentima, dobivamo željeni poligon distribucije.
3. Pronađite funkciju distribucije F(x) = P(X
Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je izvjestan.
 |
Grafikon funkcije F(x)
4.
Za binomsku distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, određena je jednakošću: 
Zadatak usluge. Online kalkulator je dizajniran za rješavanje problema u kojima bilo gustoća raspodjele f(x) ili funkcija distribucije F(x) (vidi primjer). Obično je u takvim zadacima potrebno pronaći matematičko očekivanje, standardna devijacija, crtanje funkcija f(x) i F(x).
Uputa. Odaberite vrstu ulaznih podataka: distribucijska gustoća f(x) ili funkcija distribucije F(x) .
Gustoća distribucije f(x) je data: 
Zadana je funkcija distribucije F(x): 
Kontinuirana slučajna varijabla definirana je gustoćom vjerojatnosti 
(Rayleighov zakon distribucije – koristi se u radiotehnici). Pronađite M(x) , D(x) .
Slučajna varijabla X se zove stalan
, ako je njegova funkcija distribucije F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koristi se za izračunavanje vjerojatnosti da slučajna varijable padne u zadani interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
štoviše, za kontinuiranu slučajnu varijablu nije važno jesu li njezine granice uključene u ovaj interval ili ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gustoća distribucije
kontinuirana slučajna varijabla naziva se funkcija
f(x)=F'(x) , derivacija funkcije distribucije.
Svojstva gustoće distribucije
1. Gustoća distribucije slučajne varijable nije negativna (f(x) ≥ 0) za sve vrijednosti x.2. Uvjet normalizacije:
Geometrijsko značenje uvjeta normalizacije: površina ispod krivulje gustoće raspodjele jednaka je jedan.
3. Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable X u intervalu od α do β može se izračunati po formuli
Geometrijski gledano, vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla X padne u interval (α, β) jednaka je površini krivuljastog trapeza ispod krivulje gustoće distribucije na temelju ovog intervala.
4. Funkcija distribucije izražava se u smislu gustoće kako slijedi:
Vrijednost gustoće distribucije u točki x nije jednaka vjerojatnosti uzimanja ove vrijednosti; za kontinuiranu slučajnu varijablu možemo govoriti samo o vjerojatnosti pada u zadani interval. Neka (slika 5.4). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.
Riža. 5.4 Sl. 5.5
5.16. Slučajna vrijednost x raspoređeni prema zakonu "pravokutnog trokuta" u intervalu (0; 4) (slika 5.5). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.
Odgovori
P (-1/2<x<1/2)=2/3.
P(2π /9<x< π /2)=1/2.
5.3. a) s=1/6, b) M(x)=3 , c) D(x)=26/81.
5.4. a) s=3/2, b) M(x)=3/5, c) D(x)=12/175.
b) M(x)= 3 , D(x)= 2/9, σ( x)= /3.
b) M(x)=2 , D(x)= 3 , σ( x)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. a) s=1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. a) s= 2; b) M(x)= 2; u 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. a) M(x)= π /2; b) 1/2
………………………………………………………
An - slučajna varijabla X je uzela vrijednost An.
Očito, zbroj događaja A1 A2, . , An je određeni događaj, budući da slučajna varijabla nužno uzima barem jednu od vrijednosti x1, x2, xn.
Dakle, P (A1 È A2 È . È An) = 1.
Osim toga, događaji A1, A2, ., An su nekompatibilni, jer slučajna varijabla u jednom eksperimentu može uzeti samo jednu od vrijednosti x1, x2, ., xn. Po teoremu zbrajanja za nespojive događaje dobivamo
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
tj. p1+p2+ . +pn = 1, ili, ukratko,
Dakle, zbroj svih brojeva koji se nalaze u drugom redu tablice 1, koji daje zakon raspodjele slučajne varijable X, mora biti jednak jedan.
PRIMJER 1. Neka je slučajna varijabla X broj bodova koji se bacaju kada se kocka. Pronađite zakon raspodjele (u obliku tablice).
Slučajna varijabla X uzima vrijednosti
x1=1, x2=2, … , x6=6
s vjerojatnostima
p1= p2 = … = p6 =
Zakon raspodjele dat je tablicom:
tablica 2
PRIMJER 2. Binomna distribucija. Razmotrimo slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u nizu neovisnih eksperimenata, u svakom od kojih se A pojavljuje s vjerojatnošću p.
Slučajna varijabla X očito može uzeti jednu od sljedećih vrijednosti:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Vjerojatnost događaja koji se sastoji u činjenici da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku k određena je Bernoullijevom formulom:
Rn(k)= gdje je q=1- r.
Takva raspodjela slučajne varijable naziva se binomna distribucija ili Bernoullijeva distribucija. Bernoullijevu distribuciju u potpunosti određuju dva parametra: broj n svih pokusa i vjerojatnost p s kojom se događaj dogodi u svakom pojedinačnom pokusu.
Uvjet za binomsku distribuciju ima oblik:
Da bi se dokazala valjanost ove jednakosti, ona je dovoljna u identitetu
(q+px)n= 
stavi x=1.
PRIMJER 3. Poissonova raspodjela. Ovo je naziv distribucije vjerojatnosti oblika:
P(k)= 
.
Određuje ga jedan (pozitivan) parametar a. Ako je ξ slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju, tada je odgovarajući parametar a - prosječna vrijednost ove slučajne varijable:
a=Mξ=, gdje je M matematičko očekivanje.
Slučajna varijabla je:
PRIMJER 4. eksponencijalna distribucija.
Ako je vrijeme slučajna varijabla, označimo ga s τ, tako da
gdje je 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Srednja vrijednost slučajne varijable t je:
Gustoća distribucije ima oblik:
4) Normalna distribucija
Neka su neovisne, identično raspoređene slučajne varijable i neka 
Ako su članovi dovoljno mali, a broj n dovoljno velik, - ako su za n à ∞ matematičko očekivanje slučajne varijable Mξ i varijanca Dξ jednaka Dξ=M(ξ–Mξ)2, takvi da su Mξ~ a, Dξ~σ2, dakle
- normalna ili gausova raspodjela
.
5) Geometrijska raspodjela. Neka ξ označava broj pokušaja koji prethode prvom "uspjehu". Ako pretpostavimo da svaki test traje jedinicu vremena, onda možemo smatrati ξ kao vrijeme čekanja do prvog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:
R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Hipergeometrijska raspodjela.
Postoji N - objekata među kojima n - "posebnih objekata". Među svim objektima, k-objekti su nasumično odabrani. Pronađite vjerojatnost da je među odabranim objektima jednaka r - "posebni objekti". Distribucija izgleda ovako:
7) Pascal distribucija.
Neka je x ukupan broj "neuspjeha" koji prethode dolasku r-tog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:
Funkcija distribucije ima oblik:
Jednako vjerojatna distribucija podrazumijeva da slučajna varijabla x može uzeti bilo koju vrijednost u intervalu s istom vjerojatnošću. U ovom slučaju, gustoća raspodjele se izračunava kao 
U nastavku su prikazani grafikoni gustoće distribucije i funkcije distribucije.
Prije objašnjenja pojma "bijeli šum" potrebno je dati niz definicija.
Slučajna funkcija je funkcija neslučajnog argumenta t, koji je, za svaku fiksnu vrijednost argumenta, slučajna varijabla. Na primjer, ako je U slučajna varijabla, tada je funkcija X(t)=t2U slučajna.
Odsječak slučajne funkcije je slučajna varijabla koja odgovara fiksnoj vrijednosti argumenta slučajne funkcije. Dakle, slučajna funkcija se može smatrati skupom slučajnih varijabli (X(t)), ovisno o parametru t.
