Вписані та описані кола
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін.
Окружність називається описаною біля трикутника, якщо вона проходить через усі його вершини.
Теорема 1. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.
Теорема 2. Центр кола, описаного біля трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника
2.Теореми (властивості паралелограма):
· У паралелограмі протилежні сторони рівні та протилежні кути рівні: , , , .
· Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл: , .
· Кути, що прилягають до будь-якої сторони, у сумі дорівнюють .
· Діагоналі паралелограма ділять його на два рівні трикутники.
· Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін: .
Ознаки паралелограма:
· Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
· Якщо у чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.
· Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм.
· Якщо чотирикутник діагоналі, перетинаючи, точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.
· Середини сторін довільного (у тому числі неопуклого або просторового) чотирикутника є вершинами паралелограма Варіньйона.
· Сторони цього паралелограма паралельні відповідним діагоналям чотирикутника. Периметр паралелограма Варіньйона дорівнює сумідовжин діагоналей вихідного чотирикутника, а площа паралелограма Варіньйона дорівнює половині площі вихідного чотирикутника
3. Трапеція- чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві сторони не паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції, дві інші - бічними сторонами.
Висота трапеції- Відстань між прямими, на яких лежать основи трапеції, будь-який загальний перпендикуляр цих прямих.
Середня лінія трапеції- Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін.
Властивість трапеції:
Якщо трапецію вписано окружність, то сума підстав дорівнює сумі бічних сторін: , а середня лінія - напівсумі бічних сторін: .
Рівнобедрова трапеція- Трапеція, у якої бічні сторони рівні. Тоді рівні діагоналі та кути при підставі , .
З усіх трапецій тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, тому що коло можна описати близько чотирикутника, тільки якщо сума протилежних кутів дорівнює .
У рівнобедреній трапеції відстань від вершини однієї основи, до проекції протилежної вершини на пряму, що містить цю основу дорівнює середній лінії.
Прямокутна трапеція- Трапеція, у якої один з кутів при підставі дорівнює .
Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.
Доведення. Нехай E - точка перетину хорд AB та CD (рис. 110). Доведемо, що AE*BE=CE*DE.
Розглянемо трикутники ADE та CBE. Їх кути A і C рівні, так як вони вписані і спираються на ту саму дугу BD. З аналогічної причини ∠D = ∠B. Тому трикутники ADE та CBE подібні (за другою ознакою подібності трикутників). Таким чином, DE/BE = AE/CE, або
AE*BE=CE*DE.
Теорему доведено.
5. Прямокутником може бути паралелограм, квадрат або ромб.
1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:
AB = CD, BC = AD
2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:
3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Усі чотири кути прямокутника прямі:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Діагоналі прямокутника мають однакову довжину:
7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів сторін:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Кожна діагональ прямокутника поділяє прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.
9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:
| AO = BO = CO = DO = | |||
10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника і також є центром описаного кола
11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола
12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. У прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, тому що суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можна лише у окремий випадок прямокутника - квадрат).
6. Теорема Фалеса
Якщо на одній із двох прямих відкласти послідовно кілька відрізків і через їх кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу пряму, то вони відтнуть на другій прямій пропорційні відрізки
Зворотня теорема Фалеса
Якщо прямі, що перетинають дві інші прямі (паралельні чи ні), відсікають на обох із них рівні (або пропорційні) між собою відрізки, починаючи від вершини, то такі прямі паралельні
\[(\Large(\text(Центральні та вписані кути)))\]
Визначення
Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола.
Вписаний кут – це кут, вершина якого лежить на колі.
Градусна міра дуги кола – це градусна міра центрального кута, що на неї спирається.
Теорема
Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.
Доведення
Доказ проведемо у два етапи: спочатку доведемо справедливість затвердження для випадку, коли одна із сторін вписаного кута містить діаметр. Нехай точка \(B\) - вершина вписаного кута \(ABC\) і \(BC\) - діаметр кола:
Трикутник \(AOB\) - рівнобедрений, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) - зовнішній, тоді \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), звідки \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Тепер розглянемо довільний вписаний кут (ABC). Проведемо діаметр кола \(BD\) з вершини вписаного кута. Можливі два випадки:
1) діаметр розрізав кут на два кути \(\angle ABD, \angle CBD\) (для кожного з яких теорема вірна за доведеним вище, отже вірна і для вихідного кута, який є сумою цих двох і означає дорівнює напівсумі дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половинідуги, яку він спирається). Рис. 1.
2) діаметр не розрізав кут на два кути, тоді у нас з'являється ще два нових вписаних кута \(\angle ABD, \angle CBD\) , у яких сторона містить діаметр, отже, для них теорема вірна, тоді вірна і для вихідного кута (який дорівнює різниці цих двох кутів, отже, дорівнює напіврізності дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, на яку він спирається). Рис. 2.
Наслідки
1. Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.
2. Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий.
3. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
\[(\Large(\text(Дотична до кола)))\]
Визначення
Існує три типи взаємного розташуванняпрямий та кола:
1) пряма (a) перетинає окружність у двох точках. Така пряма називається січною. У цьому випадку відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола (рис. 3).
2) пряма (b) перетинає коло в одній точці. Така пряма називається дотичною, які загальна точка \(B\) – точкою дотику. В цьому випадку (d = R) (рис. 4).
Теорема
1. Стосовна кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.
2. Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною до кола.
Слідство
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.
Доведення
Проведемо до кола з точки \(K\) дві дотичні \(KA\) і \(KB\) :
Отже, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) як радіуси. Прямокутні трикутники \(\triangle KAO\) і \(\triangle KBO\) рівні по катету та гіпотенузі, отже, \(KA=KB\) .
Слідство
Центр кола \(O\) лежить на бісектрисі кута \(AKB\), утвореного двома дотичними, проведеними з однієї точки \(K\).
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з кутами)))\]
Теорема про вугілля між січними
Кут між двома січними, проведеними з однієї точки, дорівнює напіврізності градусних заходів більшої і меншої дуг, що висікаються ними.
Доведення
Нехай \(M\) – точка, з якої проведено дві січені як показано на малюнку:
Покажемо, що \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) – зовнішній кут трикутника \(MAD\) тоді \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), звідки \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), але кути \(\angle DAB\) та \(\angle MDA\) – вписані, тоді \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), що й потрібно було довести.
Теорема про вугілля між хордами, що перетинаються.
Кут між двома хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі градусних заходів дуг, що ними висікаються: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Доведення
\(\angle BMA = \angle CMD\) як вертикальні.
З трикутника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Але \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), звідки укладаємо, що \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]
Теорема про вугілля між хордою та дотичною
Кут між дотичною і хордою, що проходить через точку торкання, дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
Доведення
Нехай пряма \(a\) стосується кола в точці \(A\) , \(AB\) - хорда цього кола, \(O\) - її центр. Нехай пряма, що містить \(OB\), перетинає \(a\) у точці \(M\). Доведемо, що \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Позначимо \(\angle OAB = \alpha\). Оскільки \(OA\) та \(OB\) – радіуси, то \(OA = OB\) та \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким чином, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Оскільки \(OA\) – радіус, проведений у точку торкання, то \(OA\perp a\) , тобто \(\angle OAM = 90^\circ\) , отже, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема про дуги, що стягуються рівними хордами
Рівні хорди стягують рівні дуги, менші півкола.
І навпаки: рівні дуги стягуються рівними хордами.
Доведення
1) Нехай \(AB=CD\). Доведемо, що менші півкола дуги .
По трьох сторонах, отже, \(\angle AOB=\angle COD\) . Але т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральні кути, що спираються на дуги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)відповідно, то \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Якщо \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\)з обох боків \(AO=BO=CO=DO\) і кутку між ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Отже, і (AB = CD) .
Теорема
Якщо радіус ділить хорду навпіл, він їй перпендикулярний.
Вірне і зворотне: якщо радіус перпендикулярний хорді, то точкою перетину він ділить її навпіл.
Доведення
1) Нехай \ (AN = NB \). Доведемо, що \(OQ\perp AB\) .
Розглянемо \(\triangle AOB\): він рівнобедрений, т.к. \ (OA = OB \) - Радіуси кола. Т.к. \(ON\) - медіана, проведена до основи, вона також є і висотою, отже, \(ON\perp AB\) .
2) Нехай \(OQ\perp AB\). Доведемо, що (AN = NB) .
Аналогічно \(\triangle AOB\) - рівнобедрений, \(ON\) - висота, отже, \(ON\) - медіана. Отже, \ (AN = NB \).
\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з довжинами відрізків)))\]
Теорема про створення відрізків хорд
Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.
Доведення
Нехай хорди \(AB\) і \(CD\) перетинаються в точці \(E\).
Розглянемо трикутники \(ADE\) та \(CBE\). У цих трикутниках кути \(1\) і \(2\) рівні, тому що вони вписані і спираються на ту саму дугу \(BD\) , а кути \(3\) і \(4\) рівні як вертикальні. Трикутники \(ADE\) та \(CBE\) подібні (за першою ознакою подібності трикутників).
Тоді \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), Звідки \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Теорема про дотичну та січну
Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину.
Доведення
Нехай дотична проходить через точку \(M\) і стосується кола в точці \(A\). Нехай січна проходить через точку \(M\) і перетинає коло в точках \(B\) і \(C\) так що \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Розглянемо трикутники \(MBA\) та \(MCA\) : \(\angle M\) – загальний, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). По теоремі про вугілля між дотичною та січною, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Таким чином, трикутники \(MBA\) і \(MCA\) подібні по двох кутах.
З подоби трикутників \(MBA\) та \(MCA\) маємо: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)що рівносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Слідство
Твір січної, проведеної з точки \(O\), на її зовнішню частину не залежить від вибору січної, проведеної з точки \(O\).
Муніципальний автономний загальноосвітній заклад
середня загальноосвітня школа №45
Розробка уроку на тему
«Теорема про відрізки хорд, що перетинаються»,
геометрія, 8 клас.
першої категорії
МАОУ ЗОШ №45 м. Калінінграда
Борисова Алла Миколаївна.
м. Калінінград
2016 – 2017 навчальний рік
Освітня установа - муніципальний автономний загальноосвітній заклад середня загальноосвітня школа № 45 міста Калінінграда
Предмет – математика (геометрія)
Клас – 8
Тема – «Теорема про відрізки хорд, що перетинаються»
Навчально-методичне забезпечення:
Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх закладів / Л. С. Атанасян та ін, - 17 - е вид., - М.: Просвітництво, 2015 р.
Робочий зошит"Геометрія, 8 клас", автори Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, І.І. Юдіна/ навчальний посібникдля учнів загальноосвітніх закладів/ - М. Освіта, 2016 р.
Дані про програми, в яких виконано мультимедійну складову роботи - Microsoft Office Power Point 2010
Ціль: познайомитися з теоремою про відрізки хорд, що перетинаються, і сформувати навички щодо її застосування для вирішення завдань.
Завдання уроку:
Освітні:
систематизувати теоретичні знання на тему: “Центральні та вписані кути” і вдосконалювати навички розв'язання завдань на цю тему;
сформулювати і довести теорему про відрізки хорд, що перетинаються;
застосувати теорему під час вирішення геометричних завдань;
Розвиваючі:
розвиток пізнавального інтересу до предмета.
формування ключових та предметних компетентностей.
розвиток творчих здібностей.
розвивати в учнів навички самостійної роботита роботи у парах.
Виховні:
виховання пізнавальної активності, культури спілкування, відповідальності, самостійний розвиток зорової пам'яті;
виховувати в учнів самостійність, допитливість, свідоме ставлення до вивчення математики;
обґрунтування вибору методів, засобів та форм навчання;
оптимізувати навчання шляхом розумного поєднання та співвідношення методів, засобів та форм, спрямованих на отримання високого результатуза час уроку.
Обладнання та матеріали для уроку : проектор, екран, презентація для супроводу уроку
Тип уроку: комбінований.
Структура уроку:
1) Учням повідомляється тема уроку та мети, підкреслюється актуальність даної теми(Слайд №1).2) Оголошується план уроку.
1. Перевірка домашнього завдання.
2. Повторення.
3. Відкриття нового знання.
4. Закріплення.
II . Перевірка домашнього завдання.
1) троє учнів доводять самостійно на дошцітеорему про вписаний вугілля.
Перший учень – випадок 1;
Другий учень – випадок 2;
Третій учень – випадок 3.
2) Інші працюють у цей час усно з метою повторення пройденого матеріалу.
1. Теоретичне опитування (фронтально)(Слайд №2) .
Закінчіть пропозицію:
Кут називається центральним, якщо …
Кут називається вписаним, якщо …
Центральний кут вимірюється...
Вписаний кут вимірюється …
Вписані кути рівні, якщо …
Вписаний кут, що спирається на півколо …
2. Розв'язання задач на готових кресленнях(слайд №3) .
Вчитель у цей час індивідуально перевіряє вирішення домашнього завдання у деяких учнів.
Доказ теорем заслуховується всім класом після перевірки правильності розв'язання задач на готових кресленнях.
II I. Введення нового матеріалу.
1) Робота у парах.Розв'язати задачу 1 з метою підготовки учнів до сприйняття нового матеріалу(Слайд №4).
2) Доказ теореми про відрізки хорд, що перетинаються, проводимо у вигляді задачі(Слайд №5).
Питання для обговорення(Слайд №6) :
Що ви можете сказати про кути CAB та CDB?
Про кутах AEC і DEB ?
Якими є трикутники ACE та DBE?
Чому дорівнює відношення їхніх сторін, які є відрізками дотичних до хорд?
Яку рівність можна записати з рівності двох відносин, використовуючи основну властивість пропорції?
Спробуйте сформулювати твердження, яке ви довели. На дошці і в зошитах записати формулювання і конспект доказу теореми про відрізки хорд, що перетинаються. До дошки викликається одна людина(Слайд №7).
I V. Фізкультхвилинка.
Один учень виходить до дошки та пропонує прості вправи для шиї, рук та спини.
V . Закріплення вивченого матеріалу.
1) Первинне закріплення.
1 уч-сяз коментуваннямвирішує№ 667 на дошці
Рішення.
1) АВА 1 - Прямокутний, так як вписаний кутА 1 ВА спирається на півколо.
2) 5 = 3 як вписані та спираються на одну дугуАВ 1 .
3) 1 = 90 ° -5, 4 = 90 ° -3, але3 = 5, тому1= 4.
4) А 1 ВВ 1 – рівнобедрений, тодіНД = В 1 З .
5) За теоремою про створення відрізків хорд, що перетинаються
АС · А 1 З = ВС · В 1 З.
6) (см);
Відповідь:
2) Самостійне рішеннязадач.
1. 1-а група учнів («слабкі» учні). Вирішують самостійно№ 93, 94 («Робочий зошит», авт. Л.С. Атанасян, 2015 р), вчитель за необхідності консультує учнів, аналізує результати виконання учнями завдань
2. 2-а група учнів (Інші учні). Робота над нестандартним завданням. Працюють самостійно (за потребою користуються допомогою вчителя чи сусіда по парті). Один учень працює на відкидній дошці. Після закінчення роботи взаємоперевірка.
Завдання
.
ХордиАВ
іСD
перетинаються у точціS
, до чогоAS:SB = 2:3, DS = 12
см,SC = 5см
, знайтиАВ
.
Рішення
.
Оскільки співвідношенняAS:SB = 2:3
, то нехай довжинаAS = 2x, SB = 3x
Відповідно до властивості хордAS ∙ SB = CS ∙ SD
тоді
2х ∙ 3х = 5 ∙ 12
6х
2
= 60
х
2
= 10
x = √10.
Звідки
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10
Відповідь
:
5√10
VI . Підбиття підсумків уроку, рефлексія діяльності
Підбиття підсумків уроку, мобілізація учнів на самооцінку своєї діяльності;
Отже, що ви дізналися сьогодні на уроці?
Чого навчилися сьогодні на уроці?
Оціни свою діяльність за урок з 5 – бальної системи.
Виставлення оцінок за урок.
VIII . Домашнє завдання
п. 71 (вивчити теорію),
№ 659, 661, 666 (б, в).
Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що розташовані на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається з внутрішнього простору, то кола воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кру(г)жність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.
Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).
Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.
Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R
Довжина колаобчислюється за формулою: C=2\pi R
Площа кола: S=\pi R^(2)
Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.
Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.
Довжину дугиможна знайти за формулою:
- Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R
Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.
Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Стосовно кола
Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.
Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають сікучою.
Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.
Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.
AC = CB
Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка що січе на його зовнішню частину.
AC^(2) = CD \cdot BC
Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Кути в колі
Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.
Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирається на діаметр, вписаний кут, прямий.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.
Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.
Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які укладаються всередині кута.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписане коло
Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.
У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.
Окружність може бути вписаною над кожен многоугольник.
Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:
S = pr,
p - напівпериметр багатокутника,
r - радіус вписаного кола.
Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:
r = \frac(S)(p)
Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.
AB + DC = AD + BC
У кожному з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутівфігури, що лежатиме центр цього вписаного кола.
Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:
r = \frac(S)(p) ,
де p = \frac(a + b + c)(2)
Описане коло
Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.
У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде перебувати центр описаного кола.
Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.
Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одне-єдине. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.
Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = frac(abc)(4 S)
a, b, c - Довжини сторін трикутника,
S – площа трикутника.
Теорема Птолемея
Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.
Теорема Птолемея говорить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Частина 3. Окружності
I. Довідкові матеріали.
I. Властивості дотичних, хорд та січучих. Вписані та центральні кути.
Окружність та коло
1.Якщо з однієї точки, що лежить поза колом, провести до неї дві дотичні, то
а) довжини відрізків від цієї точки до точок торкання рівні;
б) кути між кожною дотичною та січною, що проходить через центр кола, рівні.
2. Якщо з однієї точки, що лежить поза коло, провести до неї дотичну і січну, то квадрат дотичної дорівнює твору січе на її зовнішню частину
3. Якщо дві хорди перетинаються в одній точці, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої.
4. Довжина кола С=2πR;
5. Довжина дуги L =πRn/180˚
6. Площа кола S=πR 2
7. Площа сектора S c=πR 2 n/360
Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.
Теорема 1.Міра кута між дотичною і хордою, що мають загальну точку на колі, дорівнює половині градусної міри дуги, укладеної між його сторонами.
Теорема 2(про дотичній та січній). Якщо з точки М до кола проведені дотична і січна, то квадрат відрізка дотичної від точки М до точки торкання дорівнює добутку довжин відрізків від точки М до точок її перетину з колом.
Теорема 3. Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток довжин відрізків однієї хорди дорівнює добутку довжин відрізків іншої хорди, тобто якщо хорди АВ та СД перетинаються у точці М, то АВ МВ = СМ МД.
Властивості хорд кола:
Діаметр, перпендикулярний хорді, поділяє її навпіл. Назад: діаметр, що проходить через середину хорди, перпендикулярний їй.
Рівні хорди кола знаходяться на рівній відстані від центру кола. Назад: на рівній відстані від центру кола знаходяться рівні хорди.
Дуги кола, укладені між паралельними хордами, рівні.
кола, що мають спільну точку і загальну дотичну в цій точці, називаються) що стосуються Якщо кола розташовані по один бік від загальної дотичної, то вони називаються що торкаються внутрішньо., а якщо по різні боки від дотичної, то вони називаються зовні.
II. Додаткові матеріали
Властивості деяких кутів.
Теорема.
1) Кут (АВС), вершина якого лежить усередині кола, є напівсумою двох дуг (АС І DE), з яких одна укладена між його сторонами, а інша – між продовженнями сторін.
2) кут (АВС), вершина якого лежить поза коло і сторони перетинаються з колом, є напіврізністю двох дуг (АС та ED), укладених між його сторонами
Доведення .
Провівши хорду АD (на тому і іншому кресленні), ми отримаємо ∆АВD,
щодо якого розглянутий кут АВСслужить зовнішнім, що його вершина лежить усередині кола, і внутрішнім, що його вершина лежить поза кола. Тому в першому випадку: ; у другому випадку:
Але кути АDС та DAE, як вписані, вимірюються половинами дуг АС та DE; тому кут АВС вимірюється: у першому випадку сумою: ½ ﬞ AС+1/2 ﬞ DE, яка дорівнює 1
/
2
(ﮟ
AC+ﮞ
DE),а в другому випадку різницею 1 / 2 ﬞ AС- 1 / 2 ﬞ DE, яка дорівнює 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE). Теорема. Кут (АCD), складений дотичною та хордою, вимірюється половиною дуги, укладеної всередині нього. Тепер візьмемо загальний випадок, коли хорда CD не проходить через центр. Провівши тоді діаметр РЄ, ми матимемо: У Пропорційні лінії у колі Теорема.Якщо через точку (М), взяту всередині кола, проведена якась хорда (АВ) і діаметр (CD), то добуток відрізків хорди (АМ МВ) дорівнює добутку відрізків діаметра (МВ МС). Доведення. П АМ: МD = МС: МВ, звідки АМ МВ = МD МС. Наслідок.Якщо через точку (М), взяту всередині кола, проведено скільки завгодно хорд (АВ, EF, KL,...), то твір відрізків кожної хорди є постійним для всіх хорд, тому що для кожної корди цей твір дорівнює добутку відрізків діаметра CD, що проходить через взяту точку М. Теорема.Якщо з точки (М), взятої поза коло, проведено до нього якась січна (МА) і дотична (МС), то добуток січе на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичної (передбачається, що січна обмежена другою точкою перетину, а дотична - точкою торкання). Проведемо допоміжні хорди АС та ПС; тоді отримаємо два трикутники МАС і МВС (покриті малюнку штрихами), які подібні, оскільки вони кут М загальний і кути МСВ і САВ рівні, оскільки кожен їх вимірюється половиною дуги ВС. Візьмемо до ∆МАС сторони МА та МС; подібними сторонами в МВС будуть МС і МВ; тому МА: МС = МС: МВ, звідки МА МВ = МС 2 . Наслідок.Якщо з точки (М), взятої поза коло, проведено до нього скільки завгодно січучих (МА, MD, МЕ,...), то добуток кожної сіючої на її зовнішню частину є постійним для всіх сіючих, тому що для кожної сіючої це добуток дорівнює квадрату дотичної (МС 2), проведеної з точки М. III. Вступні завдання. Завдання 1. В Рішення 1) Радіус кола, описаного біля трапеції, – те саме, що й радіус кола, описаної біля трикутника, вершинами якого є будь-які три вершини трапеції. Знайдемо радіус R кола, описаного біля трикутника ABD. 2)
ABCD– рівнобедрена трапеція, тому AK = MD, KM =. В ∆ ABK AK
= AB cos A = · cos 60 ° =. Значить, BK = AB sin A
=
· = . 3) За теоремою косінусів у ∆ ABD
BD 2
= AB 2
+ AD 2
– 2AB ·
AD cos A. BD 2 = () 2 + (3) 2 - 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 - 3 · 21 = 7 · 21; 4) S(∆ ABD)
= AD ·
BK; S(∆ ABD) = · · 3 = . Завдання 2. У рівносторонній трикутник ABCвписано коло та проведено відрізок NM, M
AC, N
BC, який стосується її та паралельний стороні AB. Визначте периметр трапеції AMNBякщо довжина відрізка MNдорівнює 6. Рішення. 1 2) MN- дотична до кола, P– точка торкання, отже, OD = 3) ∆CMN ∾
∆ CAB, отже, ∆ CMN– рівносторонній CM = CN = MN = = 6; P. А також 3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12. 4) P ( AMNB)
= AM + MN
+ BN + AB
= 18 + 6 + 12 + 12 = 48. Біля кола описана рівнобока трапеція, середня лінія якої дорівнює 5, а синус гострого кута при підставі дорівнює 0,8. Знайдіть площу трапеції. Рішення. FP– середня лінія трапеції, отже, BC + AD = 2FP. Тоді AB = CD = FP = 5. ∆ABK- Прямокутний, BK = AB sin A; BK= 5 · 0,8 = 4. S ( ABCD)
= FP · BK= 5 · 4 = 20. Відповідь:
20. Вписане коло трикутника АВС стосується сторони ВС у точці К, а вписана – у точці L. Доведіть, що CK=BL=(a+b+c)/2 Доказ: нехай М і N - точки дотику вписаного кола зі сторонами АВ і ВС. Тоді BK+AN=BM+AM=AB тому СК+CN= a+b-c. Нехай Р і Q – точки дотику до вписаного кола з продовженнями сторін АВ і ВС. Тоді АР=АВ+ВР=АВ+ВL та AQ=AC+CQ=AC+CL. Тому AP+AQ=a+b+c. Отже, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2. а) Продовження бісектриси кута В трикутника АВС перетинає описане коло в точці М. Про - центр вписаного кола. О В –центр вписаного кола, що стосується сторони АС. Доведіть, що точки А, С, О та О В лежать на колі з центром М. Д б) Точка О, що лежить всередині трикутника АВС, має ту властивість, що прямі АТ, ВО, СО проходять через центри описаних кіл трикутників ВСО, АСО, АВО. Доведіть, що О – центр вписаного кола трикутника АВС IV. Додаткові завдання №1. Окружність, що стосується гіпотенузи прямокутного трикутника та продовжень його катетів, має радіус R. Знайдіть периметр трикутника Р 1) ∆OAH =∆OAF по катету та гіпотенузі =>HA=FA 2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG 3) P ABC = AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R №2. Крапки C та D лежать на колі з діаметром АВ. АС ∩ BD = Р, а AD ∩ BC = Q. Доведіть, що прямі AB та PQ перпендикулярні Доказ: A №3. У паралелограмі ABCD діагональ AC більша за діагональ BD; М – точка діагоналі AC, BDCM – вписаний чотирикутник. Доведіть, що пряма BD є спільною щодо описів кіл трикутників ABM і ADM П №4. Н Відповідно до вступного завдання 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 та СN=(BC+CE-BE)/2. Враховуючи, що АС=ВС, отримуємо МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 №5. Довжини сторін трикутника АВС утворюють арифметичну прогресію, причому a Нехай М середина сторони АС, N- точка торкання вписаного кола зі стороною ВС. Тоді BN=р–b (вступне завдання 4), тому BN=AM, т.к. p=3b/2 за умовою. Крім того, V
. Завдання для самостійного вирішення
№1. Чотирьохкутник ABCD має ту властивість, що існує коло, вписане в кут BAD і що стосується продовжень сторін ВС і CD. Доведіть, що AB+BC=AD+DC. №2. Загальна внутрішня дотика до кіл з радіусами R і r перетинає їх загальні зовнішні дотичні в точках А і В і стосується одного з кіл у точці С. Доведіть, що АС∙CB=Rr №3. У трикутнику АВС кут С прямий. Доведіть, що r =(a+b-c)/2 та r c =(a+b+c)/2 №4. Два кола перетинаються в точках А та В; MN – загальна до них. Доведіть, що пряма АВ поділяє відрізок MN навпіл. №5. Продовження бісектрис кутів трикутника АВС перетинають описане коло в точках А1, В1, С1. М - точка перетину бісектрис. Доведіть, що: а) MA·MC/MB 1 =2r; b) MA 1 · MC 1 /MB = R №6. Кут, складений двома дотичними, проведеними з однієї точки кола, дорівнює 23 про 15`. Обчислити дуги, укладені між точками торкання №7. Обчислити кут, складений дотичною та хордою, якщо хорда ділить коло на дві частини, що відносяться як 3:7. VI. Контрольні завдання. Варіант 1. Точка М знаходиться поза коло з центром О. З точки М проведено три січні: перша перетинає коло в точках В і А (М-В-А), друга – у точках D і C (М-D-C), а третя перетинає коло в точках F та E (M-F-E) і проходить через центр кола, АВ = 4, ВМ = 5, FM = 3. Доведіть, якщо АВ = СD, то кути АМЕ і СМЕ рівні. Знайдіть радіус кола. Знайдіть довжину дотичної, проведеної з точки М до кола. Знайдіть кут АЄВ. Варіант 2. АВ – діаметр кола з центром О. Хорда ЕF перетинає діаметр у точці К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5. Знайдіть радіус кола. Знайдіть відстань від центру кола до хорди ВF. Знайдіть гострий кут між діаметром АВ та хордою EF. Чому дорівнює хорда FМ, якщо ЕМ – паралельна АВ? Варіант 3. У прямокутний трикутник АВС ( Варіант 4. АВ – діаметр кола з центром О. Радіус цього кола дорівнює 4, 1 – середина ОА. З центром у точці О 1 проведено коло, що стосується більшого кола в точці А. Хорда СD більшого кола перпендикулярна до АВ і перетинає АВ у точці К. Е і F -точки перетину СD з меншим колом (С-Е-К-F-D), АК = 3. Знайдіть хорди АЕ та АС. Знайдіть градусну міру дуги АF та її довжину. Знайдіть площу частини меншого кола, відтятою хордою ЕF. Знайдіть радіус кола, описаного біля трикутника АСЕ.
Припустимо спочатку, що хорда CD проходить через центр О, тобто. що хорда є діаметр. Тоді кут АСD-
прямий і, отже, дорівнює 90 °. Але і половина дуги СmD також дорівнює 90 °, так як ціла дуга СmD, становлячи півколо, містить 180 °. Значить теорема виправдовується в цьому окремому випадку.
гол ACE, як складений дотичною та діаметром, вимірюється, за доведеним, половиною дуги CDE; Кут DCE, як вписаний, вимірюється половиною дуги CnED: різниця в доказі тільки та, що цей кут треба розглядати не як різницю, а як суму прямого кута ВСІ та гострого кута ECD.
роведя дві допоміжні хорди АС і ВD, ми отримаємо два трикутники АМС і MBD (покриті на малюнку штрихами), які подібні, так як у них кути А і D рівні, як вписані, що спираються на ту саму дугу ВС, кути С і У рівні, як вписані, що спираються на ту саму дугу AD. З подоби трикутників виводимо:
Доведення.
рівнобедреної трапеції з гострим кутом в 60° бічна сторона дорівнює , а менша основа - . Знайдіть радіус кола, описаного біля цієї трапеції.
AD
=
.
BD
=
.
)
∆ABC- рівносторонній, точка O- Точка перетину медіан (бісектрис, висот), значить, CO :
OD = 2 :
1.
= OPтоді CD= 3 · CP.
Оскільки коло вписано в чотирикутник, то BC + AD = AB + CD. Цей чотирикутник – рівнобока трапеція, отже BC + AD = 2AB.
оказ: Так як
Доказ: Нехай Р-центр описаного кола трикутника АСО. Тоді
ешение: HOGB- квадрат зі стороною R
D - діаметр => вписаний кут ADB = 90 o (як спирається на діаметр) => QD / QP = QN / QA; ∆QDP подібний ∆QNA по 2-м сторонам і куту між ними => QN перпендикулярна AB .
усть О – точка перетину діагоналей АС та ВD. Тоді MO ·
OC=BO ·
ОD. Тоді як ОС = ОА і ВО = ВD, то МО ·
ОА=ВО 2 та МО ·
ОА = DO 2 . Ці рівності означають, що ОВ стосується описаного кола трикутника ADM
а на підставі АВ рівнобедреного трикутника АВС взята точка Е, і в трикутники АСЕ та Аве вписані кола, що стосуються відрізка РЄ у точках М і N . Знайдіть довжину відрізка MN, якщо відомі довжини АЕ та ВЕ.
