Розподіл дробів 6. Дроби. Розподіл дробів. ІІ. Усний рахунок

Клас: 6

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку: Узагальнити та систематизувати знання учнів на тему «Поділ звичайних дробів», використовуючи мультимедіа технології.

Завдання уроку:

Освітні:

• закріпити теоретичні знання: визначення взаємно зворотних чисел; правила складання, віднімання, множення, поділу звичайних дробів; правило знаходження дробу від числа.
• сформувати вміння застосовувати отримані теоретичні знання на вирішення завдань;
• здійснити контроль знань з допомогою комп'ютерного тесту.

Розвиваючі:

• розвивати пізнавальний інтерес, інтелектуальні та творчі здібності учнів;
• формувати інформаційну культуру, оволодіння навичками пошуку та аналізу інформації;

Виховні:

• навчати самостійної діяльності з оволодіння знаннями;
• формувати усвідомлені мотиви вчення, самовдосконалення, самовиховання;
• виховувати цілеспрямованість та наполегливість у досягненні мети;
• виховувати взаємодопомогу.

План уроку:

1. Організаційний та мотивація, постановка цілей уроку. узагальнення та закріплення понять, визначень, правил. (I – усний рахунок)
2. Тестування. (II)
3. Поглиблення, застосування знань, розвиток мислення. (III-VIII)
4. Підсумки. (IX)
5. Домашнє завдання. (X)

Хід уроку

Сьогодні наш урок математики буде пов'язаний із літературою. На нас чекає незвичайна подорож. Так як у нас урок математики, то й подорож буде математичною. Тема нашого уроку "Поділ дробів". Перш ніж вирушити в дорогу, потрібно перевірити, чи всі готові.

I. Усний рахунок

(слайд 2)

-	*	: 4
3 - 1	*	:
+	1 *	:
* 5	:	6:

Повторюємо:

1. Які числа називаються взаємозворотними;
2. правило складання, віднімання, множення та поділу дробів.

І так, ми вирушаємо в дорогу. І як ви вже здогадалися, мандрувати ми за казками А.С.Пушкина. У якій казці ми зробимо першу зупинку, ви дізнаєтеся зі слів, які отримаєте при вирішенні прикладів поділу. Учням лунають картки-завдання, картки-ключі. Якщо є можливість роботи за комп'ютерами, то учні виконують тест з варіантів, створений у програмі Microsoft Exсel. Внаслідок якого отримають необхідні слова.

ІІ. Програмований (диференційований) контроль. (Тест)

I варіант	II варіант	III варіант	IV варіант

Картки-ключі

І ст.	р	о	е	м
1
2
3
4	1	9	10	8

ІІ.	ы	б	а	до	р
1
2
3	40	42	41	43	44
4
5		7

ІІІ ст.	р	а	т	до	і	з
1
2	60	61	62	63	64	65
3
4
5
6		1

IV ст.	т	р	ы	о	до
1
2
3	60	65	61	63	64
4
5
6

Ми отримали слова: корито, рибка, дід, море. В яку казку ми потрапили? У казку про рибалку та рибку. Хто пам'ятає початок цієї казки? ( слайд 3)

Жив старий зі своєю старою
Біля самого синього моря;
Вони жили у старій землянці
Рівно тридцять років та три роки.

Герої казки пропонують нам вирішити завдання.

ІІІ.

(слайд 4)

Щука, карась та окунь разом важать 1 кг. Скільки важить кожна риба, якщо щука в 1 рази важча за карася, а маса окуня становить маси карася.

IV. Щоб дізнатися про назву наступної казки А.С. Пушкіна, треба відкрити 2 скрині.

Для цього необхідно вирішити 2 рівняння. Рівняння вирішуються за варіантами, потім учні змінюються зошитами і перевірка рішень. ( слайди 5-9)

I варіант

II варіант

Відкриваються скрині і з'являється назва: Казка про царя Салтана. (повна назва казки: Казка про царя Салтана, про сина його, славного і могутнього богатиря князя Гвідона Салтановича, і про прекрасну царівну лебеді.)

V.

(слайди 10-12)

Острів на морі лежить,
Град на острові стоїть,
З золотоголовими церквами,
З теремами та садами;

Править цим містом князь Гвідон. Кого ми можемо зустріти там, дізнаємося, виконавши таке завдання:

Перед вами ланцюжки з трьох чисел, у кожному рядку потрібно виключити зайве число.

Знайдіть суму зайвих чисел. + 32 + = 33

Є у цьому місті кілька чудес.
Одне з них -
Море здувається бурхливо,
Закипить, підійме виття,
Хлине на берег порожній,
Розплеснеться у швидкому брезі,
І опиняться на березі
У лусці, як жар горя,
Тридцять три богатирі.

VI. Наступну казку А.С. Пушкіна підкаже відповідь, яку ми отримаємо при вирішенні прикладу на всі дії.

(слайд 13)

1 : ((слайди 16-17)

Цар до віконця - ан на спиці,
Бачить б'ється півник,
Звернувшись на схід.

В яку казку ми потрапляємо? У казку про золотого півника. Добігає кінця наша подорож і закінчимо ми його словами, якими закінчується казка про золотого півника.

Щоб дізнатися фразу, розставте числа у порядку зростання!

В результаті вийшла фраза: "Казка брехня, та в ній натяк!" Що означає ця фраза?

Клас: 6

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

Освітній аспект:

• повторити і поглибити знання на тему “Поділ звичайних дробів”

Розвиваючий аспект:

• розвивати навички аналізу, порівняння матеріалу;
• розвивати увагу, пам'ять, мовлення, логічне мислення, самостійність;
• сприяти розвитку умінь здійснювати самооцінку навчальної діяльності.

Виховний аспект:

• прищеплювати навичкам самостійності в роботі, навчати працьовитості, акуратності;
• виховувати потребу оцінювати свою діяльність та роботу однокласників;
• виховувати культуру мови, увагу до точності формулювань.

Форми організації навчальної діяльності:

• фронтальна, індивідуальна, ігрова

Використовувані технології:

• технологія співробітництва;
• інформаційні технології;
• ігрові технології.

Обладнання:

1. комп'ютер;
2. мультимедіапроектор;
3. презентація Microsoft Office PowerPoint;
4. картки-завдання

Хід уроку

I. Організаційний момент

ІІ. Усний рахунок

1. Обчисліть значення виразів, зберіть пазл.

Вчитель:Діти, Ви дізнаєтеся, що зображено на цій фотографії?

Усолля Сибірське - одне з найстаріших міст у Пріангар'ї, воно було засноване як поселення в 1669 р. завдяки підкорювачам сибірських просторів єнісейським козакам братам Михалєвим, які виявили на березі річки Ангара соляне джерело і побудували соляну варницю

2. Не виконуючи дій, порівняйте приватне з поділеним:

ІІІ. Повторення раніше вивченого матеріалу

1. Подайте десятковий дріб у вигляді звичайного дробу. У таблиці впишіть літери, які відповідають знайденим відповідям (робота в парах).

0,4 - А	1,2 - Р	0,006 - П
3,6 - І	0,9 - З	5,008 - Т
0,05 - У	2,16 - Про	0,37 - Д
4,44 - З	5,08 - До	2,15 - М

Назва міста Іркутськ походить від річки Іркут, що впадає в Ангару. Свій початок місто веде з першого Іркутського острогу, закладеного козаками під керівництвом Якова Похабова 6 липня 1661 року. До вересня 1670 року на місці острогу було збудовано фортецю з чотирма вежами, названу Кремлем. Іркутськ практично з самого заснування був найважливішим опорним пунктом торгівлі з Китаєм. Через місто проходили всі російсько-китайські торгові каравани.

2. Подайте звичайний дріб у вигляді десяткового дробу. Розташуйте отримані числа за зростанням та прочитайте слово (самостійно, з наступною перевіркою).

Відповіді: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0,07, слово - Байкал (гіперпосилання на єдину колекцію ЦОР).

IV. Закріплення вивченого матеріалу

1. Заповни пропуски:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

2. Гра “Лото” (учням потрібно вирішити перший приклад, потім перейти до прикладу, який починається з числа, отриманого під час вирішення попереднього, скласти пропозицію).

I варіант			II варіант
					біля початку
лишайник		покритий

Відповіді: Скеля Шаманка – мармур, покритий червоним лишайником;

Шаман-камінь - скеля, що лежить біля витоку Ангари.

V. Фізкультхвилинка

Руки в боки, руки – ширші.
Один два три чотири.
Нині пострибати ми вирішили.
Один два три чотири.
Потягнулися – вище, вище...
Присідаємо – нижче, нижче.
Встали – присіли...
Встали – присіли...
А тепер за парти сіли.

VI. Рішення завдання

Вирішити завдання:два автомобілі виїхали одночасно назустріч одне одному з міст Усольє-Сибірське та Іркутськ, відстань між якими 80 км. Швидкість першого автомобіля становить швидкість другого. Знайдіть швидкості кожного автомобіля, якщо вони зустрілися за сорок хвилин.

Нехай х (км/год)- швидкість другого автомобіля

Тоді х (км/год)- швидкість першого автомобіля

х+ х (км/год)- Швидкість зближення

Знаючи, що автомобілі зустрілися через годта проїхали разом 80 км,складемо рівняння:

(х+х) * =80

(х+х) =80:

х = 120: 1

1

Відповідь:

• 1 варіант СМАКИ
• 2 варіант ОМУЛЬ

VIII. Домашнє завдання

Складіть завдання

Технологічна карта уроку.

ПІБ вчителя: Степанова Дар'я Сергіївна

Місце роботи: МАОУ «ЗОШ №76»

Посада: учитель математики

Предмет: математика

Тема уроку: «Поділ звичайних дробів».

Тип уроку : урок відкриття нового знання.

МЕТА УРОКУ:

Освітні: сформувати уявлення про розподіл звичайних дробів, виробити первинне вміння виконувати розподіл чисел, записаних як дробів.

Розвиваючі: розвиток математичного мислення учнів та обчислювальних навичок.

Виховні: сприяти вихованню інтересу до математики,виховувати культуру математичних записів.

Устаткування : Підручник для 6 класу загальноосвітніх установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - видання.мультимедійний проектор, презентація до уроку на цю тему., роздатковий матеріал.

План:

Організаційний момент (1 хв).

Цілепокладання та мотивація (7 хв.).

Відкриття нового знання (13 хв).

Фізкультхвилинка (1хв.).

Закріплення нового (15 хв).

Підбиття підсумків. Рефлексія (3 хв).

Домашнє завдання (1 хв).

-Вітаю! Давайте перевіримо, чи все у нас готове до уроку?

Перевіряють. Дістають зошити та ручки, якщо не дістали.

-Згадаймо, з яким новим поняттям ми познайомилися на попередніх уроках?

-Які числа називають взаємно зворотними?

-Добре! Молодці! А тепер давайте усно вирішимо приклади на слайді.

-З 1 відняти ми отримаємо?

– Що ми маємо зробити, щоб вирішити другий приклад?

-Чому він дорівнює?

– Тоді додатковий множник, який для першого дробу дорівнює?

-Молдець! Чому дорівнює НОЗ у третьому прикладі?

– Як вирахуємо наступний приклад? Як ми множимо дріб на дріб?

-Що можна зробити перед тим як перемножувати?

-Вірно, Молодець! Як помножити натуральне число на дріб?

- Що робитимемо, перед тим як перемножувати?

-Молодець! Як вирішити такий приклад?

-Вірно, що отримаємо?

Добре! Наступний приклад.

-Молодець! Що необхідно зробити, щоб перемножити наступні два числа?

-Як вирішуватимемо наступний пріер?

-З поняттям взаємно зворотних чисел

– Числа називають взаємно оберненим, якщо у творі вони дають одиницю.

(один учень вголос розбирає приклад).

–Знайти найменший спільний знаменник.

-14, Оскільки 14 ділитися на 7 націло.

–Двох. Домножимо дріб на два, отримаємо . Додамо до дріб , отримаємо відповідь .

-Оскільки 7 і 5 взаємно прості числа, найменший загальний знаменник дорівнює 35.

Для першого дробу додатковий множник дорівнює 5, для другого дробу 7. Домножимо перший дроб на 5, отримаємо , другий дріб на 7, отримаємо . Різниця дорівнює .

-Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники дробів і записати цей твір у чисельник, перемножити знаменники та записати твір у знаменник.

- Можна скоротити 4 і 8 на 4, і 3 і 9 на 3, отримаємо одну шосту

– Щоб помножити натуральне число на звичайний дріб, потрібно чисельник помножити на це число, а знаменник залишити без зміни.

-Скоротимо 23 і 23. Відповідь 9.

– Спочатку треба записати змішане число у неправильний дріб, а потім перемножити.

-Отримаємо дріб, перемножимо її з. Можемо скоротити 7 та 7. Відповідь .

–Зменшити нічого не можна. Перемножуємо 4 і 5, у числах запишемо 20, у знаменнику 7 або .

– Потрібно уявити змішані числа у вигляді неправильного дробу. Отримаємо і . Можемо скоротити 5 і 15 на 3 і 22 і 2 на 2. У чисельнику отримаємо 11 знаменників 3 або .

– Ми не знаємо, як ділити.

Як ви думаєте, яка тема нашого уроку на сьогодні?

-Вірно! Відкрийте зошити, запишіть число та тему уроку.

-Яку мету ми поставимо на сьогоднішній урок?

-А для того, щоб навчитися ділити, що нам спочатку треба дізнатися?

–Правильно! Для цього спочатку розглянемо завдання. Площа прямокутника дорівнює
. Довжина одного боку
. Знайти довжину з іншого боку.

– Назвіть формулу площі прямокутника.

– Ширина та площа нам відомі, а довжина – ні. Як ми позначаємо невідому величину?

- Чи можемо ми з вами тепер скласти рівняння?

-Ми з вами вже вирішували такі рівняння за допомогою взаємно зворотних чисел. Давайте вирішимо його.

– Що отримаємо у правій частині рівняння?

-Що отримаємо в лівій частині рівняння?

- Добре. Знайшли чому рівна довжина. Давайте повернемося до рівняння, і пригадаємо, як знайти найвідоміший множник?

-Вірно! Чи застосуйте це до нашого рівняння, що отримаємо?

–Але ми вже знаємо, чому дорівнюєx .

– І як ми його знайшли?

– А стосовно який дріб?

– Тобто ми можемо скласти таку рівність:
.

- Виходячи з цієї рівності спробуйте сформулювати правило поділу звичайних дробів. У цьому вам допоможе картка №1, заповніть перепустки в ній.

-Вірно, молодці! Запишіть у зошит дане визначення в літерному вигляді самостійно. Перевірте.

- Чи можемо ми тепер вирішити той приклад, який на початку викликав у нас складне становище?

- Розподіл звичайних дробів.

(Відкривають зошити, записують тему уроку).

-Навчитися виконувати поділ дробів.

-Правило розподілу дробів.

– S = ab .

– x .

–Так.
.

– Потрібно домножити обидві частини рівняння на зворотне число, числу . Тобто на .

-У правій частині добуток двох взаємно зворотних чисел дадуть нам одиницю.

–У лівій частині, твір та . Скоротити нічого не можна, значить отримаємо .
.

Щоб знайти невідомий множник, потрібно добуток розділити на відомий множник.

–
.

–
. Ми помножили на .

-Зворотній.

-Щоб розділити один дріб в інший, необхідно ділене помножити число зворотну дільнику.

- Так,
.

-А Тепер розімнемося трохи. Стисніть і розтисніть кулочки. Розправте плічка. Робіть рухи головою, слідуючи за сніжинкою.

-Вірно! Вчитися застосовувати правило практично.

(На слайді приклади. Викликаємо учнів по одному до дошки, інші працюють у зошитах.)

-Молодці! У вас на партах є картка №2. Виконайте її самостійно. Завдання: Вставте перепустки у прикладах, щоб вийшли правильні рівності.

-Перевірте себе самі! Якщо всі перепустки заповнені вірно чи одна помилка – оцінка «5», якщо 2-4 помилки – оцінка «4», якщо 5-7 помилок – оцінка «3».

-Вирішувати приклади.

(виконують картки із завданнями №2)

(перевіряють, оцінюють себе)

-Давайте підіб'ємо підсумки! Як ви вважаєте, чи досягли ми поставленої на початку уроку мети?

-Давайте повторимо правило, яке ми сьогодні дізналися. (Запитуємо кількох учнів).

-Добре! Молодці! У вас на столах лежать різного кольору картки, оцініть їх результат вашої роботи сьогодні на уроці.

– Щоб розділити один дріб на інший, потрібно розподілене помножити на число зворотного дільника.

(Піднімають картки).

–Відкрийте щоденники та запишіть домашнє завдання.

-Дякую за урок!

(Записують домашнє завдання до щоденників).

Роздатковий матеріал.

Котка №1

Правило поділу звичайних дробів.

Щоб розділити один дріб на інший, треба ділене ___________ на число, ____________ ділитью.

Картка №2

Зміст уроку

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками;
2. Додавання дробів з різними знаменниками.

Спочатку вивчимо складання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни.

Наприклад, складемо дроби і . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити в ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко – два розділити на два буде один:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .

Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками немає нічого складного. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали цей приклад дуже докладно. У навчальних закладах не заведено писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:

Але є й зворотний бік медалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

1. Знайти НОК знаменників дробів;
2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
4. Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:

Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:

Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
2. Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:

1. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
2. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10

Отримали відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити без змін.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Число, яке множиться на дріб, і знаменник дробу дозволяється, якщо вони мають спільний дільник, більший за одиницю.

Наприклад, вираз можна обчислити двома способами.

Перший спосіб. Помножити число 4 на чисельник дробу, а знаменник дробу залишити без змін:

Другий спосіб. Чотирку, що множиться, і четвірку, що знаходиться в знаменнику дробу, можна скоротити. Скоротити ці четвірки можна на 4, оскільки найбільший спільний дільник для двох четвірок є сама четвірка:

Вийшов той самий результат 3. Після скорочення четвірок, з їхньої місці утворюються нові числа: дві одиниці. Але перемноження одиниці із трійкою, і далі поділ на одиницю нічого не змінює. Тому рішення можна записати коротше:

Скорочення може бути виконано навіть тоді, коли ми вирішили скористатися першим способом, але на етапі перемноження числа 4 і 3 вирішили скористатися скороченням:

А ось наприклад вираз можна обчислити лише першим способом - помножити 7 на знаменник дробу, а знаменник залишити без змін:

Пов'язано це з тим, що число 7 і знаменник дробу не мають спільного дільника, більшого за одиницю, і відповідно не скорочуються.

Деякі учні помилково скорочують число, що множиться, і чисельник дробу. Робити це не можна. Наприклад, наступний запис не є правильним:

Скорочення дробу передбачає, що і чисельник та знаменникбуде поділено на одне й те саме число. У ситуації з виразом поділ виконано лише в чисельнику, оскільки записати це все одно, що записати. Бачимо, що розподіл виконано лише в чисельнику, а в знаменнику ніякого поділу не відбувається.

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піци. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

приклад 3.Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник та знаменник даного дробу розділити на найбільший спільний дільник (НДД) чисел 105 та 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою математики. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Допустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.

Розмноження десяткових дробів

Десяткова форма запису дозволяє виконувати множення дробів практично за тими самими правилами, за якими множать натуральні числа. Відмінність полягає в тому, що необхідно визначати місце комою в отриманому творі.

Пояснимо сказане з прикладу; обчислимо добуток 2,5 1,02.

Перенесемо кому в першому множнику на одну цифру вправо, а в другому-на дві цифри вправо. Тим самим перший множник збільшиться в 10 разів, другий-в 10 2 = 100 разів, а твір-у 10 100 = 1000 разів.

Визначимо добуток натуральних чисел 25 та 102:

25 102 = 2550.

Це число в 1000 разів більше, ніж потрібний твір. Тому необхідно число 2550 зменшити в 1000 = 10 3 разів, тобто перенести у цьому кому ліворуч на 3 цифри. Таким чином,

2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.

Можна міркувати інакше:

Таким чином, щоб перемножити два десяткові дроби9 достатньо, не звертаючи уваги на коми, перемножити їх як натуральні числа9 а потім в отриманому творі праворуч відокремити коми стільки цифр, скільки їх було після ком в обох множниках разом.

Наприклад,

Розподіл десяткових дробів

Розглянемо приклад розподілу десяткового дробу на натуральне число.

приклад. Обчислити 46,8: 2.

Рішення. 4 десятки ділимо на 2-отримуємо цифру частки 2 (2 десятки).

6 одиниць ділимо на 2 - отримуємо цифру частки 3 (3 одиниці).

Розподіл цілої частини закінчено-відокремлюємо у приватному цілу частину коми.

8 десятих ділимо на 2 - отримуємо цифру частки 4 (4 десятих). Залишок дорівнює 0-поділ закінчено.

Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб зводиться до поділу на натуральне число перенесенням ком у ділимому і дільнику на стільки цифр вправо, щоб дільник став натуральним числом.

приклад. Обчислити 4,42:0,2.

Рішення. Так як у дільнику одна цифра після коми, то достатньо перенести коми в ділимо і дільнику на 1 цифру вправо. Тим самим ділене та дільник збільшуються в 10 разів, тому приватне не зміниться. При цьому дільник буде натуральним числом.

Можна міркувати і таким чином:

Але не завжди виходить точний результат при розподілі десяткових дробів. Найчастіше доводиться задовольнятися наближеним приватним.

приклад. Знайти частки 1,723:0,03.

Рішення. Звільнимось від коми у дільнику: 1,723:0,03 = 172,3:3. Виконаємо поділ.

Починаючи з розряду сотих, цифра 3 у приватному повторюється без кінця, тому що залишок, починаючи з третього етапу процесу поділу, весь час дорівнює тому самому числу 1.

Якщо залишити в частці перші дві цифри після коми, то вийде наближена рівність: 172,3:3 ≈ 57,43.