Перетворення алгебраїчних виразів та дробів. Складні вирази із дробами. Порядок дій. Завдання для самостійного вирішення

Спрощення виразів алгебри є одним з ключових моментів вивчення алгебри і надзвичайно корисним навичкою для всіх математиків. Спрощення дозволяє привести складний або довгий вираз до простого виразу, з яким легко працювати. Базові навички спрощення добре даються навіть тим, хто не в захваті від математики. Дотримуючись кілька простих правил, можна спростити багато з найпоширеніших типів виразів алгебри без будь-яких спеціальних математичних знань.

Кроки

Важливі визначення

  1. Подібні члени . Це члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними чи вільні члени (члени, які не містять змінну). Іншими словами, такі члени включають одну змінну в одній і тій же мірі, включають кілька однакових змінних або не включають змінну зовсім. Порядок членів у виразі не має значення.

    • Наприклад, 3x 2 і 4x 2 - це подібні члени, оскільки вони містять змінну "х" другого порядку (другою мірою). Проте х і x 2 є подібними членами, оскільки містять змінну «х» різних порядків (першого і другого). Так само -3yx і 5хz є подібними членами, оскільки містять різні змінні.

  2. Розкладання на множники . Це знаходження таких чисел, добуток яких призводить до вихідного числа. Будь-яке вихідне число може мати кілька множників. Наприклад, число 12 може бути розкладено на наступний ряд множників: 1 × 12, 2 × 6 і 3 × 4, тому можна сказати, що числа 1, 2, 3, 4, 6 і 12 є множниками числа 12. Множники збігаються з дільниками , тобто числами, куди ділиться вихідне число.

    • Наприклад, якщо ви хочете розкласти на множники число 20, запишіть так: 4×5.
    • Зауважте, що при розкладанні на множники змінна враховується. Наприклад, 20x = 4(5x).
    • Прості числа не можуть бути розкладені на множники, тому що вони поділяються лише на себе та на 1.

  3. Запам'ятайте та дотримуйтесь порядку виконання операцій, щоб уникнути помилок.

    • Дужки
    • Ступінь
    • множення
    • Поділ
    • Додавання
    • Віднімання

    Приведення таких членів

    1. Запишіть вираз.Найпростіші вирази алгебри (які не містять дробів, коренів і так далі) можна вирішити (спростити) всього за кілька кроків.

      • Наприклад, спростіть вираз 1+2x - 3+4x.

    2. Визначте такі члени (члени зі змінною одного порядку, члени з однаковими змінними чи вільні члени).

      • Знайдіть подібні члени у цьому виразі. Члени 2x та 4x містять змінну одного порядку (першого). Крім того, 1 та -3 - це вільні члени (не містять змінну). Таким чином, у цьому вираженні члени 2х та 4xє подібними, і члени 1 та -3також є подібними.

    3. Наведіть таких членів.Це означає скласти або відняти їх і спростити вираз.

      • 2x + 4x = 6х
      • 1 - 3 = -2

    4. Перепишіть вираз із урахуванням наведених членів.Ви отримаєте простий вираз із меншою кількістю членів. Новий вираз дорівнює вихідному.

      • У прикладі: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2тобто вихідний вираз спрощено і з ним легше працювати.

    5. Дотримуйтесь порядку виконання операцій при наведенні таких членів.У нашому прикладі було легко навести таких членів. Однак у разі складних виразів, у яких члени поміщені в дужки та присутні дроби та коріння, навести подібні члени не так просто. У цих випадках дотримуйтесь порядку виконання операцій.

      • Наприклад, розглянемо вираз 5(3x – 1) + х((2x)/(2)) + 8 – 3x. Тут було б помилкою одразу визначити 3x та 2x як подібні члени та привести їх, бо спочатку необхідно розкрити дужки. Тому виконайте операції відповідно до їхнього порядку.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x – 5+x2+8 – 3x. Тепер, коли у виразі присутні лише операції складання та віднімання, ви можете навести подібні члени.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

    Винесення множника за дужки

    1. Знайдіть найбільший спільний дільник(НД) всіх коефіцієнтів вираження.НОД - це найбільша кількість, яким діляться все коефіцієнти висловлювання.

      • Наприклад, розглянемо рівняння 9x 2 + 27x - 3. І тут НОД=3, оскільки будь-який коефіцієнт даного виразу ділиться на 3.

    2. Розділіть кожен член виразу на НОД.Отримані члени міститимуть менші коефіцієнти, ніж у вихідному вираженні.

      • У прикладі розділіть кожен член висловлювання на 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Вийшов вираз 3x 2 + 9x - 1. Воно не дорівнює вихідному виразу.

    3. Запишіть вихідний вираз як рівний добутку НОД на отриманий вираз.Тобто покладіть отриманий вираз у дужки, а за дужки винесіть НОД.

      • У прикладі: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

    4. Спрощення дрібних виразів за допомогою винесення множника за дужки.Навіщо просто виносити множник за дужки, як це було зроблено раніше? Потім, щоб навчитися спрощувати складні вирази, наприклад, дробові вирази. У цьому випадку винесення множника за дужки може допомогти позбавитися дробу (від знаменника).

      • Наприклад, розглянемо дрібний вираз (9x 2 + 27x - 3)/3. Скористайтеся винесенням множника за дужки, щоб спростити цей вираз.
        • Винесіть множник 3 за дужки (як ви це робили раніше): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Зверніть увагу, що тепер і в чисельнику, і в знаменнику є число 3. Його можна скоротити, і ви отримаєте вираз: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Так як будь-який дріб, у якого в знаменнику знаходиться число 1, дорівнює просто чисельнику, то вихідний вираз спрощується до: 3x 2 + 9x - 1.

    Додаткові методи спрощення

    1. Спрощення дробових виразів.Як зазначалося вище, якщо і чисельнику, і знаменнику присутні однакові члени (чи навіть однакові висловлювання), їх можна скоротити. Для цього потрібно винести за дужки загальний множник у чисельника чи знаменника, або як чисельника, і у знаменника. Або можна розділити кожен член чисельника на знаменник і таким чином спростити вираз.

      • Наприклад, розглянемо дробовий вираз (5x2+10x+20)/10. Тут просто розділіть кожен член чисельника на знаменник (10). Але врахуйте, що член 5x 2 не ділиться на 10 націло (бо 5 менше 10).
        • Тому запишіть спрощений вираз так: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2) x 2 + x + 2.

    2. Спрощення підкорених виразів.Вирази, що стоять під знаком кореня, називають підкореними виразами. Вони можуть бути спрощені через їхнє розкладання на відповідні множники і наступний винос одного множника з-під кореня.

      • Розглянемо простий приклад: √(90). Число 90 можна розкласти на такі множники: 9 і 10, а з 9 витягти квадратний корінь (3) і винести 3 з-під кореня.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

    3. Спрощення виразів зі ступенями.У деяких виразах є операції множення або поділу членів зі ступенем. У разі множення членів з однією підставою їхнього ступеня складаються; у разі поділу членів з однією підставою їхнього ступеня віднімаються.

      • Наприклад, розглянемо вираз 6x3×8x4+ (x17/x15). У разі множення складіть ступеня, а у разі розподілу – відніміть їх.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 – 15)
        • 48x7+x2
      • Далі наведено пояснення правила множення та поділу членів зі ступенем.
        • Розмноження членів зі ступенями рівносильне множенню членів на себе. Наприклад, так як x 3 = x x x x x і x 5 = x x x x x x x x x x, то x 3 x x 5 = (x x x x x) x (x x x x x x x x x), або x8.
        • Аналогічно, розподіл членів зі ступенями рівносильний поділу членів на себе. x 5 /x 3 = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Так як подібні члени, що перебувають і в чисельнику, і в знаменнику, можуть бути скорочені, то в чисельнику залишається твір двох «х», або x2.

Тепер, коли ми навчилися складати та множити окремі дроби, можна розглядати більше складні конструкції. Наприклад, що, якщо в одному завданні зустрічається і додавання, і віднімання, і множення дробів?

Насамперед треба перевести всі дроби в неправильні. Потім послідовно виконуємо необхідні дії - у тому порядку, як й у звичайних чисел. А саме:

  1. Спочатку виконується зведення в ступінь - позбавтеся всіх виразів, що містять показники;
  2. Потім - розподіл та множення;
  3. Останнім кроком виконується складання та віднімання.

Зрозуміло, якщо у виразі присутні дужки, порядок дій змінюється – все, що стоїть усередині дужок, треба вважати насамперед. І пам'ятайте про неправильні дроби: виділяти цілу частину треба лише тоді, коли всі інші дії вже виконані.

Перекладемо всі дроби з першого виразу в неправильні, а потім виконаємо дії:


Тепер знайдемо значення другого виразу. Тут дробів із цілою частиною немає, але є дужки, тому спочатку виконуємо додавання, і лише потім - поділ. Зауважимо, що 14 = 7 · 2 . Тоді:

Зрештою, вважаємо третій приклад. Тут є дужки та ступінь – їх краще рахувати окремо. Враховуючи, що 9 = 3 · 3 маємо:

Зверніть увагу на останній приклад. Щоб звести дріб у ступінь, треба окремо звести в цей ступінь чисельник і окремо - знаменник.

Можна вирішувати інакше. Якщо згадати визначення ступеня, завдання зведеться до звичайного множення дробів:

Багатоповерхові дроби

Досі ми розглядали лише «чисті» дроби, коли чисельник і знаменник є звичайними числами. Це цілком відповідає визначенню числового дробу, даному в першому уроці.

Але що, якщо в чисельнику чи знаменнику розмістити складніший об'єкт? Наприклад, інший числовий дріб? Такі конструкції виникають досить часто, особливо під час роботи з довгими виразами. Ось кілька прикладів:

Правило роботи з багатоповерховими дробами всього одне: їх треба негайно позбуватися. Видалити «зайві» поверхи досить просто, якщо згадати, що дрібна риса означає стандартну операцію поділу. Тому будь-який дріб можна переписати так:

Користуючись цим фактом і дотримуючись порядку дій, ми легко зведемо будь-який багатоповерховий дріб до звичайного. Погляньте на приклади:

Завдання. Переведіть багатоповерхові дроби у звичайні:

У кожному випадку перепишемо основний дріб, замінивши роздільну межу знаком поділу. Також згадаємо, що будь-яке ціле число представимо у вигляді дробу зі знаменником 1. Тобто. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Отримуємо:

В останньому прикладі перед остаточним множенням дробу було скорочено.

Специфіка роботи з багатоповерховими дробами

У багатоповерхових дробах є одна тонкість, яку треба пам'ятати, інакше можна отримати неправильну відповідь, навіть якщо всі обчислення були правильними. Погляньте:

  1. У чисельнику стоїть окреме число 7, а знаменнику - дріб 12/5;
  2. У чисельнику стоїть дріб 7/12, а знаменнику - окреме число 5.

Отже, для одного запису отримали дві абсолютно різні інтерпретації. Якщо підрахувати, відповіді також будуть різними:

Щоб запис завжди читався однозначно, використовуйте просте правило: риса основного дробу, що розділяє, повинна бути довшою, ніж риса вкладеної. Бажано – у кілька разів.

Якщо дотримуватись цього правила, то наведені вище дроби треба записати так:

Так, можливо, це негарно і займає дуже багато місця. Зате ви вважатимете правильно. Насамкінець - пара прикладів, де дійсно виникають багатоповерхові дроби:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Отже, працюємо з першим прикладом. Перекладемо всі дроби в неправильні, а потім виконаємо операції додавання та поділу:

Аналогічно надійдемо з другим прикладом. Перекладемо всі дроби в неправильні та виконаємо необхідні операції. Щоб не втомлювати читача, я опущу деякі явні викладки. Маємо:


Завдяки тому, що в чисельнику та знаменнику основних дробів коштують суми, правило запису багатоповерхових дробів дотримується автоматично. Крім того, в останньому прикладі ми навмисно залишили число 46/1 у формі дробу, щоб виконати поділ.

Також зазначу, що в обох прикладах дрібна риса фактично замінює дужки: насамперед ми знаходили суму, і лише потім – приватне.

Хтось скаже, що перехід до неправильних дробів у другому прикладі був надмірним. Можливо так воно і є. Але цим ми страхуємо себе від помилок, адже наступного разу приклад може бути набагато складнішим. Вибирайте самі, що важливіше: швидкість чи надійність.

Вчення без примусу

(Путівник у захоплюючий світ математики)

Математику вже потім вчити треба, що вона розум у порядок наводить. (М.В. Ломоносов)

То як же вчити математику?

Це питання цікавить багатьох.

Насамперед потрібно ліквідувати прогалини з минулого. Якщо ви пропустили (не зрозуміли, принципово не вивчали і т.д.) якусь тему, рано чи пізно ви обов'язково наступите на ці граблі. З класичним результатом... Так вже влаштована математика.

Незалежно від того, вивчаєте ви нову тему, або повторюєте стару - освойте математичні визначення та терміни! Зверніть увагу, я не говорю – «вивчіть», а говорю «освойте». Це різні речі. Ви повинні розуміти, наприклад, що таке знаменник, дискримінант або арксинус на простому, навіть примітивному рівні. Що це таке, навіщо це потрібно і як із цим поводитися. Жити стане легше.

Якщо я запитаю, як користуватися пристроєм переходу через щільні обмежені середовища, вам буде незатишно відповідати, вірно? А якщо ви розумієте, що цей самий пристрій - звичайні двері? Щоправда, якось веселіше.

І, звісно, ​​треба вирішувати. Якщо не вмієте вирішувати – нічого страшного. Потрібно намагатись вирішувати, пробувати. Усі колись не вміли. Але хтось намагався і пробував, хай і неправильно, з помилками - той зараз уміє вирішувати. А хто не куштував, не вчився - той так і не навчився.

Ось вам три складові відповіді на запитання: "Як вивчати математику?" Ліквідувати прогалини, освоїти терміни на зрозумілому рівні та осмислено вирішувати завдання.

Якщо вам математика представляється нетрями якихось правил, формул, виразів, у яких неможливо орієнтуватися, то вас втішу. Є там стежки та дороговкази! Обживетеся, звикнете, ще й милуватися цими нетрами почнете…

Математика шкільного курсуне вирішує складних прикладів, оскільки не вміє. Вона добре може вирішити щось виду 5х = 10, квадратне рівняннячерез дискримінант, та й таке ж просте з тригонометрії, логарифмів і т.д. І вся міць математики спрямована на спрощення складних виразів. Саме для цього потрібні правила та формули різних перетворень. Вони дозволяють записувати вихідний вираз у іншому, зручному нам вигляді, не змінюючи його сутності.



«Математика – це мистецтво називати різні речі одним і тим самим ім'ям». (А. Пуанкаре)

Наприклад, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Це все те саме число 8! Тільки записано в різних видах. Який вид вибрати – вирішувати нам! Узгоджуючись із завданням та здоровим глуздом.

Головною дороговказом у математиці є вміння перетворювати висловлювання. Практично будь-яке рішення починається з перетворення вихідного виразу. За допомогою правил і формул, яких зовсім не така шалена кількість, як вам здається.

Ми часто говоримо «Всі формули працюють ліворуч – праворуч і праворуч – ліворуч». Скажімо, (a+b) майже кожен розпише як a+2ab+b. Не кожен (на жаль) зрозуміє, що x + 2x + 1 можна записати, як (x + 1) . А ось це треба вміти! Формули потрібно знати в обличчя! Вміти впізнавати їх у зашифрованих хитрими викладачами виразах, виявляти частини формул, доводити, за потреби, до повних.

Перетворення виразів – річ, спочатку, клопітна. Потребує праці. На стартовому етапі потрібно перевіряти, де можна, правильність перетворення зворотним перетворенням. Розклали на множники – перемножте назад і наведіть подібні. Вийшов вихідний вираз – ура! Знайшли коріння рівняння – підставте у вихідний вираз. Подивіться, що вийшло. І так далі.

Отже, я запрошую вас до дивовижний світматематики. А почнемо наш шлях зі знайомства з дробами, то це, мабуть, саме вразливе місцебільшість школярів.

В добрий шлях!

Заняття 1.

Види дробів. Перетворення.

Хто знає дроби, той сильний, той у математиці відважний!

Дроби бувають трьох видів.

1. Звичайні дроби наприклад: , , , .

Іноді замість горизонтальної межі ставлять похилу межу: 1/2, 3/7, 19/5. Риса, і горизонтальна (вінкуліум), і похила (солідус) означає ту саму операцію: розподіл верхнього числа (числителя) на нижнє (знаменник). І все! Замість риси можна поставити знак поділу - дві точки. 1/2 = 1: 2.

Коли поділ можливо націло, це треба робити. Так, замість дробу 32/8 набагато приємніше написати число 4. Тобто. 32 просто поділити на 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Я вже не говорю про дріб 4/1, який теж дорівнює 4. А якщо вже не ділиться націло, так і залишаємо, у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію робити. Робити із цілого числа дріб. Але про це далі.

2. Десяткові дроби наприклад, 0,5; 3,28; 0,543; 23,32.

3. Змішані числа наприклад: , , , .

Змішані числа практично не використовуються у старших класах. Для того щоб з ними працювати, їх треба переводити в звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться така кількість у завданні і зависніть... На порожньому місці. Але ми згадаємо цю процедуру!

Найбільш універсальні прості дроби. З них і почнемо. До речі, якщо у дробі стоять усілякі логарифми, синуси та інші літери, це нічого не змінює. У тому сенсі, що всі дії з дрібними виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!

Отже, вперед! Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основна властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, дріб не зміниться. Тобто:

А воно нам потрібне, всі ці перетворення? - Запитайте ви. Ще й як! Нині самі побачите. Для початку вживаємо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здається, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на те саме число і всі справи! Помилитись неможливо! Але... людина - творча істота. Помилитись скрізь може! Особливо, якщо доводиться скорочувати не дріб виду 5/10, а дробовий раціональний вираз.

Зазвичай учень не замислюється над розподілом чисельника і знаменника на те саме число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху та знизу! Отут і таїться типова помилка, ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз: .

Що ми робимо? Закреслюємо множник зверху і ступінь знизу! Отримуємо: .

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельникі весь знаменникна множник а.Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити букву а у виразі і отримати знову. Що буде категорично невірно: непробачна помилка. Тому що тут весь чисельникна а вже не ділиться! Цей дріб скоротити не можна.

При скороченні ділити треба весь чисельник та весь знаменник!

Скорочення дробів дуже полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад, 375/1000. І як тепер із нею далі працювати? Без калькулятора? Помножувати, скажімо, складати, у квадрат зводити!? А якщо не полінуватися, та акуратно скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще... поки скорочується. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби на десяткові і, навпаки, без калькулятора! Це важливо на ЦТ, чи не так?

Із десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник та знаменник на 25), отримуємо звичайний дріб: 1/4. Всі. Буває, і нічого не скорочується. Наприклад, 0,3. Це три десятих, тобто. 3/10.

А якщо цілих – не нуль? Нічого страшного. Записуємо весь дріб без усяких ком в чисельник, а знаменник - те, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо до чисельника 317, а до знаменника 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, отже, все. Це відповідь. З усього сказаного корисний висновок: будь-який десятковий дріб можна перетворити на звичайний.

А ось зворотне перетворення, звичайне в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записуватимете!? Уважно читаємо та освоюємо цей процес.

Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 = 0,4. Або 7/100 = 0,07. Або 12/10 = 1,2. А якщо в результаті рішення вийшло 1/2? А відповідь треба записати десятковою.

Згадуємо основна властивість дробу! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на те саме число. На будь-яке, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо цю властивість собі на користь! На що можна примножити знаменник, тобто. 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (менше краще, звичайно...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити також на 5. Отримаємо 1/2 = 0,5. От і все.

Проте знаменники можуть бути різними. Наприклад, дріб 3/16. Тоді можна розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, як у молодших класах вчили. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім погані знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш на хорошу десяткову. І на калькуляторі, і при розподілі куточком ми отримаємо 0,3333333... Звідси ще один корисний висновок. Не кожен звичайний дріб переводиться в десятковий!

Отже, зі звичайними та десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися із змішаними числами. Для роботи з ними їх необхідно перевести в прості дроби. Як це зробити? Можна спіймати п'ятикласника та запитати у нього. Але не завжди п'ятикласник виявиться поряд... Прийде самим. Це не складно. Потрібно знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим самим. Звучить складно, але насправді все просто. Дивимося приклад.

Нехай у задачі ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки міркуємо. Ціла частина – це 1. Одиниця. Дробова частина – 3/7. Отже, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо: чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (числитель дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичному записі:

Чи легко? Тоді закріпіть успіх! Переведіть ці змішані числа , , у прості дроби. У вас має вийти 10/3, 23/10 та 21/4.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як перекладати їх з одного виду до іншого. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі знання?

Будь-який приклад сам нагадує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу прості дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в прості дроби. Це можна зробити. Ну а якщо написано, наприклад, 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми обираємо той шлях вирішення, який зручний нам!

Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм... страшні якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Може, все й налагодиться. Наприклад, доведеться у квадрат зводити число 0,125. Не так просто, якщо від калькулятора не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! В умі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу? 0,125 = 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. Ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо у квадрат (в умі!) і отримуємо 1/64. Всі!

Підіб'ємо підсумки нашого заняття.

1. Дроби бувають трьох видів: прості, десяткові та змішані числа.

2. Десяткові дроби та змішані числа завжди можна перевести у звичайні дроби. Зворотний переклад не завжди можливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього завдання. За наявності різних видів дробів в одному завданні найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

Практичні поради:

1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж помилитися при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видамидробів – переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

А тепер спробуйте застосувати теорію на практиці.

Отже, вирішуємо у режимі іспиту! Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все - перевірили знову з першого до останнього прикладу. І лише потім дивимось відповіді.

Вирішили? Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Відповіді записані безладно, подалі від спокуси, так би мовити...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – рада за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні... Терпіння і працю все перетруть.

У школі VIII виду учні знайомляться з такими перетвореннями дробів: виразом дробу у більших частках (6-й клас), виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом (6-й клас), виразом дробів у однакових частках (7-й клас), виразом змішаного числа неправильним дробом (7-й клас).

Вираз неправильного дробу цілимабо змішаним числом

I Вивчення даного матеріалуслід почати із завдання: взяти 2 шитих кола і кожен з них розділити на 4 рівні частки, підрахувати кількість четвертих часток (рис. 25). Далі пропонується Писати цю кількість дробом (т) Потім четверті частки додаються один до одного і учні переконуються, що вийшов

Перше коло. Отже, -Т = 1 . До чотирьох чвертей додає-послідовно ще по -Т,та учні записують: т=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Вчитель звертає увагу учнів те що, що у всіх розглянутих випадках вони брали неправильну дріб, а результаті перетворення отримували чи ціле, чи змішане число, т. е. висловлювали неправильну дріб цілим чи змішаним числом. Далі треба прагнути до того, щоб учні самостійно визначили, яким арифметичним дією це перетворення можна виконати. Яскравими прикладами, що призводять до відповіді

4 . 8 0 5 ,1 7 ,3 „Л

питанням, є: -2-=! і т = 2, 4" = 1т і т Т " ВИВ °Д : щоб

висловити неправильний дріб цілим чи змішаним числом, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник, приватне записати цілим числом, залишок записати в чисельник, а знаменник залишити той самий. Так як правило громіздке, зовсім не обов'язково, щоб учні заучували його напам'ять. Вони повинні вміти послідовно розповісти про дії у виконанні цього перетворення.

Перед тим як познайомити учнів із виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом, доцільно повторити із нею розподіл цілого числа на ціле із залишком.

Закріпленню нового для учнів перетворення сприяє вирішення завдань життєво-практичного характеру, наприклад:

«У вазі лежить дев'ять четвертих часток апельсина. Скіл| цілих апельсинів можна скласти із цих часток? Скільки четі тих часток залишиться?»

«Для виготовлення кришок для коробочок кожен аркуш карті

35 розрізають на 16 рівних часток. Отримали -^. Скільки цілих!

листів картону розрізали? Скільки шістнадцятих часток відріз! від наступного шматка? І т.д.

Вираз цілого та змішаного числанеправильним дробом

Знайомству учнів із цим новим перетворенням повинні передувати вирішення завдань, наприклад:

«2 рівні по довжині шматка тканини, що мають форму квадрат. > Розрізали на 4 рівні частини. З кожної такої частини пошили хустку. Скільки вийшло хусток? I Запис: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

вин вийшло? Запишіть: було 1 * кола, стало * кола, отже,

Таким чином, спираючись на наочно-практичну основу, розглядаємо ще низку прикладів. У прикладах учням пропонується порівняти вихідне число (змішане або ціле) і число, яке вийшло після перетворення (неправильний дріб).

Щоб познайомити учнів з правилом вираження цілого та змішаного числа неправильним дробом, треба привернути їхню увагу до порівняння знаменників змішаного числа та неправильного дробу, а також до того, як виходить чисельник, наприклад:

1 2"=?, 1 = 2", та ще ^, всього ^ 3 ^=?, 3=-^-, та ще ^, всього

буде -^-. У результаті формулюється правило: щоб змішане число

висловити неправильним дробом, треба знаменник помножити на ціле число, додати до твору чисельник та суму записати чисельником, а знаменник залишити без зміни.

Спочатку потрібно вправляти учнів у вираженні неправильним дробом одиниці, потім будь-якого іншого цілого числа із зазначенням знаменника, а потім змішаного числа:

Основна властивість дробу 1

[віднімання незмінності дробу при одночасному збільшенні

1 зменшенні її членів, тобто чисельника і знаменника, засвоюється учнями школи VIII виду з великими труднощами. Це поняття необхідно вводити на наочному і дидактичному матеріалі,

,"Чим важливо, щоб учні не тільки спостерігали за діяльністю вчителя, а й самі активно працювали з дидактичним матеріалом і на основі спостережень та практичної діяльності приходили до певних висновків, узагальнення.

Наприклад, вчитель бере цілу ріпу, ділить її на 2 рівні мсти та запитує: «Що отримали при розподілі цілої ріпи

навпіл? (2 половини.) Покажіть * ріпи. Розріжемо (розділимо)

половину ріпи ще на 2 рівні частини. Що матимемо? -у. Запишемо:

тт=-т- Порівняємо чисельники та знаменники цих дробів. У скільки

раз збільшився чисельник? Скільки разів збільшився знаменник? У скільки разів збільшились і чисельник, і знаменник? Чи змінився дріб? Чому не змінилася? Якими стали частки: більші чи дрібніші? Збільшилося чи зменшилося число

Потім всі учні ділять коло на 2 рівні частини, кожну половину ділять ще на 2 рівні частини, кожну чверть ще на

2 рівні частини і т. д. і записують: "о^А^тг^тгг і т - Л- Потім встановлюють, у скільки разів збільшився чисельник і знаменник дробу, чи змінився дріб. Потім креслять відрізок і ділять його послідовно на 3 , 6, 12 рівних частинта записують:

1 21 4 При порівнянні дробів -^ і -^, -^ і -^ виявляється, що

чисельник і знаменник дробу тг збільшується в те саме число разів, дріб від цього не змінюється.

Після розгляду ряду прикладів слід запропонувати учням відповісти на запитання: «Чи зміниться дріб, якщо чисельник Деякі знання на тему «Звичайні дроби» виключаються з навчальних програм з математики в корекційних школах VIII виду, але вони повідомляються учням у школах для дітей із затримкою психічного розвитку , у класах вирівнювання для дітей, які зазнають труднощів у навчанні математики. У цьому підручнику параграфи, де дається методика вивчення цього матеріалу,

позначені зірочкою (*).

і знаменник дробу помножити на одне й те саме число (збільшить в одне й те саме число разів)?» Крім того, треба попросити учнів самим навести приклади.

Аналогічні приклади наводяться при розгляді уміння числа і знаменника в одне і те ж число разів (лічильники і знаменник діляться на те саме число). Наприклад, кр>"

( 4 \ ділять на 8 рівних частин, беруть 4 восьмі частки кола I-о-]

укрупнивши частки, беруть четверті, їх буде 2. Укрупнивши частки

4 2 1 беруть другий. Їх буде 1 : ~й = -д--%-Порівнюють послідовник!

чисельники та знаменники цих дробів, відповідаючи на запитання: «В<>скільки разів зменшується чисельник та знаменник? Чи зміниться дріб?».

Хорошим посібником є ​​смуги, розділені на 12, 6, 3 рівні частини (рис. 26).

Н

12 6 3 Мал. 26

а підставі розглянутих прикладів учні можуть дійти невтішного висновку: дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу поділити одне й те число (зменшити у одне й те саме число раз). Потім дається узагальнений висновок - основна властивість дробу: дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу збільшити або зменшити в те саме число разів.

Раціональні вирази та дроби — наріжний пункт усього курсу алгебри. Ті, хто навчаться працювати з такими висловлюваннями, спрощувати їх і розкладати на множники, по суті зможуть вирішити будь-яке завдання, оскільки перетворення виразів є невід'ємною частиною будь-якого серйозного рівняння, нерівності і навіть текстового завдання.

У цьому відеоуроці ми подивимося, як грамотно застосовувати формули скороченого множення для спрощення раціональних виразів та дробів. Навчимося бачити ці формули там, де на перший погляд нічого немає. Заодно повторимо такий нехитрий прийом, як розкладання квадратного тричлену на множники через дискримінант.

Як ви вже напевно здогадалися за формулами за моєю спиною, сьогодні ми вивчатимемо формули скороченого множення, а, точніше, не самі формули, а їх застосування для спрощення та скорочення складних раціональних виразів. Але, перш ніж переходити до вирішення прикладів, познайомимося ближче з цими формулами або згадаємо їх:

  1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ - різниця квадратів;
  2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ — квадрат суми;
  3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — квадрат різниці;
  4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ - сума кубів;
  5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ - Різниця кубів.

p align="justify"> Ще хотів би відзначити, що наша шкільна система освіти влаштована таким чином, що саме з вивченням цієї теми, тобто. раціональних виразів, а також коренів, модулів у всіх учнів виникає та сама проблема, яку я зараз поясню.

Справа в тому, що на початку вивчення формул скороченого множення і, відповідно, дій зі скорочення дробів (це десь 8 клас) вчителі говорять щось таке: «Якщо вам щось незрозуміло, то ви не переживайте, ми до цій темі ще повернемося неодноразово, у старших класах так точно. Ми це ще розберемо». Ну а потім на рубежі 9-10 класу ті самі вчителі пояснюють тим самим учням, які так і не знають, як вирішувати раціональні дроби, приблизно таке: «А де ви були попередні два роки? Це ж вивчалося на алгебрі у 8 класі! Чого може бути незрозумілого? Це ж так очевидно!».

Однак звичайним учням від таких пояснень анітрохи не легше: у них як була каша в голові, так і залишилася, тому прямо зараз ми розберемо два прості приклади, на підставі яких і подивимося, яким чином у справжніх завданнях виділяти ці висловлювання, які приведуть нас до формулам скороченого множення і як потім застосовувати це для перетворення складних раціональних виразів.

Скорочення простих раціональних дробів

Завдання №1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Перше, чого нам потрібно навчитися — виділяти у вихідних виразах точні квадрати і більше високі ступені, на підставі яких ми зможемо потім застосовувати формули. Давайте подивимося:

Перепишемо вираз з урахуванням цих фактів:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Відповідь: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Завдання №2

Переходимо до другого завдання:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Спрощувати тут нічого, тому що в чисельнику стоїть константа, але я запропонував це завдання саме для того, щоб ви навчилися розкладати на множники багаточлени, що містять дві змінні. Якби замість нього був написаний нижче багаточлен, як би ми розклали його?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Давайте розв'яжемо рівняння і знайдемо $x$, які ми зможемо поставити замість точок:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Ми можемо переписати тричлени таким чином:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

З квадратним тричленом ми навчилися працювати — для цього і треба було записати цей відеоурок. А що робити, якщо крім $x$ і константи є ще $y$? Давайте розглянемо як ще одні елементи коефіцієнтів, тобто. перепишемо наш вираз таким чином:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Запишемо розкладання нашої квадратної конструкції:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Якщо ми повернемося до вихідного виразу і перепишемо його з урахуванням змін, то отримаємо наступне:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Що нам дає такий запис? Нічого, тому що його не скоротити, воно ні на що не множиться та не ділиться. Однак як тільки цей дріб виявиться складовоюбільш складного вираження, подібне розкладання буде доречним. Тому як тільки ви бачите квадратний тричлен (неважливо, чи обтяжений додатковими параметрами чи ні), завжди намагайтеся розкласти його на множники.

Нюанси рішення

Запам'ятайте основні правила перетворення раціональних виразів:

  • Усі знаменники і чисельники необхідно розкладати на множники через формули скороченого множення, або через дискримінант.
  • Працювати потрібно за таким алгоритмом: коли ми дивимося і намагаємося виділити формулу скороченого множення, то, перш за все, намагаємося все перевести на максимально можливий ступінь. Після цього виносимо за дужку загальний ступінь.
  • Дуже часто зустрічатимуться вирази з параметром: як коефіцієнти виникатимуть інші змінні. Їх ми бачимо за формулою квадратного розкладання.

Таким чином, як тільки ви бачите раціональні дроби, перше, що потрібно зробити - це розкласти і чисельник, і знаменник на множники (лінійні вирази), при цьому ми використовуємо формули скороченого множення або дискримінант.

Погляньмо на пару таких раціональних виразів і спробуємо їх розкласти на множники.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Переписуємо і намагаємося розкласти кожен доданок:

Давайте перепишемо все наше раціональне вираження з урахуванням цих фактів:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Відповідь: $-1$.

Завдання №2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Давайте розглянемо всі дроби.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\left(x-2 \right))^(2))\]

Перепишемо всю конструкцію з урахуванням змін:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Відповідь: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Нюанси рішення

Отже, чому ми щойно навчилися:

  • Не кожен квадратний тричлен розкладається на множники, зокрема, це стосується неповного квадрату суми чи різниці, які часто зустрічаються як частини кубів суми чи різниці.
  • Константи, тобто. Звичайні числа, які мають при собі змінних, також можуть виступати активними елементами у процесі розкладання. По-перше, їх можна виносити за дужки, по-друге, самі константи можуть бути у вигляді ступенів.
  • Дуже часто після розкладання всіх елементів на множники виникають протилежні конструкції. Скорочувати ці дроби потрібно вкрай акуратно, тому що при закресленні або зверху, або знизу виникає додатковий множник $-1$ - це якраз і є наслідок того, що вони протилежні.

Вирішення складних завдань

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Розглянемо кожне доданок окремо.

Перший дріб:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Весь чисельник другого дробу ми можемо переписати так:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Тепер подивимося на знаменник:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Давайте перепишемо все раціональне вираження з урахуванням вищенаведених фактів:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right)))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2) )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Відповідь: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Нюанси рішення

Як ми ще раз переконалися, неповні квадрати суми або неповні квадрати різниці, які найчастіше зустрічаються в реальних раціональних виразахПроте не варто їх лякатися, тому що після перетворення кожного елемента вони практично завжди скорочуються. Крім того, в жодному разі не варто боятися великих конструкцій у підсумковій відповіді — цілком можливо, що це не ваша помилка (особливо якщо все розкладено на множники), а це автор задумав таку відповідь.

Насамкінець хотілося б розібрати ще один складних приклад, який вже не відноситься безпосередньо до раціональних дробів, проте він містить все те, що чекає на вас на справжніх контрольних та іспитах, а саме: розкладання на множники, приведення до спільного знаменника, скорочення подібних доданків. Саме цим ми зараз і займемося.

Вирішення складного завдання на спрощення та перетворення раціональних виразів

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Спочатку розглянемо і розкриємо першу дужку: в ній ми бачимо три окремі дроби з різними знаменниками, тому перше, що нам необхідно зробити - це привести всі три дроби до спільного знаменника, а для цього кожен з них слід розкласти на множники:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]

Перепишемо всю нашу конструкцію так:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Це результат обчислень із першої дужки.

Розбираємось з другою дужкою:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \) right)\]

Перепишемо другу дужку з урахуванням змін:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Тепер запишемо всю вихідну конструкцію:

\[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Відповідь: $\frac(1)(x+2)$.

Нюанси рішення

Як бачите, відповідь вийшла цілком осудна. Однак зверніть увагу: дуже часто при таких масштабних обчисленнях, коли єдина змінна опиняється лише в знаменнику, учні забувають, що це знаменник і він повинен стояти внизу дробу і пишуть цей вираз у чисельник — груба помилка.

Крім того, хотів би звернути вашу окрему увагу на те, як оформлюються такі завдання. У будь-яких складних обчисленнях всі кроки виконуються за діями: спочатку окремо рахуємо першу дужку, потім окремо другу і лише наприкінці ми об'єднуємо всі частини та рахуємо результат. Таким чином ми страхуємо себе від дурних помилок, акуратно записуємо всі викладки і при цьому анітрохи не витрачаємо зайвого часу, як це може здатися на перший погляд.