LEKCIJA 20

20.1 OTKRIVANJE NESIGURNOSTI VRSTE

Primjer 1

Granica rješenja Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak: U tom slučaju se dobiva tzv.

Opće pravilo: ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika, onda to otkriti morate rastaviti brojnik i nazivnik na faktore.

Da biste to učinili, najčešće morate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule množenja.

Rastavimo brojnik na faktore.

Primjer 2

Izračunajte granicu

Rastavimo brojnik i nazivnik na faktore.

Nazivnik brojnika: ,

Metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom

Nastavljamo razmatrati nesigurnost oblika

Sljedeća vrsta ograničenja slična je prethodnoj vrsti. Jedino ćemo, osim polinoma, dodati korijene.

Primjer 3

Pronađite granicu

Pomnožite brojnik i nazivnik s konjugiranim izrazom.

20.2 OTKRIVANJE NESIGURNOSTI VRSTE

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada je , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

Primjer 4

Izračunajte granicu

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Što dobivamo na vrhu? Beskonačnost. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove neizvjesnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je odgovor spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj, te je potrebno primijeniti neku tehniku ​​rješavanja koju ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ove vrste?

Prvo pogledamo brojnik i nađemo najveću snagu: Vodeći stepen u brojniku je dvojka.

Sada gledamo nazivnik i također ga nalazimo na najveću potenciju: Najviši stupanj nazivnika je dva.

Zatim biramo najveću potenciju brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: otkriti neizvjesnostmorate brojnik i nazivnik podijeliti sau višem stupnju.

Podijelite brojnik i nazivnik s

Evo ga, odgovor, a ne beskonačnost uopće.

Što je temeljno važno u dizajnu odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako je ima.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje za međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, već znači da se rješenje prekida radi međuobjašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti što kamo ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način: Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate učiniti ništa od ovoga, ali tada će možda nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Trebaš li to?

Primjer 5

Pronađite granicu Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stupnju: Maksimalni stupanj u brojniku: 3 Maksimalni stupanj u nazivniku: 4 Odaberite najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri. Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, dijelimo brojnik i nazivnik s. Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:

Primjer 6

Pronađite granicu Maksimalni stupanj “X” u brojniku: 2 Maksimalni stupanj “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao) Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojnik i nazivnik sa. Konačno rješenje može izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Notacija ne znači dijeljenje s nulom (ne možete dijeliti s nulom), već dijeljenje s infinitezimalnim brojem.

Stoga, otkrivanjem neizvjesnosti vrsta, možda ćemo moći konačni broj, nula ili beskonačnost.

PRAKTIKUM 20

ZADATAK BR. 1

Riješenje: Ako umjesto varijable stavimo vrijednost 7 kojoj ona teži, tada dobivamo nesigurnost oblika

ZADATAK BR. 2Tema: Otkrivanje nesigurnosti tipa “nula do nula”.

Riješenje: Ako umjesto varijable stavimo vrijednost 0 kojoj ona teži, tada dobivamo nesigurnost oblika

ZADATAK BR. 3Tema: Otkrivanje nesigurnosti tipa “nula do nula”.

Riješenje: Ako umjesto varijable stavimo vrijednost 6 kojoj ona teži, tada dobivamo nesigurnost oblika

ZADATAK 4

Riješenje: Jer I

ZADATAK BR. 5Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno"

Riješenje: Jer I tada postoji nesigurnost oblika.Da biste je otkrili, morate svaki član brojnika i nazivnika podijeliti s. Zatim, znajući što dobivamo:

SAMOSTALNI RAD 20

ZADATAK BR. 1Tema: Otkrivanje nesigurnosti tipa “nula do nula”.

ZADATAK BR. 2Tema: Otkrivanje nesigurnosti tipa “nula do nula”.

ZADATAK BR. 3Tema: Otkrivanje nesigurnosti tipa “nula do nula”.

ZADATAK 4Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno"

ZADATAK BR. 5Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno" Ograničenje funkcije jednak...

ZADATAK 6Tema: Otkrivanje neizvjesnosti oblika "beskonačno do beskonačno"

Ova neizvjesnost se "servira" druga divna granica, au drugom dijelu te lekcije vrlo smo detaljno pogledali standardne primjere rješenja koja se u većini slučajeva nalaze u praksi. Sada će slika s eksponentima biti zaokružena, osim toga, završni zadaci lekcije bit će posvećeni "lažnim" granicama, u kojima se ČINI da je potrebno primijeniti 2. divnu granicu, iako to uopće nije slučaj.

Nedostatak dviju radnih formula za 2. izvanrednu granicu je da argument mora težiti "plus beskonačnosti" ili nuli. Ali što ako argument teži drugom broju?

U pomoć dolazi univerzalna formula (koja je zapravo posljedica drugog izvanrednog ograničenja):

Nesigurnost se može eliminirati pomoću formule:

Negdje mislim da sam već objasnio što znače uglate zagrade. Ništa posebno, zagrade su samo zagrade. Obično se koriste za jasnije isticanje matematičkih zapisa.

Istaknimo bitne točke formule:

1) Radi se o samo o izvjesnosti i ničemu drugom.

2) Argument “x” može težiti proizvoljna vrijednost(a ne samo na nulu ili), posebice, na "minus beskonačno" ili na bilo tko konačan broj.

Pomoću ove formule možete riješiti sve primjere u lekciji. Divna ograničenja, koji spadaju u 2. izvanrednu granicu. Na primjer, izračunajmo granicu:

U ovom slučaju , a prema formuli :

Istina, ne preporučujem da to radite; tradicija je da se i dalje koristi "uobičajeni" dizajn rješenja, ako se može primijeniti. Međutim pomoću formule vrlo je zgodno provjeriti"klasičnih" primjera do 2. izuzetna granica.

Sve je to dobro i točno, ali sada ima još zanimljivih kadrova u kadru:

Primjer 18

Izračunajte granicu

U prvom koraku, neću se umoriti ponavljati, zamijenimo vrijednost "x" u izraz ispod znaka granice. Što ako uopće nema neizvjesnosti? Događa se! Ali ne u ovom trenutku. Zamjenom „trojke“ dolazimo do zaključka da tu postoji neizvjesnost

Koristimo formulu

Kako ne biste povlačili slovo "e" sa sobom i kako ga ne biste smanjili, indikator Pogodnije je izračunati odvojeno:

U ovom slučaju:

Tako:

Sa stajališta računske tehnologije, sve je rutina: prvo svedemo prvi član na zajednički nazivnik, zatim izbacimo konstante i izvršimo redukcije, oslobađajući se nesigurnosti 0:0.

Kao rezultat:

Obećani dar s razlikom logaritma i neizvjesnošću:

Primjer 19

Izračunajte granicu

Prvo cjelovito rješenje, a zatim komentari:

(1)-(2) U prva dva koraka koristimo formule . U složene izvedenice mi “raspadamo” logaritme, ali ovdje ih, naprotiv, treba “sastaviti”.

(3) Pomaknite ikonu granice ispod logaritma. To se može učiniti jer ovaj logaritam stalan do "minus beskonačnosti". Osim toga, granica se odnosi na "punjenje" logaritma.

(4)-(5) Standardna tehnika o kojoj se raspravljalo u osnovnoj lekciji o divne granice, pretvaramo neizvjesnost u oblik .

(6) Koristimo formulu .

(7) Eksponencijalna i logaritamska funkcija su međusobno inverzne funkcije, stoga se i "e" i logaritam mogu ukloniti. Doista, prema svojstvu logaritma: . Nazivniku dodajemo minus prije razlomka:

(8) Nema komentara =)

Razmatrani tip ograničenja nije tako rijedak; pronašao sam 30-40 primjera.

Primjer 20

Izračunajte granicu

Ovo je primjer za neovisna odluka. Osim pomoću formule, granicu možete predstaviti kao a zamjenom svesti rješenje na slučaj .

Zaključno, pogledajmo "lažna" ograničenja.

Vratimo se na neizvjesnost. Ova neizvjesnost ne uvijek može se svesti na neizvjesnost i koristiti drugu značajnu granicu ili korolarnu formulu. Transformacija je izvediva ako brojnik i nazivnik baze - ekvivalent beskonačno velike funkcije. Na primjer: .

Napravimo pauzu od indikatora i izračunajmo granicu baze:

U dobivenoj granici jedinica, što znači brojnik i nazivnik ne samo istog reda rasta, već i ekvivalenta. Na lekciji Izvanredna ograničenja. Primjeri rješenja Lako smo ovaj primjer sveli na neizvjesnost i dobili odgovor.

Možete smisliti puno sličnih ograničenja:
itd.

Razlomci ovih primjera ujedinjeni su gornjom značajkom: . U drugim slučajevima, ako postoji neizvjesnost 2. značajno ograničenje nije primjenjivo.

Primjer 21

Pronađite granice

Koliko god se trudili, neizvjesnost se ne može pretvoriti u neizvjesnost

Ovdje su brojnici i nazivnici baza isti red rasta, ali ne ekvivalentan: .

Dakle, druga izvanredna granica, a posebno formula, NE MOŽE SE PRIMIJENITI.

! Bilješka: Ne smije se miješati s primjerom #18, u kojem brojnik i nazivnik baze nisu ekvivalentni. Postoji gotova neizvjesnost, ali ovdje govorimo o neizvjesnosti.

Metoda za rješavanje "lažnih" granica je jednostavna i predznak: potrebni su vam brojnik i nazivnik osnove podijelite s "x" na najviši stupanj (bez obzira na eksponent):

Ako su brojnik i nazivnik baze različitog reda rasta, tada je rješenje potpuno isto:

Primjer 22

Pronađite granice

Ovaj kratki primjeri Za samostalno istraživanje

Ponekad možda uopće nema neizvjesnosti:

Takve trikove posebno vole sastavljači Kuznjecovljeve zbirke. Zato je jako važno UVIJEK zamijeniti “x” u izraz ispod znaka granice u prvom koraku!

Primjer 2

Glavni stupanj brojnika: 2; najveći stupanj nazivnika: 3.
:

Primjer 4

Podijelite brojnik i nazivnik s :


Bilješka : posljednja radnja bila je množenje brojnika i nazivnika sa osloboditi se iracionalnosti u nazivniku.

Primjer 6

Podijelite brojnik i nazivnik s :

Primjer 8

Podijelite brojnik i nazivnik s :

Bilješka : termin težiti nuli sporije od , Zato je "glavna" nula nazivnika. .

Primjer 22


Bilješka : infinitezimalna funkcija teži nuli sporije od , pa “veća” nula nazivnika igra odlučujuću ulogu:

Derivacija funkcije ne pada daleko, au slučaju L'Hopitalovih pravila pada točno na isto mjesto gdje pada izvorna funkcija. Ova okolnost pomaže u otkrivanju nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞ i nekih drugih nesigurnosti koje se javljaju prilikom izračuna ograničiti omjer dviju infinitezimala ili infinitezimala sjajne funkcije. Izračun je uvelike pojednostavljen pomoću ovog pravila (zapravo dva pravila i napomene uz njih):

Kao što gornja formula pokazuje, kada se računa granica omjera dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih funkcija, granica omjera dviju funkcija može se zamijeniti granicom omjera njihovih izvedenice i tako dobiti određeni rezultat.

Prijeđimo na preciznije formulacije L'Hopitalovih pravila.

L'Hopitalovo pravilo za slučaj limita dviju infinitezimalnih veličina. Neka funkcije f(x) I g(x a. I to na samom mjestu a a izvod funkcije g(x) nije nula ( g"(x a su međusobno jednaki i jednaki nuli:

.

L'Hopitalovo pravilo za slučaj limita dviju beskonačno velikih veličina. Neka funkcije f(x) I g(x) imaju derivacije (tj. diferencijabilne) u nekoj okolini točke a. I to na samom mjestu a ne smiju imati izvedenice. Štoviše, u blizini točke a izvod funkcije g(x) nije nula ( g"(x)≠0) i granice tih funkcija dok x teži vrijednosti funkcije u točki a međusobno jednaki i beskonačno jednaki:

.

Tada je granica omjera ovih funkcija jednaka granici omjera njihovih izvodnica:

Drugim riječima, za nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dviju funkcija jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako potonja postoji (konačna, tj. jednaka određeni broj, ili beskonačan, odnosno jednak beskonačnosti).

Bilješke.

1. Pravila L'Hopitala također se primjenjuju kada funkcionira f(x) I g(x) nisu definirani kada x = a.

2. Ako se pri računanju granice omjera derivacija funkcija f(x) I g(x) ponovno dolazimo do nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, tada L'Hôpitalova pravila treba primijeniti više puta (najmanje dva puta).

3. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada argument funkcije (x) ne teži konačnom broju a, i do beskonačnosti ( x → ∞).

Nesigurnosti drugih vrsta također se mogu svesti na nesigurnosti tipa 0/0 i ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula podijeljeno s nulom" i "beskonačno podijeljeno s beskonačnim"

Primjer 1.

x=2 dovodi do nesigurnosti oblika 0/0. Stoga se dobiva derivacija svake funkcije

U brojniku je izračunat izvod polinoma, a u nazivniku - izvod složene logaritamske funkcije. Prije posljednjeg znaka jednakosti, uobičajeno ograničiti, zamjenjujući dva umjesto X.

Primjer 2. Izračunajte granicu omjera dviju funkcija koristeći L'Hopitalovo pravilo:

Riješenje. Zamjena u dana funkcija vrijednosti x

Primjer 3. Izračunajte granicu omjera dviju funkcija koristeći L'Hopitalovo pravilo:

Riješenje. Zamjena vrijednosti u zadanu funkciju x=0 dovodi do nesigurnosti oblika 0/0. Stoga izračunavamo derivacije funkcija u brojniku i nazivniku i dobivamo:

Primjer 4. Izračunati

Riješenje. Zamjena vrijednosti x jednake plus beskonačno u zadanu funkciju dovodi do nesigurnosti oblika ∞/∞. Stoga primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo:

Komentar. Prijeđimo na primjere u kojima se L'Hopitalovo pravilo mora dvaput primijeniti, odnosno doći do granice omjera drugih derivacija, jer je granica omjera prvih derivacija nesigurnost oblika 0 /0 ili ∞/∞.

Otkrivanje neizvjesnosti oblika "nula puta beskonačno"

Primjer 12. Izračunati

.

Riješenje. Dobivamo

Ovaj primjer koristi trigonometrijski identitet.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula na nulti potenciju", "beskonačno na nulti potenciju" i "jedan na beskonačnu potenciju"

Nesigurnosti oblika ili se obično svode na oblik 0/0 ili ∞/∞ uzimajući logaritam funkcije oblika

Da biste izračunali granicu izraza, trebali biste koristiti logaritamski identitet, čiji je poseban slučaj svojstvo logaritma .

Koristeći logaritamski identitet i svojstvo neprekidnosti funkcije (da ide preko predznaka granice), granicu treba izračunati na sljedeći način:

Zasebno, trebali biste pronaći granicu izraza u eksponentu i graditi e do pronađenog stupnja.

Primjer 13.

Riješenje. Dobivamo

.

.

Primjer 14. Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Riješenje. Dobivamo

Izračunajte granicu izraza u eksponentu

.

.

Primjer 15. Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

U prethodnom smo članku govorili o tome kako pravilno izračunati ograničenja elementarne funkcije. Ako uzmemo više složene funkcije, tada ćemo u našim izračunima imati izraze s nedefiniranom vrijednošću. Zovu se neizvjesnosti.

Razlikuju se sljedeće glavne vrste nesigurnosti:

1. Podijelite 0 s 0 0 0 ;
2. Dijeljenje jedne beskonačnosti drugom ∞ ∞;

0 podignut na nultu potenciju 0 0 ;

3. beskonačnost podignuta na nultu potenciju ∞ 0 .

Naveli smo sve glavne neizvjesnosti. Drugi izrazi mogu poprimiti konačne ili beskonačne vrijednosti pod različitim uvjetima i stoga se ne mogu smatrati nesigurnostima.

Razotkrivanje neizvjesnosti

Nesigurnost se može riješiti:

1. Pojednostavljivanjem tipa funkcije (upotrebom skraćenih formula za množenje, trigonometrijskih formula, dodatnog množenja konjugiranim izrazima i naknadnom redukcijom itd.);

Uz pomoć divnih granica;

Korištenje L'Hopitalovog pravila;

Zamjenom jednog infinitezimalnog izraza s ekvivalentnim izrazom (obično se ova radnja izvodi pomoću tablice infinitezimalnih izraza).

Sve gore navedene informacije mogu se jasno prikazati u obliku tablice. Na lijevoj strani prikazuje vrstu neizvjesnosti, na desnoj - prikladna metoda njegovo razotkrivanje (pronalaženje granice). Ova je tablica vrlo praktična za korištenje u izračunima koji se odnose na pronalaženje granica.

Nesigurnost	Metoda otkrivanja nesigurnosti
1. Podijelite 0 sa 0	Transformacija i naknadno pojednostavljenje izraza. Ako izraz ima oblik sin (k x) k x ili k x sin (k x), tada trebate upotrijebiti prvu značajnu granicu. Ako takvo rješenje nije prikladno, koristimo se L'Hopitalovim pravilom ili tablicom ekvivalentnih infinitezimalnih izraza
2. Dijeljenje beskonačnosti po beskonačnost	Transformirajte i pojednostavite izraz ili upotrijebite L'Hopitalovo pravilo
3. Množenje nule s beskonačnošću ili pronalaženje razlike između dvije beskonačnosti	Pretvorite u 0 0 ili ∞ ∞ i zatim primijenite L'Hopitalovo pravilo
4. Jedinica na potenciju beskonačnosti	Korištenje druge velike granice
5. Dizanje nule ili beskonačnosti na nultu potenciju	Uzimanje logaritma izraza pomoću jednakosti lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

Pogledajmo nekoliko problema. Ovi primjeri su prilično jednostavni: u njima se odgovor dobiva odmah nakon zamjene vrijednosti i nema nesigurnosti.

Primjer 1

Izračunajte granicu lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Riješenje

Izvodimo zamjenu vrijednosti i dobivamo odgovor.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Odgovor: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Primjer 2

Izračunajte granicu lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Riješenje

Imamo eksponencijalnu funkciju snage, u čiju bazu trebamo zamijeniti x = 0.

(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5

To znači da granicu možemo transformirati u sljedeći izraz:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2

Sada pogledajmo indikator - funkciju snage 1 x 2 = x - 2. Pogledajmo tablicu limita za funkcije snage s eksponentom manjim od nule i dobijemo sljedeće: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ i lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Dakle, možemo napisati da je lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.

Sada uzmemo tablicu granica eksponencijalnih funkcija s bazama većim od 0 i dobijemo:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞

Odgovor: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

Primjer 3

Izračunajte granicu lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Riješenje

Vršimo zamjenu vrijednosti.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Kao rezultat toga, završili smo u neizvjesnosti. Koristite gornju tablicu za odabir metode rješenja. Označava da morate pojednostaviti izraz.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0

Kao što vidimo, pojednostavljenje je dovelo do razotkrivanja neizvjesnosti.

Odgovor: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Primjer 4

Izračunajte granicu lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Riješenje

Zamjenjujemo vrijednost i dobivamo sljedeći unos.

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Došli smo do potrebe da nulu dijelimo s nulom, što je neizvjesnost. Pogledajmo traženu metodu rješenja u tablici - to je pojednostavljenje i transformacija izraza. Dodatno pomnožimo brojnik i nazivnik konjugiranim izrazom 12 - x + 6 + x:

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Nazivnik se množi tako da možete koristiti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) za izvođenje smanjenja.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Kao što vidimo, kao rezultat ovih radnji uspjeli smo se riješiti neizvjesnosti.

Odgovor: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Važno je napomenuti da se pristup množenja vrlo često koristi pri rješavanju ovakvih zadataka, stoga vam savjetujemo da zapamtite kako se to točno radi.

Primjer 5

Izračunajte granicu lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Riješenje

Izvodimo zamjenu.

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

Kao rezultat toga, završili smo u neizvjesnosti. Preporučeni način rješavanja problema u ovom slučaju je pojednostavljenje izraza. Budući da kada je x jednako jedan, brojnik i nazivnik se pretvaraju u 0, možemo ih faktorizirati i zatim smanjiti za x - 1, i tada će nesigurnost nestati.

Rastavljamo brojnik na faktore:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1

Sada činimo isto s nazivnikom:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Dobili smo limit sljedećeg oblika:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Kao što vidimo, tijekom transformacije uspjeli smo se osloboditi neizvjesnosti.

Odgovor: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

Zatim trebamo razmotriti slučajeve ograničenja u beskonačnosti iz izraza za potenciju. Ako su eksponenti ovih izraza veći od 0, tada će granica u beskonačnosti također biti beskonačna. U ovom slučaju najveći stupanj je od primarne važnosti, a ostatak se može zanemariti.

Na primjer, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ ili lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.

Ako ispod graničnog znaka imamo razlomak s potencijskim izrazima u brojniku i nazivniku, tada pri x → ∞ imamo nesigurnost oblika ∞ ∞. Da bismo se riješili ove nesigurnosti, trebamo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka s x m a x (m, n). Navedimo primjer rješavanja takvog problema.

Primjer 6

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Riješenje

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Potencija brojnika i nazivnika jednaka je 7. Podijelite ih sa x 7 i dobijete:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Odgovor: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Primjer 7

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Riješenje

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Brojnik ima snagu 8 3, a nazivnik ima snagu 2. Podijelimo brojnik i nazivnik s x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Odgovor: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Primjer 8

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Riješenje

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Imamo brojnik na potenciju 3 i nazivnik na potenciju 10 3 . To znači da trebamo podijeliti brojnik i nazivnik s x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Odgovor: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

zaključke

U slučaju ograničenja omjera, postoje tri glavne mogućnosti:

Ako je stupanj brojnika jednak stupnju nazivnika, tada će granica biti jednaka omjeru koeficijenata viših potencija.

Ako je stupanj brojnika veći od stupnja nazivnika, onda će granica biti jednako beskonačnosti.

Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, tada će granica biti nula.

O drugim metodama otkrivanja nesigurnosti raspravljat ćemo u posebnim člancima.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Metode rješavanja granica. Neizvjesnosti.
Redoslijed rasta funkcije. Metoda zamjene

Primjer 4

Pronađite granicu

Ovo je jednostavniji primjer za samostalno rješavanje. U predloženom primjeru, opet neizvjesnost (više visokog reda visina od korijena).

Ako "x" teži "minus beskonačno"

Bauk "minus beskonačnosti" već dugo lebdi u ovom članku. Razmotrimo granice s polinomima u kojima . Principi i metode rješenja bit će potpuno isti kao u prvom dijelu lekcije, s izuzetkom niza nijansi.

Pogledajmo 4 trika koji će biti potrebni za rješavanje praktičnih zadataka:

1) Izračunajte granicu

Vrijednost limita ovisi samo o terminu jer on ima najviši red rasta. Ako tada beskonačno velik po modulu negativan broj u PARNA diploma , u ovom slučaju – u četvrtom, jednako je “plus beskonačno”: . Konstanta ("dva") pozitivan, Zato:

2) Izračunajte granicu

Evo opet visoke diplome čak, Zato: . Ali ispred njega stoji "minus" ( negativan konstanta –1), dakle:

3) Izračunajte granicu

Granična vrijednost ovisi samo o . Kao što se sjećate iz škole, "minus" "iskače" ispod neparnog stupnja, dakle beskonačno velik po modulu negativan broj na neparnu potenciju jednako je "minus beskonačno", u ovom slučaju: .
Konstanta ("četiri") pozitivan, Sredstva:

4) Izračunajte granicu

Opet ima prvi momak u selu neparan stupanj, osim toga, u njedrima negativan konstanta, što znači: Dakle:
.

Primjer 5

Pronađite granicu

Koristeći gore navedene točke, dolazimo do zaključka da ovdje postoji neizvjesnost. Brojnik i nazivnik su istog reda rasta, što znači da će u limitu rezultat biti konačan broj. Saznajmo odgovor tako što ćemo odbaciti sve pomfrite:

Rješenje je trivijalno:

Primjer 6

Pronađite granicu

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

A sada, možda, najsuptilniji slučajevi:

Primjer 7

Pronađite granicu

Razmatrajući vodeće termine, dolazimo do zaključka da ovdje postoji neizvjesnost. Brojnik je višeg reda rasta od nazivnika, pa odmah možemo reći da je granica jednaka beskonačnosti. Ali kakva beskonačnost, "plus" ili "minus"? Tehnika je ista - riješimo se sitnica u brojniku i nazivniku:

Mi odlučujemo:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Primjer 15

Pronađite granicu

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Još par zanimljivih primjera na temu zamjene varijabli:

Primjer 16

Pronađite granicu

Zamjenom jedinice u granicu dobiva se nesigurnost. Promjena varijable se već nameće sama od sebe, ali prvo transformiramo tangentu pomoću formule. Doista, zašto nam je potrebna tangenta?

Imajte na umu da, dakle. Ako nije sasvim jasno, pogledajte vrijednosti sinusa trigonometrijska tablica. Time se odmah rješavamo množitelja, osim toga dobivamo već poznatu neizvjesnost od 0:0. Bilo bi lijepo kada bi naš limit težio nuli.

Zamijenimo:

Ako tada

Pod kosinusom imamo “x”, koji također treba izraziti kroz “te”.
Iz zamjene izražavamo: .

Dovršavamo rješenje:

(1) Izvodimo zamjenu

(2) Otvorite zagrade ispod kosinusa.

(4) Organizirati prva divna granica, umjetno pomnožite brojnik s i recipročnim brojem.

Zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 17

Pronađite granicu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

To su bili jednostavni zadaci u njihovom razredu, u praksi sve može biti i gore, a, k tome redukcijske formule, morate koristiti razne trigonometrijske formule, kao i druge trikove. U članku Complex Limits pogledao sam nekoliko stvarnih primjera =)

Uoči blagdana konačno ćemo razjasniti situaciju s još jednom uobičajenom neizvjesnošću:

Uklanjanje neizvjesnosti “jedan na potenciju beskonačnosti”

Ova neizvjesnost se "servira" druga divna granica, au drugom dijelu te lekcije vrlo smo detaljno pogledali standardne primjere rješenja koja se u većini slučajeva nalaze u praksi. Sada će slika s eksponentima biti zaokružena, osim toga, završni zadaci lekcije bit će posvećeni “lažnim” granicama, u kojima se ČINI da je potrebno primijeniti 2. divnu granicu, iako to uopće nije slučaj.

Nedostatak dviju radnih formula za 2. izvanrednu granicu je da argument mora težiti "plus beskonačnosti" ili nuli. Ali što ako argument teži drugom broju?

U pomoć dolazi univerzalna formula (koja je zapravo posljedica drugog izvanrednog ograničenja):

Nesigurnost se može eliminirati pomoću formule:

Negdje mislim da sam već objasnio što znače uglate zagrade. Ništa posebno, zagrade su samo zagrade. Obično se koriste za jasnije isticanje matematičkih zapisa.

Istaknimo bitne točke formule:

1) Radi se o samo o neizvjesnosti i ničemu drugom.

2) Argument “x” može težiti proizvoljna vrijednost(a ne samo na nulu ili), posebice, na "minus beskonačno" ili na bilo tko konačan broj.

Pomoću ove formule možete riješiti sve primjere u lekciji. Divna ograničenja, koji spadaju u 2. izvanrednu granicu. Na primjer, izračunajmo granicu:

U ovom slučaju , a prema formuli :

Istina, ne preporučujem da to radite; tradicija je da se i dalje koristi "uobičajeni" dizajn rješenja, ako se može primijeniti. Međutim pomoću formule vrlo je zgodno provjeriti"klasičnih" primjera do 2. izuzetna granica.