При вирішенні різноманітних завдань, як суто математичного, і прикладного характеру (особливо у будівництві), нерідко потрібно визначити значення висоти певної геометричної фігури. Як розрахувати цю величину (висоту) у трикутнику?
Якщо ми попарно сумісний 3 точки, розташовані не на єдиній прямій, то отримана фігура буде трикутником. Висота - частина прямої з будь-якої вершини фігури, яка при перетині з протилежною стороною утворює кут 90 °.
Знайти висоту у різносторонньому трикутнику
Визначимо значення висоти трикутника у разі, коли фігура має довільні кути та сторони.
Формула Герону
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, де
p – половина периметра фігури, h(a) – відрізок до сторони a, проведений під прямим кутом до неї,
p=(a+b+c)/2 – розрахунок напівпериметра.
У разі наявності площі фігури визначення її висоти можна скористатися співвідношенням h(a)=2S/a.
Тригонометричні функції
Для визначення довжини відрізка, який становить при перетині зі стороною a прямий кут, можна скористатися такими співвідношеннями: якщо відома сторона b і кут або сторона c і кут, то h(a)=b*sinγ або h(a)=c *sinβ.
Де:
γ – кут між стороною b та a,
β – кут між стороною c та a.
Взаємозв'язок із радіусом
Якщо вихідний трикутник вписаний у коло, визначення величини висоти можна скористатися радіусом такого кола. Центр її розташований у точці, де перетинаються всі 3 висоти (з кожної вершини) – ортоцентри, а відстань від нього і до вершини (будь-якої) – радіус.
Тоді h(a)=bc/2R, де:
b, c – 2 інші сторони трикутника,
R - радіус описує трикутник кола.
Знайти висоту у прямокутному трикутнику
У цьому вигляді геометричної фігури 2 сторони при перетині утворюють прямий кут - 90 °. Отже, якщо потрібно визначити в ньому значення висоти, необхідно обчислити або розмір одного з катетів, або величину відрізка, що утворює з гіпотенузою 90°. При позначенні:
a, b - катети,
c – гіпотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гіпотенузу.
Здійснити необхідні розрахунки можна за допомогою наступних співвідношень:
- Піфагорова теорема:
a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S = ab / 2, то h (c) = ab / c.
- Тригонометричні функції:
a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.
Знайти висоту в рівнобедреному трикутнику
Дана геометрична фігура відрізняється наявністю двох сторін рівної величини та третьої – основою. Для визначення висоти, проведеної до третьої, відмінної стороні, допоможе приходить теорема Піфагора. При позначеннях
a – бічна сторона,
c – основа,
h(c) – відрізок до c під кутом 90°, h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).
Для вирішення багатьох геометричних завдань потрібно знайти висоту заданої фігури. Ці завдання мають прикладне значення. При проведенні будівельних робітВизначення висоти допомагає обчислити необхідну кількість матеріалів, а також визначити, наскільки точно зроблені укоси та отвори. Часто для побудови викрійок потрібно мати уявлення про властивості
У багатьох людей, незважаючи на хороші оцінки в школі, при побудові звичайних геометричних фігурвиникає питання про те, як знайти висоту трикутника чи паралелограма. Причому є найскладнішим. Це тому, що трикутник може бути гострим, тупим, рівнобедреним чи прямокутним. Для кожного з існують свої правила побудови та розрахунку.
Як знайти висоту трикутника, в якому всі кути гострі, графічним способом
Якщо всі кути трикутника гострі (кожен кут у трикутнику менше 90 градусів), то для знаходження висоти необхідно зробити наступне.
- За заданими параметрами виконуємо побудову трикутника.
- Введемо позначення. А, В та С будуть вершинами фігури. Кути, що відповідають кожній вершині - α, β, γ. Протилежні цим кутам сторони - a, b, c.
- Висотою називається перпендикуляр, опущений з вершини кута до протилежної сторони трикутника. Для знаходження висот трикутника проводимо побудову перпендикулярів: з вершини кута до сторони a, з вершини кута до сторони b і так далі.
- Точку перетину висоти та сторони a позначимо H1, а саму висоту h1. Точка перетину висоти та сторони b буде H2, висота відповідно h2. Для сторони c висота буде h3, а точка перетину H3.
Висота у трикутнику з тупим кутом
Тепер розглянемо, як знайти висоту трикутника, якщо один (більше 90 градусів). В цьому випадку висота, проведена з тупого кута, буде всередині трикутника. Інші дві висоти будуть за межами трикутника.
Нехай у нашому трикутнику кути α та β будуть гострими, а кут γ – тупим. Тоді для побудови висот, що виходять з кутів α і β, треба продовжити протилежні сторони трикутника, щоб провести перпендикуляри.
Як знайти висоту рівнобедреного трикутника
Така фігура має дві рівні сторони і основу, при цьому кути, що знаходяться при підставі, також є рівними між собою. Ця рівність сторін і кутів полегшує побудову висот та його обчислення.
Спершу намалюємо сам трикутник. Нехай сторони b та c, а також кути β, γ будуть відповідно рівними.
Тепер проведемо висоту з вершини кута, позначимо її h1. Для ця висота буде одночасно бісектрисою та медіаною.
Для основи можна зробити лише одну побудову. Наприклад, провести медіану - відрізок, що з'єднує вершину рівнобедреного трикутника та протилежну сторону, основу, для знаходження висоти та бісектриси. А для обчислення довжини висоти для двох інших сторін можна побудувати лише одну висоту. Таким чином, щоб графічно визначити, як обчислити висоту трикутника рівнобедреного, достатньо знайти дві висоти з трьох.
Як знайти висоту прямокутного трикутника
У прямокутного трикутника визначити висоти набагато простіше, ніж інші. Це тому, що самі катети становлять прямий кут, отже, є висотами.
Для побудови третьої висоти, як завжди, проводиться перпендикуляр, що з'єднує вершину прямого кутата протилежний бік. У результаті для того, щоб трикутника в даному випадку, потрібна лише одна побудова.
Як знайти найбільшу чи найменшу висоту трикутника? Чим менша висота трикутника, тим більше проведена до неї висота. Тобто найбільша з висот трикутника - та, яка проведена до його найменшої сторони. - Та, яка проведена до найбільшої зі сторін трикутника.
Щоб знайти найбільшу висоту трикутника , можна, можливо площа трикутникарозділити на довжину сторони, до якої проведена ця висота (тобто на найменшу довжину зі сторін трикутника).
Відповідно, д ля знаходження найменшої висоти трикутника можна площу трикутника розділити на довжину його найбільшої сторони.
Завдання 1.
Знайти найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 7 см, 8 см та 9 см.
Дано:
AC = 7 см, AB = 8 см, BC = 9 см.
Найменшу висоту трикутника.
Рішення:
Найменша з висот трикутника - та, яка проведена до його найбільшої сторони. Отже, потрібно знайти висоту AF, проведену до BC.
Для зручності запису введемо позначення
BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.
Висота трикутника дорівнює частці від поділу подвоєної площі трикутника на сторону, до якої ця висота проведена. можна знайти за допомогою формули Герона. Тому
Обчислюємо:
Відповідь:
Завдання 2.
Знайти найбільшу сторону трикутника зі сторонами 1 см, 25 см та 30 см.
Дано:
AC = 25 см, AB = 11 см, BC = 30 см.
Знайти:
максимальну висоту трикутника ABC.
Рішення:
Найбільша висота трикутника проведена для його найменшій стороні.
Отже, потрібно знайти висоту CD, проведену до AB.
Для зручності позначимо
Трикутники.
Основні поняття.
Трикутник- це фігура, що складається з трьох відрізків та трьох точок, що не лежать на одній прямій.
Відрізки називаються сторонами, А точки - вершинами.
Сума кутівтрикутника дорівнює 180 º.
Висота трикутника.
Висота трикутника- це перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.
У гострокутному трикутнику висота міститься усередині трикутника (рис.1).
У прямокутному трикутникукатети є висотами трикутника (рис.2).
У тупокутному трикутнику висота проходить поза трикутником (рис.3).
Властивості висоти трикутника:
Бісектриса трикутника.
Бісектриса трикутника- це відрізок, який ділить кут вершини навпіл і з'єднує вершину з точкою на протилежному боці (рис.5).
Властивості бісектриси:
Медіана трикутник.
Медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (рис.9а).
| Довжину медіани можна обчислити за такою формулою: 2b 2 + 2c 2 - a 2 де m a- медіана, проведена до сторони а. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: c де m c- медіана, проведена до гіпотенузи c(Мал.9в) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (в центрі мас трикутника) і діляться цією точкою у відсотковому співвідношенні 2:1, відраховуючи від вершини. Тобто відрізок від вершини до центру вдвічі більше відрізка від центру до сторони трикутника (рис.9с). Три медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих трикутників. |
Середня лінія трикутника.
Середня лінія трикутника- це відрізок, що з'єднує середини двох сторін (рис.10).
Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині
Зовнішній кут трикутника.
Зовнішній куттрикутника дорівнює сумідвох несуміжних внутрішніх кутів(Рис.11).
Зовнішній кут трикутника більший за будь-який несуміжний кут.
Прямокутний трикутник.
Прямокутний трикутник- це трикутник, який має прямий кут (рис.12).
Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою.
Дві інші сторони називаються катетами.
Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.
1) У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, утворює три подібні трикутники: ABC, ACH та HCB (рис.14а). Відповідно, кути, що утворюються висотою, дорівнюють кутам А і В.
Рис.14а
Рівнобедрений трикутник.
Рівнобедрений трикутник- Це трикутник, у якого дві сторони рівні (рис.13).
Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя - основоютрикутник.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. (У нашому трикутнику кут А дорівнює куту C).
У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно і бісектриса, і висотою трикутника.
Рівносторонній трикутник.
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні (рис.14).
Властивості рівностороннього трикутника:
Чудові властивості трикутників.
Трикутники мають оригінальні властивості, які допоможуть вам успішно вирішувати завдання, пов'язані з цими фігурами. Деякі з цих властивостей викладені вище. Але повторюємо їх ще раз, додавши до них кілька інших чудових рис:
| 1) У прямокутному трикутнику з кутами 90º, 30º та 60º катет b, що лежить навпроти кута в 30 º, дорівнює половині гіпотенузи. А катетa більше катетаbу √3 разів (рис.15 а). Наприклад, якщо катет b дорівнює 5, то гіпотенуза cобов'язково дорівнює 10, а катет адорівнює 5√3. 2) У прямокутному рівнобедреному трикутнику з кутами 90º, 45º та 45º гіпотенуза у √2 разів більша за катет (рис.15). b). Наприклад, якщо катети дорівнюють 5, то гіпотенуза дорівнює 5√2. 3) Середня лінія трикутника дорівнює половині паралельної сторони (рис.15 з). Наприклад, якщо сторона трикутника дорівнює 10, паралельна їй середня лінія дорівнює 5. 4) У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи (рис.9в): m c= с/2. 5) Медіани трикутника, перетинаючи в одній точці, діляться цією точкою у співвідношенні 2:1. Тобто відрізок від вершини до точки перетину медіан вдвічі більше відрізка від точки перетину медіан до сторони трикутника (рис.9c) 6) У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола (рис.15). d). |
Ознаки рівності трикутників.
Перша ознака рівності: якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Друга ознака рівності: якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні стороні та прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Третя ознака рівності: якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Нерівність трикутника.
У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін.
Теорема Піфагора.
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
c 2 = a 2 + b 2 .
Площа трикутника.
1) Площа трикутника дорівнює половині твору його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
ah
S = ——
2
2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними:
1
S = —
AB ·
AC ·
sin A
2
Трикутник, описаний біля кола.
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін (рис.16 а).
Трикутник, вписаний у коло.
Трикутник називається вписаним у коло, якщо він стосується її всіма вершинами (рис.17 a).
Синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника (рис.18).
Сінусгострого кута x протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sinx.
Косінусгострого кута xпрямокутного трикутника - це відношення прилеглогокатета до гіпотенузи.
Позначається так: cos x.
Тангенсгострого кута x- це відношення протилежного катета до катета, що прилягає.
Позначається так: tgx.
Котангенсгострого кута x- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctgx.
Правила:
Катет, що протилежить куту x, дорівнює творугіпотенузи на sin x:
b = c· sin x
Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку гіпотенузи на cos x:
a = c· cos x
Катет, протилежний куту x, дорівнює добутку другого катета на tg x:
b = a· tg x
Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку другого катета на ctg x:
a = b· ctg x.
Для будь-якого гострого кута x:
sin (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sin x
Трикутника) або проходити поза трикутником у тупокутного трикутника.
Енциклопедичний YouTube
1 / 5
✪ ВИСОТА МЕДІАНА БІСЕКТРИСУ трикутника 7 клас
✪ бісектриса, медіана, висота трикутника. Геометрія 7 клас
✪ 7 клас, 17 урок, Медіани, бісектриси та висоти трикутника
✪ Медіана, бісектриса, висота трикутника | Геометрія
✪ Як знайти довжину бісектриси, медіани та висоти? | Ботай зі мною #031 | Борис Трушін
Субтитри
Властивості точки перетину трьох висот трикутника (ортоцентру)
E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (displaystyle (overrightarrow (EA)) cdot (overrightarrow (BC)) + (overrightarrow (EB)) overrightarrow (CA)+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)
(Для доказу тотожності слід скористатися формулами
→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EC)))В якості точки E слід взяти перетин двох висот трикутника.)
- Ортоцентрізогонально, пов'язаний центру описаного коло .
- Ортоцентрлежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного колаі центром кола, дев'яти крапок (див. пряма Ейлера).
- Ортоцентргострокутного трикутника є центром кола, вписаного в його ортотрикутник .
- Центр описаної ортоцентр трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника. Останній трикутник називають додатковим трикутником по відношенню до першого трикутника.
- Остання властивість можна сформулювати так: Центр описаного біля трикутника кола служить ортоцентромдодаткового трикутника .
- Крапки, симетричні ортоцентрутрикутника щодо його сторін, лежать на описаному колі.
- Крапки, симетричні ортоцентрутрикутника щодо середин сторін, також лежать на описаному колі та збігаються з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.
- Якщо О - центр описаного кола ABC, то O H → = O A → + O B → + O C → ,
- Відстань від вершини трикутника до ортоцентру вдвічі більша, ніж відстань від центру описаного кола до протилежної сторони.
- Будь-який відрізок, проведений з ортоцентрадо перетину з описаним коло завжди ділиться коло Ейлера навпіл. Ортоцентрє центр гомотетії цих двох кіл.
- Теорема-Гамільтона. Три відрізки прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострокутного трикутника, розбивають його на три трикутники, що мають те ж саме коло Ейлера (окружність дев'яти крапок), що і вихідний гострокутний трикутник.
- Наслідки теореми Гамільтона:
- Три відрізки прямих, що з'єднують ортоцентр із вершинами гострокутного трикутника, розбивають його на три трикутника Гамільтона, що мають рівні радіусиописаних кіл.
- Радіуси описаних кіл трьох трикутників Гамільтонарівні радіусу кола, описаного біля вихідного гострокутного трикутника.
- У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника; у тупокутному - поза трикутником; у прямокутному – у вершині прямого кута.
Властивості висот рівнобедреного трикутника
- Якщо в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник - рівнобедрений (теорема Штейнера-Лемуса), і третя висота одночасно є медіаною і бісектрисою того кута, з якого вона виходить.
- Вірне і зворотне: в рівнобедреному трикутнику дві висоти рівні, а третя висота одночасно є медіаною та бісектрисою.
- У рівностороннього трикутника усі три висоти рівні.
Властивості основ висот трикутника
- Основивисот утворюють так званий ортотрикутник, що володіє власними властивостями.
- Описана біля ортотрикутника коло - коло Ейлера. На цьому колі також лежать три середини сторін трикутника і три середини трьох відрізків, що з'єднують ортоцентр із вершинами трикутника.
- Інше формулювання останньої властивості:
- Теорема Ейлера для кола дев'яти точок. Основитрьох висот довільного трикутника, середини трьох його сторін ( підстави його внутрішніхмедіан) і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, всі лежать на одному колі (на кола дев'яти точок).
- Теорема. У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основидвох висоттрикутника, відсікає трикутник подібний до цього.
- Теорема. У трикутнику відрізок, що з'єднує основидвох висоттрикутника, що лежать на двох сторонах, антипаралелентретій стороні, з якою він не має спільних точок. Через два його кінці, а також через дві вершини третьої згаданої сторони завжди можна провести коло.
Інші властивості висот трикутника
- Якщо трикутник різнобічний (нерівносторонній), то його внутрішнябісектриса , проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішнімимедіаною та висотою, проведеними з тієї ж вершини.
- Висота трикутника ізогонально поєднана діаметру (радіусу) описаного коло, проведеного з тієї ж вершини.
- У гострокутному трикутнику дві його висотивідтинають від нього такі трикутники.
- У прямокутному трикутнику висота, Проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних вихідному.
Властивості мінімальної з висот трикутника
Мінімальна з висот трикутника має багато екстремальних властивостей. Наприклад:
- Мінімальна ортогональна проекція трикутника на прямі, що лежать у площині трикутника, має довжину, що дорівнює найменшій з його висот.
- Мінімальний прямолінійний розріз у площині, через який можна протягнути незламну трикутну пластину, повинен мати довжину, що дорівнює найменшій з висот цієї пластини.
- При безперервному русі двох точок по периметру трикутника один назустріч одному, максимальна відстань між ними за час руху від першої зустрічі до другої, не може бути меншою за довжину найменшої з висот трикутника.
- Мінімальна висота у трикутнику завжди проходить усередині цього трикутника.
Основні співвідношення
- h a = b ⋅ sin γ = c ⋅ sin ?
- h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),)де S (\displaystyle S)- площа трикутника, a (\displaystyle a)- Довжина сторони трикутника, на яку опущена висота .
- h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),)де b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- добуток бічних сторін, R − (\displaystyle R-)радіус описаного кола
- h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(cdot )c):(a(cdot )c):(a(cdot )b).)
- 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac(1)(h_(a)))+(\frac(1)(h_(b)))+(\frac(1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), де r (\displaystyle r)- Радіус, вписаної кола.
- S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a))))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), де S (\displaystyle S)- площа трикутника.
- a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a)))))))))), a (\displaystyle a)- Сторона трикутника до якої опускається висота h a (\displaystyle h_(a)).
- Висота рівнобедреного трикутника, опущена на основу: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)
Теорема про висоту прямокутного трикутника
Якщо висота у прямокутному трикутнику ABC завдовжки h (\displaystyle h), проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу завдовжки c (\displaystyle c)на відрізки m (\displaystyle m)і n (\displaystyle n), що відповідають катетам b (\displaystyle b)і a (\displaystyle a), то вірні наступні рівності.
