Рух точки в просторі можна вважати заданим, якщо відомі закони зміни трьох її декартових координат x, y, z як функції часу. Однак у деяких випадках просторового руху матеріальних точок (наприклад, в областях, обмежених поверхнями різної форми) використання рівнянь руху в декартових координатах незручно, оскільки вони стають надто громіздкими. У таких випадках можна вибрати інші три незалежні скалярні параметри $q_1,(\q)_2,\\q_3$, які називаються криволінійними, або узагальненими координатами, які також однозначно визначають положення точки в просторі.
Швидкість точки М при завданні її руху в криволінійних координатах визначиться у вигляді векторної суми складових швидкостей, паралельних координатним осям:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Проекції вектора швидкості на відповідні координатні осі рівні: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline(1,3)$
Тут $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ - параметр, який називається i-м коефіцієнтомЛаме і дорівнює значенню модуля приватної похідної від радіус-вектора точки за i-ою криволінійною координатою, обчисленою в даній точці М. Кожен із векторів $\overline(e_i)$ має напрямок, що відповідає напрямку руху точкикінця радіус-вектора $r_i$ при зростанні i-йузагальненої координати. Модуль швидкості в ортогональній криволінійній системі координат можна розрахувати за залежністю:
У наведених формулах значення похідних та коефіцієнтів Ламе обчислюють для поточного положення точки М у просторі.
Координатами точки в сферичній системі координат є скалярні параметри r, $(\mathbf \varphi),\(\mathbf \theta)$, що відраховуються так, як показано на рис. 1.
Малюнок 1. Вектор швидкості у сферичній системі координат
Система рівнянь руху точки в даному випадку має вигляд:
\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\)
На рис. 1 зображені радіус-вектор r, проведений з початку координат, кути $(\mathbf \varphi )$ і $(\mathbf \theta )$, а також координатні лінії та осі аналізованої системи в довільній точці М траєкторії. Видно, що координатні лінії $((\mathbf \varphi))$ і $((\mathbf \theta))$ лежать на поверхні сфери радіусом r. Дана криволінійна система координат також є ортогональною. Декартові координатиможуть бути виражені через сферичні координати так:
Тоді коефіцієнти Ламе: $ H_r = 1; \ \ H_ (\ Varphi) = rsin \ Varphi; \ \ H_0 = R $; проекції швидкості точки на осі сферичної системи координат $v_r=\dot(r\ \); $ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $, а модуль вектора швидкості
Прискорення точки у сферичній системі координат
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta),\]
проекції прискорення точки на осі сферичної системи координат
\ \
Модуль прискорення $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Завдання 1
Точка рухається по лінії перетину сфери і циліндра відповідно до рівнянь: r = R, $varphi $ = kt/2, $theta $ = kt/2 , (r, $varphi $, $theta $ --- сферичнікоординати). Знайти модуль та проекції швидкості точки на осі сферичної системи координат.
Знайдемо проекції вектора швидкості на осі сферичних координат:
Модуль швидкості $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi)+v^2_(\theta))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$
Завдання 2
Використовуючи умову задачі 1, визначити модуль прискорення точки.
Знайдемо проекції вектора прискорення на осі сферичних координат:
\ \ \
Модуль прискорення $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi)+a^2_(\theta))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
завдання руху
Скористаємося рівнянням (4) та візьмемо від нього похідну за часом
(8) при одиничних векторах стоять проекції вектора швидкості на координатні осі
Проекції швидкості на координатні осі визначаються як перші похідні часу від відповідних координат.
Знаючи проекції, можна знайти модуль вектора та його напрямок
,
(10)
Визначення швидкості при природному способі
завдання руху
Нехай дана траєкторія матеріальної точкита закон зміни криволінійної координати. Припустимо, при t 1 точка мав 
а координату s 1 , а при t 2 – координату s 2 . За час
координата отримала приріст 
тоді середня швидкість точки
.
Для знаходження швидкості у заданий момент часу перейдемо до межі
,
.
(12)
Вектор швидкості точки при природному способі завдання руху визначається як перша похідна часу від криволінійної координати.
Прискорення точки
Під прискоренням матеріальної точкирозуміють векторну величину, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості точки за величиною та напрямком з плином часу.
Прискорення точки при векторному способі завдання руху
Розглянемо точку у два моменти часу t 1
(
) та t 2
(
), тоді 
- Збільшення часу, 
- Збільшення швидкості.
Вектор 
завжди лежить у площині руху та спрямований у бік увігнутості траєкторії.
П 
од середнім прискоренням точкиза час
t
розуміють величину
.
(13)
Для знаходження прискорення у заданий момент часу перейдемо до межі
,
.
(14)
Прискорення точки в даний момент часу визначається як друга похідна від радіус-вектора точки або перша похідна від вектора швидкості за часом.
Вектор прискорення розташований у площині, що стикається, і направлений у бік увігнутості траєкторії.
Прискорення точки при координатному способі завдання руху
Скористаємося рівнянням зв'язку векторного та координатного способів завдання руху
І візьмемо від нього другу похідну
,
.
(15)
У рівнянні (15) за одиничних векторів стоять проекції вектора прискорення на координатні осі
.
(16)
Проекції прискорення на координатні осі визначаються як перші похідні від проекцій швидкості або як другі похідні від відповідних координат за часом.
Модуль та напрямок вектора прискорення можна знайти за такими виразами
,
(17)
,
,
.
(18)
Прискорення точки при природному способі завдання руху
П 
усть точка рухається по криволінійній траєкторії. Розглянемо два її положення у моменти часу t
(s, M, v) та t 1
(s 1 , M 1 , v 1).
Прискорення визначається через його проекції на осі природної системи координат, що рухається разом з точкою M. Осі при цьому спрямовані наступним чином:
M - дотична, спрямована вздовж дотичної до траєкторії, у бік позитивного відліку відстані,
M n– головна нормаль, спрямована по нормалі, що лежить у площині, що стикається, і спрямована у бік увігнутості траєкторії,
M b– бінормаль, перпендикулярна площині M nта утворює з першими осями праву трійку.
Так як вектор прискорення лежить у площині, що дотикається, то a b = 0. Знайдемо проекції прискорення інші осі.
.
(19)
Спроектуємо (19) на координатні осі
,
(20)
.
(21)
Проведемо через точку M 1 осі паралельні осям у точці M і знайдемо проекції швидкості:
де - так званий кут суміжності.
Підставляємо (22) до (20)
.
При t 0 0, cos 1, тоді
.
(23)
Дотичне прискорення точки визначається першою похідною за часом від швидкості або другою похідною за часом від криволінійної координати.
Дотичне прискорення характеризує зміну вектора швидкості за величиною.
Підставимо (22) у (21)
.
Помножимо чисельник і знаменник на sщоб отримати відомі межі
де 
(перша чудова межа),
,
,
, де
- Радіус кривизни траєкторії.
Підставляючи обчислені межі (24), отримаємо
.
(25)
Нормальне прискорення точки визначається ставленням квадрата швидкості до радіусу кривизни траєкторії у цій точці.
Нормальне прискорення характеризує зміну вектора швидкості за напрямом і завжди спрямоване у бік увігнутості траєкторії.
Остаточно отримаємо проекції прискорення матеріальної точки на осі природної системи координат та модуль вектора
,
(26)
.
(27)
Формули для обчислення швидкості точки, прискорення, радіуса кривизни траєкторії, дотичної, нормалі та бінормалі за заданими залежностями координат від часу. Приклад розв'язання задачі, в якій по заданим рівняннямруху потрібно визначити швидкість та прискорення точки. Також визначається радіус кривизни траєкторії, дотична, нормаль та бінормаль.
ЗмістВступ
Висновки наведених нижче формул та виклад теорії наводиться на сторінці “Кінематика матеріальної точки”. Тут ми застосуємо основні результати цієї теорії координатного способу завдання руху матеріальної точки.
Нехай ми маємо нерухому прямокутну систему координат із центром у нерухомій точці. У цьому положення точки M однозначно визначаються її координатами (x, y, z). Координатний спосіб завдання руху точки- це спосіб, у якому задані залежності координат від часу. Тобто задані три функції від часу (при тривимірному русі):
Визначення кінематичних величин
Знаючи залежності координат від часу, ми автоматично визначаємо радіус-вектор матеріальної точки M за формулою:
,
де - поодинокі вектори (орти) у напрямі осей x, y, z.
Диференціюючи за часом, знаходимо проекції швидкості та прискорення на осі координат:
;
;
Модулі швидкості та прискорення:
;
.
.
Тангенційне (дотичне) прискорення - це проекція повного прискорення на напрямок швидкості:
.
Вектор тангенційного (дотикового) прискорення:
Нормальне прискорення:
.
;
.
Одиничний вектор у напрямку головної нормалі траєкторії:
.
Радіус кривизни траєкторії:
.
Центр кривизни траєкторії:
.
.
Приклад розв'язання задачі
Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями її руху
За заданими рівняннями руху точки встановити вид її траєкторії та для моменту часу знайти положення точки на траєкторії, її швидкість, повне, дотичне та нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.
Рівняння руху точки:
, см;
, Див.
Рішення
Визначення виду траєкторії
Виключаємо час із рівнянь руху. Для цього перепишемо їх у вигляді:
;
.
Застосуємо формулу:
.
;
;
;
.
Отже, ми отримали рівняння траєкторії:
.
Це рівняння параболи з вершиною в точці та віссю симетрії.
Оскільки
, то
; або
.
Аналогічним чином отримуємо обмеження для координати:
;
;
Таким чином, траєкторією руху точки є дуга параболи.
,
розташована при
та .
Будуємо параболу по точках.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Визначаємо положення точки в момент часу.
;
.
Визначення швидкості точки
Диференціюючи координати і за часом, знаходимо компоненти швидкості.
.
Щоб продиференціювати, зручно застосувати формулу тригонометрії:
. Тоді
;
.
Обчислюємо значення компонент швидкості в момент часу:
;
.
Модуль швидкості:
.
Визначення прискорення точки
Диференціюючи компоненти швидкості і часу , знаходимо компоненти прискорення точки.
;
.
Обчислюємо значення компонентів прискорення в момент часу :
;
.
Модуль прискорення:
.
Тангенціальне прискорення - це проекція повного прискорення на напрямок швидкості:
.
Оскільки вектор тангенціального прискорення спрямований протилежно швидкості .
Нормальне прискорення:
.
Вектор і спрямований у бік центру кривизни траєкторії.
Радіус кривизни траєкторії:
.
Траєкторією руху точки є дуга параболи
;
.
Швидкість точки: .
Прискорення точки: ; ; .
Радіус кривизни траєкторії: .
Визначення решти величин
Під час вирішення завдання ми знайшли:
вектор і модуль швидкості:
;
;
вектор та модуль повного прискорення:
;
;
тангенціальне та нормальне прискорення:
;
;
радіус кривизни траєкторії: .
Визначимо інші величини.
Одиничний вектор у напрямку до траєкторії:
.
Вектор тангенціального прискорення:
.
Вектор нормального прискорення:
.
Одиничний вектор у напрямку головної нормалі:
.
Координати центру кривизни траєкторії:
.
Введемо третю вісь системи координат перпендикулярно до осей і . У тривимірній системі
;
.
Одиничний вектор у напрямку бінормалі:
.
