Graf funkcije y 2x. Grafikon funkcije. Grafičko crtanje linearne funkcije

Grafikon funkcije vizualni je prikaz ponašanja funkcije na koordinatnoj ravnini. Grafikoni vam pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete izgraditi grafove mnogih funkcija, a svakoj od njih bit će dana određena formula. Graf bilo koje funkcije izgrađen je pomoću određenog algoritma (ako ste zaboravili točan postupak crtanja grafa određene funkcije).

Koraci

Grafičko crtanje linearne funkcije

Odredite je li funkcija linearna. Linearna funkcija dana je formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez ikakvih eksponenata, predznaka korijena ili slično. Ako je dana funkcija sličnog tipa, vrlo je jednostavno iscrtati graf takve funkcije. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Koristite konstantu za označavanje točke na Y osi. Konstanta (b) je "y" koordinata točke u kojoj graf siječe os Y. To jest, to je točka čija je "x" koordinata jednaka 0. Dakle, ako se x = 0 zamijeni u formulu , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je jednaka 5, odnosno sjecišna točka s Y osi ima koordinate (0,5). Nacrtajte ovu točku na koordinatnu ravninu.

Pronaći nagib ravno. Jednak je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) uz varijablu “x” postoji faktor 2; stoga je koeficijent nagiba jednak 2. Koeficijent nagiba određuje kut nagiba pravca prema osi X, odnosno što je koeficijent nagiba veći, funkcija brže raste ili opada.

Zapišite nagib kao razlomak. Faktor nagiba jednaka tangenti kut nagiba, odnosno omjer okomite udaljenosti (između dviju točaka na pravoj liniji) i horizontalne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, tako da možemo reći da je okomita udaljenost 2, a vodoravna udaljenost 1. Zapišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Ako je nagib negativan, funkcija je opadajuća.

Od točke gdje ravna linija siječe Y os, iscrtajte drugu točku koristeći okomite i vodoravne udaljenosti. Grafički prikaz linearne funkcije može se prikazati pomoću dvije točke. U našem primjeru, točka sjecišta s Y osi ima koordinate (0,5); Od ove točke, pomaknite se 2 mjesta prema gore, a zatim 1 mjesto udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.

Pomoću ravnala nacrtajte ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva grafikon se može iscrtati pomoću dvije točke. Dakle, iscrtali ste linearnu funkciju.

Ucrtavanje točaka na koordinatnu ravninu
1. Definirajte funkciju. Funkcija se označava kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivamo domenom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivamo domenom funkcije. Na primjer, razmotrimo funkciju y = x+2, odnosno f(x) = x+2.
  
  Nacrtajte dvije okomite crte koje se sijeku. Vodoravna linija je os X. Okomita linija je os Y.
  
  Označite koordinatne osi. Podijelite svaku os na jednake segmente i numerirajte ih. Sjecište osi je 0. Za X os: pozitivni brojevi se ucrtavaju desno (od 0), a negativni brojevi lijevo. Za Y os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.
  
  Pronađite vrijednosti "y" iz vrijednosti "x". U našem primjeru je f(x) = x+2. Zamijenite određene x vrijednosti u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće y vrijednosti. Ako je dana složena funkcija, pojednostavite je izdvajanjem "y" na jednoj strani jednadžbe.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Nacrtajte točke na koordinatnu ravninu. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na X osi i nacrtajte okomitu liniju (točkastu); pronađite odgovarajuću vrijednost na Y osi i nacrtajte vodoravnu liniju (isprekidana linija). Označite točku sjecišta dviju isprekidanih linija; dakle, iscrtali ste točku na grafikonu.
  
  Obrišite isprekidane linije. Učinite to nakon što sve točke na grafikonu iscrtate na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je pravac koji prolazi koordinatnim središtem [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravcem f(x) = x, ali pomaknut prema gore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .
Grafički prikaz složene funkcije

Funkcija izgradnje

Nudimo vam uslugu za izradu grafova funkcija na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti online crtanja grafikona

Vizualni prikaz unesenih funkcija
Izgradnja vrlo složenih grafikona
Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
Kontrola mjerila, boja linija
Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikazivanje grafova za daljnje premještanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, te za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj web stranici je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen pri korištenju drugih preglednika.

Konstruiranje grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće za školsku djecu. Ipak, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje takvih problema i lako možete izgraditi grafikon čak i za naizgled složena funkcija. Hajde da shvatimo kakvi su to algoritmi.

1. Crtanje grafa funkcije y = |f(x)|

Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Crtanje grafa funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.

1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostavite nepromijenjene sve točke na grafu koje su iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|

1) Gradimo graf funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očito je da je graf te funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka sjecišta parabole s koordinatnim osima i koordinate vrha parabole.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dakle, parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Dakle, parabola siječe os 0y u točki (0, 3).

Koordinate vrha parabole:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dakle, točka (2, -1) je vrh ove parabole.

Nacrtajte parabolu pomoću dobivenih podataka (Sl. 1)

2) Dio grafikona koji leži ispod 0x osi prikazuje se simetrično u odnosu na 0x os.

3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazano isprekidanom linijom).

2. Crtanje funkcije y = f(|x|)

Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.

Crtanje grafa funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.

1) Nacrtajte graf funkcije y = f(x).

2) Ostaviti onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite dio grafikona naveden u točki (2) simetrično na 0y os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3

Kako je x 2 = |x| 2, tada se izvorna funkcija može prepisati kao sljedeći obrazac: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.

1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (vidi također riža. 1).

2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

3) Prikažite desnu stranu grafikona simetrično na os 0y.

(slika 3).

Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|

Primjenjujemo gore navedenu shemu.

1) Izgradite graf funkcije y = log 2 x (Sl. 4).

3. Crtanje funkcije y = |f(|x|)|

Primijetimo da funkcije oblika y = |f(|x|)| su također parni. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su stoga njihovi grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. To znači da se grafovi takvih funkcija nalaze u cijelosti u gornjoj poluravnini.

Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:

1) Pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(|x|).

2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na 0x osi.

3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi simetrično u odnosu na 0x os.

4) Kao konačni graf odabrati uniju krivulja dobivenih u točkama (2) i (3).

Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Primijetimo da je x 2 = |x| 2. To znači da umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1

možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jer im se grafovi podudaraju.

Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.

a) Grafički nacrtajte funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (Sl. 6).

b) Ostavljamo onaj dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.

c) Rezultirajući dio grafa prikazujemo simetrično na 0y os.

d) Dobiveni graf prikazan je isprekidanom linijom na slici (Sl. 7).

2) Nema točaka iznad 0x osi; ostavljamo točke na 0x osi nepromijenjene.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.

4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (Sl. 8).

Primjer 5. Grafički nacrtajte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Prvo trebate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na Algoritam 2.

a) Pažljivo iscrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (Sl. 9).

Imajte na umu da je ova funkcija frakcijsko linearna i da je njezin graf hiperbola. Da biste iscrtali krivulju, prvo trebate pronaći asimptote grafikona. Horizontalno – y = 2/1 (omjer koeficijenata od x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito – x = -3.

2) Onaj dio grafa koji se nalazi iznad 0x osi ili na njoj ostavit ćemo nepromijenjen.

3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.

4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Ponekad u zadacima postoje ne sasvim obične funkcije, gdje u formuli funkcije postoji samo "y" ili samo "x".

Postavlja se pitanje: " Kako grafički prikazati takvu funkciju?».

Zapamtiti!

Graf funkcije oblika “y = 7” i “x = 2” (funkcije u kojima postoji samo “y” ili samo “x”) je ravna linija koja je paralelna s jednom od koordinatnih osi.

Kako nacrtati graf funkcije "y = 7"

Shvatimo to na primjeru. Razmotrimo funkciju "y = 7".

U formuli funkcije “y = 7” postoji samo “y”. To znači da sve točke na grafu funkcije “y = 7” imaju koordinatu duž osi “y” ( ordinata) jednako "7".

Argument funkcije "x" očito je odsutan u formuli funkcije "y = 7", ali unatoč tome "x", iako "nevidljivo", postoji u funkciji i poprima bilo kakve numeričke vrijednosti.

Uz to, pronađimo neke točke grafička umjetnost
funkcije "y = 7". Izaberimo tri proizvoljne numeričke vrijednosti za "x". Na primjer, brojevi "1", "2" i "3".

Spojimo li dobivene točke grafa funkcije “y = 7”, dobit ćemo ravnu liniju koja je paralelna s osi “Ox”.

Kako grafički prikazati funkciju “x = 2”

Funkcije u kojima postoji samo “x” izgrađene su na sličnom principu kao i funkcije u kojima postoji samo “y”, s tom razlikom što sada radimo s osi “Ox”.

Shvatimo to na primjeru. Razmotrimo funkciju "x = 2".

U formuli za funkciju “x = 2” postoji samo “x”.

To znači da sve točke na grafu funkcije “x = 2” imaju koordinatu duž osi “x” ( apscisa) jednako "2".

Vrijednost funkcije "y" očito je odsutna u funkciji "x = 2", ali unatoč tome "y" je "nevidljivo" u funkciji i poprima sve numeričke vrijednosti.

Uz to, pronađimo neke točke na grafikonu
funkcije "x = 2".

Izaberimo tri proizvoljne numeričke vrijednosti za "y". Na primjer, brojevi "1", "2" i "3".

Dobivene točke označimo na koordinatnom sustavu.