Раніше за програмою учні отримали уявлення про розв'язання тригонометричних рівнянь, ознайомилися з поняттями арккосинусу та арксинусу, прикладами розв'язків рівнянь cos t = a та sin t = a. У цьому уроці розглянемо рішення рівнянь tg x = a і ctg x = a.
На початку вивчення даної теми розглянемо рівняння tg x = 3 і tg x = - 3. Якщо рівняння tg x = 3 вирішуватимемо за допомогою графіка, то побачимо, що перетин графіків функцій y = tg x і y = 3 має безліч рішень, де x = x 1 + πk. Значення x 1 - це координата x точки перетину графіків функцій y = tg x і y = 3. Автор вводить поняття арктангенса: arctg 3 це число, tg якого дорівнює 3, і число належить інтервалу від -π/2 до π/2. Використовуючи поняття арктангенса, розв'язання рівняння tg x = 3 можна записати у вигляді x = arctg 3 + πk.
За аналогією вирішується рівняння tg x = - 3. За побудованими графіками функцій y = tg x і y = - 3 видно, що точки перетину графіків, а отже, і розв'язками рівнянь, буде x = x 2 + πk. За допомогою арктангенсу рішення можна записати як x = arctg(-3) + πk. На наступному малюнку побачимо, що arctg (-3) = arctg 3.
Загальне визначення арктангенса виглядає так: арктангенсом а називається таке число з проміжку від -π/2 до π/2, тангенс якого дорівнює а. Тоді розв'язком рівняння tg x = a є x = arctg a + πk.
Автор наводить приклад 1. Знайти рішення виразу arctg. Введемо позначення: арктангенс числа дорівнює x, тоді tg x дорівнюватиме цьому числу, де x належить відрізку від -π/2 до π/2. Як у прикладах попередніх темах, скористаємося таблицею значень. За цією таблицею тангенсу цього числа відповідає значення x = π/3. Запишемо рішення рівняння арктангенс заданого числа дорівнює π/3, π/3 належить інтервалу від -π/2 до π/2.
Приклад 2 – обчислити арктангенс негативного числа. Використовуючи рівність arctg (- a) = - arctg a, введемо значення x. Аналогічно прикладу 2 запишемо значення x, яке належить відрізку від -π/2 до π/2. За таблицею значень знайдемо, що x = π/3, отже - tg x = - π/3. Відповіддю рівняння буде - π/3.
Розглянемо приклад 3. Розв'яжемо рівняння tg x = 1. Запишемо, що x = arctg 1 + πk. У таблиці значення tg 1 відповідає значення x = π/4, отже, arctg 1 = π/4. Підставимо це значення у вихідну формулу x і запишемо відповідь x = π/4 + πk.
Приклад 4: обчислити tg x = – 4,1. В даному випадку x = arctg (-4,1) + πk. Т.к. знайти значення arctg в даному випадку немає можливості, відповідь виглядатиме як x = arctg (-4,1) + πk.
У прикладі 5 розглядається рішення нерівності tg x > 1. Для вирішення побудуємо графіки функцій y = tg x і y = 1. Як видно на малюнку, ці графіки перетинаються в точках x = π/4 + πk. Т.к. в даному випадку tg x > 1, на графіку виділимо область тангенсоіди, яка знаходиться вище графіка y = 1, де x належить інтервалу від π/4 до π/2. Відповідь запишемо як π/4 + πk< x < π/2 + πk.
Далі розглянемо рівняння ctg x = a. На малюнку зображено графіки функцій у = ctg x, y = a, y = - a, які мають безліч точок перетину. Рішення можна записати як x = x 1 + πk, де x 1 = arcctg a та x = x 2 + πk, де x 2 = arcctg (-a). Зазначено, що x 2 = π - x1. З цього випливає рівність arcctg(-a) = π - arcctg a. Далі дається визначення арккотангенса: арккотангенсом називається таке число з проміжку від 0 до π, котангенс якого дорівнює а. Розв'язання рівняння сtg x = a записується як: x = arcctg a + πk.
Наприкінці відеоуроку робиться ще один важливий висновок - вираз ctg x = a можна записати у вигляді tg x = 1/a, за умови, що a не дорівнює нулю.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
Розглянемо рішення рівнянь tg х = 3 і tg х= - 3. Вирішуючи перше рівняння графічно, бачимо, що графіки функцій у = tg х і у = 3 мають нескінченно багато точок перетину, абсциси яких запишемо як
х = х 1 + πk, де х 1 - це абсцис точки перетину прямої у = 3 з головною гілкою тангенсоїди (рис.1), для якої було придумано позначення
arctg 3 (арктангенс трьох).
Як розуміти arctg 3?
Це число, тангенс якого дорівнює 3 і число належить інтервалу (- ;). Тоді всі коріння рівняння tg х = 3 можна записати формулою х = arctg 3+πk.
Аналогічно рішення рівняння tg х = - 3 можна записати у вигляді х = х 2 + πk, де х 2 - це абсцис точки перетину прямої у = - 3 з головною гілкою тангенсоіди (рис.1), для якої було придумано позначення arctg(- 3) (Арктангенс мінус трьох). Тоді все коріння рівняння можна записати формулою: х = arctg(-3) + πk. На малюнку видно, що arctg(- 3)= - arctg 3.
Сформулюємо визначення арктангенсу. Арктангенсом називається таке число з проміжку (-;), тангенс якого дорівнює а.
Часто використовують рівність: arctg(-а) = -arctg а, яка справедлива для будь-якого а.
Знаючи визначення арктангенсу, зробимо загальний висновок про рішення рівняння
tg х = a: рівняння tg х = a має розв'язок х = arctg а + πk.
Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 1.Обчислити arctg.
Рішення. Нехай arctg = x, тоді tgх = і x (-;). Показати таблицю значень Отже, х =, тому що tg = і ϵ(-;).
Отже, arctg =.
ПРИКЛАД 2. Обчислити arctg (-).
Рішення. Використовуючи рівність arctg(- а) = - arctg а, запишемо:
arctg(-) = - arctg. Нехай arctg = х, тоді - tgх = і хϵ (-;). Отже, х =, тому що tg = і ? (-;). Показати таблицю значень
Отже arctg=- tgх= - .
ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння tgх = 1.
1. Запишемо формулу розв'язків: х = arctg 1 + πk.
2. Знайдемо значення арктангенсу
тому що tg = . Показати таблицю значень
Значить arctg1 = .
3. Поставимо знайдене значення у формулу рішень:
ПРИКЛАД 4. Вирішити рівняння tgх = - 4,1 (тангенс ікс дорівнює мінус чотири цілі одна десята).
Рішення. Запишемо формулу розв'язків: х = arctg(-4,1) + πk.
Обчислити значення арктангенса ми можемо, тому рішення рівняння залишимо отриманому вигляді.
ПРИКЛАД 5. Вирішити нерівність tgх 1.
Рішення. Вирішуватимемо графічно.
- Побудуємо тангенсоіду
у = tgх і пряму у = 1 (рис.2). Вони перетинаються у точках виду х = + πk.
2. Виділимо проміжок осі ікс, на якому головна гілка тангенсоїди розташована вище за пряму у = 1, оскільки за умовою tgх 1. Це інтервал (;).
3. Використовуємо періодичність функції.
Властивість 2. у = tg х - періодична функція з основним періодом?
Враховуючи періодичність функції у = tgх, запишемо відповідь:
(;). Відповідь можна записати у вигляді подвійної нерівності:
Перейдемо до рівняння ctg x = a. Представимо графічну ілюстрацію рішення рівняння для позитивного та негативного а (рис.3).
Графіки функцій у = ctg х і у = а також
у= ctg х і у=-а
мають нескінченно багато загальних точок, абсциси яких мають вигляд:
х = х 1 + , де х 1 - це абсцис точки перетину прямої у = а з головною гілкою тангенсоїди і
х 1 = arcсtg а;
х = х 2 + , де х 2 - це абсцис точки перетину прямої
у = - а з головною гілкою тангенсоїди і х 2 = arcсtg(-а).
Зауважимо, що х 2 = π - х 1 . Отже, запишемо важливу рівність:
arcсtg(-а) = π - arcсtg а.
Сформулюємо визначення: арккотангенсом а називається таке число з інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.
Розв'язання рівняння ctg х = a записуються як: х = arcсtg а + .
Звернімо увагу, що рівняння ctg х = a можна перетворити на вигляд
tg х = , крім, коли а = 0.
На цьому уроці ми продовжимо вивчення арктангенсу та розв'язання рівнянь виду tg x = a для будь-якого а. На початку уроку розв'яжемо рівняння з табличним значенням і проілюструємо рішення на графіку, а потім і на колі. Далі розв'яжемо рівняння tgx = aв загальному виглядіі виведемо загальну формулувідповіді. Проілюструємо обчислення на графіці та колі і розглянемо різні форми відповіді. Наприкінці уроку розв'яжемо кілька завдань з ілюстрацією рішень на графіці та колі.
Тема: Тригонометричні рівняння
Урок: Арктангенс та рішення рівняння tgx=a (продовження)
1. Тема уроку, вступ
На цьому уроці ми розглянемо рішення рівняння для будь-якого дійсного
2. Розв'язання рівняння tgx=√3
Завдання 1. Розв'язати рівняння
Знайдемо рішення за допомогою графіків функцій 
(Рис. 1).
Розглянемо проміжок У цьому проміжку функція монотонна, отже, досягається лише за одному значенні функції.
Відповідь: 
Вирішимо це ж рівняння за допомогою числового кола (рис. 2).
Відповідь: 
3. Розв'язання рівняння tgx=a у загальному вигляді
Розв'яжемо рівняння в загальному вигляді (рис. 3).
На проміжку рівняння має єдине рішення 
Найменший позитивний період
Проілюструємо на числовому колі (рис. 4).
4. Розв'язання задач
Завдання 2. Розв'язати рівняння
Зробимо заміну змінної
Завдання 3. Вирішити систему:
Рішення (рис. 5):
У точці значення тому рішенням системи є лише точка
Відповідь: 
Завдання 4. Розв'язати рівняння 
Вирішимо методом заміни змінної:
Завдання 5. Знайти число розв'язків рівняння на проміжку 
Розв'яжемо задачу за допомогою графіка (рис. 6).
Рівняння має три розв'язки на заданому проміжку.
Проілюструємо на числовому колі (рис. 7), це не так наочно, як у графіці.
Відповідь: Три рішення.
5. Висновок, висновок
Ми вирішували рівняння для будь-якого дійсного, використовуючи поняття арктангенс. На наступному уроці ми познайомимося з поняттям арккотангенсу.
Список літератури
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ ( профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н. Я., Івашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу ( навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТНЗ (під ред. М. І. Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А. Р., Полонський Ст Б., Якір М. С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А. С.К., 1997.
7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Завдання з алгебри та початків аналізу (посібник для учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А. П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Додаткові веб-ресурси
1. Математика.
2. Інтернет-портал Problems. ru .
3. Освітній порталдля підготовки до іспитів.
Щоб успішно вирішувати тригонометричні рівняннязручно користуватися методом відомостідо раніше вирішених завдань. Давайте розберемося, у чому суть цього?
У будь-якій пропонованій задачі вам необхідно побачити вже вирішену задачу, а потім за допомогою послідовних рівносильних перетворень спробувати звести дану вам задачу до більш простої.
Так, при вирішенні тригонометричних рівнянь зазвичай становлять деяку кінцеву послідовність рівносильних рівнянь, останньою ланкою якої є рівняння з очевидним рішенням. Тільки важливо пам'ятати, що якщо навички розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь не сформовані, то розв'язання складніших рівнянь буде утруднене і малоефективне.
Крім того, вирішуючи тригонометричні рівняння, ніколи не варто забувати про можливість існування кількох способів розв'язання.
Приклад 1. Знайти кількість коренів рівняння cos x = -1/2 на проміжку.
Рішення:
І спосіб.Зобразимо графіки функцій y = cos x та y = -1/2 і знайдемо кількість їх загальних точок на проміжку (рис. 1).
Так як графіки функцій мають дві загальні точки на проміжку, то рівняння містить два корені на даному проміжку.
ІІ метод.За допомогою тригонометричного кола (рис. 2) з'ясуємо кількість точок, що належать до проміжку , в яких cos x = -1/2. На малюнку видно, що рівняння має два корені. 
ІІІ спосіб.Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, розв'яжемо рівняння cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k - ціле число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – ціле число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – ціле число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).
Проміжку належить коріння 2π/3 і -2π/3 + 2π, k – ціле число. Таким чином, рівняння має два корені на заданому проміжку.
Відповідь: 2.
Надалі тригонометричні рівняння будуть вирішуватися одним із запропонованих способів, що у багатьох випадках не виключає застосування та інших способів.
Приклад 2. Знайти кількість розв'язків рівняння tg (x + π/4) = 1 на проміжку [-2π; 2π].
Рішення:
Скориставшись формулою коренів тригонометричного рівняння, отримаємо:
x + π/4 = arctg 1 + πk, k – ціле число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z);
x = πk, k - ціле число (k € Z);
Проміжок [-2π; 2π] належать числа -2π; -π; 0; π; 2π. Отже, рівняння має п'ять коренів на заданому проміжку.
Відповідь: 5.
Приклад 3. Знайти кількість коренів рівняння cos 2 x + sin x · cos x = 1 на проміжку [-π; π].
Рішення:
Так як 1 = sin 2 x + cos 2 x (основне тригонометричне тотожність), то вихідне рівняння набуває вигляду:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x · cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Твір дорівнює нулю, а отже хоча б один із множників має бути дорівнює нулютому:
sin x = 0 або sin x - cos x = 0.
Оскільки значення змінної, у яких cos x = 0, є корінням другого рівняння (синус і косинус однієї й тієї числа не можуть одночасно бути рівними нулю), то розділимо обидві частини другого рівняння на cos x:
sin x = 0 або sin x / cos x - 1 = 0.
У другому рівнянні скористаємося тим, що tg x = sin x / cos x тоді:
sin x = 0 або tg x = 1. За допомогою формул маємо:
x = πk або x = π/4 + πk, k – ціле число (k € Z).
З першої серії коренів проміжку [-π; π] належать числа -π; 0; π. З другої серії: (π/4 – π) та π/4.
Таким чином, п'ять коренів вихідного рівняння належать до проміжку [-π; π].
Відповідь: 5.
Приклад 4. Знайти суму коренів рівняння tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на проміжку [-π; 1,1π].
Рішення:
Перепишемо рівняння у такому вигляді:
tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 і зробимо заміну.
Нехай tg x + stgx = a. Обидві частини рівності зведемо у квадрат:
(tg x + stg x) 2 = a 2 . Розкриємо дужки:
tg 2 x + 2tg x · stgx + stg 2 x = a 2 .
Так як tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 а значить
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 - 2.
Тепер вихідне рівняння має вигляд:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. За допомогою теореми Вієта отримуємо, що a = -1 або a = -2.
Зробимо зворотну заміну, маємо:
tg x + сtgx = -1 або tg x + сtgx = -2. Вирішимо отримані рівняння.
tg x + 1/tgx = -1 або tg x + 1/tgx = -2.
За якістю двох взаємно зворотних чисел визначаємо, що перше рівняння немає коренів, та якщо з другого рівняння маємо:
tg x = -1, тобто. x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).
Проміжку [-π; 1,1π] належить коріння: -π/4; -π/4 + π. Їхня сума:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Відповідь: π/2.
Приклад 5. Знайти середнє арифметичне коріння рівняння sin 3x + sin x = sin 2x на проміжку [-π; 0,5 π].
Рішення:
Скористаємося формулою sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тоді
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x і рівняння набуває вигляду
2sin 2x · cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Винесемо загальний множник sin 2x за дужки
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Розв'яжемо отримане рівняння:
sin 2x = 0 або 2cos x - 1 = 0; 
sin 2x = 0 або cos x = 1/2;
2x = πk або x = ±π/3 + 2πk, k – ціле число (k € Z).
Таким чином, маємо коріння
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - ціле число (k € Z).
Проміжку [-π; 0,5π] належить коріння -π; -π/2; 0; π/2 (з першої серії коріння); π/3 (з другої серії); -π/3 (з третьої серії). Їхнє середнє арифметичне дорівнює:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Відповідь: -π/6.
Приклад 6. Знайти кількість коренів рівняння sin x + cos x = 0 на проміжку [-1,25π; 2π].
Рішення:
Це рівняння є однорідним рівнянням першого ступеня. Розділимо обидві його частини на cosx (значення змінної, при яких cos x = 0, не є корінням даного рівняння, оскільки синус і косинус одного й того ж числа не можуть одночасно дорівнювати нулю). Вихідне рівняння має вигляд:
x = -π/4 + πk, k - ціле число (k € Z).
Проміжку [-1,25π; 2π] належить коріння -π/4; (-π/4 + π); та (-π/4 + 2π).
Таким чином, заданому проміжку належать три корені рівняння.
Відповідь: 3.
Навчіться робити найголовніше – чітко представляти план розв'язання задачі, і тоді будь-яке тригонометричне рівняння буде вам під силу.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Хвильове рівняння, диференціальне рівняння з приватними похідними, що описує процес поширення збурень у деякому середовищі Тихонов А. Н. та Самарський А. А., Рівняння математичної фізики, 3 видавництва, М., 1977. – с. 155....
Класифікації гіперболічних диференціальних рівнянь у приватних похідних
Рівняння теплопровідності - диференціальне рівняння з приватними похідними параболічного типу, що описує процес розповсюдження теплоти в суцільному середовищі.
Математичні методи, які застосовуються в теорії систем масового обслуговування
Імовірності станів системи можна знайти із системи диференціальних рівнянь Колмогорова, які складені за таким правилом: У лівій частині кожного з них стоїть похідна ймовірності i-го стану.
Нестаціонарне рівняння Ріккаті
1.Загальне рівняння Ріккаті має вигляд: , (1.1) де P, Q, R-безперервні функції від xпри зміні x в інтервалі Рівняння (1.1) містить у собі як окремі випадки вже розглянуті нами рівняння: при одержуємо лінійне рівняння, при-рівняння Бернуллі...
Основи наукового дослідження та планування експериментів на транспорті
Отримаємо функціональну залежність Y = f(X) (рівняння регресії) з допомогою методу найменших квадратів (МНК). Як апроксимуючі функції використовувати лінійну (Y = a0 + a1X) і квадратичну залежності (Y = a0 + a1X + a2X2). За допомогою МНК значення a0...
Помістимо полюс полярної системи координат на початок прямокутної системи координат, полярну вісь сумісний з позитивною піввіссю абсцис (рис.3). Мал. 3 Візьмемо рівняння прямої у нормальному вигляді: (3.1) - довжина перпендикуляра...
Полярна система координат на площині
Складемо рівняння в полярних координатах кола, що проходить через полюс, з центром на полярній осі та радіусом R. прямокутного трикутника OAA отримуємо OA = OA (рис. 4).
Поняття вибіркової теорії. Ряди розподілу. Кореляційний та регресійний аналіз
Вивчити: а) поняття парної лінійної регресії; б) складання системи нормальних рівнянь; в) властивості оцінок методом найменших квадратів; г) методику знаходження рівняння лінійної регресії. Припустимо...
Побудова розв'язків диференціальних рівнянь у вигляді статечних рядів
Як приклад застосування побудованої теорії розглянемо рівняння Бесселя: (6.1) Де. Особлива точка z = 0 є регулярною. Інших особливостей у кінцевій частині площини немає. У рівнянні (6.1) , тому визначальне рівняння має вигляд, тобто...
Розв'язання матричних рівнянь
Матричне рівняння ХА = також можна вирішити двома способами: 1. Обчислюється зворотна матрицябудь-яким із відомих способів. Тоді рішення матричного рівняння матиме вигляд: 2...
Розв'язання матричних рівнянь
Для вирішення рівнянь виду АХ = ХВ, АХ + ХВ = З описані вище методи не підходять. Вони не підходять також для вирішення рівнянь, в яких хоча б один із співмножників при невідомій матриці Х є виродженою матрицею...
Розв'язання матричних рівнянь
Рівняння виду АХ=ХА вирішуються як і, як і попередньому разі, тобто поэлементно. Рішення тут зводиться до знаходження перестановної матриці. Докладніше розглянемо на прикладі. приклад. Знайдіть усі матриці...
Стаціонарне функціонування мережі масового обслуговування з ромбоподібним контуром
Зі стану може перейти до одного з наступних станів: - за рахунок надходження заявки в чергу першого вузла з інтенсивністю; - за рахунок надходження з першого вузла обробленої в ньому заявки у чергу третього вузла з інтенсивністю при...
Арктангенсом числа називається таке число, синус якого дорівнює а: якщо і. Усі коріння рівняння можна знаходити за формулою:...
Чисельні методи вирішення математичних завдань
