A. Opet ćemo govoriti samo o funkcijama dviju varijabli (ali obrazloženje je prikladno i za funkcije bilo kojeg broja varijabli).

Neka nam bude funkcija

i njegove su parcijalne derivacije. Potonji su, očito, također funkcije x i y, pa je stoga također moguće pronaći njihove parcijalne derivacije u odnosu na x i y.

Parcijalna derivacija u odnosu na parcijalnu derivaciju u odnosu na zove se parcijalna derivacija drugog reda u odnosu na i označava se na sljedeći način:

Slično definiramo parcijalnu derivaciju drugog reda u odnosu na y:

Parcijalni izvod u odnosu na y parcijalnog izvoda u odnosu na naziva se mješoviti drugi parcijalni izvod u odnosu na i u odnosu na y:

Slično, određujemo drugu parcijalnu derivaciju, uzetu prvo u odnosu na y, a zatim u odnosu na

Može se dokazati da za mnoge funkcije mješovita derivacija ne ovisi o redu diferenciranja, tj.

Nećemo (zbog složenosti) dokazivati ​​ovo važno svojstvo, već ćemo ga pokazati na primjeru.

Neka nam je, na primjer, dana funkcija

Prvo ga razlikujemo s obzirom na x, a zatim s obzirom na

Sada diferencirajmo ovu funkciju prvo s obzirom na y, a zatim s obzirom na

Kao što vidimo, rezultat je u oba slučaja bio isti.

Ako uzmemo parcijalne derivacije prema i u odnosu na parcijalne derivacije drugog reda, dobit ćemo parcijalne derivacije trećeg reda

Slično definiramo parcijalne derivacije četvrtog, petog reda itd.

b. Baš kao što smo uzeli parcijalne derivacije parcijalnih derivacija, možemo uzeti totalni diferencijal totalnog diferencijala. Rezultat se naziva drugi totalni diferencijal i označava se na isti način kao drugi diferencijal funkcije jedne varijable, tj. ovako:

Treći totalni diferencijal naziva se totalni diferencijal drugog totalnog diferencijala itd.

c. Pokažimo sada kako se drugi totalni diferencijal izražava kroz parcijalne derivacije drugog reda. Radi općenitosti, pretpostavit ćemo da y može ovisiti o nekim drugim varijablama. Označimo radi kratkoće

Da bismo pronašli drugi ukupni diferencijal, moramo uzeti prvi ukupni diferencijal od prvog ukupnog diferencijala. Napominjući u isto vrijeme da, kao što je prikazano u paragrafu "e" § 3 ovog poglavlja, pravilo za razlikovanje zbroja i umnoška također vrijedi za ukupni diferencijal, možemo napisati

Budući da su p i q same funkcije dviju varijabli x i y, tada

primijeti da

Zamjenom u posljednju formulu, nakon otvaranja zagrada konačno dobivamo

Ako su x i y nezavisne varijable ili linearne funkcije bilo koje druge varijable, tada su njihovi drugi diferencijali jednaki nuli;

a formula (8) pojednostavljuje:

Vidimo da se zakon invarijantnosti primjenjuje na drugi diferencijal samo uz vrlo velika ograničenja: bit će točan samo ako su x i y linearne funkcije drugih varijabli, u svim drugim slučajevima nije primjenjiv. Gledajući formulu (9), vidimo da je vrlo slična formuli za kvadrat zbroja dvaju brojeva. Ova analogija dovela je do ideje da se drugi diferencijal zapiše u sljedećem simboličkom obliku:

Neka je dana funkcija dviju varijabli. Povećajmo argument i ostavimo ga nepromijenjenim. Tada će funkcija dobiti inkrement koji se naziva djelomični inkrement po varijabli i označava se:

Slično, fiksiranjem argumenta i davanjem povećanja argumentu, dobivamo djelomično povećanje funkcije po varijabli:

Količina se naziva ukupnim prirastom funkcije u točki.

Definicija 4. Parcijalna derivacija funkcije dviju varijabli s obzirom na jednu od tih varijabli je granica omjera odgovarajućeg parcijalnog prirasta funkcije prema prirastu dane varijable kada potonja teži nuli (ako je ta granica postoji). Parcijalna derivacija se označava na sljedeći način: ili, ili.

Dakle, po definiciji imamo:

Parcijalne derivacije funkcija računaju se prema istim pravilima i formulama kao funkcije jedne varijable, s tim da se kod diferenciranja po varijabli smatra konstantom, a kod diferenciranja po varijabli konstantom .

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcija:

Riješenje. a) Za pronalaženje brojimo konstantna vrijednost i diferencirati kao funkciju jedne varijable:

Slično, uz pretpostavku konstantne vrijednosti, nalazimo:

Definicija 5. Ukupni diferencijal funkcije je zbroj umnožaka parcijalnih derivacija te funkcije i priraštaja odgovarajućih nezavisnih varijabli, tj.

Uzimajući u obzir da se diferencijali nezavisnih varijabli podudaraju s njihovim priraštajima, tj. , formula za ukupni diferencijal može se napisati kao

Primjer 4. Naći potpuni diferencijal funkcije.

Riješenje. Budući da, koristeći formulu ukupnog diferencijala nalazimo

Parcijalne derivacije višeg reda

Parcijalne derivacije se nazivaju parcijalne derivacije prvog reda ili prve parcijalne derivacije.

Definicija 6. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije su parcijalne derivacije parcijalnih derivacija prvog reda.

Postoje četiri parcijalne derivacije drugog reda. Oni su označeni na sljedeći način:

Slično se definiraju parcijalne derivacije 3., 4. i viših reda. Na primjer, za funkciju imamo:

Parcijalne derivacije drugog ili višeg reda, uzete s obzirom na različite varijable, nazivaju se mješovite parcijalne derivacije. Za funkciju, to su derivacije. Uočimo da u slučaju kada su mješovite derivacije kontinuirane, tada vrijedi jednakost.

Primjer 5. Naći parcijalne derivacije drugog reda funkcije

Riješenje. Parcijalne derivacije prvog reda za ovu funkciju nalaze se u primjeru 3:

Diferenciranjem s obzirom na varijable x i y dobivamo

4. Parcijalne derivacije viših redova

Parcijalne derivacije se nazivaju parcijalne derivacije prvog reda ili prve parcijalne derivacije.

Definicija 6. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije su parcijalne derivacije parcijalnih derivacija prvog reda.

Postoje četiri parcijalne derivacije drugog reda. Oni su označeni na sljedeći način:

Ili ; ili ;

Ili ; ili .

Slično se definiraju parcijalne derivacije 3., 4. i viših reda. Na primjer, za funkciju imamo:

, itd.

Parcijalne derivacije drugog ili višeg reda, uzete s obzirom na različite varijable, nazivaju se mješovite parcijalne derivacije. Za funkciju, to su derivacije. Uočimo da u slučaju kada su mješovite derivacije neprekidne, tada jednakost vrijedi.

Primjer 5. Naći parcijalne derivacije drugog reda funkcije

Riješenje. Parcijalne derivacije prvog reda za ovu funkciju nalaze se u primjeru 3:

Diferenciranjem s obzirom na varijable x i y dobivamo

5. Ekstremum funkcije više varijabli. Nužni i dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema

Definicija 7. Točka se naziva minimalna (maksimalna) točka funkcije ako postoji takva okolina točke da je za sve točke iz te okoline zadovoljena nejednakost , ().

Točke minimuma i maksimuma funkcije nazivaju se točkama ekstrema, a vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima funkcije (minimum i maksimum).

Imajte na umu da su minimum i maksimum funkcije lokalne prirode, budući da se vrijednost funkcije u točki uspoređuje s njezinim vrijednostima u točkama dovoljno blizu .

Teorem 1 (nužni uvjeti za ekstrem). Ako je točka ekstrema diferencijabilne funkcije, tada su njene parcijalne derivacije u ovoj točki jednake nuli: .

Točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli nazivaju se kritične ili stacionarne. U kritičnim točkama funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem.

Teorem 2 (dovoljan uvjet za ekstrem). Neka je funkcija: a) definirana u nekoj okolini kritične točke, u kojoj I ; b) ima neprekidne parcijalne izvodnice drugog reda . Onda ako , tada funkcija u točki ima ekstrem: maksimum ako je A<0; минимум, если А>0; Ako , tada funkcija nema ekstrem. Kada pitanje prisutnosti ekstrema ostaje otvoreno.

Kada proučavate funkciju dviju varijabli za ekstrem, preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1. Nađite parcijalne derivacije prvog reda: i .

2. Riješite sustav jednadžbi i pronađite kritične točke funkcije.

3. Nađite parcijalne derivacije drugog reda: , , .

4. Izračunajte vrijednosti parcijalnih derivata drugog reda u svakoj kritičnoj točki i, koristeći dovoljne uvjete, izvedite zaključak o prisutnosti ekstremuma.

5. Pronađite ekstreme funkcije.

Primjer 6. Pronađite ekstreme funkcije .

Riješenje. 1. Nađite parcijalne derivacije i:

, .

A gradijent funkcije izračunava se na manje točaka. Opis programa Program je dizajniran za pronalaženje minimalnih točaka funkcija nekoliko varijabli - drugim riječima, za minimiziranje tih funkcija. Program implementira jednu od metoda spuštanja – Gradijentnu metodu spuštanja s odabirom koraka. Naveden je početni korak. Promjena koraka provodi se prema shemi ako; ako je izračun...

Limit funkcije: Rješenje. Iskoristimo prvi izvanredna granica Zatim Primjer 3. Nađi limes funkcije: Rješenje. Upotrijebimo drugu izvanrednu granicu Zatim. Kontinuitet funkcije nekoliko varijabli Prema definiciji, funkcija f (x, y) je kontinuirana u točki (x0, y0) ako je definirana u nekoj njezinoj blizini, uključujući i samu točku (x0, y0) i ako je granica f (x, y) u ovom...

Parcijalne derivacije i diferencijali viših redova.

Uvod.

Kao iu slučaju funkcija jedne varijable, moguće je izračunati diferencijale reda višeg od prvog za funkcije više varijabli.

Štoviše, za složene funkcije, diferencijali reda višeg od prvog nemaju nepromjenjiv oblik i izrazi za njih su glomazniji. U ovom predavanju također ćemo razmotriti geometrijsko značenje totalnog diferencijala funkcije više varijabli, koje se uvodi analogijom s geometrijskim značenjem funkcije jedne realne varijable.

1. Diferencijacija implicitne funkcije.

a) Neka je dana jednadžba koja povezuje dvije varijable x I na. Ako se svi članovi ove jednadžbe prenesu na lijevu stranu, tada će ona imati oblik

Jednadžba (1) općenito govoreći, definira jednu ili više funkcija
. Na primjer, jednadžba
definira jednu funkciju
, i jednadžba definira dvije funkcije
I
.

Ako se u razmatranim jednadžbama umjesto na zamijeniti pronađene funkcije, one će se pretvoriti u identitete.

Definicija: Svaka kontinuirana funkcija koja pretvara jednadžbu u identitet naziva se implicitna funkcija definirana jednadžbom.

Ne definira svaka jednadžba implicitnu funkciju. Dakle, jednadžba
ne zadovoljava niti jedan par realnih brojeva
te stoga ne definira implicitnu funkciju. Formulirajmo uvjete pod kojima jednadžba definira implicitnu funkciju .

Neka je dana jednadžba (1).

b) Teorem postojanja implicitne funkcije.

Ako funkcija
i njegove parcijalne derivacije
I
definiran i kontinuiran u nekoj okolini točke
i pri čemu
, A
, onda jednadžba određuje točke u ovom susjedstvu
jedina implicitna funkcija, kontinuirana i diferencijabilna u nekom intervalu koji sadrži točku , i
.

Geometrijski to znači da je u blizini točke krivulja graf kontinuirane i diferencijabilne funkcije.

V) Derivacija implicitne funkcije.

Neka lijeva strana jednadžbe zadovoljava uvjete navedene u teoremu, tada ova jednadžba definira implicitnu funkciju za koju u blizini točke vrijedi identitet u odnosu na x:
. Zatim
, za bilo koji x iz susjedstva x 0 .

Prema pravilu diferenciranja složenih funkcija

i stoga,
.

ili
(2)

Pomoću ove formule nalazi se derivacija implicitne funkcije (jedna varijabla).

Primjer: x 3 +y 3 -3xy=0

Imamo
x 3 +y 3 -3hu, =3x 2 -3u =3u 2 -3x

= -
.

Generalizirajmo koncept implicitno definirane funkcije na slučaj funkcije više varijabli.

Jednadžba (3) definira implicitno specificiranu funkciju ako je ta funkcija kontinuirana i pretvara jednadžbu u identitet, tj.
(4).

Slično se formuliraju uvjeti postojanja i jedinstvenosti implicitno specificirane funkcije.

Nađimo I :

= -

= -

Primjer:

2x

2u

= -
; = -
.

2. Parcijalne derivacije viših redova.

Neka funkcija ima parcijalne derivacije

Te su derivacije, općenito govoreći, funkcije nezavisnih varijabli x I na.

Parcijalne derivacije parcijalnih derivacija
I
nazivaju se parcijalne derivacije funkcije drugog reda.

Svaka parcijalna derivacija prvog reda i ima dvije parcijalne derivacije. Tako dobivamo četiri parcijalne derivacije drugog reda

1. Derivati
I
nazivaju se mješoviti derivati ​​drugog reda.

2. Postavlja se pitanje da li rezultat diferenciranja funkcije

Iz redoslijeda diferencijacije s obzirom na različite varijable, tj. htjeti

su identički jednaki i .

Teorem je istinit:

Teorema: Ako su derivacije i definirane i kontinuirane u točki M(x,y) i neke njegove okoline, onda u ovoj točki

Primjer:

Izvodnice drugog reda mogu se ponovno razlikovati

u čemu je x, i po na. Dobijmo parcijalne derivacije trećeg reda.

Parcijalna derivacija n-tog reda je parcijalna derivacija od

derivat (n-1) reda.

3. Potpuni diferencijali viših redova.

Neka je diferencijabilna funkcija; stoga ćemo je nazvati diferencijalom prvog reda.

Neka i budu diferencijabilne funkcije u točki M(x,y),
I
smatrat ćemo ih stalnim faktorima. Zatim
je funkcija 2 varijable x I na, diferencijabilan u točki M(x,y). Njegov diferencijal izgleda ovako:

Diferencijal od diferencijala u točki M(x,y) naziva se diferencijal drugog reda u ovoj točki i označava se
.

A-priorat Greška! Objekt se ne može stvoriti iz kodova polja za uređivanje.=

Greška! Objekt se ne može stvoriti iz kodova polja za uređivanje.=

Diferencijal (n-1)-tog reda naziva se diferencijal n-tog reda funkcije

Izraz za simbolički se može napisati kao

Greška! Objekt se ne može stvoriti iz kodova polja za uređivanje.=
=

Primjer:

4. Tangentna ravnina i normala na plohu.

normalan

tangentna ravnina

Neka su N i N 0 točke ove plohe. Nacrtajmo ravnu liniju NN 0. Ravnina koja prolazi točkom N 0 naziva se tangentna ravnina na površinu ako kut između sekante NN 0 i te ravnine teži nuli, kada udaljenost NN 0 teži nuli.

Definicija. Normalan na površinu u točki N 0 je pravac koji prolazi točkom N 0 okomito na ravninu tangente na tu površinu.

U bilo kojoj točki površina ima ili samo jednu tangentnu ravninu ili je uopće nema.

Ako je površina dana jednadžbom z = f(x, y), gdje je f(x, y) funkcija diferencijabilna u točki M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u točki N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednadžbu:

Jednadžba normale na površinu u ovoj točki je:

Geometrijski smisao ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli f(x, y) u točki (x 0, y 0) je priraštaj aplikate (z koordinate) tangentne ravnine na površinu kada se kreće od točke (x 0 , y 0) do točke (x 0 +x , 0 +u).

Kao što vidite, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Primjer. Nađite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu

u točki M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravnine:

Normalna jednadžba:

Zaključak.

Definicije i oznake povezane s parcijalnim izvodnicama viših redova ostaju na snazi ​​za funkcije koje ovise o tri ili više varijabli. Mogućnost promjene redoslijeda izvedenih diferencijacija također ostaje važeća, pod uvjetom da su derivacije koje se uspoređuju kontinuirane.

Svaki parcijalni izvod (po x i po g) funkcije dviju varijabli je obična derivacija funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:

(Gdje g= konst),

(Gdje x= konst).

Stoga se parcijalne derivacije izračunavaju korištenjem formule i pravila za izračunavanje derivacija funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu varijablu konstantu.

Ako vam za to nije potrebna analiza primjera i minimum teorije, već samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako vam je teško koncentrirati se kako biste pratili gdje je konstanta u funkciji, tada u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati parcijalnu derivaciju kao obična derivacija funkcije jedne varijable. Samo se trebate sjetiti vratiti konstantu (varijablu s fiksnom vrijednošću) na njezino mjesto kada završite konačni dizajn.

Gore opisano svojstvo parcijalnih derivacija proizlazi iz definicije parcijalnih derivacija, koja se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali s donjom definicijom, možete otvoriti teoretsku referencu.

Pojam neprekidnosti funkcije z= f(x, g) u točki definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, g) nazivamo kontinuiranim u točki ako

Razlika (2) naziva se ukupnim prirastom funkcije z(dobiva se kao rezultat povećanja obaju argumenata).

Neka je zadana funkcija z= f(x, g) i točka

Ako se funkcija promijeni z događa se kada se samo jedan od argumenata promijeni, na primjer, x, s fiksnom vrijednošću drugog argumenta g, tada će funkcija dobiti inkrement

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, g) Autor x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, mi efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

onda se naziva parcijalna derivacija funkcije f(x, g) argumentom x i označen je jednim od simbola

(4)

Slično se određuje i djelomični prirast z Po g:

i djelomična derivacija f(x, g) Autor g:

(6)

Primjer 1.

Riješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(g fiksni);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksni).

Kao što vidite, nije važno u kojoj je mjeri varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju obične derivacije) varijable s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s varijablom s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju, tada ta usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju obične derivacije, nestaje.

Primjer 2. S obzirom na funkciju

Pronađite parcijalne derivacije

(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u točki A (1; 2).

Riješenje. Na fiksnom g derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije snage ( tablica izvoda funkcija jedne varijable):

.

Na fiksnom x derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalne funkcije, a drugi - kao derivacija konstante:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih derivacija u točki A (1; 2):

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcije

Riješenje. U jednom koraku nalazimo

(g x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna iu ovom slučaju je množitelj na g).

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcije triju ili više varijabli.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; g; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u naziva funkcija varijabli x, g, ..., t i označavaju u= f(x, g, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Parcijalne derivacije funkcije više varijabli također se određuju i izračunavaju pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4. Naći parcijalne derivacije funkcije

.

Riješenje. g I z fiksno:

x I z fiksno:

x I g fiksno:

Parcijalne derivacije pronađite sami i zatim pogledajte rješenja

Primjer 5.

Primjer 6. Naći parcijalne derivacije funkcije.

Isti ima i parcijalni izvod funkcije više varijabli mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je brzina promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka P putnika željeznice može se izraziti funkcijom

Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih mjesta, R– udaljenost između točaka.

Parcijalni izvod funkcije P Po R, jednako

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih točaka s istim brojem stanovnika u točkama.

Parcijalna derivacija P Po N, jednako

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između točaka.

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Umnožak parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbroj parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dviju neovisnih varijabli ukupni diferencijal izražava se jednakošću

(7)

Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Riješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj točki određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području podrazumijeva njezin kontinuitet u tom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije.

Teorema. Ako funkcija z= f(x, g) ima neprekidne parcijalne derivacije

u danom području, tada je on u tom području diferencijabilan i njegov se diferencijal izražava formulom (7).

Može se pokazati da, kao što je u slučaju funkcije jedne varijable diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal jednak glavni, linearni u odnosu na prirast nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dviju varijabli ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β infinitezimalni na i .

Parcijalne derivacije višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, g) same su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivacije u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalne derivacije viših redova.