для вирішення математики. Швидко знайти розв'язання математичного рівнянняв режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє вирішити рівняннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентного рівняння онлайн. Під час вивчення практично будь-якого розділу математики різних етапах доводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення рівнянь онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчне рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівнянняз невідомими параметрами в режимі онлайн. Рівнянняслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних рівняньможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини рівняньможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді рівняньі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне рівняння, тригонометричне рівнянняабо рівняннямістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання рівнянь. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором розв'язання алгебраїчних рівнянь онлайн, тригонометричних рівнянь онлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайнабо рівняньіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження коріння різних математичних рівняньресурсу www.. Вирішальна рівняння онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішення рівняньна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння та миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити рівняння онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні рівнянь онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо рівнянняіз невідомими параметрами.
Нагадаємо основні властивості ступеня. Нехай а > 0, b > 0, n, m – будь-які дійсні числа. Тоді
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, якщо a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m, якщо 0
У практиці часто використовують функції виду y = a x , де a - задане позитивне число, x - змінна. Такі функції називають показовими. Ця назва пояснюється тим, що аргументом показової функції є показник ступеня, а основою ступеня – задане число.
Визначення.Показовою функцією називається функція виду y = a x , де а - задане число, a > 0, (a \ neq 1 \)
Показова функція має такі властивості
1) Область визначення показової функції - безліч всіх дійсних чисел.
Ця властивість випливає з того, що ступінь a x де a > 0 визначено для всіх дійсних чисел x.
2) Безліч значень показової функції - безліч всіх позитивних чисел.
Щоб переконатися в цьому, потрібно показати, що рівняння a x = b де а > 0, \(a \neq 1\), не має коренів, якщо \(b \leq 0\), і має корінь при будь-якому b > 0 .
3) Показова функція у = a x є зростаючою на безлічі всіх дійсних чисел, якщо a > 1, і спадною, якщо 0 Це випливає з властивостей ступеня (8) і (9)
Побудуємо графіки показових функцій у = a x при a > 0 і за 0 Використавши розглянуті властивості відзначимо, що графік функції у = a x при a > 0 проходить через точку (0; 1) і вище осі Oх.
Якщо х 0.
Якщо x > 0 і |х| збільшується, то графік швидко піднімається нагору.
Графік функції у = a x при 0 Якщо х > 0 і збільшується, графік швидко наближається до осі Ох (не перетинаючи її). Таким чином, вісь Ох є горизонтальною асимптотою графіка.
Якщо х 
Показові рівняння
Розглянемо кілька прикладів показових рівнянь, тобто. рівнянь, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Рішення показових рівнянь часто зводиться до розв'язання рівняння a x = a b де а > 0, \(a \neq 1\), x - невідоме. Це рівняння вирішується за допомогою властивості ступеня: ступеня з однаковою основою а > 0, (a \neq 1 \) рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх показники.
Розв'язати рівняння 2 3x 3 x = 576
Оскільки 2 3x = (2 3) x = 8 x , 576 = 24 2 , то рівняння можна записати у вигляді 8 x 3 x = 24 2 або у вигляді 24 x = 24 2 , звідки х = 2.
Відповідь х = 2
Розв'язати рівняння 3 х + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Виносячи в лівій частині за дужки загальний множник 3 х - 2, отримуємо 3 х - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 х - 2 25 = 25,
звідки 3 х – 2 = 1, x – 2 = 0, x = 2
Відповідь х = 2
Розв'язати рівняння 3 х = 7 х
Оскільки \(7^x \neq 0 \) , то рівняння можна записати у вигляді \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), звідки \(\left(\frac(3)( 7) \right) ^x = 1 \), х = 0
Відповідь х = 0
Розв'язати рівняння 9 х - 4 3 х - 45 = 0
Заміною 3 х = t дане рівняння зводиться до квадратного рівняння t 2 - 4t - 45 = 0. Вирішуючи це рівняння, знаходимо його коріння: t 1 = 9, t 2 = -5, звідки 3 х = 9, 3 х = -5 .
Рівняння 3 х = 9 має корінь х = 2, а рівняння 3 х = -5 немає коренів, оскільки показова функція неспроможна набувати негативні значення.
Відповідь х = 2
Розв'язати рівняння 3 2 х + 1 + 2 5 x - 2 = 5 х + 2 х - 2
Запишемо рівняння у вигляді
3 2 х + 1 - 2 x - 2 = 5 х - 2 5 х - 2, звідки
2 х - 2 (3 2 3 - 1) = 5 х - 2 (5 2 - 2)
2 х - 2 23 = 5 х - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Відповідь х = 2
Вирішити рівняння 3 | х - 1 | = 3 | x + 3 |
Оскільки 3 > 0, \(3 \neq 1\), вихідне рівняння рівносильне рівнянню |x-1| = | x +3 |
Зводячи це рівняння у квадрат, отримуємо його наслідок (х - 1) 2 = (х + 3) 2 , звідки
х 2 - 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Перевірка показує, що х = -1 – корінь вихідного рівняння.
Відповідь х = -1
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Для початку необхідно шляхом вибору знайти один корінь. Зазвичай він є дільником вільного члена. У цьому випадку дільниками числа 12 є ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.Почнемо їх підставляти по черзі:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 є коренем багаточлена
Ми знайшли один з коренів багаточлена. Коренем багаточлена є 2, отже вихідний многочлен повинен ділитися на x - 2. Для того, щоб виконати поділ багаточленів, скористаємося схемою Горнера:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена. У першому осередку другого рядка ставиться знайдений нами корінь 2. У другому рядку пишуться коефіцієнти багаточлена, який вийде внаслідок розподілу. Вони вважаються так:
|
У другому осередку другого рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку першого рядка. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Останнє число - це залишок від розподілу. Якщо він дорівнює 0, то ми всі правильно порахували.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Але це ще не кінець. Можна спробувати розкласти таким же способом багаточлен 2x3+9x2+7x-6.
Знову шукаємо коріння серед дільників вільного члена. Дільниками числа -6 є ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не є коренем багаточлена
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не є коренем багаточлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 є коренем багаточлена
Напишемо знайдений корінь у нашу схему Горнера і почнемо заповнювати порожні осередки:
|
У другому осередку третього рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку другого рядка. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на множники:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Багаточлен 2x 2 + 5x - 3також можна розкласти на множники. Для цього можна вирішити квадратне рівняння через дискримінант, а можна пошукати корінь серед дільників числа -3. Так чи інакше, ми дійдемо висновку, що корінням цього багаточлена є число -3
|
До другого осередку четвертого рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку третього рядка. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на лінійні множники:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
А корінням рівняння є.
Цілі:
- Систематизувати та узагальнити знання та вміння на тему: Розв'язання рівнянь третього та четвертого ступеня.
- Поглибити знання, виконавши ряд завдань, частина з яких не знайома або за своїм типом, або способом вирішення.
- Формування інтересу до математики через вивчення нових розділів математики, виховання графічної культури через побудову графіків рівнянь.
Тип уроку: комбінований.
Обладнання:графопроектор.
Наочність:таблиця "Теорема Вієта".
Хід уроку
1. Усний рахунок
а) Чому дорівнює залишок від розподілу многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двочлен х-а?
б) Скільки коренів може мати кубічне рівняння?
в) За допомогою чого ми вирішуємо рівняння третього та четвертого ступеня?
г) Якщо b парне число у квадратному рівнянні, то чому дорівнює Д і х 1; х 2
2. Самостійна робота (у групах)
Скласти рівняння, якщо відоме коріння (відповіді до завдань закодовано) Використовується «Теорема Вієта»
1 група
Коріння: х1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Скласти рівняння:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
з = -2-3 +6 +6-12-18 = -23; з = -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
е=1(-2)(-3)6=36
х 4 -2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0(Це рівняння вирішує потім 2 група на дошці)
Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 задовольняє рівняння, отже =1 корінь рівняння. За схемою Горнера
р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36
р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, х 2 =-2
р 2 (x) = х 2 -3х -18 = 0
х 3 =-3, х 4 = 6
Відповідь: 1;-2;-3;6 сума коренів 2 (П)
2 група
Коріння: х1 = -1; х 2 = х 3 = 2; х 4 =5
Скласти рівняння:
B=-1+2+2+5-8; b = -8
с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; з = 15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
е=2(-1)2*5=-20;е=-20
8+15+4х-20=0 (це рівняння вирішує на дошці 3 група)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
р 4 (1) = 1-8 +15 +4-20 = -8
р 4 (-1) = 1 +8 +15-4-20 = 0
р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20
р 3 (2) = 8 -36 +48 -20 = 0
р 2 (x) = х 2 -7 х +10 = 0 х 1 = 2; х 2 = 5
Відповідь: -1; 2; 2; 5 сума коренів 8 (Р)
3 група
Коріння: х1 = -1; х 2 = 1; х 3 =-2; х 4 =3
Скласти рівняння:
В=-1+1-2+3=1;в=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
е=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3- 7х 2 + х + 6 = 0(Це рівняння вирішує потім на дошці 4 група)
Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 6.
р = ±1;±2;±3;±6
р 4 (1) = 1-1-7 +1 +6 = 0
р 3 (x) = х 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
р 2 (x) = х 2 -х -6 = 0; х 1 = -2; х 2 =3
Відповідь:-1;1;-2;3 Сума коренів 1(О)
4 група
Коріння: х1 = -2; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 =-3
Скласти рівняння:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36
х 4 +4х 3 - 5х 2 - 36х -36 = 0(Це рівняння вирішує потім 5 група на дошці)
Рішення. Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -36
р = ±1;±2;±3…
р(1) = 1 + 4-5-36-36 = -72
р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0
р 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3
Відповідь: -2; -2; -3; 3 Сума коренів-4 (Ф)
5 група
Коріння: х1 = -1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 =-4
Скласти рівняння
х 4+ 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0(Це рівняння вирішує потім 6група на дошці)
Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа 24.
р = ±1;±2;±3
р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
р 3 (х) = x-3 + 9х 2 + 26x + 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О
р 2 (х) = x 2 + 7x + 12 = 0
Відповідь:-1;-2;-3;-4 сума-10 (І)
6 група
Коріння: х1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Скласти рівняння
B=1+1-3+8=7;b=-7
з = 1 -3 +8-3 +8-24 = -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
х 4 - 7х 3- 13х2+43x - 24 = 0 (Це рівняння вирішує потім 1 група на дошці)
Рішення . Цілі коріння шукаємо серед дільників числа -24.
р 4 (1) = 1-7-13 +43-24 = 0
р 3 (1) = 1-6-19 +24 = 0
р 2 (x) = х 2 -5x - 24 = 0
х 3 =-3, х 4 = 8
Відповідь: 1; 1; -3; 8 сума 7 (Л)
3. Розв'язання рівнянь із параметром
1. Розв'язати рівняння х 3 + 3х 2 + mх – 15 = 0; якщо один із коренів дорівнює (-1)
Відповідь записати в порядку зростання
R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0
х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0
За умовою х 1 = – 1; Д=1+15=16
Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0
х 2 = -1-4 = -5;
х 3 = -1 + 4 = 3;
Відповідь: - 1; -5; 3
У порядку зростання: -5;-1;3. (Ь Н И)
2. Знайти все коріння багаточлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, якщо залишки від його поділу на двочлени х-1 та х +2 рівні.
Рішення: R = Р 3 (1) = Р 3 (-2)
Р 3 (1) = 1-3 + а-2а + 6 = 4-а
Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а
x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(х-3) (х 2 -6) = 0
Твір двох множників дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли хоча б один із цих множників дорівнює нулю, а інший при цьому має сенс.
2 група. Коріння: -3; -2; 1; 2;3 група. Коріння: -1; 2; 6; 10;
4 група. Коріння: -3; 2; 2; 5;
5 група. Коріння: -5; -2; 2; 4;
6 група. Коріння: -8; -2; 6; 7.
