Formule skraćenog množenja.
Proučavanje formula za skraćeno množenje: kvadrata zbroja i kvadrata razlike dvaju izraza; razlika kvadrata dvaju izraza; kub zbroja i kub razlike dvaju izraza; zbrojevi i razlike kubova dvaju izraza.
Primjena formula za skraćeno množenje pri rješavanju primjera.
Za pojednostavljenje izraza, faktoriranje polinoma i svođenje polinoma na standardni oblik koriste se skraćene formule množenja. Formule skraćenog množenja potrebno je znati napamet.
Neka su a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbroja dvaju izraza jednak je kvadrat prvog izraza plus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadrat razlike dvaju izraza jednak je kvadrat prvog izraza minus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Razlika kvadrata dva izraza jednak je umnošku razlike tih izraza i njihovog zbroja.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kocka zbroja dva izraza jednako je kubu prvog izraza plus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog plus kub drugog izraza.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kocka razlike dva izraza jednaka su kubu prvog izraza minus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog minus kub drugog izraza.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Zbroj kocki dva izraza jednak je umnošku zbroja prvog i drugog izraza i nepunog kvadrata razlike tih izraza.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Razlika kocki dva izraza jednak je umnošku razlike prvog i drugog izraza s nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Primjena formula za skraćeno množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1.
Izračunati
a) Koristeći se formulom za kvadrat zbroja dvaju izraza, imamo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Pomoću formule za kvadrat razlike dvaju izraza dobivamo
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Primjer 2.
Izračunati
Koristeći se formulom za razliku kvadrata dvaju izraza, dobivamo
Primjer 3.
Pojednostavite izraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Poslužimo se formulama za kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skraćene formule množenja u jednoj tablici:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Formule ili pravila skraćenog množenja koriste se u aritmetici, točnije u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarski izrazi. Same formule su izvedene iz pravila koja postoje u algebri za množenje nekoliko polinoma.
Korištenje ovih formula daje prilično brzo rješenje za razne matematičke probleme, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarske transformacije omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, nakon čega možete dobiti izraz na lijevoj strani jednakosti koja je na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz na lijevoj strani nakon jednakosti znak).
Formule za skraćeno množenje zgodno je znati napamet jer se često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Ispod su glavne formule uključene u ovaj popis i njihovi nazivi.
Kvadrat zbroja
Da biste izračunali kvadrat zbroja, trebate pronaći zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnoška prvog člana i drugog i kvadrata drugog člana. U obliku izraza ovo se pravilo piše na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Kvadratna razlika
Da biste izračunali kvadrat razlike, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja i drugog (uzetog sa suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Razlika kvadrata
Formula za razliku dvaju brojeva na kvadrat jednaka je umnošku zbroja tih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - s² = (a + s)·(a - s).
Kocka zbroja
Da biste izračunali kub zbroja dva člana, trebate izračunati zbroj koji se sastoji od kuba prvog člana, utrostručenog umnoška kvadrata prvog člana i drugog, utrostručenog umnoška prvog člana i drugog kvadrat, a kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Zbroj kocki
Prema formuli, jednak je umnošku zbroja ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koja nastaje zbrajanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih stranica.
Ako su bočne vrijednosti male, tada su izračuni jednostavni.
Ako su duljine stranica izražene nezgrapnim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše koristiti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti izračune.
Kocka razlike
Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbroj treće potencije prvog člana, utrostručite negativni umnožak kvadrata prvog člana s drugim, utrostručite umnožak prvog člana s kvadratom drugog člana a negativni kub drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kub razlike izgleda ovako: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Razlika kocki
Formula razlike kocki razlikuje se od zbroja kocki samo za jedan znak. Dakle, razlika kocki je formula, jednak umnošku razliku između tih brojeva njihovim djelomičnim zbrojem na kvadrat. U obliku razlika kocki izgleda ovako: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen lika koji će ostati nakon što se od volumena plave kocke oduzme žuti volumenski lik koji je ujedno i kocka. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.
Ako su bočne vrijednosti male, tada su izračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno primijeniti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), što će uvelike pojednostaviti izračune.
Razlika kvadrata
Izvedimo formulu za razliku kvadrata $a^2-b^2$.
Da biste to učinili, zapamtite sljedeće pravilo:
Ako izrazu dodamo bilo koji monom i oduzmemo isti monom, dobit ćemo točan identitet.
Dodajmo našem izrazu i oduzmimo od njega monom $ab$:
Ukupno dobijemo:
To jest, razlika između kvadrata dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike i zbroja.
Primjer 1
Prisutan kao proizvod $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\lijevo(2x-y\desno)(2x+y)\]
Zbroj kocki
Izvedimo formulu za zbroj kocki $a^3+b^3$.
Izbacimo uobičajene faktore iz zagrada:
Uzmimo $\left(a+b\right)$ iz zagrada:
Ukupno dobijemo:
Odnosno, zbroj kubova dvaju monoma jednak je umnošku njihova zbroja i djelomičnog kvadrata njihove razlike.
Primjer 2
Prisutan kao proizvod $(8x)^3+y^3$
Ovaj izraz se može prepisati na sljedeći način:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:
\[((2x))^3+y^3=\lijevo(2x+y\desno)(4x^2-2xy+y^2)\]
Razlika kocki
Izvedimo formulu za razliku kocki $a^3-b^3$.
Da bismo to učinili, upotrijebit ćemo isto pravilo kao gore.
Dodajmo našem izrazu i oduzmimo od njega monome $a^2b\ i\ (ab)^2$:
Izbacimo uobičajene faktore iz zagrada:
Uzmimo $\left(a-b\right)$ iz zagrada:
Ukupno dobijemo:
Odnosno, razlika kubova dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike s nepotpunim kvadratom njihova zbroja.
Primjer 3
Prisutan kao proizvod $(8x)^3-y^3$
Ovaj izraz se može prepisati na sljedeći način:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:
\[((2x))^3-y^3=\lijevo(2x-y\desno)(4x^2+2xy+y^2)\]
Primjeri zadataka pomoću formula za razliku kvadrata i zbroja i razlike kubova
Primjer 4
Isključite to.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Riješenje:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Primjenom formule razlike kvadrata dobivamo:
\[((a+5))^2-3^2=\lijevo(a+5-3\desno)\lijevo(a+5+3\desno)=\lijevo(a+2\desno)(a +8)\]
Zapišimo ovaj izraz u obliku:
Primijenimo formulu kocke:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Zapišimo ovaj izraz u obliku:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\lijevo(\frac(1)(3)\desno))^3-x^3\]
Primijenimo formulu kocke:
\[(\lijevo(\frac(1)(3)\desno))^3-x^3=\lijevo(\frac(1)(3)-x\desno)\lijevo(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\desno)\]
U prethodne lekcije pogledali smo dva načina faktoriranja polinoma: stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada i metodu grupiranja.
U ovoj lekciji ćemo pogledati još jedan način faktoriziranja polinoma pomoću formula za skraćeno množenje.
Preporučujemo da svaku formulu napišete najmanje 12 puta. Za bolje pamćenje zapišite sve skraćene formule množenja na mali listić za varanje.
Prisjetimo se kako izgleda formula razlike kocki.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Formulu razlike kocki nije lako zapamtiti, stoga preporučujemo korištenje posebne metode za pamćenje.
Važno je razumjeti da svaka skraćena formula množenja također funkcionira obrnuta strana.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Pogledajmo primjer. Potrebno je faktorizirati razliku kubova.
Imajte na umu da je "27a 3" "(3a) 3", što znači da za formulu razlike kocki, umjesto "a" koristimo "3a".
Koristimo formulu razlike kocki. Umjesto "a 3" imamo "27a 3", a umjesto "b 3", kao u formuli, stoji "b 3".
Nanošenje razlike kocki u suprotnom smjeru
Pogledajmo još jedan primjer. Umnožak polinoma trebate pretvoriti u razliku kubova pomoću formule za skraćeno množenje.
Imajte na umu da umnožak polinoma “(x − 1)(x 2 + x + 1)” nalikuje desnoj strani formule razlike kocki “”, samo umjesto “a” postoji “x”, a na mjestu od “b” postoji “1”.
Za “(x − 1)(x 2 + x + 1)” koristimo formulu razlike kocki u suprotnom smjeru.
Pogledajmo kompliciraniji primjer. Potrebno je pojednostaviti umnožak polinoma.
Ako usporedimo “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” s desnom stranom formule razlike kubova
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, onda možete shvatiti da na mjestu “a” iz prve zagrade stoji “y 2”, a na mjestu “b” stoji “1”.
