Ступінні функції з дробовим показником. Ступінна функція. Властивості функції корінь n-ого ступеня, n – парне число

Графік (рис. 2).

Малюнок 2. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n)$

Властивості статечної функції з натуральним непарним показником

Область визначення - все дійсні числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення - всі дійсні числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функція зростає по всій області визначення.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функція увігнута, за $x\in (-\infty ,0)$ і опукла, за $x\in (0,+\infty)$.

Графік (рис. 3).

Малюнок 3. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Ступінна функція з цілим показником

Спочатку введемо поняття ступеня з цілим показником.

Визначення 3

Ступінь дійсного числа $a$ з цілим показником $n$ визначається формулою:

Малюнок 4.

Розглянемо тепер статечну функцію з цілим показником, її властивості та графік.

Визначення 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ називається статечною функцією з цілим показником.

Якщо ступінь більший за нуль, то ми приходимо до випадку статечної функції з натуральним показником. Його ми вже розглянули вище. При $n=0$ ми отримаємо лінійну функцію $y=1$. Її розгляд залишимо читачеві. Залишилося розглянути властивості статечної функції із негативним цілим показником

Властивості статечної функції із негативним цілим показником

Область визначення - $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Якщо показник парний, то функція парна, якщо непарна, то функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення:

Якщо показник парний, то $(0,+\infty)$, якщо непарний, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При непарному показнику функція зменшується, за $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При парному показнику функція зменшується за $x\in (0,+\infty)$. і зростає, за $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всій області визначення

1. Аналіз навчальної літературина тему: “Властивості статечної функції”

Вивчення статечної функції починається ще з 7 класу, з окремих випадків і триває протягом усього курсу алгебри. Аж до 11 класу, знання про статечну функцію узагальнюються, розширюються та систематизуються.

Аналіз навчальної літератури необхідно проводити за 9 клас, щоб на основі цього аналізу навчальної літератури побудувати зміст дидактичного посібника.

Підручник: “Алгебра. 9 клас". Мордкович А. Г., Семенов П. В. (Мнемозіна, 2009 р.)

У підручнику розглядаються статечні функції з цілим показником. Теоретичний матеріал на тему «Ступінна функція» включений у розділ «Числові функції» окремими параграфами, у яких розглядаються як самі функції, і їхні властивості та графіки.

Доступний для школярів виклад матеріалу включено велике числоприкладів з детальними та ґрунтовними рішеннями в 1-й частині (у підручнику), а вправи для самостійної роботивміщені у 2-й частині (у задачнику).

Структура вивчення матеріалу:

РОЗДІЛ 3. Числові функції

§12. Функції, їх властивості та графіки.

§13. Функції, їх властивості та графіки.

§14. Функції, її властивості та графік.

Далі визначаються статечні функції, як функції з натуральним показником (спочатку наводяться окремі випадки статечних функцій, потім виявляється загальна формула). Розглядаються статечні функції з парним показником ступеня, їх графіки, за якими пізніше виявляють властивості (область значення та область визначення функції, парність та непарність, монотонність, безперервність, найбільше та найменше значенняфункції, опуклість). Далі розглядаються статечні функції з непарним показником ступеня, а також їх графіки та властивості.

У § 13 визначають статечні функції з негативними показниками: спочатку парні функції, потім непарні. Аналогічно статечним функціям з натуральним показником наводяться окремі випадки:

Після чого виявляється загальна формула, так само розглядаються графіки та властивості

У § 14 вводиться функція

її властивості та графік, як окремий випадок статечної функції з раціональним показником n =

Перетворення графіків (симетрія) зводиться до того що, що графік парної функції симетричний щодо осі ординат, а графік непарної щодо початку координат. Тому для степових функцій розглядається дана функція на певному промені, будується її графік і, використовуючи симетрію, будується графік на всій числовій прямій. Далі проводиться читання графіка, тобто за графіком перераховуються властивості функції за схемою:

1) область визначення;

2) парність, непарність;

3) монотонність;

4) обмеженість знизу, зверху;

5) найменше та найбільше значенняфункції;

6) безперервність;

7) область значень;

8) опуклість.

а) переходить до допоміжної системи координат з початком у точці, в якій отримано значення при х = 0 і у = 0.

б) "прив'язує" функцію до нової системи координат.

Приклад 3. Побудувати графік функції

Рішення. Перейдемо до допоміжної системи координат із початком у точці (-1;-2) (пунктирні прямі на рис. 117) та «прив'яжемо» функцію до нової системи координат. Отримаємо потрібний графік (рис. 117)

У задачнику “Алгебра. 9 клас." за редакцією Мордкович А. Г. та Семенова П. Ст представлена ​​різноманітна система вправ. Набір вправ ділиться на два блоки: перший містить завдання двох базових рівнів: усні (напівусні) та завдання середньої складності; другий блок містить завдання рівня вище середнього чи підвищеної труднощі. До більшості завдань другого та третього рівнів наведено відповіді. Задачник містить велика кількістьрізноманітних завдань на побудову графіків різних видів статечної функції та визначення властивостей функції за її графіком. Наприклад:

№12.10. Побудуйте графік функції:

№12.15. Розв'яжіть графічно рівняння

№12.19. Побудуйте та прочитайте графік функції

Побудуйте та прочитайте графік функції

Підручник: “Алгебра. 9 клас". Микільський С. М., Потапов М. К., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. (Освіта, 2006р.)

Цей підручник призначений і для загальноосвітніх класів, в яких додаткові матеріалита складні завдання можна не розглядати. Якщо ж є достатньо годин, якщо клас виявляє інтерес до математики, то за рахунок доповнень в кінці розділів підручника, а також пунктів та окремих завдань із зірочкою, необов'язкових у звичайних загальноосвітніх класах, можна розширити та поглибити зміст досліджуваного матеріалу до обсягу, передбаченого програмою класів із поглибленим вивченням математики. Тобто підручник можна використовувати як у звичайних, так і класах з поглибленим вивченням математики.

Структура вивчення матеріалу:

РОЗДІЛ ІІ. Степінь числа

§4. Корінь ступеня

4.1 Властивості функції

4.2 Графік функції

4.3 Поняття кореня ступеня

4.4 Коріння парного та непарного ступенів

4.5 Арифметичний корінь

4.6 Властивості коренів ступеня

4.7 *Корінь ступеня з натурального числа

4.8 *Функція

Вивчення теми починається з властивостей функції (на прикладі n = 2 та n = 3) та її графіка. Потім вивчаються корінь ступеня n, арифметичний корінь та властивості коренів ступеня n, а також їх застосування до перетворення виразів. У класах з поглибленим вивченням математики додатково розглядаються теми: «Функція», «Ступінь із раціональним показником та її властивості».

Стверджується, що функції мають ряд однакових властивостей (область визначення, нулі функції, парність, непарність, безперервність, проміжки монотонності). Тому доцільно розглянути у випадку функцію, де - деяке натуральне число, . Запровадження визначення графіка функції ведеться через визначення параболи. Т. е., за відомим фактом, що графік функції - парабола, далі цей графік називають параболою другого ступеня, графік функції, називають параболою - й ступеня або, коротко, параболою. Властивості функції розглядаються лише невід'ємних з деякими доказами.

Вивчення побудови графіка функції починається із зображення графіків функцій на одній координатній площині тільки для невід'ємних значень.

Вивчення функції ґрунтується на отриманих раніше знаннях про арифметичний корінь ступеня. Побудова графіка функції ведеться в декартовій системікоординат. Для початку розглядається статечна функція та побудова її графіка в системі координат О. Таким чином, доводиться, що графік функції є частиною параболи ступеня.

1) Якщо х = 0, то у = 0.

2) Якщо, то.

3) Функція зростає.

4) Якщо, то.

5) Функція безперервна.

Система вправ на тему «Ступінна функція» різноманітна. Вона містить тренувальні завдання як усні, і письмові. Наприклад:

№ 316. Дана функція

Дослідіть цю функцію та побудуйте її графік.

№ 318. Побудуйте графік функції

№ 321. В одній системі координат побудуйте графіки функцій

№ 441. Побудуйте графік функції для:

№ 442. Побудуйте графік функції для:

Підручник: Алгебра. 9 клас". Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова (Освіта, 2009р.)

Цей підручник призначений для загальноосвітніх шкіл.

Структура вивчення матеріалу:

РОЗДІЛ IV. Ступінь із раціональним показником

§9. Ступінна функція

21. Парні та непарні функції

22. Функція

§10. Корінь n-го ступеня

23. Визначення кореня n-го ступеня

24. Властивості арифметичного кореня n-го ступеня

§11. Ступінь з раціональним показником та її властивості

25. Визначення ступеня з дробовим показником

26. Властивості з раціональним показником

27. Перетворення виразів, що містять ступеня з дробовими показниками

Вивчення статечної функції починається із запровадження понять парних і непарних функцій з прикладів порівняння значень функції при двох протилежних значеннях аргументу. Далі дається визначення парної та непарної функції з побудовою відповідних графіків.

Йдеться про те, що статечні функції при = 1, 2 і 3 (тобто функції) їх властивості та графіки, вивчені раніше. Далі з'ясовуються властивості статечної функції та особливості її графіка за будь-якого натурального. Розглядають функції, коли показник n – парне число, потім n – непарне. Розбирають властивості на прикладах, за схемою:

1. Область визначення;

2. Область значення;

3. Нулі функції;

4. Парність;

5. Непарність;

6. Монотонність функції.

Наступний параграф глави присвячений кореню n-го ступеня, у якому вводиться визначення, та розглядаються властивості.

Повторюється визначення: квадратним коренем у складі а називається таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно визначається корінь будь-якого натурального ступеня n: корінь n-го ступеня з числа а називається таке число, n-й ступіньякого дорівнює а. Для цього розглядається статечна функція спочатку з непарним показником n та її графік, яким показується, що для будь-якого числа а існує єдине значення х, n-я ступінь якого дорівнює а. Потім розглядається статечна функція з парним показником n, причому, якщо, існує два протилежних значення х, при таке число одне (число 0), при таких чисел немає.

На закінчення глави розглядається ступінь із раціональним показником та її властивості.

Система вправ різноманітна. Наприклад:

№503. Зобразіть схематично графік функції

№508. Розв'яжіть графічно рівняння

№513. Використовуючи графік функції розв'яжіть рівняння

№580. Побудуйте графік функції

№644. Побудуйте графік функції f , знаючи, що вона непарна і що її значення можуть бути знайдені за формулою

№643. Побудуйте графік функції

№663. Побудуйте графік функції. Користуючись графіком, порівняйте значення коренів

№669. Побудуйте графік функції

Підручник: Алгебра. 9 клас". Ш.А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров та ін. (Освіта, 2009р.)

При вивченні цієї теми особлива увага приділяється властивостям функцій та відображення цих властивостей на графіках. Одночасно формуються початкові вміння виконувати найпростіші перетворення графіків функцій.

Структура вивчення матеріалу:

РОЗДІЛ ІІІ. Ступінна функція

§12. Область визначення функції

§13. Зростання та зменшення функції

§14. Парність та непарність функції

§15. Функція

§16. Нерівності та рівняння, що містять ступінь

Основною метою даного розділу є не тільки познайомити учнів зі статечною функцією, а й розширити відомі відомості про властивості функції в цілому (область визначення, монотонність, парність і непарність функції), виробити вміння дослідити за заданим графіком функції,

При вивченні матеріалу цього розділу поглиблюються і значно розширюються функціональні уявлення учнів.

У §12 формулюється визначення функції, аргументу та області визначення функції. Нагадується визначення графіка функції способу його побудови, зокрема і з допомогою елементарних перетворень.

У § 13 йде знайомство з поняттям статечної функції. На прикладах і виявляється область визначення; нагадуються визначення зростаючої та спадної функції, і даються визначення зростання та спадання статечної функції.

Уявлення про парну та непарну функцію учням дається на наочному рівні. У підручнику розглянуто дві задачі, у яких потрібно побудувати графіки функції та. Вивчаються властивості даних функцій і основі симетричності даються поняття про парності чи непарності функції.

У § 15 учні отримують уявлення про функцію при різних значеннях k, вчаться будувати графік функції та читати його (тобто визначати властивості функції за її графіком). За допомогою функції уточнюється поняття зворотної пропорційності, про яке згадувалося в курсі алгебри 8 класу.

При вивченні функції при k > 0 спочатку функція, представляється як окремий випадок статечної: з урахуванням зміни параметра k.

У параграфі розглядаються чотири завдання, у яких потрібно побудувати графіки функцій. Завдання 1 для побудови графіка функції використовуються всі властивості функції, вивчені в попередніх параграфах. У задачі 2 при побудові графіків функцій і застосовується відоме розтягнення графіка функції по осі абсцис в 2 рази. І, з опорою на ці дві задачі, формулюються властивості функції при в.

У задачі 4 потрібно побудувати графік функції (опора на задачі 1-2), тобто графік цієї функції можна побудувати, зрушуючи графік функції вздовж осі Ох вправо на одиницю і вздовж осі Оу вниз на 2 одиниці.

У системі вправ представлені різні типизавдань: як обов'язкові, і додаткові завдання підвищеної складності.

Серед завдань на побудову графіків статечних функцій можна виділити такі вправи:

№ 164. Побудувати графік та знайти проміжки зростання та зменшення функції

№ 166. Намалювати ескіз графіка функції при

№ 171. Побудувати графік та знайти проміжки зростання та зменшення функції

№ 174. Побудувати ескіз графік функції

№ 179. З'ясувати властивості функції та побудувати її графік

№ 180. Побудувати графік функції

№ 191. Побудувати графік функції

№ 218. З'ясувати, чи є функція парної чи непарної

Учні з вивчення матеріалу опановують такі поняття, як область визначення, парність і непарність функції, зростання і зменшення функції на проміжку.

Поняття зростання і спадання функції учні зустрічали в курсі алгебри 8 класу, але лише при вивченні цієї теми формуються визначення цих понять, а отже, з'являється можливість аналітично довести зростання або спадання конкретної функції на проміжку (проте проведення подібних доказів не входить до обов'язкових умінь) . Учні навчаються знаходити проміжки зростання функції за допомогою графіка цієї функції.

При вивченні теми приклади статечної функції з дробовим показником не розглядаються, оскільки поняття ступеня з раціональним показником у цьому курсі не вводиться.

При вивченні кожної конкретної функції (включаючи і функції), учні зможуть зобразити ескіз графіка функції і за графіком перерахувати її властивості.

Підручник: “Алгебра. Поглиблене вивчення. 9 клас." Мордкович А. Г. (Мнемозіна, 2006р.)

Взяли підручник за 2006 рік, оскільки в цьому підручнику, на відміну від пізніших видань, включено тему ступінь із раціональним показником. Взагалі кажучи, нині ця тема вивчається у старшій школі, але в мультимедійному посібнику ми включили як пропедевтичний матеріал.

Книга призначена для поглибленого вивчення курсу математики у 9-му класі середньої школи. Цей підручник написано з урахуванням підручника 9-го класу для загальноосвітніх установ (А. Р. Мордкович. Алгебра-9). У ньому реалізована та ж програма, а відмінність полягає у глибшому вивченні відповідних питань курсу: прості приклади замінені складнішими та цікавішими.

Структура вивчення матеріалу:

РОЗДІЛ 4. Ступінні функції. Ступені та коріння

§17. Ступінь із негативним цілим показником

§18. Функції, їх властивості та графіки

§19. Концепція кореня n-йступеня з дійсного числа

§20. Функції, їх властивості та графіки

§21. Властивості кореня n-го ступеня

§22. Перетворення виразів, що містять радикали

§23. Узагальнення поняття про показник ступеня

§24. Функції, їх властивості та графіки

У § 18 йдеться про статечні функції з цілочисловим показником, тобто про функції і т. д. Цей параграф розбивається на пункти:

Автор нагадує, що найпростіший випадок такої функції розглядали у 7-му класі – це була функція. Цей пункт починається з розгляду функції. Будується графік і перераховуються характеристики цієї функції за певним порядком: 1) область визначення; 2) парність, непарність; 3) монотонність; 4) обмеженість знизу, зверху; 5) найменше та найбільше значення функції; 6) безперервність; 7) область значень; 8) опуклість.

Властивості були прочитані за графіком, тепер пропонується довести існування цих властивостей аналітично.

Автор робить висновок про те, що графік будь-якої статечної функції, схожий на графік функції, тільки його гілки круто спрямовані вгору і більш притиснуті до осі х на відрізку і зазначає, що крива стосується осі х в точці (0; 0).

Наприкінці пункту наводиться приклад побудови графіка функції Побудова: 1) перехід до допоміжної системи координат із початком у точці (1; -2); 2) побудова кривої.

1) Функція

Властивості та графік статечної функції з непарним показником спочатку досліджуються на прикладі функції, графіком якої є кубічна парабола.

Автор робить висновок про те, що графік будь-якої статечної функції, схожий на графік функції, тільки чим більше показник, тим більш круто спрямовані вгору (і відповідно вниз) гілки графіка і зазначає, що крива стосується осі х у точці (0; 0).

Далі наводиться приклад використання графіка статечної функції для вирішення рівняння Рішення проходить у 4 етапи: 1) розглядаються дві функції: і; 2) побудова графіка функції; 2) побудова графіка лінійної функції; 4) знаходять точку перетину та виконується перевірка.

2) Функція

Йдеться про статечні функції з негативним цілим показником (парним). Спочатку розглядається приклад функції. Будується графік і перераховуються характеристики цієї функції. Зокрема, доводиться властивість зменшення функції при.

мультимедійний наочність функція школа математика

3) Функція

У цьому випадку розглядаються статечні функції з негативним цілим показником (непарним): і т. д. Автор нагадує, що одну таку функцію вже вивчили у 8-му класі – це. Нагадуються її властивості та графік (гіпербола), і робиться висновок про те, що графік будь-якої функції схожий на гіперболу.

У § 19 дається поняття кореня n-го ступеня з дійсного числа і, зокрема зазначається, що з будь-якого невід'ємного числа можна отримати корінь будь-якого ступеня (другий, третій, четвертий і т. д.), а з негативного числа можна отримати корінь будь-якого непарного ступеня.

У § 20 говориться про функцію заданої при, досліджуються її графік та властивості на окремому прикладі (при). По рисунку, у якому зображені графік функції і графік функції, визначається і, потім, аналітично підтверджується симетрія цих графіків.

У цьому параграфі розглядається функція у разі непарного будь-яких значень. Йдеться про властивості цієї функції та будується графік.

· Якщо - парне число, то графік функції має вигляд, поданий на рис. 1;

· Якщо - непарне число, то графік функції має вигляд, поданий на рис. 2.

У § 24 розглядається функція виду, - будь-яке дійсне число (обмежуємось випадками раціонального показника).

1. Якщо - натуральне число, то отримуємо функцію (графіки та властивості відомі)

2. Якщо, то отримуємо функцію, тобто. У разі парного графіка має вигляд, зображений на рис. 3а, у разі непарного графіка має вигляд, зображений на рис. 3б

Мал.

3. Якщо, тобто йдеться про функцію, то це функція, де

Приблизно так само для будь-якої статечної функції виду, де:

1. - неправильний дріб (числитель більший за знаменник). Її графіком є ​​крива, схожа на гілку параболи. Чим більший показник, тим «крутіше» спрямована ця крива вгору. Будується графік та наводяться властивості.

2. - правильний дріб () (§ 20). Будується графік та наводяться властивості.

Будується графік та наводяться властивості.

У задачнику “Алгебра. Поглиблене вивчення. 9 клас." Завича Л. І., Рязановського А. Р. представлена ​​різноманітна система вправ. Складність завдань підвищується зі зростанням їх порядкових номерів. Задачник містить велику кількість різноманітних вправ на побудову графіків різних видів статечної функції, дослідженні та застосуванні її властивостей.

Наприклад:

№17.05. Побудуйте на одному кресленні графіки функцій

Побудуйте графіки функцій

№17.35. Побудуйте графік функції

та за допомогою графіка вкажіть проміжки її монотонності, точки екстремуму, екстремуми та кількість її нулів.

Побудуйте графіки функцій:

№19.01. Побудуйте на одному кресленні графіки функцій

№19.04. Побудуйте графіки функцій

№19.22. Побудуйте графіки та проведіть дослідження функцій

№21.01. Побудуйте одному кресленні графіки функцій, при і, при і перерахуйте властивості функції: а) область визначення D(y); б) безліч значень E(y); в) нулі функції; г) проміжки монотонності; д) проміжки опуклості; е) точки екстремуму; ж) екстремуми; з) парність чи непарність; і) найбільше та найменше значення.

№21.03. Побудуйте графіки та досліджуйте такі функції

№21.11. Побудуйте на одному кресленні графіки функцій

на відрізку

№21.17. Побудуйте графіки функцій

№25.01. Побудуйте на тому самому кресленні ескізи графіків наступних пар функцій

№25.05. Побудуйте графіки функцій та опишіть їх властивості

№25.06. Побудуйте на сусідніх кресленнях графіки функцій

№25.18. Побудуйте графіки функцій

№25.30. Побудуйте графіки функцій

Аналіз навчальної літератури дозволяє зробити деякі висновки

Розглядаючи стандарт основного загальної освітиз математики, бачимо, що учні повинні вивчити наступні видистатечної функції:

Часткові випадки (пряма, зворотна пропорційність, квадратична функція),

З натуральним показником,

З цілим показником,

З позитивним раціональним показником,

З раціональним показником,

З ірраціональним показником,

Із дійсним показником.

Важливу роль цій темі грає формування образу графіків функций. Також учні повинні вміти: визначати властивості функції за її графіком; описувати властивості вивчених функцій, будувати їх графіки. Розгляд стандарту дозволяє зробити висновок, що тема “Ступінна функція” включена до обов'язкового мінімуму знань, умінь та навичок школярів і, отже, наша увага до неї цілком виправдана.

Для того щоб сформувати міцні вміння та навички про статечну функцію, необхідно вивчити методику теми «Властивості статечної функції», до якої ми і переходимо.

2. Методичні основи вивчення теми “Властивості статечної функції” у школі

Ступінна функція належить до класу елементарних функцій.

Метою її вивчення є не лише знайомство учнів зі статечною функцією, а й розширення відомих їм відомостей про властивості функцій загалом.

При вивченні теми «Ступінна функція» переважно користуються аналітичним та графічним методом дослідження функцій. У тих випадках, коли аналітичне дослідження важко сприймається учнями, використовують графічні методи, проте останні не можуть бути доказами.

Учнями виконується велика кількість графічних робітПри цьому звертається увага не тільки на точність та акуратність їх виконання, а й на раціональні прийоми побудови графіків.

Сформувати міцні вміння у побудові та читанні графіків статечної функції, домогтися, щоб кожен учень міг виконувати основні види завдань самостійно, можна лише за умови виконання учнями достатньої кількості тренувальних вправ.

Наприклад, у журналі "Математика в школі" Лопатіна, Л.В. пропонує наступний урок-майстерню:

Урок-майстерня націлює учнів те що, щоб вони власним працею здобували знання. У цьому – основний лейтмотив розвиваючої педагогіки. Тема «Ступінна функція» дуже підходить для творчої роботивсього класу, оскільки статечна функція (, де - будь-яке раціональне число) - це практично безліч функції, мають різні характеристики залежно від показника ступеня.

Обговорення цих властивостей найкраще організувати за групами. Для цього клас доцільно поділити на шість груп.

Насамперед, вчителю необхідно уявляти собі послідовність роботи в «майстерні»:

І етап – індукція – звернення до попереднього досвіду;

III етап - розрив - момент, коли учні повинні усвідомити, що у знаннях є прогалини, що вони самі мають заповнити;

IV етап – рефлексія – визначення ступеня засвоєння.

Опишемо докладніше кожен із етапів уроку.

І етап – індукція. Вчитель нагадує про те, що в класі вже вивчали функції, їх властивості та графіки. Ці функції можна у вигляді задати формулою: , де - деяке ціле число. Така функція називається статечною. Перед класом ставиться таке завдання: перерахувати питання, куди ми маємо відповісти, вивчаючи нову функцію.

Клас обговорює ці питання щодо груп, а потім усі питання ох груп збираються в єдиний список:

· Якими властивостями має ця функція?

· Який її графік?

· У яких ситуаціях вона використовується?

Почнемо із відповіді на останнє запитання. Наведемо приклади кількох ситуації, у яких з'являється статечна функція.

Троє учнів по черзі виходять до дошки та роблять повідомлення, підготовлені вдома.

Перший учень розглядає функцію, де площа поперечного перерізу дроту діаметром. Слухачі зауважують, що ця статечна функція фактично є квадратичною, але з обмеженнями на значення аргументу.

Другий учень розповідає про те, що сила тяжіння двох тіл із масами і виражається формулою. Це функція відстані між цими тілами. У класі знайдеться учень, який зауважить, що ми вже будували графік функції такого виду, хоча спеціально її не вивчали.

Третій учень аналізує дальність відстані горизонту від наблюдателя: . Ця функція висоти, яку піднято спостерігач над рівнем моря. Якщо хлопці самі цього не помітили, то вчитель має наголосити, що тут величина не може зростати необмежено. Дійсно, як би не був високо піднятий спостерігач, він не може побачити більше, ніж дозволяють можливості його зору та опуклість Земної кулі. Цей приклад особливо показовий, оскільки дозволяє судити про доцільність обмежень на значення функції. Тут якісь обмеження ми маємо накласти на значення функції, хоча значення, теоретично кажучи, можуть зростати необмежено.

II етап - обговорення теми. Учням надається деякий час для того, щоб вони розібрали властивості однієї з обраних ними статечних функцій. Головна проблема тут у виборі функції. Одна група схильна спрощувати завдання, обмежуючись функцією виду, яка всім учням добре відома. Інша група надто ускладнює свою роботу, зайнявшись функцією виду або, а то й обома разом, хоча загальний підхід до питання учням ще не зрозумілий.

Зрештою, знаходяться групи, які вибрали функції, графіки яких вже розглядалися раніше, хоча на них не робилося необхідного акценту.

Перша група розглядала функцію виду; відзначила область її визначення: і нульове значення функції при. Діти особливо зупинилися на тому, що функція зростає по всій області визначення. Виділили проміжки, на яких функція більша або менша за нуль. Вони особливо підкреслили, що ця функція непарна і не має ні найбільшого, ні найменшого значення.

Від цієї групи виступає перед класом один учень, який розповідає про результати досліджень у групі.

Друга група обрала до розгляду функцію. Діти помітили, що тепер доведеться виключити з області визначення функції число 0, тобто. . На відміну від попередньої, ця функція не має нулів. Але, як і розглянута вище, ця функція позитивна і негативна при. Вона зменшується по всій області визначення.

Представник цієї групи особливо підкреслює різницю між функціями и.

Ще двоє учнів розповідають про функції.

Під час своїх виступів усі доповідачі мають продемонструвати графіки розглянутих функцій.

У час IIIетапу уроку учні мають узагальнити свої знання. А зробити це вони мають самостійно, здивувавшись розмаїттю розглянутих функцій. "Чому їм дано одну назву, якщо їх так багато і вони різні?" - ось питання, яке мають поставити перед собою учні. Завдання вчителя – непомітно підвести учнів до цього питання. Настає момент так званого розриву, коли хлопці мають усвідомити недоліки своїх знань, їхню обмеженість чи неповноту. Дійсно, одна функція із розглянутих має нулі, інша ні. Одна зростає по всій області визначення, інша - то зростає, то зменшується. Яку ж характеристику ми повинні дати всієї статечної функції, щоб вона охоплювала якнайбільше окремих випадків?

У пошуку відповіді це питання хтось із хлопців зрештою здогадується, що вигляд статечної функції зручно пов'язати з парністю чи непарністю показника ступеня.

Тепер доречно знову дати завдання групам обговорити властивості функцій

де - непарне;

де - парне;

де - непарне;

де - парне.

Ще раз відзначаємо план дослідження функції:

Вказати область визначення.

Визначити парність чи непарність функції (або відзначити, що вона не є ні парною, ні непарною).

1. Знайти нулі функції, якщо такі є.

2. Відзначити проміжки знакостійності.

3. Знайти проміжки зростання та спадання.

4. Вказати найбільше чи найменше значення функції.

На завершення учням надаються графіки розглянутих функцій, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ці графіки виконують представники кожної групи.

Тепер разом із класом будуємо графіки функції, де натуральне число в.

Відзначається загальна властивістьцих функцій: вони обидві мають область визначення - проміжок. Вони обидві є ні парною, ні непарною. Вони обидві більше за нуль.

Але ці функції мають і відмінності. Хлопці їх називають особливо: функція виду зростає у своїй області визначення, а функція виду зменшується тієї ж області. Функція вигляду має нульове значення при, а функція вид, а не має нулів.

На ІV етапі учні мають зайнятися рефлексією, тобто. визначенням ступеня засвоєння матеріалу. Весь клас отримує наступне завдання з рис. 3.

На рис. 3 а-з схематично зображені графіки функцій, які задані формулами

Встановіть, яка формула з даного списку відповідає кожному з графіків а-з.

У журналі "Математика в школі" Петрова, Н.П. пропонує проект «Вивчення властивостей статечної функції за допомогою програми Excel»:

Описаний у статті навчальний проект на тему «Вивчення властивостей функцій та за допомогою електронних таблиць Excel» проводився вчителями математики та інформатики нашого ліцею в IX класі та був розрахований на п'ять уроків.

Метою проекту було надання учням самостійності та ініціативи щодо вивчення нової темита застосування на практиці вивченого раніше матеріалу.

У процесі виконання проекту дев'ятикласники мали показати:

· Вміння грамотно формулювати завдання проекту;

· Вміння аналізувати інформацію та робити висновки;

· Вміння грамотно інтерпретувати отримані результати та застосовувати їх у практичній діяльності.

Перед учнями стояло завдання дослідити поведінку графіків функцій та засобами програми Excel, а потім на основі отриманих даних описати властивості функцій.

За результатами проекту дев'ятикласники мали засвоїти загальний виглядграфіків функцій і, навчитися будувати і «читати» ці графіки, і навіть вирішувати графічно рівняння виду = f(x).

Зауважимо, що робота над цим проектом була покликана сприяти розвитку у школярів вміння порівнювати, виділяти загальні ознакита відмінності у графіках статечної функції при різних значеннях.

Наведемо поетапний опис проекту.

Етап I. Підготовка (пошуковий етап)

Пробудження в учнів інтересу до теми проекту відбувається у процесі розмови. Учням пропонується вирішити відомими ним способами рівняння

З'ясовується, що рівняння хлопці можуть вирішити двома способами: аналітичним та графічним, рівняння – графічним способом. Решту рівнянь вони вирішити не можуть, але якби були знайомі з графіками функцій, то вирішили б завдання графічно.

Підсумком розмови є формулювання проблемного питання: як виглядають графіки функцій і де? Після цього визначаються напрями подальшої роботи, формулюються завдання:

1. З'ясуйте за допомогою програми Excel, як виглядає графік функції при парному п і опишіть властивості цієї функції.

2. З'ясуйте за допомогою програми Excel, як виглядає графік функції при непарному п і опишіть властивості цієї функції.

3. З'ясуйте за допомогою програми Excel, як виглядає графік функції при парному п і опишіть властивості цієї функції.

4. З'ясуйте за допомогою програми Excel, як виглядає графік функції при непарному п і опишіть властивості цієї функції.

Потім відбувається розбиття класу на робочі групи. Вчитель пропонує учням самостійно розділитись на чотири групи (за бажанням) і вибрати в кожній групі керівника. Коли групи сформовані, вони обирають один із напрямків роботи в проекті (згідно з перерахованими вище завданнями).

Етап ІІ. Планування (аналітичний етап)

Вчитель допомагає групам скласти план роботи з вирішення обраної задачі та рекомендує джерела отримання інформації. Учні самостійно розподіляють ролі групи. Приблизний розподіл ролей у групі зазначено у таблиці. Кількість учнів групи залежить від кількості учнів у класі.

На цьому етапі обговорюється форма подання результатів роботи. У цьому випадку було обрано комп'ютерну презентацію з використанням PowerPoint.

Етап ІІІ. Дослідження (практичний етап)

Учні виконують завдання відповідно до плану роботи. Вчитель спостерігає за їх діяльністю, за потреби консультує учнів.

Як приклад наведемо план роботи групи №1.

1. Побудова графіків функцій, засобами Excel.

2. Порівняння графіків, формулювання варіантів рекомендацій для побудови графіка функції при натуральному парному п.

3. Визначення властивостей функції за графіком.

4. Розбір прикладів практичного застосуванняграфік функції.

На основі проведеного дослідження учні роблять висновок, що графіки функцій виду при натуральному парному п є кривими, схожими на параболу, і дають рекомендації для побудови графіка: слід враховувати, що графік симетричний щодо осі Оу, тому достатньо скласти таблицю значень функції для позитивних значень аргументу х.

Крім того, на даному етапі створюється загальний сценарій презентації, який уточнюватиметься під час проекту. У цьому сценарії зокрема визначаються кількість слайдів, призначення кожного з них, а також основні об'єкти, які слід розмістити на слайдах.

Етапи IV та V. Захист проекту, оцінка результатів (презентаційний та контрольний етапи)

Захист проектів (за групами) відбувається на останньому із запланованих уроків.

Наведемо тепер поурочний графік роботи над даним проектом та зміст кожного уроку.

Урок 1 (математика)

· Постановка проектної задачі. Визначення напрямів роботи, формулювання завдань проекту.

· Розбиття на робочі групи, вибір керівника у групах.

· Складання плану роботи з вирішення поставлених завдань, розподіл ролей у групах, вибір форми подання результатів.

Урок 2 (інформатика)

· Розмова про призначення електронних таблиць Excel.

· Повторення побудови графіків різних функцій засобами Excel.

· Побудова графіків досліджуваних функцій засобами Excel. Аналіз одержаної інформації, формулювання висновків.

Урок 3 (математика)

· Побудова та «читання» графіків функцій та

· Рішення рівнянь виду, де графічним способом.

· Створення сценарію презентації.

Урок 4 (інформатика)

· Повторення призначення та принципів роботи програми Power Point.

· Створення презентації.

Урок 5 (математика)

· Захист проектів.

Наведемо також загальний план уроку – захисту проекту.

1. Організаційний момент.

2. Мотивація застосування знань через виявлення проблеми.

Вступне слово вчителя

На сьогоднішньому уроці головним об'єктом вивчення є функції та, де, їх властивості та графіки. Ви вже вмієте вирішувати рівняння першого ступеня (лінійні) та другого (квадратні) за формулами коренів. Для рівнянь 3-го ступеня також є спеціальні формули коренів, але вони дуже громіздкі і практично застосовуються рідко. Для рівнянь, ступінь яких вищий за третій, загальних формулкоріння немає. Виникає проблема: як можна вирішити такі рівняння? Виявляється, якщо не аналітично, то графічно. А щоб застосовувати графічний спосіб для вирішення рівнянь виду і, треба вміти будувати графіки функцій та, де.

Дослідженням графіків цих функцій займалися чотири групи. Зараз кожна з них познайомить нас із результатами виконаної роботи.

3. Виступи гуртів.

Подання (захист) проекту кожною групою, відповіді на запитання опонентів.

4. Самооцінка та оцінка кожного виступу іншими групами (за п'ятибальною шкалою).

Перерахуємо основні критерії оцінки:

· Відповідність змісту заявленої теми, точність, закінченість викладу;

· Відсутність помилок;

· Оформлення (дизайн): наскільки розмітка слайдів відповідає естетичним вимогам;

· Чи легко читається текст; чи відповідає зображення змісту тощо;

· Переконливість, аргументованість виступу; грамотність мови, володіння термінологією;

· Повнота відповідей на питання.

Окремо оцінюється взаємодія у групі: комунікабельність, повага та увага до інших учасників, активність.

Підраховується загальна кількість зароблених балів та рейтингова оцінка (середньоарифметичний бал); на їх основі виставляється оцінка за участь у проекті.

5. Обговорення вкладу у проект кожного учня та виставлення оцінок.

6. Підбиття підсумків (рефлексія).

7. Заключне слово вчителя

В ході проектної діяльностіна цю тему ви відповіли на питання, що являють собою графіки функцій та, і дали рекомендації щодо їх побудови. Тепер ви можете вирішувати деякі рівняння виду та графічним методом. Дякуємо всім учням за творчу та плідну роботу, яка сприяла досягненню цілей проекту.

Враховуючи вищесказане, у своєму посібнику ми спробували відобразити системний підхіддо вивчення статечної функції. Щоб мінімізувати труднощі роботи з комп'ютером постаралися зробити зручну і природну навігацію і врахувати вимоги до дидактичних програмних засобів.

Ви знайомі з функціями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y=x pде p - задане дійсне число. Властивості та графік статечної функції суттєво залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від показника ступеня p.

Показник p=2n-парне натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y=x 2n, де n- натуральне число, має наступні

властивостями:

область визначення - всі дійсні числа, тобто множина R;

безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;

функція y=x 2nпарна, оскільки x 2n =(-x) 2n

функція є спадною на проміжку x<0 та зростаючою на проміжку x>0.

Графік функції y=x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y=x 4 .

2. Показник p=2n-1- непарне натуральне число У цьому випадку статечна функція y=x 2n-1, де натуральне число, має наступні властивості:

область визначення - множина R;

безліч значень - множина R;

функція y=x 2n-1непарна, оскільки (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y=x2n-1має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y=x3.

3.Показник p=-2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y=x -2n =1/x 2n має такі властивості:

множина значень - позитивні числа y>0;

функція y =1/x 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функція зростає на проміжку x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Графік функції y =1/x 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y =1/x 2 .

4.Показник p=-(2n-1), де n- натуральне число. У цьому випадку статечна функція y=x -(2n-1)має такі властивості:

область визначення - множина R, крім x=0;

безліч значень - множина R, крім y=0;

функція y=x -(2n-1)непарна, оскільки (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функція є спадною на проміжках x<0 і x>0.

Графік функції y=x -(2n-1)має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y=1/x 3 .

1. Зворотні тригонометричні функції, їх властивості та графіки.

Зворотні тригонометричні функції, їх властивості та графіки.Зворотні тригонометричні функції (кругові функції, аркфункції) - математичні функції, що є зворотними до тригонометричних функцій.

1. Функція arcsin

Графік функції .

Арксинусомчисла mназивається таке значення кута x, для котрого

Функція безперервна і обмежена на всій своїй числовій прямій. Функція є строго зростаючою.

1. [ред.]Властивості функції arcsin

1. [ред.]Отримання функції arcsin

Дана функція На всій своїй області визначеннявона є шматково-монотонної, і, отже, зворотна відповідність функцією не є. Тому ми розглянемо відрізок, на якому вона строго зростає та приймає всі значення області значень- . Оскільки функції на інтервалі кожному значенню аргументу відповідає єдине значення функції, то цьому відрізку існує зворотна функція графік якої симетричний графіку функції на відрізку щодо прямої