Теорема Остроградського-Гаусса. Теорема Гауса для електричної індукції (електричного зміщення) Застосування теореми Остроградського-Гауса для розрахунку електричних полів, створюваних площинами, сферою та циліндром

Теорема Гауса для електричної індукції (електричного зміщення)

Для поля в діелектричному середовищі електростатична теорема Гауса може бути записана ще й інакше (альтернативним чином) через потік вектора електричного зміщення (електричної індукції). При цьому формулювання теореми виглядає наступним чином: потік вектора електричного зміщення через замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні вільному електричному заряду:

У диференційній формі:

Теорема Гауса для магнітної індукції

Потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:

або у диференціальній формі

Це еквівалентно тому, що в природі не існує «магнітних зарядів» (монополів), які б створювали магнітне поле, як електричні зарядистворюють електричне поле. Іншими словами, теорема Гауса для магнітної індукції показує, що магнітне поле є (повністю) вихровим.

Теорема Гауса для ньютонівської гравітації

Для напруженості поля ньютонівської гравітації (прискорення вільного падіння) теорема Гауса практично збігається з такою в електростатиці, за винятком лише констант (втім, все одно залежить від довільного вибору системи одиниць) і, головне, знака:

де g- Напруженість гравітаційного поля, M- гравітаційний заряд (тобто маса) усередині поверхні S, ρ - Щільність маси, G- ньютонівська константа.

Провідники в електричному полі. Поле всередині провідника та на його поверхні.

Провідниками називають тіла, якими електричні заряди можуть переходити від зарядженого тіла до незарядженого.Здатність провідників пропускати через себе електричні заряди пояснюється наявністю у них вільних носіїв заряду. Провідники - металеві тіла в твердому та рідкому стані, рідкі розчини електролітів Вільні заряди провідника, внесеного в електричне поле, під його дією починають рухатися. Перерозподіл зарядів викликає зміну електричного поля. Коли напруженість електричного поля у провіднику стає рівною нулю, електрони припиняють рух. Явище поділу різноіменних зарядів у провіднику, що міститься в електричному полі, називається електростатичною індукцією. Усередині провідника електричного поля немає. Це використовують для електростатичного захисту – захисту за допомогою металевих провідників від електричного поля. Поверхня провідного тіла будь-якої форми в електричному полі є еквіпотенційною поверхнею.

Конденсатори

Для отримання пристроїв, які при невеликому щодо середовища потенціалі накопичували на собі (конденсували) помітні за величиною заряди використовують той факт, що електроємність провідника зростає при наближенні до нього інших тіл. Справді, під впливом поля, створюваного зарядженими провідниками, на піднесеному йому тілі виникають індуковані (на провіднику) чи пов'язані (на діелектриці) заряди (рис.15.5). Заряди, протилежні за знаком заряду провідника q розташовуються ближче до провідника, ніж однойменні з q, і, отже, мають великий вплив з його потенціал.

Тому при піднесенні до зарядженого провідника якогось тіла напруженість поля зменшується, а, отже, зменшується потенціал провідника. Відповідно до рівняння це означає збільшення ємності провідника.

Конденсатор і двох провідників (обкладок) (рис.15.6), розділених прошарком діелектрика. При додатку до провідника певної різниці потенціалів його обкладення заряджаються рівними за величиною зарядами протилежного знака. Під електроємністю конденсатора розуміється фізична величина, пропорційна заряду q і обернено пропорційна різниці потенціалів між обкладками

Визначимо ємність плоского конденсатора.

Якщо площа обкладки S а заряд на ній q, то напруженість поля між обкладками

З іншого боку, різниця потенціалів між обкладками звідки.

Енергія системи точкових зарядів, зарядженого провідника та конденсатора.

Будь-яка система зарядів має деяку потенційну енергію взаємодії, яка дорівнює роботі, витраченій на створення цієї системи. Енергія системи точкових зарядів q 1 , q 2 , q 3 ,… q Nвизначається так:

де φ 1 – потенціал електричного поля, створюваного всіма зарядами крім q 1 у тій точці, де знаходиться заряд q 1 і т.д. Якщо змінюється конфігурація системи зарядів, змінюється і енергія системи. Для зміни конфігурації системи необхідно здійснення роботи.

Потенційну енергію системи точкових зарядів можна розрахувати в інший спосіб. Потенційна енергія двох точкових зарядів q 1 , q 2 на відстані один від одного дорівнює. Якщо кілька зарядів, то потенційну енергію цієї системи зарядів можна визначити як суму потенційних енергій усіх пар зарядів, які можна скласти для цієї системи. Так, для системи трьох позитивних зарядів енергія системи дорівнює

Енергія зарядженого відокремленого провідника та конденсатора

Якщо відокремлений провідник має заряд q, то навколо нього існує електричне поле, потенціал якого поверхні провідника дорівнює , а ємність - З. Збільшимо заряд на величину dq. При перенесенні заряду dq з нескінченності має бути виконана робота рівна . Але потенціал електростатичного поля даного провідника в нескінченності дорівнює нулю. Тоді

При перенесенні заряду dq з провідника в нескінченність таку роботу виконують сили електростатичного поля. Отже, зі збільшенням заряду провідника на величину dq зростає потенційна енергія поля, тобто.

Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо потенційну енергію електростатичного поля зарядженого провідника зі збільшенням його заряду від нуля до q:

Застосовуючи співвідношення , можна отримати такі вирази для потенційної енергії W:

Для зарядженого конденсатора різниця потенціалів (напруга) дорівнює тому співвідношення для повної енергіїйого електростатичного поля мають вигляд

Введемо поняття потоку вектора електричної індукції. Розглянемо нескінченно малий майданчик. Найчастіше необхідно знати як величину майданчика, а й її орієнтацію у просторі. Введемо поняття вектор-майданчик. Умовимося під вектором-майданчиком розуміти вектор, спрямований перпендикулярно до майданчика і чисельно рівної величини майданчика.

Рисунок 1 – До визначення вектора – майданчики

Назвемо потоком вектора через майданчик
скалярний добуток векторів і
. Таким чином,

Потік вектора через довільну поверхню знаходиться інтегруванням всіх елементарних потоків

(4)

Якщо поле однорідне та плоска поверхня розташована перпендикулярно до поля, то:

. (5)

Наведений вираз визначає кількість силових ліній, що пронизують майданчик за одиницю часу.

Теорема Остроградського-Гаусса. Дивергенція напруженості електричного поля

Потік вектора електричної індукції через довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумівільних електричних зарядів , що охоплюються цією поверхнею

(6)

Вираз (6) є теорему О-Гв інтегральному вигляді. Теорема 0-Г оперує з інтегральним (сумарним) ефектом, тобто. якщо
то невідомо, чи означає це відсутність зарядів у всіх точках досліджуваної частини простору, або, що сума позитивних і негативних зарядів, розташованих у різних точках цього простору дорівнюють нулю.

Для знаходження розташованих зарядів та їх величини по заданому полю необхідне співвідношення, що зв'язує вектор електричної індукції у цій точці із зарядом у тій же точці.

Припустимо, що нам потрібно визначити наявність заряду в точці а(Рис.2)

Рисунок 2 – До розрахунку дивергенції вектора

Застосуємо теорему О-Г. Потік вектора електричної індукції через довільну поверхню, що обмежує об'єм, в якому знаходиться точка. а, дорівнює

Алгебраїчну суму зарядів в обсязі можна записати як об'ємний інтеграл

(7)

де - заряд, віднесений до одиниці обсягу ;

- Елемент обсягу.

Для отримання зв'язку між полем та зарядом у точці абудемо зменшувати обсяг, стягуючи поверхню до точки а. При цьому розділимо обидві частини нашої рівності на величину . Переходячи до межі, отримаємо:

.

Права частина отриманого виразу є визначення об'ємної щільністю заряду в розглянутій точці простору. Ліва частина є межею відношення потоку вектора електричної індукції через замкнуту поверхню до об'єму, обмеженого цією поверхнею, коли обсяг прагне до нуля. Ця скалярна величина є важливою характеристикою електричного поля і має назву вектор дивергенції .

Таким чином:

,

отже

, (8)

де - Об'ємна щільність заряду.

З допомогою цього співвідношення легко вирішується зворотне завдання електростатики, тобто. знаходження розподілених зарядів за відомим полем.

Якщо вектор заданий, значить відомі його проекції
,
,
на координатні осі як функції координат і для обчислення розподіленої щільності зарядів, що створили задане поле, виявляється достатньо знайти суму трьох похідних похідних цих проекцій по відповідним змінним. У тих точках для яких
зарядів немає. У точках де
позитивна, є позитивний заряд з об'ємною щільністю, що дорівнює
, а в тих точках де
матиме негативне значення, знаходиться негативний заряд, щільність якого визначається значенням дивергенції.

Вираз (8) представляє теорему 0-Г у диференційній формі. У такій формі теорема показує, що джерелами електричного поля є вільні електричні заряди;силові лінії вектора електричної індукції починаються та закінчуються відповідно на позитивних та негативних зарядах.

Коли багато зарядів, при розрахунках полів виникають деякі труднощі.

Подолати їх допомагає теорема Гауса. Суть теореми Гаусазводиться до наступного: якщо довільну кількість зарядів подумки оточити замкненою поверхнею S, то потік напруженості електричного поля через елементарний майданчик dS можна записати як dФ = Есоsα۰dS де α - кут між нормаллю до площини та вектором напруженості . (Рис.12.7)

Повний потік через всю поверхню дорівнюватиме сумі потоків від усіх зарядів, довільним чином розподілених усередині неї і пропорційно величині цього заряду

(12.9)

Визначимо потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню радіуса r, у центрі якої розташований точковий заряд +q (рис.12.8). Лінії напруженості перпендикулярні до поверхні сфери, α =0, отже соsα = 1. Тоді

Якщо поле утворене системою зарядів, то

Теорема Гауса: потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, укладених всередині цієї поверхні, поділеної на електричну постійну.

(12.10)

Якщо всередині сфери набоїв немає, то Ф = 0.

Теорема Гауса дозволяє порівняно просто розрахувати електричні поляпри симетрично розподілених зарядах.

Введемо поняття про густину розподілених зарядів.

Лінійна щільність позначається і характеризує заряд q, що припадає на одиницю довжини ℓ. У загальному виглядіможе бути розрахована за формулою

(12.11)

При рівномірному розподілі зарядів лінійна щільність дорівнює

Поверхнева щільність позначається і характеризує заряд q, що припадає на одиницю площі S. У загальному вигляді визначається за формулою

(12.12)

При рівномірному розподілі зарядів поверхнею щільність дорівнює

Об'ємна щільність позначається ρ, що характеризує заряд q, що припадає на одиницю об'єму V. У загальному вигляді визначається за формулою

(12.13)

При рівномірному розподілі зарядів вона дорівнює
.

Оскільки заряд q розташовується у сфері рівномірно, то

σ = const. Застосуємо теорему Гауса. Проведемо сферу радіусом через точку А. Потік вектора напруженості рис.12.9 крізь сферичну поверхню радіусу дорівнює соsα = 1, оскільки α = 0.
.

або

(12.14)

З виразу (12.14) випливає, що напруженість поля поза зарядженою сферою така сама, як напруженість поля точкового заряду, поміщеного в центрі сфери. Поверхні сфери, тобто. r 1 = r 0 , напруженість
.

Усередині сфери r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Циліндр радіусом r 0 рівномірно заряджений із поверхневою щільністю σ (рис.12.10). Визначимо напруженість поля в довільно обраній точці А. Проведемо через точку А уявну циліндричну поверхню радіусом R та довжиною ℓ. Внаслідок симетрії потік виходитиме лише через бічні поверхні циліндра, оскільки заряди на циліндрі радіуса r 0 розподілені з його поверхні рівномірно, тобто. лінії напруженості будуть радіальними прямими, перпендикулярними бічним поверхням обох циліндрів. Так як потік через основу циліндрів дорівнює нулю (cos α = 0), а бічна поверхняциліндра перпендикулярна силовим лініям (cos α = 1), то

або

(12.15)

Виразимо величину Е через σ - поверхневу густину. За визначенням,

отже,

Підставимо значення q у формулу (12.15)

(12.16)

За визначенням лінійної щільності,
, звідки
; підставляємо цей вираз у формулу (12.16):

(12.17)

тобто. напруженість поля, створюваного нескінченно довгим зарядженим циліндром, пропорційна лінійній щільності заряду і обернено пропорційна відстані.

Напруженість поля, створюваного нескінченною рівномірно зарядженою площиною

Визначимо напруженість поля, що створюється нескінченною рівномірно зарядженою площиною в точці А. Нехай поверхнева густина заряду площини дорівнює σ. Як замкнута поверхня зручно вибрати циліндр, вісь якого перпендикулярна площині, а права основа містить точку А. Площина ділить циліндр навпіл. Очевидно, що силові лінії перпендикулярні до площини і паралельні бічній поверхні циліндра, тому весь потік проходить тільки через підстави циліндра. На обох підставах напруженість поля однакова, т.к. точки А та В симетричні щодо площини. Тоді потік через підстави циліндра дорівнює

Згідно з теоремою Гауса,

Так як
, то
, звідки

(12.18)

Таким чином, напруженість поля нескінченної зарядженої площини пропорційна поверхневій густині заряду і не залежить від відстані до площини. Отже, поле поверхні є однорідним.

Напруженість поля, створюваного двома різноіменно рівномірно зарядженими паралельними площинами

Результуюче поле, яке створюється двома площинами, визначається за принципом суперпозиції полів:
(Рис.12.12). Поле, створюване кожною площиною, є однорідним, напруженості цих полів рівні за модулем, але протилежні за напрямом:
. За принципом суперпозиції напруженість сумарного поля поза площиною дорівнює нулю:

Між площинами напруженості полів мають однакові напрямки, тому результуюча напруженість дорівнює

Таким чином, поле між двома різноіменно рівномірно зарядженими площинами однорідно та його напруженість у два рази більша, ніж напруженість поля, створюваного однією площиною. Ліворуч і праворуч від площин поле відсутнє. Такий самий вигляд має і поле кінцевих площин, спотворення з'являється лише поблизу їхніх кордонів. За допомогою одержаної формули можна розрахувати поле між обкладками плоского конденсатора.

Мета уроку: Теорема Остроградського-Гаусса була встановлена ​​російським математиком та механіком Михайлом Васильовичем Остроградським у вигляді деякої загальної математичної теореми та німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гауссом. Ця теорема може бути використана щодо фізики на профільному рівні, оскільки дозволяє раціональніше проводити розрахунки електричних полів.

Для виведення теореми Остроградського-Гаусса необхідно запровадити такі важливі допоміжні поняття, як вектор електричної індукції та потік цього вектора Ф.

Відомо, що електростатичне поле часто зображують силовими лініями. Припустимо, що визначаємо напруженість у точці, що лежить межі розділу двох середовищ: повітря(=1) і води (=81). У цій точці при переході з повітря у воду напруженість електричного поля згідно з формулою зменшиться у 81 раз. Якщо знехтувати провідністю води, то в стільки ж разів зменшиться кількість силових ліній. При вирішенні різних завдань на розрахунок полів через перервність вектора напруженості на межі розділу середовищ і на діелектриках створюються певні незручності. Щоб уникнути їх, вводиться новий вектор, який називається вектором електричної індукції:

Вектор електричної індукції дорівнює добутку вектора на постійну електричну і на діелектричну проникність середовища в даній точці.

Очевидно, що при переході через кордон двох діелектриків кількість ліній електричної індукції не змінюється для точкового поля заряду (1).

У системі СІ вектор електричної індукції вимірюється в кулонах квадратний метр (Кл/м 2 ). Вираз (1) показує, що чисельне значення вектора залежить від властивостей середовища. Поле вектора графічно зображується аналогічно до поля напруженості (наприклад, для точкового заряду див. рис.1). Для поля вектора має місце принцип суперпозиції:

Потік електричної індукції

Вектор електричної індукції характеризує електричне поле у ​​кожній точці простору. Можна ввести ще одну величину, що залежить від значень вектора не в одній точці, а в усіх точках поверхні, обмеженої замкнутим плоским контуром.

Для цього розглянемо плоский замкнутий провідник (контур) з площею поверхні S, поміщений в електричне однорідне поле. Нормаль до площини провідника становить кут із напрямком вектора електричної індукції (рис. 2).

Потоком електричної індукції через поверхню S називають величину, рівну добутку модуля вектора індукції на площу S і косинус кута між вектором і нормаллю :

Ця теорема дозволяє знайти потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню, всередині якої є електричні заряди.

Нехай спочатку один точковий заряд q поміщений до центру сфери довільного радіусу r 1 (рис. 3). Тоді ; . Обчислимо повний потік індукції, що проходить через всю поверхню цієї сфери: ; (). Якщо візьмемо сферу радіусу, то також Ф = q. Якщо проведемо сферу , що не охоплює заряд q, то повний потік Ф = 0 (оскільки кожна лінія увійде в поверхню, а інший раз вийде з неї).

Таким чином, Ф = q, якщо заряд розташований усередині замкнутої поверхні і Ф = 0, якщо заряд розташований поза замкненою поверхнею. Потік Ф від форми поверхні залежить. Він також залежить від розташування зарядів всередині поверхні. Це означає, що отриманий результат справедливий не тільки для одного заряду, але і для будь-якого числа довільно розташованих зарядів, якщо тільки мати на увазі під алгебраїчну суму q всіх зарядів, що знаходяться всередині поверхні.

Теорема Гауса: потік електричної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри всіх зарядів, що знаходяться всередині поверхні: .

З формули видно, що розмірність електричного потоку така сама, як і електричного заряду. Тому одиницею потоку електричної індукції є кулон (Кл).

Якщо поле неоднорідне і поверхня, через яку визначають потік, не є площиною, то цю поверхню можна розбити на нескінченно малі елементи ds і кожен елемент вважати плоским, а поле біля нього однорідним. Тому для будь-якого електричного поля поток вектора електричної індукції через елемент поверхні є: dФ=. В результаті інтегрування повний потік через замкнуту поверхню S в будь-якому неоднорідному електричному полі дорівнює: , де q – сума алгебри всіх зарядів, оточених замкнутою поверхнею S. Виразимо останнє рівняння через напруженість електричного поля (для вакууму): .

Це одне із фундаментальних рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, записане в інтегральній формі. Воно свідчить, що джерелом постійного у часі електричного поля є нерухомі електричні заряди.

Визначимо тепер за допомогою теореми Остроградського-Гауса напруженість поля для низки випадків.

1. Електричне поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

Сфера радіусом R. Нехай заряд +q рівномірно розподілений по сферичній поверхні радіуса R. Розподіл заряду поверхнею характеризується поверхневою щільністю заряду (рис.4). Поверхневою густиною заряду називають відношення заряду до площі поверхні, за якою він розподілений. . У СІ.

Визначимо напруженість поля:

а) поза сферичною поверхнею,
б) усередині сферичної поверхні.

а) Візьмемо точку А, віддалену від центру зарядженої сферичної поверхні з відривом r>R. Проведемо через неї подумки сферичну поверхню S радіуса r, що має загальний центр із зарядженою сферичною поверхнею. З міркування симетрії очевидно, що силові лінії є прямими радіальними перпендикулярними до поверхні S і рівномірно пронизують цю поверхню, тобто. Напруженість по всіх точках цієї поверхні постійна за величиною. Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса до цієї сферичної поверхні S радіусу r. Тому повний потік через сферу дорівнює N = E? S; N=E. З іншого боку . Прирівнюємо: . Звідси: при R>R.

Таким чином: напруженість, створювана рівномірно зарядженою сферичною поверхнею, поза нею така сама, якби весь заряд знаходився в її центрі (рис.5).

б) Знайдемо напруженість поля в точках, що лежать усередині зарядженої сферичної поверхні. Візьмемо точку У віддалену від центру сфери на відстані . Тоді E = 0 при r

2. Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної площини

Розглянемо електричне поле, що створюється нескінченною площиною, зарядженою із щільністю, постійною у всіх точках площині. З міркувань симетрії вважатимуться, що лінії напруженості перпендикулярні до площині спрямовані її у обидві сторони (рис.6).

Виберемо точку А, що лежить праворуч від площини та обчислимо в цій точці, застосовуючи теорему Остроградського-Гаусса. Як замкнута поверхня виберемо циліндричну поверхню таким чином, щоб бічна поверхня циліндра була паралельна силовим лініям, а його основи і паралельні площині і основа проходить через точку А (рис. 7). Розрахуємо потік напруженості через циліндричну поверхню, що розглядається. Потік через бічну поверхню дорівнює 0 т.к. лінії напруженості паралельні бічній поверхні. Тоді повний потік складається з потоків і через основи циліндра і . Обидва ці потоки позитивні = +; =; =; ==; N = 2.

– ділянка площини, що лежить усередині обраної циліндричної поверхні. Заряд усередині цієї поверхні дорівнює q.

Тоді; – можна прийняти за точковий заряд з точкою А. Для знаходження сумарного поля треба геометрично скласти всі поля, створювані кожним елементом: ; .

Потік вектор напруженості електричного поля.Нехай невеликий майданчик DS(рис.1.2) перетинають силові лінії електричного поля, напрямок яких складає з нормаллю n до цього майданчика кут a. Вважаючи, що вектор напруженості Е не змінюється у межах майданчика DS, визначимо потік вектора напруженостічерез майданчик DSяк

DFE =E DS cos a.(1.3)

Оскільки густота силових ліній дорівнює чисельному значенню напруженості E, то кількість силових ліній, що перетинають майданчикDS, буде чисельно дорівнює значенню потокуDFEчерез поверхнюDS. Представимо праву частину виразу (1.3) як скалярний добуток векторів EіDS= nDS, де n– одиничний вектор нормалі до поверхніDS. Для елементарного майданчика d Sвираз (1.3) набуває вигляду

dFE = E d S

Через весь майданчик Sпотік вектора напруженості обчислюється як інтеграл поверхнею

Потік вектор електричної індукції.Потік вектора електричної індукції визначається аналогічно до потоку вектора напруженості електричного поля

dFD = D d S

У визначеннях потоків помітна деяка неоднозначність, пов'язана з тим, що для кожної поверхні можна задати дві нормалі протилежного спрямування. Для замкнутої поверхні позитивною вважається зовнішня нормаль.

Теорема Гауса.Розглянемо точковий позитивнийелектричний заряд q, що знаходиться всередині довільної замкнутої поверхні S(Рис. 1.3). Потік вектор індукції через елемент поверхні d Sдорівнює
(1.4)

Складову d S D = d S cos aелемента поверхні d Sу напрямку вектора індукціїDрозглядаємо як елемент сферичної поверхні радіусу r, у центрі якої розташований зарядq.

Враховуючи, що d S D/ r 2 дорівнює елементарному тілесномукутку dw, під яким з точки знаходження зарядуqвидно елемент поверхні d S, Перетворимо вираз (1.4) на вигляд d FD = q d w / 4 pзвідки після інтегрування по всьому навколишньому заряду простору, тобто в межах тілесного кута від 0 до 4p, отримаємо

FD = q.

Потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми дорівнює заряду, укладеному всередині цієї поверхні.

Якщо довільна замкнута поверхня Sне охоплює точковий заряд q(Рис. 1.4), то, побудувавши конічну поверхню з вершиною в точці знаходження заряду, розділимо поверхню Sна дві частини: S 1 і S 2 . Потік вектора D через поверхню Sзнайдемо як суму алгебри потоків через поверхні S 1 і S 2:

.

Обидві поверхні з точки знаходження заряду qвидно під одним тілесним кутом w. Тому потоки рівні

Оскільки для обчислення потоку через замкнуту поверхню використовується зовнішня нормальдо поверхні, легко бачити, що потік Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Сумарний потік Ф D= 0. Це означає, що потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми не залежить від зарядів, розташованих поза цією поверхнею.

Якщо електричне поле створюється системою точкових зарядів q 1 , q 2 ,¼ , q n, яка охоплюється замкнутою поверхнею S, то відповідно до принципу суперпозиції, потік вектора індукції через цю поверхню визначається як сума потоків, створюваних кожним із зарядів. Потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми дорівнює сумі алгебри зарядів, охоплених цією поверхнею:

Слід зазначити, що заряди q iне обов'язково повинні бути точковими, необхідна умова – заряджена область має повністю охоплюватися поверхнею. Якщо у просторі, обмеженому замкненою поверхнею S, Електричний заряд розподілений безперервно, слід вважати, що кожен елементарний об'єм d Vмає заряд. У цьому випадку в правій частині виразу (1.5) алгебраїчне підсумовування зарядів замінюється інтегруванням за обсягом, укладеним усередині замкнутої поверхні S:

(1.6)

Вираз (1.6) є найбільш загальним формулюванням теореми Гауса: потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню довільної форми дорівнює сумарному заряду в обсязі, охопленому цією поверхнею, і не залежить від зарядів, розташованих поза розглянутою поверхнею. Теорему Гауса можна записати і для потоку вектора напруженості електричного поля:

.

З теореми Гаусса випливає важлива властивість електричного поля: силові лінії починаються або закінчуються тільки на електричних зарядах або йдуть у нескінченність. Ще раз підкреслимо, що незважаючи на те, що напруженість електричного поля E та електрична індукція D залежать від розташування у просторі всіх зарядів, потоки цих векторів через довільну замкнуту поверхню Sвизначаються лише тими зарядами, які розташовані всередині поверхні S.

Диференційна форма теореми Гауса.Відмітимо, що інтегральна форматеореми Гаусса характеризує співвідношення між джерелами електричного поля (зарядами) та характеристиками електричного поля (напруженістю чи індукцією) в обсязі Vдовільної, але достатньої формування інтегральних співвідношень, величини. Виробляючи розподіл обсягу Vна малі обсяги V i, отримаємо вираз

справедливе як загалом, так кожного складового. Перетворимо отриманий вираз таким чином:

(1.7)

і розглянемо межу, до якої прагне вираз у правій частині рівності, укладений у фігурних дужках, при необмеженому розподілі обсягу V. У математиці цю межу називають дивергенцієювектора (у разі вектора електричної індукції D):

Дивергенція вектора Dу декартових координатах:

Таким чином вираз (1.7) перетворюється на вигляд:

.

Враховуючи, що при необмеженому розподілі сума в лівій частині останнього виразу переходить в об'ємний інтеграл, отримаємо

Отримане співвідношення має виконуватися для будь-якого довільно вибраного обсягу V. Це можливо лише в тому випадку, якщо значення підінтегральних функцій у кожній точці простору однакові. Отже, дивергенція вектора Dпов'язана із щільністю заряду в тій же точці рівністю

або для вектора напруженості електростатичного поля

Ці рівності виражають теорему Гауса в диференційної форми.

Зазначимо, що в процесі переходу до диференціальної форми теореми Гауса виходить співвідношення, яке має загальний характер:

.

Вираз називається формулою Гауса - Остроградського та зв'язує інтеграл за обсягом від дивергенції вектора з потоком цього вектора крізь замкнуту поверхню, що обмежує об'єм.

Запитання

1) У чому полягає фізичний сенс теореми Гауса для електростатичного поля у вакуумі

2) У центрі куба знаходиться точковий зарядq. Чому дорівнює потік вектора Е:

а) через повну поверхню куба; б) через одну із граней куба.

Чи зміниться відповіді, якщо:

а) заряд знаходиться не в центрі куба, але всередині його ; б) заряд знаходиться поза кубом.

3) Що таке лінійна, поверхнева, об'ємна щільність заряду.

4) Вкажіть зв'язок об'ємної та поверхневої густини зарядів.

5) Чи може поле поза різноіменно і однорідно заряджених паралельних нескінченних площин бути відмінним від нуля

6) Електричний диполь поміщений усередину замкнутої поверхні. Який потік крізь цю поверхню