Звернемося до графіка функції у = х 3 - 3х2. Розглянемо околицю точки x = 0, тобто. деякий інтервал, що містить цю точку. Логічно, що існує така околиця точки х = 0, що найбільше значенняфункція у = х 3 – 3х 2 у цій околиці приймає у точці х = 0. Наприклад, на інтервалі (-1; 1) найбільше значення, що дорівнює 0, функція набуває в точці х = 0. Точку х = 0 називають точкою максимуму цієї функції.
Аналогічно, точка х = 2 називається точкою мінімуму функції х 3 - 3х 2, так як у цій точці значення функції не більше її значення в іншій точці околиці точки х = 2, наприклад, околиці (1,5; 2,5).
Таким чином, точкою максимуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує околиця точки х 0 – така, що виконується нерівність f(х) ≤ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.
Наприклад, точка х 0 = 0 – це точка максимуму функції f(х) = 1 – х 2 , оскільки f(0) = 1 і вірна нерівність f(х) ≤ 1 при всіх значеннях х.
Точкою мінімуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує така околиця точки х 0 що виконується нерівність f(х) ≥ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.
Наприклад, точка х 0 = 2 – це точка мінімуму функції f(х) = 3 + (х – 2) 2 так як f(2) = 3 і f(х) ≥ 3 при всіх х.
Точками екстремуму називаються точки мінімуму та точки максимуму.
Звернемося до функції f(х), яка визначена в околиці точки х 0 і має в цій точці похідну.
Якщо х 0 – точка екстремуму функції, що диференціюється f(х), то f "(х 0) = 0. Це твердження називають теоремою Ферма.
Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис і тому її кутовий коефіцієнт
f" (х 0) дорівнює нулю.
Наприклад, функція f(х) = 1 - 3х2 має в точці х 0 = 0 максимум, її похідна f "(х) = -2х, f "(0) = 0.
Функція f(х) = (х - 2) 2 + 3 має мінімум у точці х 0 = 2, f "(х) = 2 (х - 2), f "(2) = 0.
Зазначимо, якщо f "(х 0) = 0, цього недостатньо, щоб стверджувати, що х 0 – це обов'язково точка екстремуму функції f(х).
Наприклад, якщо f(х) = х 3 то f "(0) = 0. Однак точкою екстремуму точка х = 0 не є, так як на всій числовій осі функція х 3 зростає.
Отже, точки екстремуму функції, що диференціюється, необхідно шукати лише серед коренів рівняння.
f "(х) = 0, але корінь цього рівняння не завжди є точкою екстремуму.
Стаціонарними точками називають точки, у яких похідна функції дорівнює нулю.
Таким чином, для того щоб точка х 0 була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною точкою.
Розглянемо достатні умови те, що стаціонарна точка є точкою екстремуму, тобто. умови, у виконанні яких стаціонарна точка є точкою мінімуму чи максимуму функції.
Якщо похідна лівіше стаціонарної точки позитивна, а правіше – негативна, тобто. похідна змінює знак "+" на знак "-" при переході через цю точку, то ця стаціонарна точка - це точка максимуму.
Справді, у разі лівіше стаціонарної точки функція зростає, а правіше – зменшується, тобто. дана точка- Це точка максимуму.
Якщо похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через стаціонарну точку, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.
Якщо похідна знак не змінює під час переходу через стаціонарну точку, тобто. ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна позитивна чи негативна, то ця точка не є точкою екстремуму.
Розглянемо одне із завдань. Знайти точки екстремуму функції f(х) = х4 – 4х3.
Рішення.
1) Знайдемо похідну: f "(х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).
2) Знайдемо стаціонарні точки: 4х2 (х - 3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.
3) Методом інтервалів встановлюємо, що похідна f "(х) = 4х 2 (х - 3) позитивна при х> 3, негативна при х< 0 и при 0 < х < 3.
4) Оскільки при переході через точку х 1 = 0 знак похідної не змінюється, то ця точка не є точкою екстремуму.
5) Похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через точку х 2 = 3. Тому х 2 = 3 – точка мінімуму.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .
приклад.
Знайти екстремуми функції.
Рішення.
Почнемо з області визначення: 
Продиференціюємо вихідну функцію: 
x=1тобто це точка можливого екстремуму. Знаходимо другу похідну функції та обчислюємо її значення при x = 1:
Отже, за другою достатньою умовою екстремуму, x=1- точка максимуму. Тоді 
- максимум функції.
Графічні ілюстрації.
Відповідь:
Третя достатня умова екстремуму функції.
Нехай функція y=f(x)має похідні до n-ого порядку в -околиці точки і похідні до n+1-ого порядку в самій точці. Нехай і.
приклад.
Знайти точки екстремуму функції 
.
Рішення.
Вихідна функція є цілою раціональною, її областю визначення є безліч дійсних чисел.
Продиференціюємо функцію: 
Похідна звертається в нуль при 
Отже, це точки можливого екстремуму. Скористаємося третьою достатньою умовою екстремуму.
Знаходимо другу похідну та обчислюємо її значення в точках можливого екстремуму (проміжні обчислення опустимо): 
Отже, - точка максимуму (для третьої достатньої ознаки екстремуму маємо n=1та ).
Для з'ясування характеру точок 
знаходимо третю похідну та обчислюємо її значення у цих точках: 
Отже, - точка перегину функції ( n=2та ).
Залишилося розібратися з точкою. Знаходимо четверту похідну та обчислюємо її значення у цій точці: 
Отже, точка мінімуму функції.
Графічні ілюстрації.
Відповідь:
Точка максимуму - точка мінімуму функції.
10. Екстремуми функції Визначення екстремуму
Функція y = f(x) називається зростаючою (спадаючою) у деякому інтервалі, якщо при x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f "(x) 0
(f "(x) 0).
Крапка x проназивається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки x про, для всіх точок якої правильна нерівність f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).
Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.
Крапки екстремуму
Необхідні умови екстремуму. Якщо точка x проє точкою екстремуму функції f(x), або f "(x о) = 0, або f (x о) не існує. Такі точки називають критичними,причому сама функція у критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.
Перша достатня умова.Нехай x про- Критична точка. Якщо f "(x) при переході через точку x прозмінює знак плюс на мінус, то в точці x профункція має максимум, інакше - мінімум. Якщо під час переходу через критичну точку похідна не змінює знак, то точці x проекстремуму немає.
Друга достатня умова.Нехай функція f(x) має похідну f "(x) в околиці точки x проі другу похідну у самій точці x про. Якщо f "(x про) = 0, > 0 (<0), то точка x проє точкою локального мінімуму (максимуму) функції f(x). Якщо ж =0, потрібно або користуватися першою достатньою умовою, або залучати вищі похідні.
На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення у критичних точках, або на кінцях відрізка .
Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 14.
Рішення. Так як f "(x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Так як при переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс на мінус, то в цій точці функція має максимум При переході через точку x 2 = 3 похідна змінює знак мінус на плюс, тому в точці x 2 = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції у точках x 1 = 2 та x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.
Визначення:
Екстремумомназивають максимальне чи мінімальне значення функції на заданій множині.
Точка екстремуму- Це точка, в якій досягається максимальне або мінімальне значення функції.
Точка максимуму- Це точка, в якій досягається максимальне значення функції.
Точка мінімуму- Це точка, в якій досягається мінімальне значення функції.
Пояснення.
На малюнку в околиці точки х = 3 функція досягає максимального значення (тобто в околиці саме цієї точки немає точки вище). В околиці х = 8 вона знову ж таки має максимальне значення (знов уточнимо: саме в цій околиці немає точки вище). У цих точках зростання змінюється зменшенням. Вони є точками максимуму:
x max = 3, x max = 8.
В околиці точки х = 5 досягається мінімальне значення функції (тобто в околиці х = 5 точки нижче немає). У цій точці спад зменшення змінюється зростанням. Вона є точкою мінімуму:
Точки максимуму та мінімуму є точками екстремуму функції, а значення функції у цих точках – її екстремумами.
Критичні та стаціонарні точки функції:
Необхідна умова екстремуму:
Достатня умова екстремуму:
На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення або у критичних точках, або на кінцях відрізка .
Алгоритм дослідження безперервної функціїy = f(x) на монотонність та екстремуми:
Також можна сказати, що в цих точках змінюється напрямок руху функції: якщо функція перестає падати і починає зростати – це точка мінімуму, навпаки – максимуму.
Мінімуми та максимуми разом називають екстремумами функції.
Іншими словами, усі п'ять точок, виділених на графіку вище, є екстремумами.
Завдяки цьому знайти ці точки не є проблемами, навіть якщо у вас немає графіка функції.
Увага!Коли пишуть екстремумиабо максимуми/мінімуми мають на увазі значення функції, тобто. \(y\). Коли пишуть точки екстремумівабо точки максимумів/мінімумів мають на увазі ікси, в яких досягаються максимуми/мінімуми. Наприклад, на малюнку вище, \(-5\) точка мінімуму (або точка екстремуму), а \(1\) - мінімум (або екстремум).
Як знайти точки екстремумів функції за графіком похідної (7 завдання ЄДІ)?
Давайте разом знайдемо кількість точок екстремуму функції за графіком похідної на прикладі:
У нас дано графік - значить шукаємо у яких точках на графіку похідна дорівнює нулю. Очевидно, це точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) та \(3\). Кількість точок екстремуму функції - \ (5 \).
Увага!Якщо дано графік похіднийфункції, а потрібно знайти точки екстремумів функції, ми не вважаємо максимуми та мінімуми похідної! Ми вважаємо точки, у яких похідна функції перетворюється на нуль (тобто. перетинає вісь \(x\)).
Як знайти точки максимумів чи мінімумів функції за графіком похідної (7 завдання ЄДІ)?
Щоб відповісти на це питання, потрібно згадати ще два важливі правила:
– Похідна позитивна там, де функція зростає.
- Похідна негативна там, де функція зменшується.
За допомогою цих правил давайте знайдемо на графіку похідної точки мінімуму та максимуму функції.
Відомо, що мінімуми і максимуми треба шукати серед точок екстремумів, тобто. серед \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) та \(3\).
Щоб простіше було вирішувати завдання, розставимо на малюнку спочатку знаки плюс і мінус, що позначають знак похідної. Потім стрілки - що позначають зростання, зменшення функції.
Почнемо з (-13): до (-13) похідна позитивна тобто. функція зростає, після - похідна негативна тобто. функція падає. Якщо це уявити, стає ясно, що (-13) - точка максимуму.
\(-11\): похідна спочатку позитивна, а потім негативна, отже функція зростає, а потім зменшується. Знову спробуйте це подумки намалювати і вам стане очевидно, що (-11) - це мінімум.
\(- 9\): функція зростає, а потім зменшується - максимум.
\(-7\): мінімум.
\ (3 \): максимум.
Все вищесказане можна узагальнити такими висновками:
- Функція має максимум там, де похідна дорівнює нулю та змінює знак із плюсу на мінус.
- Функція має мінімум там, де похідна дорівнює нулю та змінює знак з мінусу на плюс.
Як знайти точки максимумів і мінімумів, якщо відома формула функції (12 завдання ЄДІ)?
Щоб відповісти на це питання, потрібно робити все те саме, що й у попередньому пункті: знаходити де похідна позитивна, де негативна і дорівнює нулю. Щоб було зрозуміло напишу алгоритм із прикладом рішення:
- Знайдіть похідну функцію \(f"(x)\).
- Знайдіть корені рівняння \(f"(x)=0\).
- Намалюйте вісь \(x\) і позначте на ній точки, отримані в пункті 2, зобразіть дугами проміжки, на які розбивається вісь. Підпишіть над віссю \(f"(x)\), а під віссю \(f(x)\).
- Визначте похідний знак у кожному проміжку (методом інтервалів).
- Поставте знак похідної в кожному проміжку (над віссю), а стрілкою вкажіть зростання (↗) або спадання (↘) функції (під віссю).
- Визначте, як змінився знак похідної під час переходу через точки, отримані у пункті 2:
- якщо \(f'(x)\) змінила знак з \(+\) на \(-\), то \(x_1\) - точка максимуму;
- якщо \(f'(x)\) змінила знак з "\(-\)" на "\(+\)", то \(x_3\) - точка мінімуму;
- якщо \(f'(x)\) не змінила знак, то \(x_2\) - може бути точкою перегину.
Всі! Точки максимумів та мінімумів знайдені.
Зображуючи на осі точки, у яких похідна дорівнює нулю – масштаб можна не враховувати. Поведінка функції можна показати так, як це зроблено на малюнку нижче. Так буде очевидно де максимум, а де мінімум.
приклад(ЄДІ). Знайдіть точку максимуму функції \(y=3x^5-20x^3-54\).
Рішення:
1. Знайдемо похідну функції: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Прирівняємо її до нуля і розв'яжемо рівняння:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. - 6. Нанесемо точки на числову вісь і визначимо, як змінюється знак похідної та як рухається функція:
Тепер очевидно, що точкою максимуму є (-2).
Відповідь. \(-2\).
Точка екстремуму функції - це точка області визначення функції, в якій значення функції набуває мінімального або максимального значення. Значення функції у цих точках називаються екстремумами (мінімумом і максимумом) функції.
Визначення. Крапка x1 області визначення функції f(x) називається точкою максимуму функції якщо значення функції в цій точці більше значень функції в досить близьких до неї точках, розташованих праворуч і ліворуч від неї (тобто виконується нерівність f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 максимум.
Визначення. Крапка x2 області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму функціїякщо значення функції в цій точці менше значень функції в досить близьких до неї точках, розташованих праворуч і зліва від неї (тобто виконується нерівність f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). У цьому випадку кажуть, що функція має у точці x2 мінімум.
Допустимо, точка x1 - точка максимуму функції f(x). Тоді в інтервалі до x1 функція зростаєтому похідна функції більше нуля ( f "(x) > 0 ), а в інтервалі після x1 функція зменшується, отже, і похідна функціїменьше нуля ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Допустимо також, що точка x2 - точка мінімуму функції f(x). Тоді в інтервалі до x2 функція зменшується, а похідна функції менше нуля ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функція зростає, а похідна функції більше нуля ( f "(x)> 0). У цьому випадку також у точці x2 похідна функції дорівнює нулю чи немає.
Теорема Ферма (необхідна ознака існування екстремуму функції). Якщо точка x0 - точка екстремуму функції f(x) , то в цій точці похідна функції дорівнює нулю ( f "(x) = 0) або не існує.
Визначення. Точки, у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає, називаються критичними точками .
приклад 1.Розглянемо функцію.
У точці x= 0 похідна функції дорівнює нулю, отже, точка x= 0 є критичною точкою. Однак, як видно на графіку функції, вона зростає у всій області визначення, тому точка x= 0 не є точкою екстремуму цієї функції.
Таким чином, умови про те, що похідна функції в точці дорівнює нулю або не існує, є необхідними умовами екстремуму, але не достатніми, оскільки можна навести й інші приклади функцій, для яких ці умови виконуються, але функція екстремуму у відповідній точці не має. Тому потрібно мати достатні ознаки, що дозволяють судити, чи є в конкретній критичній точці екстремум і який саме - максимум чи мінімум.
Теорема (перша достатня ознака існування екстремуму функції).Критична точка x0 f(x) якщо при переході через цю точку похідна функції змінює знак, причому, якщо знак змінюється з "плюса" на "мінус", то точкою максимуму, а якщо з "мінуса" на "плюс", то точкою мінімуму.
Якщо ж поблизу точки x0 , ліворуч і праворуч від неї, похідна зберігає знак, то це означає, що функція або тільки зменшується, або тільки зростає в околиці точки x0 . В цьому випадку в точці x0 екстремуму немає.
Отже, щоб визначити точки екстремуму функції, потрібно виконати таке :
- Знайти похідну функцію.
- Прирівняти похідну нулю та визначити критичні точки.
- Подумки чи папері відзначити критичні точки на числової осі і визначити знаки похідної функції отриманих інтервалах. Якщо знак похідної змінюється з " плюса " на " мінус " , то критична точка є точкою максимуму, і якщо з " мінуса " на " плюс " , то точкою мінімуму.
- Обчислити значення функції у точках екстремуму.
приклад 2.Знайти екстремуми функції 
.
Рішення. Знайдемо похідну функції:
Прирівняємо похідну нулю, щоб знайти критичні точки:
.
Так як для будь-яких значень "ікса" знаменник не дорівнює нулю, то дорівнює нулю чисельник:
Отримали одну критичну точку x= 3. Визначимо знак похідної в інтервалах, розмежованих цією точкою:
в інтервалі від мінус нескінченності до 3 - знак мінус, тобто функція зменшується,
в інтервалі від 3 до плюс нескінченності – знак плюс, тобто функція зростає.
Тобто, точка x= 3 є точкою мінімуму.
Знайдемо значення функції у точці мінімуму:
Таким чином, точку екстремуму функції знайдено: (3; 0), причому вона є точкою мінімуму.
Теорема (друга достатня ознака існування екстремуму функції).Критична точка x0 є точкою екстремуму функції f(x) , якщо друга похідна функції у цій точці не дорівнює нулю ( f ""(x) ≠ 0 ), причому, якщо друга похідна більша за нуль ( f ""(x) > 0 ), то точкою максимуму, а якщо друга похідна менша за нуль ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Примітка 1. Якщо у точці x0 звертаються в нуль і перша, і друга похідні, то в цій точці не можна судити про наявність екстремуму на підставі другої достатньої ознаки. У цьому випадку потрібно скористатися першою достатньою ознакою екстремуму функції.
Зауваження 2. Друга достатня ознака екстремуму функції не застосовується і тоді, коли в стаціонарній точці перша похідна не існує (тоді не існує і друга похідна). У цьому випадку також потрібно скористатися першою достатньою ознакою екстремуму функції.
Локальний характер екстремумів функції
З наведених визначень випливає, що екстремум функції має локальний характер – це найбільше та найменше значення функції порівняно з найближчими значеннями.
Припустимо, ви розглядаєте свої заробітки у відрізку часу завдовжки один рік. Якщо у травні ви заробили 45 000 рублів, а у квітні 42 000 рублів і в червні 39 000 рублів, то травневий заробіток - максимум функції заробітку в порівнянні з найближчими значеннями. Але у жовтні ви заробили 71 000 рублів, у вересні 75 000 рублів, а у листопаді 74 000 рублів, тому жовтневий заробіток - мінімум функції заробітку порівняно з найближчими значеннями. І ви легко бачите, що максимум серед значень квітня-травня-червня менший за мінімум вересня-жовтня-листопада.
Говорячи узагальнено, на проміжку функція може мати кілька екстремумів, причому може виявитися, що будь-який мінімум функції більший за будь-який максимум. Так, для функції зображеної малюнку вище, .
Тобто не слід думати, що максимум і мінімум функції є, відповідно, її найбільшим і найменшим значеннями на всій частині, що розглядається. У точці максимуму функція має найбільше значення лише в порівнянні з тими значеннями, які вона має у всіх точках, досить близьких до точки максимуму, а в точці мінімуму - найменше значення лише в порівнянні з тими значеннями, які вона має у всіх точках, досить близьких до точки мінімуму.
Тому можна уточнити наведене вище поняття точок екстремуму функції та називати точки мінімуму точками локального мінімуму, а точки максимуму – точками локального максимуму.
Шукаємо екстремуми функції разом
приклад 3.
Рішення. Функція визначена і безперервна на всій числовій прямій. Її похідна 
існує також на всій числовій прямій. Тож у разі критичними точками служать лише ті, у яких , тобто. , звідки та . Критичними точками та розбивають всю область визначення функції на три інтервали монотонності: . Виберемо в кожній з них по одній контрольній точці та знайдемо знак похідної у цій точці.
Для інтервалу контрольною точкою може бути: знаходимо. Взявши в інтервалі точку, отримаємо, а взявши в інтервалі точку, маємо. Отже, в інтервалах і , а в інтервалі . Згідно з першою достатньою ознакою екстремуму, в точці екстремуму немає (оскільки похідна зберігає знак в інтервалі), а в точці функція має мінімум (оскільки похідна при переході через цю точку змінює знак з мінуса на плюс). Знайдемо відповідні значення функції: , а . У інтервалі функція зменшується, оскільки у цьому інтервалі , а інтервалі зростає, оскільки у цьому інтервалі .
Щоб уточнити будову графіка, знайдемо точки перетину його з осями координат. При отримаємо рівняння , коріння якого і , тобто знайдено дві точки (0; 0) та (4; 0) графіка функції. Використовуючи всі отримані відомості, будуємо графік (див. на початку прикладу).
Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися онлайн похідних калькулятором .
приклад 4.Знайти екстремуми функції та побудувати її графік.
Області визначення функції є вся числова пряма, крім точки , тобто. .
Для скорочення дослідження можна скористатися тим, що ця функція парна, оскільки 
. Тому її графік симетричний щодо осі Ойта дослідження можна виконати тільки для інтервалу.
Знаходимо похідну 
та критичні точки функції:
1) 
;
2) 
,
але функція зазнає розриву в цій точці, тому вона не може бути точкою екстремуму.
Таким чином, задана функціямає дві критичні точки: і . Враховуючи парність функції, перевіримо за другою достатньою ознакою екстремуму лише точку. Для цього знайдемо другу похідну 
і визначимо її знак при: отримаємо. Так як і , то є точкою мінімуму функції, при цьому 
.
Щоб скласти повніше уявлення про графік функції, з'ясуємо її поведінку на межах області визначення:
(тут символом позначено прагнення xдо нуля праворуч, причому xзалишається позитивним; аналогічно означає прагнення xдо нуля зліва, причому xзалишається негативним). Таким чином, якщо , то . Далі, знаходимо
,
тобто. якщо то .
Точка перетину з осями графік функції не має. Малюнок – на початку прикладу.
Для самоперевірки при розрахунках можна скористатися онлайн похідних калькулятором .
Продовжуємо шукати екстремуми функції разом
Приклад 8.Знайти екстремуми функції.
Рішення. Знайдемо область визначення функції. Так як має виконуватися нерівність, то одержуємо.
Знайдемо першу похідну функції.
