Чи є поблизу Вас олівець? Погляньте на його перетин - воно є правильним шестикутником або, як його ще називають, гексагоном. Таку форму має також переріз гайки, поле гексагональних шахів, деяких складних молекулвуглецю (наприклад, графіт), сніжинка, бджолині стільники та інші об'єкти. Чи не здається дивним таке часте використання природою для своїх творінь конструкцій саме цієї форми? Давайте розглянемо докладніше.
Правильний шестикутник є багатокутником з шістьма однаковими сторонами і рівними кутами. З шкільного курсунам відомо, що він має такі властивості:
- Довжина його сторін відповідає радіусу описаного кола. З усіх це властивість має лише правильний шестикутник.
- Кути рівні між собою, і величина кожного становить 120 °.
- Периметр гексагону можна знайти за формулою Р=6*R, якщо відомий радіус описаного навколо нього кола, або Р=4*√(3)*r, якщо коло вписано. R і r - радіуси описаного та вписаного кола.
- Площа, яку займає правильний шестикутник, визначається так: S=(3*√(3)*R 2)/2. Якщо радіус невідомий, замість нього підставляємо довжину однієї зі сторін - як відомо, вона відповідає довжині радіусу описаного кола.
У правильного шестикутника є одна цікава особливість, Завдяки якій він отримав у природі таке широке поширення, - він здатний заповнити будь-яку поверхню площини без накладень та пробілів. Існує навіть так звана лема Пала, згідно з якою правильний гексагон, сторона якого дорівнює 1/√(3), є універсальною покришкою, тобто може покрити будь-яку множину з діаметром в одну одиницю.
Тепер розглянемо побудову правильного шестикутника. Є кілька способів, найпростіший з яких передбачає використання циркуля, олівця та лінійки. Спочатку малюємо циркулем довільне коло, потім у довільному місці на цьому колі робимо крапку. Не змінюючи розчину циркуля, ставимо вістря в цю точку, відзначаємо на колі наступне насічення, продовжуємо так доти, поки не отримаємо всі 6 точок. Тепер залишається лише з'єднати їх між собою прямими відрізками, і вийде шукана фігура.
Насправді бувають випадки, коли потрібно намалювати шестикутник великого розміру. Наприклад, на дворівневій стелі гіпсокартону, навколо місця кріплення центральної люстри, потрібно встановити на нижньому рівні шість невеликих світильників. Циркуль таких розмірів знайти буде дуже складно. Як вчинити у цьому випадку? Як взагалі намалювати велике коло? Дуже просто. Потрібно взяти міцну нитку потрібної довжини та обв'язати один із її кінців навпроти олівця. Тепер залишилося лише знайти помічника, який притиснув би до стелі в потрібній точці другий кінець нитки. Звісно, у разі можливі незначні похибки, але навряд вони взагалі будуть помітні сторонній людині.
Сторін. Р = а1+а2+а3+а4+а5+а6, де Р – периметр шестикутника, а а1, а2 … а6 – довжини його сторін. Одиниця виміру периметра шестикутникабуде збігатися з одиницею виміру сторін.
Приклади із реального життя
Геометрія - це галузь математики, яка займається вивченням форм різних вимірів та аналізом їх властивостей. У цьому дослідженні форм багатокутне сімейство є однією з найпоширеніших фігур. Багатокутники закриті двомірними плоскими об'єктами, які мають прямі сторони. Багатокутник, що складається з 6 сторін та 6 кутів, відомий як шестикутник. Будь-яка замкнута плоска двовимірна структура з 6 прямими сторонами називатиметься шестикутником. Слово "шістнадцятковий" означає 6, а "кут" відноситься до кута.
Приклад. Є шестикутник з довжинами сторін 1 см, 2 мм, 3 мм, 4 мм, 5 мм, 6 мм. Потрібно знайти його периметр.Рішення.1. Одиниця виміру першої сторони (см) відрізняється від одиниць виміру довжин інших сторін (мм). Тому переведіть: 1 см = 10 мм.2. 10+2+3+4+5+6=30 (мм).
Якщо шестикутник правильний, то щоб знайти його периметр, помножте довжину сторони на шість:Р = а * 6,де а – довжина сторони правильного шестикутника.Приклад.Знайти периметр правильного шестикутниказ довжиною сторони рівною 10 см. Рішення: 10 * 6 = 60 (см).
Як показано на діаграмі нижче, шестикутник має 6 сторін або краї, 6 кутів та 6 вершин. Площа шестикутника – це простір, що займається у межах шестикутника. Використовуючи вимірювання сторони та кута, ми можемо знайти область шестикутника. Шестикутники можна спостерігати у різних формах у нашій красивій природі. На наведеному нижче малюнку показана заштрихована частина всередині меж шестикутника, яка називається зоною шестикутника.
Цей тип шестикутника також не має 6 рівних кутів. Якщо вершини нерегулярного шестикутника спрямовані назовні, то він відомий як нерегулярний опуклий шестикутник, а якщо вершини шестикутника спрямовані всередину, то він відомий як увігнутий нерегулярний шестикутник, як показано на малюнку нижче. Оскільки виміри сторін та кутів нерівні, тому ми повинні використовувати різні стратегії, щоб знайти область нерегулярного шестикутника. Метод обчислення площі правильного шестикутника відрізняється від методу розрахунку площі нерегулярного шестикутника.
Правильний шестикутник має унікальну властивість: радіус описаної навколо такого шестикутникакола дорівнює довжині його боку. Тому, якщо відомий радіус описаного кола, до скористайтеся формулою: P = R * 6, де R – радіус описаного кола.
Область регулярного шестикутника: правильний шестикутник має всі 6 сторін та 6 кутів, рівних у міру. Коли тягнуть діагоналі, що проходять через центр шестикутника, утворюються 6 рівносторонніх трикутників однакового розміру. Якщо розраховується площа одного рівностороннього трикутника, ми можемо легко обчислити площу даного правильного шестикутника. Отже всі його сторони також рівні.
Тепер правильний шестикутник складається з шести таких конгруентних рівносторонніх трикутників. Приклад 1: Яка площа правильного шестикутника, довжина якого 8 см? Приклад 2: Якщо площа правильного шестикутника становить 12 квадратних футів, то яка довжина сторони шестикутника?
Розрахувати периметр правильного шестикутника, писаного в коло діаметром 20 см. Рішення. Радіус описаного кола дорівнюватиме: 20/2=10 (см). Отже, периметр шестикутника: 10 * 6 = 60 (см).
Приклад: знайдіть область нерегулярного шестикутника, показаного на малюнку нижче. Шестикутні сітки використовуються в деяких іграх, але вони не такі прості або поширені як квадратні сітки. Багато частин цієї сторінки є інтерактивними; вибір типу сітки буде оновлювати діаграми, код та текст для відповідності. Зразки коду на цій сторінці написані у псевдокоді; вони призначені для легкого читання та розуміння, щоб ви могли написати свою власну реалізацію.
Шестикутники – це шестигранні багатокутники. Звичайні шестикутники мають усі сторони однакової довжини. Типові орієнтації для гексарифмічних сіток є горизонтальними та вертикальними. Кожне ребро поділяється двома шестикутниками. Кожен кут поділяється трьома шестикутниками. У моїй статті про частини сітки. У правильному шестикутнику внутрішні кути 120°. Є шість «клинів», кожен із яких рівносторонній трикутник із кутами 60° усередині.
Якщо за умовами задачі заданий радіус вписаного кола, то застосуйте формулу:P = 4 * √3 * r, де r – радіус вписаного у правильний шестикутник кола.
Якщо відома площа правильного шестикутника, то для розрахунку периметра використовуйте наступне співвідношення: S = 3/2 * √3 * а², де S – площа правильного шестикутника. Звідси можна знайти а = √(2/3 * S / √3), отже:Р = 6 * а = 6 * √(2/3 * S / √3) = √(24 * S / √3) = √ (8 * √3 * S) = 2√(2S√3).
Враховуючи гексагон, який 6 гексів є сусідами з ним? Як і слід було очікувати, відповідь проста з координатами куба, все ще досить проста з осьовими координатами і трохи складніше з координатами зміщення. Ми могли б також захотіти розрахувати шість діагональних гексів.
Враховуючи місцезнаходження та відстань, що видно з цього місця, а чи не заблоковане перешкодами? Найпростіший спосіб зробити це – намалювати лінію для кожного гексагонального діапазону. Якщо лінія не б'є по стінах, ви можете побачити гекс. Миша над шістнадцятковим, щоб побачити, як лінія тягнеться до цього гексу, і до яких стін він потрапляє.
За визначенням із планіметрії правильним багатокутником називається опуклий багатокутник, У якого сторони рівні між собою і кути так само рівні між собою. Правильний шестикутник є правильним багатокутником з числом сторін рівним шести. Існує кілька формул до розрахунку площі правильного багатокутника.
- Випуклий семикутник - це той, який не має тупих внутрішніх кутів.
- Увігнута спіраль - одна з тупим внутрішнім кутом.
де а – Довжина сторони правильного шестикутника.
приклад.
Знайти периметр правильного шестикутника з довжиною сторони, що дорівнює 10 см.
Рішення: 10*6=60 (см).
Правильний шестикутник має унікальну властивість: радіус описаного навколо такого шестикутника кола дорівнює довжині його сторони. Тому, якщо відомий радіус описаного кола, скористайтеся формулою:
де R – радіус описаного кола.
приклад.
Розрахувати периметр правильного шестикутника, писаного в коло діаметром 20 см.
Рішення.
Радіус описаного кола дорівнюватиме: 20/2=10 (см).
Отже, периметр шестикутника: 10*6 = 60 (см). Якщо за умовами завдання заданий радіус вписаного кола, то застосуйте формулу:
де r - Радіус вписаної в правильний шестикутник кола.
Якщо відома площа правильного шестикутника, для розрахунку периметра використовуйте наступне співвідношення:
S = 3/2 * v3 * а?,
де S – площа правильного шестикутника.
Звідси можна знайти а = v (2/3 * S / v3), отже:
Р = 6 * а = 6 * v (2/3 * S / v3) = v (24 * S / v3) = v (8 * v3 * S) = 2v (2Sv3).
Як просто
Щоб знайти площу правильного шестикутника онлайн за потрібною формулою, введіть у поля числа і натисніть кнопку «Порахувати онлайн».
Увага!Числа з точкою (2.5) треба писати з точкою (.), а не з комою!
1. Усі кути правильного шестикутника дорівнюють 120°
2. Усі сторони правильного шестикутника ідентичні одна одній
Регулярний шестикутний периметр
4. Форма поверхні правильного шестикутника
5. Радіус віддаленого кола правильного шестикутника
6. Діаметр круглого кола нормального шестикутника
7. Радіус введеного правильного шестикутного кола
8. Відносини між радіусами введених та обмежених кіл
як , і , і , з якого випливає трикутник - прямокутна з гіпотенузою - це те саме. Таким чином,
10. Довжина AB дорівнює
11. Формула сектора
Обчислення сегментів сегментів правильного шестикутника
Мал. 1. Регулярні шестикутні сегменти з розбивкою на ті самі алмази
1. Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу зазначеного кола
2. Підключення точок із шестикутником, ми отримаємо ряд рівних ромбів (рис.
з квадратами
Мал. Сегменти правильного шестикутника з розбивкою на ті самі трикутники
3. Додати діагональ , , у ромбах ми отримуємо шість однакових трикутників з поверхнями
3. Сегменти нормального шестикутника з розбивкою на трикутники
4. Оскільки нормальний шестикутник дорівнює 120°, площа і вони будуть однаковими
5. Області та ми використовуємо квадратну формулу реального трикутника 
.
Враховуючи, що в нашому випадку висота , але основою ми його отримуємо
Площа нормального шестикутникаЦе число, яке притаманно правильного шестикутника в одиницях площі.
Справжній шестикутник.Це шестикутник, у якому всі сторінки та кути однакові.
[ред.] Легенда
Введіть запис:
- Довжина сторінки;
N- кількість клієнтів, n = 6;
рЄ радіусом введеного кола;
RЦе радіус кола;
α - половина центрального кута, α = π / 6;
P6- Розмір правильного шестикутника;
SΔ- Поверхня рівного трикутника з основою, рівним стороні, а бічні сторони рівні радіусу кола;
S6Це область нормального шестикутника.
[ред.] Формули
Формула використовується для області регулярного n-кутника в n = 6:
S_6 = \ frac (3a ^ 2) (2) CTG \ frac (\ pi) (6) \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = 6S _ (\ triangle) \ S _ (\ triangle ) = \ frac (e ^ 2) ( 4) CTG \ frac (\ pi) (6) \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = \ frac (1) (2) P_6r \ P_6 = \ right (\math) (Math) \ Leftrightarrow S_6 = 6R ^ 2 \ sin \ frac (\ pi) (6) \ cos \ frac ((pi) Frac (\ pi) (6) \ R = \ frac (a) (2 \ sin \ frac (\ pi) (6)) \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = 6r ^ 2tg \ frac ( pi) (6), \ r = R \ cos \ frac ( \ pi) (6)
Використання кутів тригонометричного кута для кутів α = π / 6:
S_6 = \ FRAC (3 \ sqrt (3)) (2) ^ 2 \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = 6S _ (\ triangle) \ S _ (\ triangle) = \ FRAC ( \ sqrt (3)) (4) ^ 2 \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = \ frac (1) (2) P_6r \ P_6 = 6a, \ r = \ FRAC (\ sqrt (3)) (2) A \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = \ FRAC (3 \ sqrt ( 3)) (2) R ^ 2, \ R = A \ Leftrightarrow \ \ r = \ frac (\ sqrt (3)) (2) R leftrightarrow S_6 = 2 \ sqrt (3) r ^ 2
де (Math) \ (pi \) sin \ frac (6) = \ frac (1) (2) \ cos \ frac (\ pi) (6) = \ FRAC (\ sqrt (3)) (2) , tg \ frac (\ pi) (6) = \ frac (\ sqrt (3)) (3) pi) (6) = \ sqrt (3)
[ред.] Інші полігони
Загальна площа гексагону // KhanAcademyNussian
Бджоли бджіл стають гексагональними без допомоги бджіл
Типовий сітчастий малюнок може бути виконаний, якщо осередки трикутні, квадратні або шестикутні.
Шестикутна форма більша, ніж решта, дозволяє вам зберігати на стінах, залишаючи на сотах менше соку з такими клітинами. Вперше ця «економіка» бджіл була відзначена у IV. Century. E. і в той же час було висловлено припущення, що бджоли при побудові годинника «мають керуватися математичним планом».
Однак з дослідниками з Університету Кардіффа бджоли технічної слави сильно перебільшені: правильна геометрична форма гексагональної стільникової комірки виникає через появу їхньої фізичної сили і лише помічників комах.
Чому це прозоро?
Марк Медовник
Народжений із кристалів?
Микола Юшкін
У їх структурі найпростішими біосистемами та кристалами вуглеводнів є найпростіші.
Якщо такий мінерал доповнюється білковими компонентами, ми отримуємо справжній прото-організм. Отже, починається початок концепції кристалізації походження життя.
Спори про структуру води
Маленков Г.Г.
Суперечки про структуру води були предметом занепокоєння протягом багатьох десятиліть у науковому співтоваристві, а також у людях, не пов'язаних із наукою. Цей інтерес не випадковий: структура води іноді приписується цілющим властивостям, і багато хто вважає, що цю структуру можна контролювати якимось. фізичним методомабо просто силою розуму.
І яка думка вчених, які десятиліттями вивчали таємниці води в рідкому та твердому стані?
Мед та медолікування
Стоймір Младенов
Використовуючи досвід інших дослідників та результати експериментальних та клінічних експериментальних дослідженьАвтор звертає увагу на цілющі властивості бджіл і метод його використання в медицині як частина їх можливостей.
Щоб зробити цю роботу більш стійкою зовнішністю і дати читачеві можливість отримати більш цілісне уявлення про економічне та медичне значення бджіл у книзі, коротко обговорюватимуться й інші продукти бджіл, які нерозривно пов'язані з життям бджіл, а саме бджіл отрута, маточне молочко, пилок, віск та прополіс, а також зв'язок між наукою та цими продуктами.
Каустики у площині та у всесвіті
Каустики являють собою комплексні оптичні поверхні та криві, які виникають, коли світло відбивається і руйнується.
Каустик можна описати як лінії або поверхні з концентрованим променем світла.
Як працює транзистор?
Вони всюди: у кожному електричному приладі, від телевізора до старого Тамагочі.
Ми нічого не знаємо про них, бо сприймаємо їх як реальність. Але без них світ би повністю змінився. Semiconductors. Про те, що це таке та як це працює.
Нехай тарган виявиться турбулентним
Міжнародна команда вчених визначила, наскільки легко мухам літати за вітряної погоди. Виявилося, що навіть за умов значних ударів особливий механізм створення підйомних сил дозволяє комахам залишатися на ходу з мінімальними додатковими витратами енергії.
Встановлено механізм самоорганізації нанокристалів карбонатів та силікатів у біоморфній структурі
Олена Наймарк
Іспанські вчені виявили механізм, який може викликати спонтанне утворення кристалів карбонатів та силікатів дуже складної та незвичайної форми.
Ці кристалічні новоутворення подібні до біоморфів — неорганічних структур, отриманих за участю живих організмів. І механізм, що приводить до такої міміки, напрочуд простий — це тільки спонтанне коливання рН розчину карбонатів і силікатів на кордоні. твердим кристаломі рідким середовищем, яке утворюється.
Хибні зразки високого тиску
Комаров С.М.
з якою формулою знайти ділянку правильного шестикутника зі стор. 2?
- це шість односторонніх трикутників зі стороною 2
поверхня рівностороннього трикутника дорівнює а і квадратний корінь 3, поділений на 4 де а = 2 - Площа вежі становить 12* основу висоти. Шестикутник – шестигранний багатокутник, розділений на шість рівних трикутників.
всі рівносторонні трикутники з кутом 60 градусів і стороною 2 см. знайти висоту теореми Піфагора 2 у квадратах = 1 висота квадрата на квадратний корінь, тому висота = 3S = 12 * 2 * 3 + квадратний корінь квадратний корінь 3 години TP 6 означає 6 коренів 3
- Особливістю правильного шестикутника є рівність його боку t і радіус віддаленого кола (R = t).
Нормальна площа шестикутника розраховується з використанням рівняння:
Справжній шестикутник
- Нормальна площа шестикутника дорівнює 3x для квадрата кореня. 3 x R2/2, де R - радіус кола навколо нього. У правильному шестикутнику є та сама сторона шестикутника = 2, тоді площа дорівнюватиме квадрату кореня 6x. від 3.
Увага, тільки СЬОГОДНІ!
З питанням: Як знайти площу шестикутника?, можна зіткнутися не тільки на іспиті з геометрії тощо, ці знання стануть у нагоді і в побуті, наприклад, для правильного і точного обчислення площі приміщення в процесі ремонту. Підставивши у формулу необхідні значення, вдасться визначити необхідну кількість рулонів шпалер, плитки у ванну чи кухню тощо.
Небагато фактів з історії
Геометрія використовувалася ще у стародавньому Вавилоніта інших державах, що існували одночасно з ним. Обчислення допомагали при зведенні значних споруд, оскільки завдяки їй архітектори знали, як витримати вертикаль, правильно скласти план, визначити висоту.
Естетика теж мала велике значенняі тут знову йшла в хід геометрія. Сьогодні цій наукі потрібні будівельнику, закрійнику, архітектору, та й не фахівцю теж.
Тому краще вміти розраховувати S фігур, розуміти, що формули можуть стати в нагоді на практиці.
Площа правильного 6-кутника
Отже, у нас шестикутна фігура з рівними сторонами та кутами. У повсякденності ми часто маємо нагоду зустріти предмети правильної шестикутної форми.
Наприклад:
- гайка;
- бджолині соти;
- Сніжинка.
Шестикутна фігура найбільше економічно заповнює простір на площині. Погляньте на тротуарну плитку, одна підігнана до іншої так, що проміжків не залишається.
Кожен кут дорівнює 120? Сторона фігури дорівнює радіусу описаного кола..
Розрахунок
Необхідне значення можна обчислити, розбивши фігуру шість трикутників з рівними сторонами.
Обчисливши S одного з трикутників, неважко визначити загальну. Проста формула, тому що правильний шестикутник, по суті, є шістьма рівними трикутниками. Таким чином, для її розрахунку знайдену площу одного трикутника множать на 6.
Якщо від центру шестикутника до будь-якої сторони провести перпендикуляр, виходить відрізок – апофема.
Подивимося, як знаходити S шестикутника, якщо апофема відома:
- S = 1/2×периметр×апофема.
- Візьмемо апофему рівну 53 см.
- Знаходимо периметр, використовуючи апофему: так як апофема перпендикулярно до сторони 6-кутника, кути трикутника, утвореного за допомогою апофеми, дорівнюють 30-60-90˚. Кожна сторона трикутника відповідає: x-x√3-2x, де коротка, проти кута 30˚, це x; довга сторона проти кута 60 - x√3, а гіпотенуза - 2x.
- Апофему x√3 можна підставити формулу a=x√3. Якщо апофема дорівнює 5?3, підставивши дану величину, отримаємо: 5?3см=x?3, або x=5см.
- Короткий бік трикутника становить 5см, оскільки ця величина – половина довжини сторони 6-кутника. Помноживши 5 на 2, отримаємо 10см, що значення довжиною боку.
- Отриману величину помножимо на 6 та отримаємо значення периметра – 60см.
Підставляємо отримані результати у формулу: S=1/2×периметр×апофема
S=½×60 см× 5√3
Вважаємо:
Спрощуємо отриману відповідь, щоб позбутися коріння. Результат буде виражений у квадратних сантиметрах: ?×60см×5?3см=30?5?3см=150?
Як знаходити площу неправильного шестикутника
Є кілька варіантів:
- Розбивка шестикутника на інші фігури.
- Метод трапеції.
- Розрахунок S неправильних багатокутників за допомогою осей координат.
Вибір методу диктується вихідними даними.
Метод трапеції
Шестикутник поділяється на окремі трапеції, після чого обчислюється площа кожної отриманої фігури.
Використання осей координат
Використовуємо координати вершин багатокутника:
- У таблицю записуємо координати вершин x та y . Послідовно вибираємо вершини, "рухаючись" проти годинникової стрілки, завершуючи список повторним записом координат першої вершини.
- Помножуємо значення координати x 1-ї вершини на значення y 2-ї вершини і продовжуємо так множити. Складаємо отримані результати.
- Значення координат y1 вершини множимо на значення координат x 2 вершини. Складаємо результати.
- Віднімаємо суму, отриману на 4-му етапі із суми, отриманої на третьому етапі.
- Ділимо результат, отриманий на попередньому етапі, і знаходимо, що шукали.
Розбивка шестикутника на інші фігури
Багатокутники розбиваються інші фігури: трапеції, трикутники, прямокутники. Користуючись формулами обчислення площ перерахованих фігур, необхідні значення обчислюються та складаються.
Неправильний шестикутник може складатися із двох паралелограмів. Щоб обчислити площу паралелограма, його довжина множиться з його ширину, а далі вже відомі дві площі складаються.
Площа рівностороннього шестикутника
У правильного шестикутника є шість рівних сторін. Площа рівносторонньої фігури дорівнює 6S трикутників, куди розбитий правильний шестикутник. Кожен трикутник у правильному шестикутнику дорівнює, тому для обчислення площі такої фігури досить знати площу хоча б одного трикутника.
Щоб визначити потрібне значення користуються формулою площі правильної фігури, описаної вище.
Тему багатокутників проходять у шкільній програміале не приділяють їй достатньої уваги. А тим часом вона цікава, і особливо це стосується правильного шестикутника чи гексагону – адже цю форму мають багато природних об'єктів. До них відносяться бджолині стільники та багато іншого. Ця форма дуже добре застосовується практично.
Визначення та побудова
Правильним шестикутником називається площинна фігура, що має шість рівних по довжині сторін і стільки ж рівних кутів.
Якщо згадати формулу суми кутів багатокутника
то виходить, що у цій фігурі вона дорівнює 720 °. Ну а оскільки всі кути фігури рівні, неважко порахувати, що кожен із них дорівнює 120°.
Накреслити шестикутник дуже просто, для цього достатньо циркуля та лінійки.
Покрокова інструкція виглядатиме так:
За бажання можна обійтися і без лінії, накресливши п'ять рівних за радіусом кіл.
Отримана таким чином фігура буде правильним шестикутником і це можна довести нижче.
Властивості прості та цікаві
Щоб зрозуміти властивості правильного шестикутника, його має сенс розбити на шість трикутників:
Це допоможе надалі наочніше відобразити його властивості, головні з яких:
- діаметр описаного кола;
- діаметр вписаного кола;
- площа;
- периметр.
Описане коло та можливість побудови
Навколо гексагону можна описати коло, і до того ж лише одну. Оскільки фігура ця правильна, можна поступити досить просто: від двох сусідніх кутів провести всередину бісектриси. Вони перетнуться в точці О, і утворюють разом із стороною між ними трикутник.
Кути між стороною гексагону і бісектрисами будуть по 60 °, тому можна точно сказати, що трикутник, наприклад, АОВ - рівнобедрений. А оскільки третій кут теж дорівнюватиме 60°, то він ще й рівносторонній. Звідси випливає, що відрізки ОА і ВВ рівні, отже, можуть бути радіусом кола.
Після цього можна перейти до наступної сторони, і з кута при точці С також вивести бісектрису. Вийде черговий рівносторонній трикутник, причому сторона АВ буде спільною відразу для двох, а ОС - черговим радіусом, через який йде те ж коло. Всього таких трикутників вийде шість, і у них буде загальна вершина в точці О. Виходить, що описати коло буде можна, і вона всього одна, а її радіус дорівнює стороні гексагону:
Саме тому і можливе побудова цієї фігури за допомогою циркуля та лінійки.
Ну а площа цього кола буде стандартна:
Вписане коло
Центр описаного кола збігається з центром вписаного. Щоб переконатися, можна провести з точки Про перпендикуляри до сторін шестикутника. Вони будуть висотами тих трикутників, у тому числі складений гексагон. А в рівнобедреному трикутнику висота є медіаною по відношенню до сторони, на яку вона спирається. Таким чином, ця висота не що інше, як серединний перпендикуляр, що є радіусом вписаного кола.
Висота рівностороннього трикутника обчислюється просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
А оскільки R=a та r=h, то виходить, що
r=R(√3)/2.
Таким чином, вписане коло проходить через центри сторін правильного шестикутника.
Її площа складатиме:
S=3πa²/4,
тобто три чверті від описаної.
Периметр та площа
З периметром все ясно, це сума довжин сторін:
P=6а, або P=6R
А ось площа дорівнюватиме сумі всіх шести трикутників, на які можна розбити гексагон. Оскільки площа трикутника обчислюється як половина добутку основи на висоту, то:
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2або
S=3R²(√3)/2
Бажаючим обчислювати цю площу через радіус вписаного кола можна зробити і так:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Цікаві побудови
У гексагон можна вписати трикутник, сторони якого з'єднують вершини через одну:
Усього їх вийде два, і їхнє накладання один на одного дасть зірку Давида. Кожен із цих трикутників - рівносторонній. У цьому неважко переконатись. Якщо подивитися на бік АС, вона належить відразу двом трикутникам - ВАС і АЕС. Якщо в першому з них АВ = ВС, а кут між ними 120 °, то кожен з решти буде 30 °. Звідси можна зробити закономірні висновки:
- Висота АВС з вершини буде дорівнювати половині сторони шестикутника, оскільки sin30°=1/2. Бажаючим переконатися в цьому можна порадити перерахувати за теоремою Піфагора, вона тут підходить якнайкраще.
- Сторона АС дорівнюватиме двом радіусам вписаного кола, що знову-таки обчислюється за тією самою теоремою. Тобто АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
- Трикутники АВС, СДЕ та АЕF рівні по двох сторонах і куті між ними, і звідси випливає рівність сторін АС, РЄ та ЕА.
Перетинаючи один з одним, трикутники утворюють новий гексагон, і він також правильний. Доводиться це просто:
Таким чином, фігура відповідає ознакам правильного шестикутника – у неї шість рівних сторін та кутів. З рівності трикутників при вершинах легко вивести довжину сторони нового гексагону:
d=а(√3)/3
Вона ж буде радіусом описаного навколо нього кола. Радіус вписаної буде вдвічі меншим від сторони великого шестикутника, що було доведено при розгляді трикутника АВС. Його висота становить якраз половину сторони, отже, друга половина - це радіус вписаного в маленький гексагон колу:
r₂=а/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Виходить, що площа гексагону всередині зірки Давида втричі менша, ніж у великого, в який вписано зірку.
Від теорії до практики
Властивості шестикутника дуже активно використовуються як у природі, так і в різних сферах діяльності людини. У першу чергу це стосується болтів і гайок - капелюшки перших і другі є ніщо інше, як правильний шестигранник, якщо не брати до уваги фаски. Розмір гайкових ключів відповідає діаметру вписаного кола - тобто відстані між протилежними гранями.
Знайшла своє застосування та гексагональна плитка. Вона поширена набагато менше чотирикутної, але класти її зручніше: в одній точці замикаються три плитки, а не чотири. Композиції можуть бути дуже цікаві:
Випускається бетонна плитка для мощення.
Поширеність гексагону у природі пояснюється просто. Таким чином, найпростіше щільно вмістити кола та кулі на площині, якщо у них однаковий діаметр. Через це у бджолиних сот така форма.
