На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.
Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу тіло повертається на однаковий кут (див. рис. 6).
Мал. 6. Рівномірний рух по колу
Тобто модуль миттєвої швидкостіне змінюється:
Таку швидкість називають лінійної.
Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти від швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.
Мал. 7. Вектори швидкості
Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.
Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.
Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:
Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):
Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:
Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення спрямоване вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.
На малюнку 8 зображено розглянутий раніше трикутник швидкостей і рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, так як у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор, перпендикулярні до дотичної).
Мал. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення
Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:
Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:
Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.
1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.
Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().
Формула для обчислення періоду:
де – повний час обертання; - число обертів.
2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.
Формула для знаходження частоти:
де – повний час обертання; - число обертів
Частота і період - обернено пропорційні величини:
3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот відбувся. Вимірюється в системі СІ у радіанах, поділених на секунди.
Формула для знаходження кутовий швидкості:
де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.
1.Рівномірний рух по колу
2.Кутова швидкість обертального руху.
3.Період обертання.
4. Частота обертання.
5. Зв'язок лінійної швидкості з кутовим.
6.Центрозривне прискорення.
7.Рівнозмінний рух по колу.
8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу.
9.Тангенційне прискорення.
10. Закон рівноприскореного руху по колу.
11. Середня кутова швидкість рівноприскореному русіпо колу.
12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.
1.Рівномірний рух по колу- Рух, при якому матеріальна точказа рівні інтервали часу проходить рівні відрізки дуги кола, тобто. точка рухається по колу з постійною модулем швидкістю. І тут швидкість дорівнює відношенню дуги кола, пройденої точкою на час руху, тобто.
і називається лінійною швидкістю руху по колу.
Як і в криволінійному русі вектор швидкості спрямований щодо до кола в напрямку руху (Рис.25).
2. Кутова швидкість рівномірному русіпо колу- Відношення кута повороту радіусу до часу повороту:
У рівномірному русі по колу кутова швидкість стала. У системі СІ кутова швидкість вимірюється(рад/c). Один радіан – радий це центральний кут, що стягує дугу кола завдовжки рівної радіусу. Повний кут містить радіан, тобто. за один оберт радіус повертається на кут радіан.
3. Період обертання- Інтервал часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює один повний оборот. У системі СІ період вимірюється за секунди.
4. Частота обертів- Число оборотів , що здійснюються за одну секунду. У системі СІ частота вимірюється в герцах (1Гц = 1). Один герц - частота, коли за одну секунду відбувається один оборот. Легко збагнути, що
Якщо за час t точка здійснює n оборотів по колу.
Знаючи період і частоту обертання, кутову швидкість можна обчислювати за такою формулою:
5 Зв'язок лінійної швидкості з кутовим. Довжина дуги кола дорівнює де центральний кут, виражений у радіанах, стягує дугу радіус кола. Тепер лінійну швидкість запишемо у вигляді
Часто зручно використовувати формули: або Кутову швидкість часто називають циклічною частотою, а частоту лінійною частотою.
6. Центрошвидке прискорення. У рівномірному русі по колу модуль швидкості залишається постійним , а напрямок її безперервно змінюється (Рис.26). Це означає, що тіло, що рухається рівномірно по колу, відчуває прискорення, яке спрямоване до центру і називається доцентровим прискоренням.
Нехай за проміжок часу пройшов шлях рівний дузі кола. Перенесемо вектор , залишаючи його паралельним самому собі, так щоб його початок співпав з початком вектора в точці В. Модуль зміни швидкості дорівнює , а модуль доцентрового прискорення дорівнює
На Рис.26 трикутники АОВ і ДВЗ рівнобедрені і кути при вершинах О і В рівні, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами АВ і ВВ Це означає, що трикутники АОВ і ДВЗ подібні. Отже Якщо тобто інтервал часу набуває як завгодно малі значення, то дугу можна приблизно вважати рівної хордіАВ, тобто. . Тому можемо записати Враховуючи, що ВД= , ОА=R отримаємо Помножуючи обидві частини останньої рівності на , отримаємо і далі вираз для модуля доцентрового прискорення в рівномірному русі по колу: . Враховуючи, що отримаємо дві часто застосовувані формули:
Отже, в рівномірному русі по колу доцентрове прискорення постійно по модулю.
Легко збагнути, що у межі при , кут . Це означає, що кути виходячи з ДС трикутника ДВС прагнуть значення , а вектор зміни швидкості стає перпендикулярним до вектора швидкості , тобто. спрямований по радіусу до центру кола.
7. Рівноперемінний рух по колу- Рух по колу, при якому за рівні інтервали часу кутова швидкість змінюється на ту саму величину.
8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу- Відношення зміни кутової швидкості до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася, тобто.
де початкове значення кутової швидкості, кінцеве значення кутової швидкості, кутове прискорення, у системі СІ вимірюється в . З останньої рівності отримаємо формули для обчислення кутової швидкості
І якщо .
Помножуючи обидві частини цих рівнів і враховуючи, що , - тангенціальне прискорення, тобто. прискорення, спрямоване щодо дотичного до кола, отримаємо формули для обчислення лінійної швидкості:
І якщо .
9. Тангенціальне прискореннячисельно дорівнює зміні швидкості в одиницю часу і направлено вздовж дотичної до кола. Якщо >0, >0, рух рівноприскорений. Якщо<0 и <0 – движение.
10. Закон рівноприскореного руху по колу. Шлях, пройдений по колу за час у рівноприскореному русі, обчислюється за такою формулою:
Підставляючи сюди , скорочуючи на , отримаємо закон рівноприскореного руху по колу:
Або, якщо.
Якщо рух рівносповільнене, тобто.<0, то
11.Повне прискорення у рівноприскореному русі по колу. У рівноприскореному русі по колу доцентрове прискорення з часом зростає, т.к. завдяки тангенційному прискоренню зростає лінійна швидкість. Дуже часто доцентрове прискорення називають нормальним і позначають як . Так як повне прискорення в даний момент визначають теорему Піфагора (Рис.27).
12. Середня кутова швидкість у рівноприскореному русі по колу. Середня лінійна швидкість у рівноприскореному русі по колу дорівнює. Підставляючи сюди і скорочуючи на отримаємо
Якщо то .
12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.
Підставляючи у формулу величини , , , ,
і скорочуючи на , отримаємо
Лекція-4. Динаміка.
1. Динаміка
2. Взаємодія тел.
3. Інерція. Принцип інерції
4. Перший закон Ньютона.
5. Вільна матеріальна точка.
6. Інерційна система відліку.
7. Неінерційна система відліку.
8. Принцип відносності Галілея.
9. Перетворення Галілея.
11. Додавання сил.
13. Щільність речовин.
14. Центр мас.
15. Другий закон Ньютона.
16. Одиниця виміру сили.
17. Третій закон Ньютона
1. Динамікає розділ механіки, що вивчає механічний рух, залежно від сил, що спричиняють зміну цього руху.
2.Взаємодія тел. Тіла можуть взаємодіяти як при безпосередньому зіткненні, так і на відстані за допомогою особливого виду матерії, званого фізичним полем.
Наприклад, всі тіла притягуються один до одного і це тяжіння здійснюється за допомогою гравітаційного поля, а сили тяжіння називаються гравітаційними.
Тіла, що несуть у собі електричний заряд, взаємодіють за допомогою електричного поля. Електричні струми взаємодіють у вигляді магнітного поля. Ці сили називають електромагнітними.
Елементарні частинки взаємодіють за допомогою ядерних полів і ці сили називають ядерними.
3.Інерція. У IV ст. до зв. е. Грецька філософ Аристотель стверджував, що причиною руху тіла є сила, що діє з боку іншого тіла або тіл. При цьому, на думку Аристотеля постійна сила повідомляє тілу постійну швидкість і з припиненням дії сили припиняється рух.
У 16 ст. італійський фізик Галілео Галілей, проводячи досліди з тілами, що скочуються по похилій площині і з тілами, що падають, показав, що постійна сила (в даному випадку вага тіла) повідомляє тілу прискорення.
Отже, на основі експериментів Галілей показав, що сила є причиною прискорення тіл. Наведемо міркування Галілея. Нехай дуже гладка куля котиться по гладкій горизонтальній площині. Якщо кулі нічого не заважає, то він може котитися скільки завгодно довго. Якщо ж по дорозі кулі насипати тонкий шар піску, він дуже швидко зупиниться, т.к. на нього подіяла сила тертя піску.
Так Галілей дійшов формулювання принципу інерції, за яким матеріальне тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо не діють зовнішні сили. Часто цю властивість матерії називають інерцією, а рух тіла без зовнішніх впливів-рухом по інерції.
4. Перший закон Ньютона. У 1687 року з урахуванням принципу інерції Галілея Ньютон сформулював перший закон динаміки – перший закон Ньютона:
Матеріальна точка (тіло) перебуває у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо її у дію інші тіла, чи сили, діючі із боку інших тіл, врівноважені, тобто. скомпенсовані.
5.Вільна матеріальна точка- Матеріальна точка, на яку не діють інші тіла. Іноді кажуть – ізольована матеріальна точка.
6. Інерційна система відліку (ІСО)– система відліку, щодо якої ізольована матеріальна точка рухається прямолінійно та рівномірно, або перебуває у стані спокою.
Будь-яка система відліку, яка рухається рівномірно та прямолінійно щодо ІСО є інерційною,
Наведемо ще одне формулювання першого закону Ньютона: Існують системи відліку, щодо яких вільна матеріальна точка рухається прямолінійно і рівномірно, або перебуває у стані спокою. Такі системи відліку називаються інерційними. Найчастіше перший закон Ньютона називають законом інерції.
Першому закону Ньютона можна дати ще й таке формулювання: всяке матеріальне тіло чинить опір зміні його швидкості. Ця властивість матерії називається інертністю.
З виявом цього закону ми стикаємось щодня у міському транспорті. Коли автобус різко набирає швидкість, нас притискає до спинки сидіння. Коли ж автобус гальмує, наше тіло заносить по ходу руху автобуса.
7. Неінерційна система відліку –система відліку, що рухається нерівномірно щодо ІСО.
Тіло, яке щодо ІСО знаходиться у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Щодо неінерційної системи відліку рухається нерівномірно.
Будь-яка система відліку, що обертається, є неінерційна система відліку, т.к. у цій системі тіло зазнає доцентрового прискорення.
У природі та техніці немає тіл, які могли б служити як ІСО. Наприклад, Земля обертається навколо своєї осі і будь-яке тіло на її поверхні зазнає доцентрового прискорення. Однак протягом досить коротких проміжків часу систему відліку, пов'язану з поверхнею Землі в деякому наближенні, можна вважати ІСО.
8.Принцип відносності Галілея. ISO може бути сіль завгодно багато. Тому виникає запитання: як виглядають одні й самі механічні явища у різних ІСО? Чи можна, використовуючи механічні явища, виявити рух ІСО, в якій вони спостерігаються.
Відповідь ці питання дає принцип відносності класичної механіки, відкритий Галілеєм.
Сенс принципу відносності класичної механіки полягає у твердженні: всі механічні явища протікають абсолютно однаково у всіх інерційних системах відліку.
Цей принцип можна сформулювати і так: Усі закони класичної механіки виражаються однаковими математичними формулами. Іншими словами, ніякі механічні досліди не допоможуть нам виявити рух ISO. Це означає, що спроба виявити рух ISO не має сенсу.
З проявом принципу відносності ми стикалися, мандруючи поїздами. У момент, коли наш поїзд стоїть на станції, а поїзд, що стояв на сусідній дорозі, повільно починає рух, то в перші миті нам здається, що рухається наш поїзд. Але буває і навпаки, коли наш поїзд плавно набирає хід, нам здається, що рух розпочав сусідній поїзд.
У наведеному прикладі принцип відносності виявляється протягом малих інтервалів часу. Зі збільшенням швидкості ми починаємо відчувати поштовхи розгойдування вагона, тобто наша система відліку стає неінерційною.
Отже, спроба виявити рух ІСО не має сенсу. Отже, абсолютно байдуже, яку ІСО вважати нерухомою, а яку рухомою.
9. Перетворення Галілея. Нехай дві ІСО і рухаються один щодо одного зі швидкістю. Відповідно до принципу відносності ми можемо покласти, що ІСО К нерухома, а ІСО рухається відносно зі швидкістю . Для простоти припустимо, що відповідні осі координат систем і паралельні, а осі і збігаються. Нехай у момент початку систем збігаються і рух відбувається вздовж осей і, тобто. (Мал.28)
11. Складання сил. Якщо частинці прикладено дві сили, то результуюча сила дорівнює їхній векторної , тобто. діагоналі паралелограма, побудованого на векторах та (Рис.29).
Цим самим правилом при розкладанні цієї сили на дві складові сили. Для цього на векторі даної сили, як на діагоналі, будують паралелограм, сторони якого збігаються з напрямком складових сил, прикладених до даної частки.
Якщо ж до частки прикладено кілька сил, то результуюча дорівнює геометричній сумі всіх сил:
12.Маса. Досвід показав, що відношення модуля сили до модуля прискорення, яке ця сила повідомляє тілу, є постійна величина для даного тіла і називається масою тіла:
З останньої рівності випливає, що чим більша маса тіла, велику силу необхідно докласти, щоб змінити його швидкість. Отже, що більше маса тіла, тим більше інертно, тобто. маса є мірою інертності тіл. Масу, визначену таким чином, називають інертною масою.
У системі СІ маса вимірюється у кілограмах (кг). Один кілограм – це маса дисциррованої води в обсязі одного кубічного дециметра, взятої при температурі.
13. Щільність речовини- маса речовини, що міститься в одиниці об'єму або відношення маси тіла до його об'єму
Щільність вимірюється в () у системі СІ. Знаючи щільність тіла та його обсяг можна обчислити його масу за формулою. Знаючи густину і масу тіла, його обсяг обчислюють за формулою .
14.Центр мас- Точка тіла, що володіє тією властивістю, що, якщо напрямок дії сили проходить через цю точку тіло рухається поступально. Якщо ж напрямок дії не проходить через центр мас, то тіло переміщається, одночасно обертаючись навколо свого центру мас
15. Другий закон Ньютона. В ІСО сума сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, що повідомляється цією силою
16.Одиниця виміру сили. У системі СІ сила вимірюється у ньютонах. Один ньютон (н) – це сила, яка, діючи на тіло масою один кілограм, повідомляє йому прискорення. Тому.
17. Третій закон Ньютона. Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем, протилежні за напрямом і діють вздовж однієї прямої, що з'єднує ці тіла.
Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.
Кутова швидкість
Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.
Період та частота
Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.
Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.
Частота та період взаємопов'язані співвідношенням
Зв'язок із кутовою швидкістю
Лінійна швидкість
Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.
Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T.Шлях, який долає точка - це є довжина кола.
Центрошвидке прискорення
При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.
Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення
Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.
Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.
Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.
Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.
Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою
Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює
Тепер перейдемо у нерухому систему, пов'язану із землею. Повне прискорення точки А залишиться тим самим і за модулем, і за напрямом, оскільки при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої прискорення не змінюється. З погляду нерухомого спостерігача траєкторія точки А - вже не коло, а складніша крива (циклоїда), вздовж якої точка рухається нерівномірно.
Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.
Кутова швидкість
Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.
Період та частота
Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.
Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.
Частота та період взаємопов'язані співвідношенням
Зв'язок із кутовою швидкістю
Лінійна швидкість
Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.
Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T. Шлях, який долає точка - це є довжина кола.
Центрошвидке прискорення
При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.
Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення
Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.
Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.
Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.
Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.
Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою
Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює v Aі v Bвідповідно. Прискорення – зміна швидкості за одиницю часу. Знайдемо різницю векторів.
