Модуль — одна з тих речей, про які начебто всі чули, але насправді ніхто нормально не розуміє. Тому сьогодні буде великий урок, присвячений вирішенню рівнянь із модулями.
Відразу скажу: урок буде нескладним. І взагалі модулі взагалі тема відносно нескладна. «Звісно, нескладна! У мене від неї мозок розривається! - скажуть багато учнів, але всі ці розриви мозку відбуваються через те, що у більшості людей у голові не знання, а якась хрень. І мета цього уроку - перетворити хрень на знання.
Трохи теорії
Тож поїхали. Почнемо з найважливішого: що таке модуль? Нагадаю, що модуль числа — це просто те саме число, але взяте без знака «мінус». Тобто, наприклад, $ \ left | -5 \right | = 5 $. Або $ \ left | -129,5 \ right | = 129,5 $.
Ось так просто? Да просто. А чому тоді дорівнює модуль позитивного числа? Тут ще простіше: модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу: $ \ left | 5 \right|=5$; $ \ left | 129,5 \right | = 129,5 $ і т.д.
Виходить цікава річ: різні числа можуть мати той самий модуль. Наприклад: $ \ left | -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $ \ left | -129,5 \right|=\left| 129,5 \ right | = 129,5 $. Неважко помітити, що це числа, у яких модулі однакові: ці числа протилежні. Отже, відзначимо собі, що модулі протилежних чисел рівні:
\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]
Ще один важливий факт: модуль ніколи не буває негативним. Яке число ми не взяли — хоч позитивне, хоч негативне — його модуль завжди виявляється позитивним (або в крайньому випадку нулем). Саме тому модуль часто називають абсолютною величиною числа.
Крім того, якщо поєднати визначення модуля для позитивного та негативного числа, то отримаємо глобальне визначення модуля для всіх чисел. А саме: модуль числа дорівнює самому числу, якщо число позитивне (або нуль), або дорівнює протилежному числу, якщо число негативне. Можна записати це у вигляді формули:
Ще є модуль нуля, але він завжди дорівнює нулю. Крім того, нуль — однина, яка не має протилежного.
Таким чином, якщо розглянути функцію $ y = \ left | x \right|$ і спробувати намалювати її графік, то вийде така «галка»:
Графік модуля та приклад розв'язання рівняння
З цієї картинки відразу видно, що $ \ left | -m \right|=\left| m \right|$, а графік модуля ніколи не опускається нижче за осі абсцис. Але це ще не все: червоною лінією відзначена пряма $y=a$, яка при позитивних $a$ дає нам відразу два корені: $((x)_(1))$ і $((x)_(2)) $, але про це ми поговоримо пізніше.
Крім чисто алгебраїчного визначенняє геометричні. Припустимо, є дві точки на числовій прямій: $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$. І тут вираз $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ - це просто відстань між зазначеними точками. Або, якщо завгодно, довжина відрізка, що з'єднує ці точки:
Модуль - це відстань між точками на числовій прямій З цього визначення також випливає, що модуль завжди негативний. Але вистачить визначень та теорії — перейдемо до справжніх рівнянь.
Основна формула
Ну гаразд, з визначенням розібралися. Але легше від цього не стало. Як розв'язувати рівняння, що містять цей модуль?
Спокій тільки спокій. Почнемо з найпростіших речей. Розглянемо щось типу такого:
\[\left| x \right|=3\]
Отже, модуль$x$ дорівнює 3. Чому може дорівнювати $x$? Ну, судячи з визначення, нас цілком влаштує $x=3$. Дійсно:
\[\left| 3 \right|=3\]
Чи є інші числа? Кеп ніби натякає, що є. Наприклад, $ x = -3 $ - для нього теж $ \ left | -3 \right | = 3 $, тобто. необхідну рівність виконується.
То, може, якщо пошукати, подумати, ми знайдемо ще числа? А ось обломтеся: більше чисел немає. Рівняння $ \ left | x \right|=3$ має лише два корені: $x=3$ і $x=-3$.
Тепер трохи ускладнимо завдання. Нехай замість змінної $x$ під знаком модуля тусується функція $f\left(x \right)$, а праворуч замість трійки поставимо довільне число $a$. Отримаємо рівняння:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]
Ну, і як таке вирішувати? Нагадаю: $f\left(x \right)$ - довільна функція, $ a $ - будь-яке число. Тобто. взагалі будь-яке! Наприклад:
\[\left| 2x+1 \right|=5\]
\[\left| 10x-5 \right|=-65\]
Звернімо увагу на друге рівняння. Про нього відразу можна сказати: коріння в нього немає. Чому? Все правильно: тому що в ньому потрібно, щоб модуль дорівнював негативному числу, чого ніколи не буває, оскільки ми вже знаємо, що модуль - число завжди позитивне або в крайньому випадку нуль.
А ось із першим рівнянням все веселіше. Тут два варіанти: або під знаком модуля стоїть позитивний вираз, і тоді $ \ left | 2x+1 \right|=2x+1$, або це вираз все-таки негативне, і тоді $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. У першому випадку наше рівняння перепишеться так:
\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
І раптово виходить, що підмодульний вираз $2x+1$ дійсно позитивний - він дорівнює числу 5. Тобто. ми можемо спокійно вирішувати це рівняння - отриманий корінь буде шматком відповіді:
Особливо недовірливі можуть спробувати підставити знайдений корінь у вихідне рівняння та переконатися, що справді під модулем буде позитивне число.
Тепер розберемо випадок негативного підмодульного виразу:
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]
Опа! Знову все чітко: ми припустили, що $2x+1 \lt 0$, і в результаті отримали, що $2x+1=-5$ — це вираз менше нуля. Вирішуємо отримане рівняння, при цьому вже точно знаючи, що знайдений корінь нас влаштує:
Разом ми знову отримали дві відповіді: $ x = 2 $ і $ x = 3 $. Так, обсяг обчислень виявився трохи більшим, ніж у зовсім простому рівнянні $ \ left | x \right|=3$, але нічого не змінилося. То, може, існує якийсь універсальний алгоритм?
Так, такий алгоритм існує. І зараз ми його розберемо.
Звільнення від знаку модуля
Нехай нам дано рівняння $ \ left | f\left(x \right) \right|=a$, причому $a\ge 0$ (інакше, як ми вже знаємо, коріння немає). Тоді можна позбавитися знака модуля за таким правилом:
\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Таким чином, наше рівняння із модулем розпадається на два, але вже без модуля. Ось і вся розробка! Спробуємо вирішити кілька рівнянь. Почнемо ось із такого
\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Окремо розглянемо, коли праворуч стоїть десятка з плюсом, і окремо коли з мінусом. Маємо:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \&& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\end(align)\]
От і все! Отримали два корені: $ x = 1,2 $ і $ x = -2,8 $. Все рішення зайняло буквально два рядки.
Ок, не питання, давайте розглянемо щось трохи серйозніше:
\[\left| 7-5x \right|=13\]
Знову відкриваємо модуль з плюсом та мінусом:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \&& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\end(align)\]
Знову кілька рядків — і відповідь готова! Як я й казав, у модулях немає нічого складного. Потрібно лише запам'ятати кілька правил. Тому йдемо далі і приступаємо з справді складнішим завданням.
Випадок змінної правої частини
А тепер розглянемо таке рівняння:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\]
Це рівняння принципово відрізняється від попередніх. Чим? А тим, що праворуч від знака рівності стоїть вираз $2x$ — і ми не можемо заздалегідь знати, чи воно позитивне, чи негативне.
Як бути у такому разі? По-перше, треба раз і назавжди зрозуміти, що якщо права частина рівняння виявиться негативною, то рівняння не матиме коріння— ми вже знаємо, що модуль не може дорівнювати негативному числу.
А по-друге, якщо права частина таки позитивна (або дорівнює нулю), то можна діяти так само, як раніше: просто розкрити модуль окремо зі знаком «плюс» і окремо — зі знаком «мінус».
Таким чином, сформулюємо правило для довільних функцій $f\left(x \right)$ і $g\left(x \right)$ :
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Щодо нашого рівняння отримаємо:
\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\end(align) \right.\]
Ну, з вимогою $2x\ge 0$ ми якось впораємося. Зрештою, можна тупо підставити коріння, яке ми отримаємо з першого рівняння, і перевірити: чи виконується нерівність чи ні.
Тому розв'яжемо саме рівняння:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\end(align)\]
Ну і яке з цих двох коренів задовольняє вимогу $2x\ge 0$? Так обоє! Тому у відповідь підуть два числа: $ x = (4) / (3) \; $ і $ x = 0 $. Ось і все рішення.
Підозрюю, що хтось із учнів уже почав нудьгувати? Що ж, розглянемо ще складніше рівняння:
\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]
Хоч воно і виглядає злісно, за фактом це все те саме рівняння виду «модуль дорівнює функції»:
\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
І вирішується воно так само:
\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
З нерівністю ми потім розберемося — воно якесь надто злісне (насправді просте, але ми його вирішувати не будемо). Поки що краще займемося отриманими рівняннями. Розглянемо перший випадок — коли модуль розкривається зі знаком «плюс»:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Ну, тут і їжу зрозуміло, що потрібно все зібрати зліва, навести подібні і подивитися, що вийде. А вийде ось що:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \&& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\end(align)\]
Виносимо загальний множник $((x)^(2))$ за дужку і отримуємо дуже просте рівняння:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Тут ми користувалися важливою властивістю твору, заради якого ми й розкладали вихідний багаточлен на множники: твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.
Тепер так само розберемося з другим рівнянням, яке виходить при розкритті модуля зі знаком «мінус»:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \&& -3((x)^(2))+2x=0; \& x\left(-3x+2 \right)=0. \\end(align)\]
Знову те саме: твір дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників. Маємо:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Ну ось ми отримали три корені: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ і $ x = (2) / (3) \; $. Ну, і що з цього набору піде в остаточну відповідь? Для цього пригадаємо, що ми маємо додаткове обмеження у вигляді нерівності:
Як врахувати цю вимогу? Та просто підставимо знайдене коріння і перевіримо: виконується нерівність при цих $x$ чи ні. Маємо:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27) \ ge 0; \\end(align)\]
Таким чином, корінь $ x = 1,5 $ нас не влаштовує. І у відповідь підуть лише два корені:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Як бачите, навіть у цьому випадку нічого складного не було – рівняння з модулями завжди вирішуються за алгоритмом. Потрібно лише добре розумітися на багаточленах і нерівностях. Тому переходимо до складніших завдань — там уже буде не один, а два модулі.
Рівняння з двома модулями
Досі ми вивчали лише найпростіші рівняння — там був один модуль і ще щось. Це "щось ще" ми відправляли в іншу частину нерівності, подалі від модуля, щоб у результаті все звелося до рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ або навіть більш простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Але дитячий садокзакінчився — настав час розглянути щось серйозніше. Почнемо з рівнянь такого типу:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]
Це рівняння виду "модуль дорівнює модулю". Принципово важливим моментом є відсутність інших доданків і множників: лише один модуль ліворуч, ще один модуль праворуч - і нічого більше.
Хтось зараз подумає, що такі рівняння вирішуються складніше, ніж те, що ми досі вивчали. А ось і ні: ці рівняння вирішуються навіть простіше. Ось формула:
\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Всі! Ми просто прирівнюємо підмодульні вирази, ставлячи перед одним із них знак «плюс-мінус». А потім вирішуємо отримані два рівняння - і коріння готове! Жодних додаткових обмежень, жодних нерівностей тощо. Все дуже просто.
Давайте спробуємо вирішувати таке завдання:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]
Елементарно, Ватсон! Розкриваємо модулі:
\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Розглянемо окремо кожен випадок:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\end(align)\]
У першому рівнянні коріння немає. Тому що коли це $3=-7$? За яких значень $x$? «Який ще нафіг $x$? Ти обкурився? Там взагалі немає $x$» - скажете ви. І будете праві. Ми здобули рівність, яка не залежить від змінної $x$, і при цьому сама рівність — неправильна. Тому і немає коріння.
З другим рівнянням все трохи цікавіше, але теж дуже просто:
Як бачимо, все вирішилося буквально в пару рядків - іншого від лінійного рівняння ми й не очікували.
У результаті остаточна відповідь: $ x = 1 $.
Ну як? Важко? Звичайно, ні. Спробуємо щось ще:
\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]
Знову у нас рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Тому одразу переписуємо його, розкриваючи знак модуля:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Можливо, хтось зараз запитає: «Гей, що за маячня? Чому «плюс-мінус» стоїть у правого вираження, а не у лівого? Спокійно зараз все поясню. Дійсно, по-хорошому ми повинні були переписати наше рівняння так:
Потім потрібно розкрити дужки, перенести всі складові в один бік від знака рівності (оскільки рівняння, очевидно, в обох випадках буде квадратним), та й далі відшукати коріння. Але погодьтеся: коли «плюс-мінус» стоїть перед трьома доданками (особливо коли один із цих доданків — квадратний вираз), це якось складніше виглядає, ніж ситуація, коли «плюс-мінус» стоїть лише перед двома доданками.
Але ж ніщо не заважає нам переписати вихідне рівняння так:
\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]
Що сталося? Та нічого особливого: просто поміняли ліву та праву частину місцями. Дрібниця, яка в результаті трохи спростить нам життя.
Загалом вирішуємо це рівняння, розглядаючи варіанти з плюсом і з мінусом:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\end(align)\]
Перше рівняння має коріння $x=3$ та $x=1$. Друге взагалі є точним квадратом:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Тому має єдиний корінь: $x=1$. Але це коріння ми вже отримували раніше. Таким чином, у підсумкову відповідь підуть лише два числа:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Місія виконана! Можна взяти з полиці та з'їсти пиріжок. Там їх 2, ваш середній.:)
Важливе зауваження. Наявність однакового коріння при різних варіантахРозкриття модуля означає, що вихідні багаточлени розкладаються на множники, і серед цих множників обов'язково буде загальним. Дійсно:
\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\end(align)\]
Одна з властивостей модуля: $ \ left | acdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (тобто модуль твору дорівнює творумодулів), тому вихідне рівняння можна переписати так:
\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Як бачимо, у нас справді виник спільний множник. Тепер, якщо зібрати всі модулі з одного боку, можна винести цей множник за дужку:
\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\end(align)\]
Ну а тепер згадуємо, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]
Таким чином, вихідне рівняння з двома модулями звелося до двох найпростіших рівнянь, про які ми говорили на початку уроку. Такі рівняння вирішуються буквально в пару рядків.
Дане зауваження, можливо, здасться надмірно складним та незастосовним на практиці. Однак насправді вам можуть зустрітися куди складніші завдання, ніж ті, що ми сьогодні розуміємо. У них модулі можуть комбінуватися з багаточленами, арифметичним корінням, логарифмами і т.д. І в таких ситуаціях можливість знизити загальний ступінь рівняння шляхом винесення чогось за дужку може виявитися дуже доречним.
Тепер хотілося б розібрати ще одне рівняння, яке на перший погляд може здатися маревним. На ньому «залипають» багато учнів, навіть ті, які вважають, що добре розібралися в модулях.
Проте це рівняння вирішується навіть простіше, ніж те, що ми розглядали раніше. І якщо ви зрозумієте чомусь, то отримаєте ще один прийом для швидкого вирішення рівнянь з модулями.
Отже, рівняння:
\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Ні, це не друкарська помилка: між модулями саме плюс. І нам потрібно знайти, за яких $x$ сума двох модулів дорівнює нулю.:)
У чому взагалі проблема? А проблема в тому, що кожен модуль — позитивне число, або в крайньому випадку нуль. А що буде, якщо скласти два позитивні числа? Очевидно, знову позитивне число:
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; 0,004+0,0001=0,0041 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]
Останній рядок може наштовхнути на думку: єдиний випадок, коли сума модулів дорівнює нулю - це якщо кожен модуль дорівнюватиме нулю:
\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0.\\\end(align) \right.\]
А коли модуль дорівнює нулю? Тільки в одному випадку - коли підмодульний вираз дорівнює нулю:
\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\end(align) \right.\]
Таким чином, у нас є три точки, в яких обнулюється перший модуль: 0, 1 та −1; а також дві точки, в яких обнулюється другий модуль: −2 і 1. Однак нам потрібно, щоб обидва модулі обнулялися одночасно, тому серед знайдених чисел потрібно вибрати ті, що входять до обох наборів. Очевидно, таке число лише одне: $x=1$ — це буде остаточною відповіддю.
Метод розщеплення
Що ж, ми вже розглянули купу завдань та вивчили безліч прийомів. Думаєте, на цьому все? А ось і ні! Зараз ми розглянемо заключний прийом – і водночас найважливіший. Йтиметься про розщеплення рівнянь із модулем. Про що взагалі йтиметься? Повернемося трохи назад і розглянемо якесь просте рівняння. Наприклад, це:
\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]
В принципі ми вже знаємо, як вирішувати таке рівняння, тому що це стандартна конструкція виду $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Але спробуємо подивитись на це рівняння трохи під іншим кутом. Точніше, розглянемо вираз, що стоїть під знаком модуля. Нагадаю, що модуль будь-якого числа може дорівнювати самому числу, а може бути протилежний цьому числу:
\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a, \quad a \lt 0. \\end(align) \right.\]
Власне, у цій неоднозначності і полягає вся проблема: оскільки число під модулем змінюється (воно залежить від змінної), нам неясно — воно позитивне чи негативне.
Але що якщо спочатку вимагати, щоб це число було позитивним? Наприклад, потрібно, щоб $3x-5 \gt 0$ — у цьому випадку ми гарантовано отримаємо позитивне число під знаком модуля, і цього самого модуля можна повністю позбутися:
Таким чином, наше рівняння перетвориться на лінійне, яке легко вирішується:
Щоправда, всі ці роздуми мають сенс лише за умови $3x-5\gt 0$ — ми самі запровадили цю вимогу, щоб однозначно розкрити модуль. Тому давайте підставимо знайдений $x=\frac(5)(3)$ в цю умову і перевіримо:
Виходить, що з зазначеному значенні $x$ наша вимога не виконується, т.к. вираз виявився рівним нулю, а нам потрібно, щоб воно було строго більше нуля. Журбинка.:(
Але нічого страшного! Адже є ще варіант $3x-5 0$. Більше того: є ще й випадок $3x-5=0$ — це також потрібно розглянути, інакше рішення буде неповним. Отже, розглянемо випадок $3x-5 \lt 0$:
Очевидно, що модуль розкриється зі знаком «мінус». Але тоді виникає дивна ситуація: і ліворуч, і праворуч у вихідному рівнянні стирчатиме той самий вираз:
Цікаво, за яких таких $x$ вираз $5-3x$ дорівнюватиме виразу $5-3x$? Від таких рівнянь навіть Капітан очевидність подавився б слиною, але ми знаємо: це рівняння є тотожністю, тобто. воно вірне за будь-яких значень змінної!
А це означає, що нас влаштують будь-які $x$. Водночас ми маємо обмеження:
Іншими словами, відповіддю буде не якесь окреме число, а цілий інтервал:
Нарешті залишилося розглянути ще один випадок: $3x-5=0$. Тут все просто: під модулем буде нуль, а модуль нуля теж дорівнює нулю (це прямо випливає з визначення):
Але тоді вихідне рівняння $ \ left | 3x-5 \right|=5-3x$ перепишеться так:
Це коріння ми вже отримували вище, коли розглядали випадок $3x-5 \gt 0$. Більше того, це корінь є рішенням рівняння $3x-5=0$ - це обмеження, яке ми самі ж і ввели, щоб обнулити модуль.
Таким чином, крім інтервалу нас влаштує ще й число, що лежить на самому кінці цього інтервалу:
Об'єднання коренів у рівняннях з модулем Разом остаточна відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не дуже звично бачити таку хрень у відповіді до досить простого (по суті - лінійного) рівняння з модулем Що ж, звикайте: в тому і полягає складність модуля, що відповіді в таких рівняннях можуть виявитися абсолютно непередбачуваними.
Куди важливіше інше: ми щойно розібрали універсальний алгоритм розв'язання рівняння з модуляєм! І складається цей алгоритм із наступних кроків:
- Прирівняти кожен модуль, що є в рівнянні, до нуля. Отримаємо кілька рівнянь;
- Вирішити всі ці рівняння і відзначити коріння на числовій прямій. В результаті пряма розіб'ється на кілька інтервалів, на кожному з яких всі модулі однозначно розкриваються;
- Вирішити вихідне рівняння для кожного інтервалу та об'єднати отримані відповіді.
От і все! Залишається лише одне питання: куди подіти саме коріння, отримане на 1-му кроці? Припустимо, у нас вийшло два корені: $ x = 1 $ і $ x = 5 $. Вони розіб'ють числову пряму на 3 шматки:
Розбиття числової осі на інтервали за допомогою точок Ну, і які тут інтервали? Зрозуміло, що їх три:
- Найлівіший: $x \lt 1$ — сама одиниця в інтервал не входить;
- Центральний: $1\le x \lt 5$ - ось тут одиниця в інтервал входить, проте не входить п'ятірка;
- Найправіший: $x\ge 5$ - п'ятірка входить тільки сюди!
Я гадаю, ви вже зрозуміли закономірність. Кожен інтервал включає лівий кінець і не включає правий.
На перший погляд, такий запис може здатися незручним, нелогічним і взагалі якимось маревним. Але повірте: після невеликого тренування ви виявите, що саме такий підхід є найбільш надійним і при цьому не заважає однозначно розкривати модулі. Краще використовувати таку схему, ніж щоразу думати: віддавати лівий/правий кінець у поточний інтервал або «перекидати» його в наступний.
На цьому урок закінчується. Завантажуйте завдання для самостійного рішення, тренуйтеся, порівнюйте з відповідями - і побачимося в наступному уроці, який буде присвячений нерівності з модулями.:)
Спочатку визначаємо знак виразу під знаком модуля, а потім розкриваємо модуль:
- якщо значення виразу більше за нуль, то просто виносимо його з-під знака модуля,
- якщо вираз менше нуля, то виносимо його з-під знака модуля, змінюючи при цьому знак, як робили це раніше в прикладах.
Ну що, спробуємо? Оцінимо:
(Забув, Повтори.)
Якщо, який знак має? Ну звичайно, !
Отже, знак модуля розкриваємо, змінюючи знак у виразу:
Розібрався? Тоді спробуй сам:
Відповіді:
Якими ще властивостями володіє модуль?
Якщо нам потрібно перемножити числа всередині знаку модуля, ми можемо спокійно перемножити модулі цих чисел!!!
Висловлюючись математичною мовою, модуль добутку чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.
Наприклад:
А якщо нам потрібно розділити два числа (вирази) під знаком модуля?
Та те саме, що з множенням! Розіб'ємо на два окремих числа (вирази) під знаком модуля:
за умови, що (оскільки на нуль ділити не можна).
Варто запам'ятати ще одну властивість модуля:
Модуль суми чисел завжди менший або дорівнює сумі модулів цих чисел:
Чому так? Все дуже просто!
Як ми пам'ятаємо, модуль завжди позитивний. Але під знаком модуля може бути будь-яке число: як позитивне, і негативне. Припустимо, що числа та обидва позитивні. Тоді ліве вираз дорівнюватиме правому виразу.
Розглянемо з прикладу:
Якщо під знаком модуля одне число негативне, а інше позитивно, ліве вираз завжди виявиться менше правого:
Начебто з цією властивістю все ясно, розглянемо ще кілька корисних властивостей модуля.
Що якщо перед нами такий вираз:
Що ми можемо зробити з цим виразом? Значення x нам невідоме, але ми вже знаємо, що, а значить.
Число більше за нуль, а значить можна просто записати:
Ось ми й прийшли до іншої властивості, яку загалом можна уявити так:
А чому таке вираз:
Отже, необхідно визначити знак під модулем. А чи треба тут визначати знак?
Звичайно, ні, якщо пам'ятаєш, що будь-яке число у квадраті завжди більше нуля! Якщо не пам'ятаєш, дивися на тему . І що ж виходить? А ось що:
Здорово, так? Досить зручно. А зараз конкретний прикладдля закріплення:
Ну і чому сумніви? Діємо сміливо!
У всьому розібрався? Тоді вперед тренуватись на прикладах!
1. Знайдіть значення виразу, якщо.
2. У яких чисел модуль дорівнює?
3. Знайдіть значення виразів:
Якщо не все поки що ясно і є труднощі в рішеннях, то давай розбиратися:
Рішення 1:
Отже, підставимо значення і вираз
Рішення 2:
Як ми пам'ятаємо, протилежні числа модуля рівні. Значить, значення модуля, що дорівнює два числа: і.
Рішення 3:
а)
б)
в)
г)
Все вловив? Тоді настав час перейти до більш складного!
Спробуємо спростити вираз
Рішення:
Отже, ми пам'ятаємо, що значення модуля не може бути меншим за нуль. Якщо під знаком модуля число позитивне, то ми просто можемо відкинути знак: модуль числа дорівнюватиме цьому числу.
Але якщо під знаком модуля від'ємне числото значення модуля дорівнює протилежному числу (тобто числу, взятому зі знаком «-»).
Для того, щоб знайти модуль будь-якого виразу, для початку потрібно з'ясувати, чи позитивне значення воно набуває, чи негативне.
Виходить, значення першого виразу під модулем.
Отже, вираз під знаком модуля є негативним. Другий вираз під знаком модуля завжди позитивний, оскільки ми складаємо два позитивні числа.
Отже, значення першого виразу під знаком модуля негативно, другого – позитивно:
Це означає, розкриваючи знак модуля першого виразу, ми маємо взяти цей вираз зі знаком «-». Ось так:
У другому випадку просто відкинемо знак модуля:
Спростимо цей вираз цілком:
Модуль числа та його властивості (суворі визначення та докази)
Визначення:
Модуль ( абсолютна величина) числа - це саме число, якщо, і число, якщо:
Наприклад:
Приклад:
Спростіть вираз.
Рішення:
Основні властивості модуля
Для всіх:
Приклад:
Доведіть властивість №5.
Доведення:
Припустимо, що існують такі, що
Зведемо ліву та праву частини нерівності в квадрат (це можна зробити, тому що обидві частини нерівності завжди невід'ємні):
а це суперечить визначенню модуля.
Отже, таких не існує, а отже, при всіх виконується нерівність
Приклади для самостійного вирішення:
1) Доведіть властивість №6.
2) Спростіть вираз.
Відповіді:
1) Скористаємося властивістю №3 : , а оскільки, тоді
Щоб спростити, необхідно розкрити модулі. А щоб розкрити модулі, потрібно дізнатися, чи позитивні чи негативні вирази під модулем?
a. Порівняємо числа та і:
b. Тепер порівняємо і:
Складаємо значення модулів:
Модуль числа. Коротко про головне.
Модуль (абсолютна величина) числа - це саме число, якщо і число, якщо:
Властивості модуля:
- Модуль числа є невід'ємним числом: ;
- Модулі протилежних чисел дорівнюють: ;
- Модуль твору двох (і більше) чисел дорівнює добутку їх модулів: ;
- Модуль частки двох чисел дорівнює частці їх модулів: ;
- Модуль суми чисел завжди менший або дорівнює сумімодулів цих чисел: ;
- Постійний позитивний множник можна виносити за знак модуля: при;
Модулем числаназивається саме це число, якщо воно не негативне, або це число з протилежним знаком, якщо воно негативне.
Наприклад, модулем числа 5 є 5, модулем числа –5 також 5.
Тобто, під модулем числа розуміється абсолютна величина, абсолютне значення цього числа без урахування його знака.
Позначається так: |5|, | х|, |а| і т.д.
Правило:
Пояснення:
|5| = 5
Читається так: модулем 5 є 5.
|–5| = –(–5) = 5
Читається так: модулем числа -5 є 5.
|0| = 0
Читається так: модулем нуля є нуль.
Властивості модуля:
1) Модуль числа є невід'ємним числом: |а| ≥ 0 2) Модулі протилежних чисел рівні: |а| = |–а| 3) Квадрат модуля числа дорівнює квадрату цього числа: |а| 2 = a 2 4) Модуль добутку чисел дорівнює добутку модулів цих чисел: |а · b| = |а| · | b| 6) Модуль частки чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел: |а : b| = |а| : |b| 7) Модуль суми чисел менший або дорівнює сумі їх модулів: |а + b| ≤ |а| + |b| 8) Модуль різниці чисел менший або дорівнює сумі їх модулів: |а – b| ≤ |а| + |b| 9) Модуль суми/різниці чисел більший або дорівнює модулю різниці їх модулів: |а ± b| ≥ ||а| – |b|| 10) Постійний позитивний множник можна винести за знак модуля: |m · a| = m · | а|, m >0 11) Ступінь числа можна винести за знак модуля: |а k | = | а| k якщо а k існує 12) Якщо | а| = |b|, то a = ± b |
Геометричний зміст модуля.
Модуль числа – величина відстані від нуля до цього числа.
Наприклад візьмемо знову число 5. Відстань від 0 до 5 таку ж, як і від 0 до –5 (рис.1). І коли нам важливо знати лише довжину відрізка, то знак не має не лише значення, а й сенсу. Втім, не зовсім вірно: відстань ми вимірюємо лише позитивними числами або невід'ємними числами. Нехай ціна розподілу нашої шкали становить 1 см. Тоді довжина відрізка від нуля до 5 дорівнює 5 см, від нуля до -5 теж 5 см.
Насправді часто відстань відміряється лише від нуля – точкою відліку то, можливо будь-яке число (рис.2). Але сутність від цього не змінюється. Запис виду | a - b | висловлює відстань між точками аі bна числовій прямій.
приклад 1 . Розв'язати рівняння | х – 1| = 3.
Рішення .
Сенс рівняння в тому, що відстань між точками хта 1 дорівнює 3 (рис.2). Тому від точки 1 відраховуємо три поділи вліво і три поділи вправо - і наочно бачимо обидва значення х:
х 1 = –2, х 2 = 4.
Можемо й обчислити.
│х – 1 = 3
│х – 1 = –3
│х = 3 + 1
│х = –3 + 1
│х = 4
│ х = –2.
Відповідь: х 1 = –2; х 2 = 4.
Приклад 2 . Знайти модуль виразу:
Рішення .
Спочатку з'ясуємо, чи є вираз позитивним чи негативним. Для цього перетворюємо вираз так, щоб він складався з однорідних чисел. Не шукатимемо коріння з 5 – це досить складно. Вчинимо простіше: зведемо в корінь 3 і 10. Потім порівняємо величину чисел, що становлять різницю:
3 = √9. Отже, 3√5 = √9 · √5 = √45
10 = √100.
Ми, що перше число менше другого. Значить, вираз негативний, тобто його відповідь менша за нуль:
3√5 – 10 < 0.
Але згідно з правилом, модулем негативного числа є це число з протилежним знаком. У нас негативний вираз. Отже, треба змінити його символ на протилежний. Виразом, протилежним 3√5 – 10, є –(3√5 – 10). Розкриємо в ньому дужки - і отримаємо відповідь:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Відповідь.
Інструкція
Якщо модуль представлений як безперервної функції, то значення її аргументу то, можливо як позитивним, і негативним: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х
Модуль нулю, а модуль будь-якого позитивного числа – йому. Якщо аргумент негативний, після розкриття дужок його знак змінюється з мінуса на плюс. З цього випливає висновок, що модулі протилежних рівні: |-х| = | х | = х.
Модуль комплексного числаперебуває за такою формулою: |a| = √b ² + c ², а | a + b | ≤ |a| + | b |. Якщо в аргументі є у вигляді множника позитивне число, то його можна винести за знак дужки, наприклад: |4*b| = 4 * | b |.
Якщо аргумент представлений у вигляді складного числа, то зручності обчислень допускається порядку членів висловлювання, що у прямокутні дужки: |2-3| = | 3-2 | = 3-2 = 1, оскільки (2-3) менше від нуля.
Зведений у ступінь аргумент одночасно перебуває під знаком кореня того самого порядку – він вирішується за допомогою: √a² = |a| = ±a.
Якщо перед вами завдання, в якому не вказана умова розкриття дужок модуля, позбавлятися їх не потрібно – це і буде кінцевий результат. А якщо потрібно їх розкрити, необхідно вказати знак ±. Наприклад, потрібно знайти значення виразу √(2*(4-b))². Його рішення виглядає так: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * | 4-b |. Оскільки знак виразу 4-b невідомий, його потрібно залишити в дужках. Якщо додати додаткову умову, наприклад, |4-b| >
Модуль нуля дорівнює нулю, а модуль будь-якого позитивного числа – йому самому. Якщо аргумент негативний, після розкриття дужок його знак змінюється з мінуса на плюс. З цього випливає висновок, що модулі протилежних чисел рівні: |-х| = | х | = х.
Модуль комплексного числа перебуває за такою формулою: |a| = √b ² + c ², а | a + b | ≤ |a| + | b |. Якщо в аргументі є у вигляді множника ціле позитивне число, то його можна винести за знак дужки, наприклад: |4*b| = 4 * | b |.
Негативним модуль не може, тому будь-яке негативне число перетворюється на позитивне: |-x| = x, | -2 | = 2, |-1/7 | = 1/7, | -2,5 | = 2,5.
Якщо аргумент представлений у вигляді складного числа, то зручності обчислень допускається зміна порядку членів висловлювання, що у прямокутні дужки: |2-3| = | 3-2 | = 3-2 = 1, оскільки (2-3) менше від нуля.
Якщо перед вами завдання, в якому не вказана умова розкриття дужок модуля, позбавлятися їх не потрібно – це і буде кінцевий результат. А якщо потрібно їх розкрити, необхідно вказати знак ±. Наприклад, потрібно знайти значення виразу √(2*(4-b))². Його рішення виглядає так: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * | 4-b |. Оскільки знак виразу 4-b невідомий, його потрібно залишити в дужках. Якщо додати додаткову умову, наприклад, |4-b| > 0, то результаті вийде 2 * |4-b| = 2 * (4 - b). Як невідомий елемент також може бути задане конкретне число, яке слід брати до уваги, т.к. воно впливатиме на знак виразу.
Аналогічно, різниці z 1 - z 2 комплексних чисел z 1 і z 2 відповідає різниця векторів, що відповідають числам z 1 і z 2 .Модуль двох комплексних чисел z 1 і z 2 за визначенням модуля є довжина вектора z 1 - z 2 . як суму двох векторів z 2 і (- z 1). Отримаємо вектор , рівний вектору. Отже, є довжина вектора, тобто модуль різниці двох комплексних чисел є відстань між точками комплексної площини, які відповідають цим числам.
6. Аргументи комплексного числа. Аргументом комплексного числа z = a + ib називається величина кута між позитивним напрямом дійсної осі та вектором z; величина кута вважається позитивною, якщо відлік проводиться проти годинникової стрілки, і негативною, якщо відлік проводиться за годинниковою стрілкою.
Для позначення факту, що число j є аргументом числа z= a+ ib, пишуть j=argz або j=arg (a+ib).
Для числа z = 0 аргумент не визначається. Тому у всіх наступних міркуваннях, пов'язаних з поняттям аргументу вважатимемо, що. Зауважимо, що завданням модуля та аргументу комплексне число визначається однозначно; число z = 0 – єдине число, що визначається завданням лише його модуля.
З іншого боку, якщо встановлено комплексне число, то, очевидно, модуль цього числа завжди визначений єдиним чином на відміну від аргументу, який завжди визначається неоднозначно: якщо j - деякий аргумент числа z, то кути j+2pk, теж є аргументами числа z.
З визначення тригонометричних функцій випливає, що якщо j = arg (a + ib), то має місце така система
приклад 4. Скільки рішень має система рівнянь
а) Зобразимо в одній комплексній площині числа, модулі яких дорівнюють 3 та 1
знайдемо модуль1- i: .
Зауважимо, що жодна точка більшого кола не
наближена до меншої на відстань, що дорівнює ,
звідки й випливає, що система коренів немає.
При зрушенні на 3 iтільки однієї точки меншого кола ми отримуємо що ця точка потрапляє на
інше коло.
Ця точка буде рішенням системи.
в) Зобразимо в одній комплексній площині числа, модулі яких 1.
Зауважимо, що при зрушенні тільки двох точок на одиницю вліво ми потрапляємо на те саме коло, а значить ці два числа і будуть рішеннями системи.
7. Алгебраїчна та тригонометрична форми комплексного числа. Запис комплексного числа z як a +ib називається алгебраїчною формоюкомплексного числа.
Розглянемо інші форми запису комплексних чисел. Нехай r-модуль, а j - якийсь із аргументів комплексного числа z = a + ib, тобто r = , j = arg (a + ib). Тоді з формули (5) випливає, що, отже,
Запис комплексного числа у вигляді називається її тригонометричною формою.
Для того щоб перейти від форми алгебри комплексного числа a+ib до тригонометричної, достатньо знайти його модуль і один з аргументів.
Приклад 5. Яка кількість точок комплексної площини задається умовою
а) Ми повинні побудувати точки, які при зрушенні вниз на iі право на 1 повчалися б рівновіддаленими від початку координат, звідки
щоб побудувати безліч точок, що задовольняють цій умові, ми повинні:
1) побудувати безліч точок, рівновіддалених від початку координат на 2
2) зрушити його на 1 вліво та на iвгору
б) Ми повинні побудувати точки, які б розташовувалися ближче до точки - iчим до 2i,аці точки вказані на малюнку.
в) Дане рівняння рівносильне рівнянню
Тобто ці числа будуть видалені на відстань
на 1 праворуч. При цьому при виконанні другої умови, у на вийде кут, показаний на малюнку.
Тобто це будуть точки віддалені від початку координат не більше ніж на 1 і при цьому виключаючи число 0. Враховуючи другу та третю умову, отримаємо:
|
|
|||
е) Щоб побудувати точки, що задовольняють першу умову, треба зрушити точки, віддалені на відстань 1,
на 1 праворуч. При цьому, враховуючи інші умови, отримаємо
шукане безліч точок.
Приклад 6. Чи буде тригонометричною формою числа наступні вирази
Тригонометричною формою запису числа тільки буде вираз а), тому що тільки воно задовольняє визначенню тригонометричної форми запису числа (і при всіх тригонометричних функціях кути повинні бути рівні, а також якщо підрахувати значення виразу, то воно має бути рівним).
8. Множення та розподіл комплексних чисел у тригонометричній формі. Нехай
Таким чином, модуль та добуток двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, а сума аргументів співмножників є аргументом добутку.
Нехай тоді
Таким чином, модуль приватного двох комплексних чисел дорівнює приватному модулів діленого і дільника, а різниця аргументів діленого і дільника є аргументом частого.
9. Зведення в ступінь та вилучення кореня. Формула (6) для добутку двох комплексних чисел може бути узагальнена на випадок співмножників. Використовуючи метод математичної індукції, неважко показати, що якщо аргументи чисел відповідно, то
Звідси, як окремий випадок, виходить формула, що дає правило зведення комплексного числа в цілий позитивний ступінь:
Таким чином, при зведенні комплексного числа у ступінь з натуральним показником його модуль зводиться у ступінь з тим самим показником, а аргумент множиться на показник ступеня.
Формула (8) називається формулою Муавра.
Число називається коренем ступеня, з числа w(позначається, якщо
Якщо w=0, то за будь-якого nрівняння має одне і лише одне рішення z= 0.
Нехай тепер. zі wу тригонометричній формі:
Тоді рівняння набуде вигляду
Два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число, кратне 2 p.Отже,
Таким чином, усі рішення рівняння даються формулою
Справді, надаючи числу kу формулі (9)цілі значення, відмінні від 0, 1, …, ( n-1), ми отримуємо інших комплексних чисел.
Формула (9) називається Другою формулою Муавра.
Таким чином, якщо , то існує рівно nкоріння ступеня nз числа w: усі вони містяться у формулі(9).
Зокрема, якщо =2, то рівняння має два корені:
тобто це коріння симетричне щодо початку координат.
Також з формули (9) неважко отримати, що колись точки, що зображують усі корені рівняння, є вершинами правильного n-косинця, вписаного в коло з центром у точці z=0 і радіусом.
Зі сказаного вище випливає, що символ не має однозначного сенсу. Тому, вживаючи його, слід чітко уявляти, що під цим мається на увазі. Наприклад, використовуючи запис, слід подбати про те, щоб було ясно, чи розуміється під цим пара комплексних чисел iі -i,або одне, і, якщо одне, яке саме.
Приклад 7. Запишіть у тригонометричній формі:
б) Оскільки , то звідки.
Оскільки , то звідки
в) Оскільки , то звідки.
10.Квадратні рівняння. У шкільному курсіалгебри розглядалися квадратні рівняння
із дійсними коефіцієнтами a, b, c.Там було показано, що якщо дискримінант рівняння (10) невід'ємний, то рішення такого рівняння даються формулою
У випадку, якщо говорилося, що, рівняння не має рішень.
Для виведення формули (11) використовувався прийом виділення квадрата тричлена з наступним розкладанням лівої частини на лінійні множники:
звідки й виходила формула (11). Очевидно, що всі ці викладки залишаються справедливими і в тому випадку, коли a, b, cє комплексними числами, а коріння рівняння перебувають у багатьох комплексних чисел.
Таким чином, у багатьох комплексних чисел рівняння
завжди можна розв'язати. Якщо рівняння має один корінь;, рівняння має два корені. У всіх випадках для коріння квадратного рівняння справедлива формула
де маються на увазі всі значення кореня.
Приклад 8. Вирішити рівняння
а) Це рівняння є квадратним.
і, отже, xі yзадовольняють системі
причому xі y
Зауважимо, що x
При отримаємо:
Розв'яжемо рівняння (*): x 4 +15x 2 -16 =0 -квадратне рівняння щодо x 2 , звідки
Повернемося до системи:
б) Це рівняння є квадратним.
За формулою коренів квадратного рівняння маємо:
Для визначення всіх значень покладемо
і, отже, xі yзадовольняють системі
причому xі yдійсні числа. Вирішимо систему:
Зауважимо, що x=0 рішенням системи не є.
При отримаємо:
Розв'яжемо рівняння (*): x 4 -16x 2 -225 = 0 -квадратне рівняння щодо x 2 , звідки
Повернемося до системи:
Приклад 9. Вирішити рівняння
а) Нехай, тоді рівняння набуде вигляду:
Звідки по теоремі, зворотній теоремі Вієта отримаємо
повертаючись до z, отримаємо
1). Зауважимо, що. Використовуючи другу формулу Муавра, отримаємо:
Отже,
2). Зауважимо, що. Використовуючи другу формулу Муавра, отримаємо:
Отже,
б) Перетворимо рівняння:
Зауважимо, що . Використовуючи другу формулу Муавра, отримаємо:
Приклад10. Розв'яжіть рівняння:
Розв'яжемо рівняння як квадратне відносно z 2: D=
Нехай z=a+ib,тоді , а рівняння має вигляд
Нехай тоді, звідки
Нехай тоді, а значить отримаємо, ачит отримаємо, що
