ПЛОСЬКА ХВИЛЬ
ПЛОСЬКА ХВИЛЬ
Хвиля, у якої напрям поширення однаково у всіх точках простору. Найпростіший приклад – однорідна монохроматич. незатухаюча П. ст:
і(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)
де А - амплітуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - кругова частота, Т-період коливань, k - . Поверхні постійної фази (фазові фронти) j=const П. в. є площинами.
За відсутності дисперсії, коли vф і vгр однакові і постійні (vгр = vф = v), існують стаціонарні (тобто переміщаються як ціле) ті, що біжать П. в., які допускають загальне уявлення виду:
u(z, t)=f(z±vt), (2)
де f – довільна функція. У нелінійних середовищах з дисперсією також можливі стаціонарні П. в. типу (2), та його форма не довільна, а залежить як від параметрів системи, і від характеру руху . У поглинаючих (дисипативних) середовищах П. в. зменшують свою амплітуду в міру поширення; при лінійному згасанні це може бути враховано шляхом заміни в (1) k комплексне хвильове число kд ± ikм, де kм - коеф. згасання П. в.
Однорідна П. в., що займає все нескінченне, є ідеалізацією, проте будь-яке хвильове, зосереджене в кінцевій області (напр., Спрямовується лініями передачі або хвилеводами), можна представити як суперпозицію П. в. з тим чи іншим простором. спектром k. При цьому хвиля може, як і раніше, мати плоский фазовий фронт, але неоднорідне амплітуди. Такі П. в. зв. плоских неоднорідних хвиль. Окремі ділянки сферич. та циліндрич. хвиль, малі в порівнянні з радіусом кривизни фазового фронту, приблизно поводяться як П. ст.
Фізичний енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. . 1983 .
ПЛОСЬКА ХВИЛЬ
- хвиля,ук-рой напрямок поширення однаково в усіх точках простору.
де А -амплітуда, - фаза, - кругова частота, Т -період коливань, k -хвильове число. = const П. в. є площинами.
За відсутності дисперсії, коли фазова швидкість vф та групова vгр однакові та постійні ( vгр = vф = v) існують стаціонарні (тобто переміщаються як ціле) ті, що біжать. в., які можна уявити в загальному вигляді
де f- Довільна ф-ція. У нелінійних середовищах з дисперсією також можливі стаціонарні П. в. типу (2),але їхня форма вже не довільна, а залежить як від параметрів системи, так і від характеру руху хвилі. У поглинаючих (дисипативних) середовищах П. k комплексне хвильове число kд ikм, де kм – коеф. згасання П. в. Однорідна П. в., що займає все нескінченне, є ідеалізацією, проте будь-яке хвильове поле, зосереджене в кінцевій області (напр., що спрямовується лініями передачіабо хвилеводами),можна як суперпозициюП. в. з тим чи іншим просторовим спектром k.При цьому хвиля може не мати плоский фазовий фронт, в неоднорідне розподіл амплітуди. Такі П. в. зв. плоских неоднорідних хвиль. Від. ділянкисферич. або циліндрич. хвиль, малі порівняно з радіусом кривизни фазового фронту, приблизно поводяться як П. в.
Літ.див. при ст. Хвилі.
М. А. Міллер, Л. А. Островський.
Фізична енциклопедія. У 5-ти томах. - М: Радянська енциклопедія. Головний редактор А. М. Прохоров. 1988 .
Рівняння хвилі– це рівняння, що виражає залежність усунення коливальної частинки, що бере участь у хвильовому процесі, від координати її рівноважного становища та часу:
Ця функція має бути періодичною як щодо часу, так і щодо координат. Крім того, точки, віддалені на відстані l один від одного, коливаються однаковим чином.
Знайдемо вигляд функції x у разі плоскої хвилі.
Розглянемо плоску гармонійну хвилю, що розповсюджується вздовж позитивного напрямку осі в середовищі, що не поглинає енергію. У цьому випадку хвильові поверхні будуть перпендикулярні до осі. Усі величини, що характеризують коливальний рух частинок середовища, залежать тільки від часу та координати . Зміщення залежатиме тільки від і : 
. Нехай коливання точки з координатою (джерело коливань) задається функцією . Завдання: знайти вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню. Для того, щоб пройти шлях від площини до цієї площини хвилі потрібен час . Отже, коливання частинок, що лежать у площині, відставатимуть по фазі на якийсь час від коливань частинок у площині. Тоді рівняння коливань частинок у площині матиме вигляд:
У результаті отримали рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується в напрямку зростання:
. (3)
У цьому рівнянні – амплітуда хвилі; – циклічна частота; - Початкова фаза, яка визначається вибором початку відліку та ; 
- Фаза плоскої хвилі.
Нехай фаза хвилі буде величиною постійної (зафіксуємо значення фази рівняння хвилі):
Скоротимо цей вислів і продиференціюємо. У результаті отримаємо:
або .
Таким чином, швидкість поширення хвилі в рівнянні плоскої хвилі є нічим іншим, як швидкість поширення фіксованої фази хвилі. Таку швидкість називають фазовою швидкістю .
Для синусоїдальної хвилі швидкість перенесення енергії дорівнює фазовій швидкості. Але синусоїдальна хвиля не несе жодної інформації, а будь-який сигнал це модульована хвиля, тобто. не синусоїдальна (не гармонійна). При вирішенні деяких завдань виходить, що фазова швидкість більша за швидкість світла. Тут немає феномена, т.к. швидкість переміщення фази не є швидкість передачі (розповсюдження) енергії. Енергія, маса не можуть рухатися зі швидкістю більше, ніж швидкість світла c .
Зазвичай рівняння плоскої хвилі надають симетричний і відносно вигляд. Для цього вводиться величина 
, яка називається хвильовим числом
. Перетворимо вираз хвильового числа. Запишемо його у вигляді 
(
). Підставимо цей вислів у рівняння плоскої хвилі:
Остаточно отримаємо
Це рівняння плоскої хвилі, що поширюється у бік зростання. Протилежний напрямокпоширення хвилі буде характеризуватись рівнянням, в якому зміниться знак перед членом.
Зручний запис рівняння плоскої хвилі у такому вигляді.
Зазвичай знак Re опускають, маючи на увазі, що береться лише речова частина відповідного виразу. Крім цього, вводиться комплексне число.
Це число називається комплексною амплітудою. Модуль цього числа дає амплітуду, аргумент - початкову фазу хвилі.
Таким чином, рівняння плоскої хвилі незатухающей можна представити в наступному вигляді.
Все розглянуте вище стосувалося середовища, де було згасання хвилі. У разі згасання хвилі, відповідно до закону Бугера (П'єр Бугер, французький вчений (1698 – 1758)), амплітуда хвилі зменшуватиметься при її поширенні. Тоді рівняння плоскої хвилі матиме такий вигляд.
a- Коефіцієнт загасання хвиля. A 0 - Амплітуда коливань у точці з координатами . Це величина зворотна відстані, при якому амплітуда хвилі зменшується в e разів.
Знайдемо рівняння сферичної хвилі. Вважатимемо джерело коливань точковим. Це можливо, якщо обмежитися розглядом хвилі на відстані, набагато більшій за розміри джерела. Хвиля від такого джерела в ізотропному та однорідному середовищі буде сферичній . Точки , що лежать на хвильовій поверхні радіусу , вагатимуться з фазою
Амплітуда коливань у цьому випадку, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, не залишатиметься постійною. Вона зменшується з відстанню від джерела за законом . Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд:
або
З огляду на зроблених припущень рівняння справедливе лише за , значно перевищують розміри джерела хвиль. Рівняння (6) не застосовується для малих значень, т.к. амплітуда кинулася б до нескінченності, а це абсурд.
За наявності згасання середу рівняння сферичної хвилі запишеться так.
Групова швидкість
Строго монохроматична хвиля є нескінченною у часі та просторі послідовністю "горбів" і "впадин".
Фазова швидкість цієї хвилі або 
(2)
З допомогою такої хвилі не можна передати сигнал, т.к. у будь-якій точці хвилі всі "горби" однакові. Сигнал повинен відрізнятись. Бути знайомим (позначкою) на хвилі. Але тоді хвиля вже не буде гармонійною, і не описуватиметься рівнянням (1). Сигнал (імпульс) можна представити згідно з теоремою Фур'є у вигляді суперпозиції гармонійних хвиль з частотами, укладеними в деякому інтервалі Dw . Суперпозиція хвиль, що мало відрізняються один від одного за частотою,
 |
називається хвильовим пакетом або групою хвиль .
Вираз групи хвиль може бути записано наступним чином.
(3)
Значок w підкреслює, що це величини залежить від частоти.
Цей хвильовий пакет може бути сумою хвиль з частотами, що мало відрізняються. Там, де фази хвиль збігаються, спостерігається посилення амплітуди, а там, де фази протилежні, спостерігається гасіння амплітуди (результат інтерференції). Така картина представлена малюнку. Щоб суперпозицію хвиль можна було вважати групою хвиль, необхідно виконання наступної умови Dw<< w 0 .
У недиспергуючому середовищі всі плоскі хвилі, що утворюють хвильовий пакет, поширюються з однаковою фазовою швидкістю v . Дисперсія це залежність фазової швидкості синусоїдальної хвилі серед від частоти. Явище дисперсії ми розглянемо пізніше у розділі "Хвильова оптика". У відсутності дисперсії швидкість переміщення хвильового пакета збігається з фазовою швидкістю v . У диспергуючому середовищі кожна хвиля диспергує зі своєю швидкістю. Тому хвильовий пакет з часом розпливається, його ширина збільшується.
Якщо дисперсія невелика, розпливання хвильового пакета відбувається не дуже швидко. Тому руху всього пакета можна приписати деяку швидкість U
.
Швидкість, з якою переміщається центр хвильового пакета (точка з максимальним значенням амплітуди), називається груповою швидкістю .
У диспергуючому середовищі v¹ U . Разом із рухом самого хвильового пакета відбувається рух "горбів" усередині самого пакета. "Горби" переміщаються у просторі зі швидкістю v , а пакет загалом зі швидкістю U .
Розглянемо докладніше рух хвильового пакета на прикладі суперпозиції двох хвиль з однаковою амплітудою та різними частотами w (різними довжинами хвиль l ).
Запишемо рівняння двох хвиль. Приймемо для простоти початкові фази j 0 = 0.
Тут 
Нехай Dw<< w відповідно Dk<< k .
Складемо коливання та проведемо перетворення за допомогою тригонометричної формули для суми косінусів:
У першому косинус знехтуємо Dwt і Dkx , які набагато менше інших величин. Врахуємо, що cos(–a) = cosa . Остаточно запишемо.
(4)
Множник у квадратних дужках змінюється від часу та координати значно повільніше, ніж другий множник. Отже, вираз (4) можна розглядати як рівняння плоскої хвилі з амплітудою, що описується першим співмножником. Графічно хвиля, що описується виразом (4) представлена малюнку, зображеному вище.
Результуюча амплітуда виходить у результаті складання хвиль, отже, спостерігатимуться максимуми та мінімуми амплітуди.
Максимум амплітуди визначатиметься такою умовою.
(5)
m = 0, 1, 2…
x max- Координата максимальної амплітуди.
Косинус набуває максимального значення по модулю через p .
Кожен із цих максимумів можна як центр відповідної групи хвиль.
Дозволивши (5) щодо x max отримаємо.
Оскільки фазова швидкість , то 
називається груповий швидкістю. З такою швидкістю рухається максимум амплітуди хвильового пакета. У межі вираз для групової швидкості матиме наступний вигляд.
(6)
Це вираз справедливо для центру групи довільного числа хвиль.
Слід зазначити, що з точному обліку всіх членів розкладання (для довільного числа хвиль), вираз для амплітуди виходить таким, що з нього випливає, що хвильовий пакет з часом розпливається.
Виразу для групової швидкості можна надати інший вигляд.
У відсутності дисперсії 
Максимум інтенсивності посідає центр групи хвиль. Тому швидкість перенесення енергії дорівнює груповій швидкості.
Поняття груповий швидкості застосовується лише за умови, що поглинання хвилі серед невелике. При значному згасанні хвиль поняття груповий швидкості втрачає сенс. Цей випадок спостерігається у сфері аномальної дисперсії. Це ми розглядатимемо у розділі "Хвильова оптика".
Встановимо зв'язок між усуненням коливається частинки середовища (точки) від положення рівноваги і часом, відрахованим від моменту початку коливання джерела, що знаходиться на відстані хвід «нашої» частки на початку координат.
Нехай коливання джерела Sгармонійні, тобто. описуються рівнянням ξ (t)= A sin ωt. З часом усі частинки середовища також здійснюватимуть синусоїдальні коливання з тією ж частотою та амплітудою, але з різними фазами. У середовищі виникне гармонійна хвиля, що біжить.
Частка середовища, що знаходиться на осі ОХна відстані хвід джерела S(рис. 1.2), почне вагатися пізніше, ніж джерело, на час, необхідний, щоб хвиля, що поширюється від джерела зі швидкістю V, здолала відстань хдо частки. Очевидно, якщо джерело коливається вже протягом часу t, то частка середовища коливається ще протягом часу ( t – t) , де t – час поширення коливань від джерела до частки.
Тоді рівняння коливання для цієї частки буде
ξ (x,t)=A sinω( t-τ),
але t =x/V, де V– модуль швидкості розповсюдження хвилі. Тоді
ξ (x,t)=A sinω( t-x/V)
- Рівняння хвилі.
З урахуванням того, що і , рівняння можна надати вигляду
ξ (x,t)=A sin2 ( t/T-x/λ) = A sin2 (ν t -x/λ) = A sin (ω t -2πx/λ) = A sin (ω t -kx),(1.1)
де k = 2p/ l- хвильове число. Тут (1.1) - рівняння плоскої гармонійної монохроматичної хвилі (рис. 1.3), що поширюється в напрямку осі ОХ. Графік хвилі зовні схожий графік гармонійного коливання, але сутнісно вони різні.
 |
Графік коливання – залежність усунення цієї частки від часу. Графік хвилі – зміщення всіх частинок середовища на даний момент часу на всій відстані від джерела коливань до хвильового фронту. Графік хвилі є як би миттєвою фотографією хвилі.
Рівняння хвилі, що біжить, що поширюється в довільному напрямку, має вигляд:
ξ (x,y,z,t) = A sin = A sin( ωt – k x x – k y y – k z z), (1.2)
де ξ – миттєве зміщення елемента середовища (точки), що коливається, з координатами x, y, z; А– амплітуда усунення; ω – кругова частота коливань;
- хвильовий вектор, рівний ( - одиничний вектор, що вказує напрямок поширення хвилі); 
; - орти;
λ – довжина хвилі (рис. 1.3), тобто. відстань, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища; – радіус-вектор, проведений у розглянуту точку, 
;
– фаза хвилі, де 
.
Тут – кути, складені хвильовим вектором із відповідними осями координат.
Якщо хвиля поширюється у середовищі, не погладжує енергію, то амплітуда хвилі змінюється, тобто. А= const .
Швидкість поширення хвильового руху є швидкістю поширення фази хвилі (фазова швидкість). У однорідному середовищі швидкість хвилі стала. Якщо фазова швидкість хвилі у середовищі залежить від частоти, то таке явище називається дисперсією хвиль, а середовище – дисперсуючим середовищем.
При переході з одного середовища до іншого може змінюватися швидкість поширення хвиль, оскільки змінюються пружні властивості середовища, проте частота коливань, як показує досвід, залишається незмінною. Це означає що при переході з одного середовища до іншого змінюватиметься довжина хвилі l.
Якщо ми порушили коливання у будь-якій точці середовища, то коливання передадуться всім оточуючим її точкам, тобто. коливатиметься сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерела коливань хвильовий процес охоплює дедалі нові частини простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до певного моменту часу t називається фронтом хвилі.
Таким чином, фронт хвилі є тією поверхнею, яка відокремлює частину простору, що вже залучена до хвильового процесу, від області, в якій коливання ще не виникли. Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні можуть бути різної форми. Найпростіші мають форму сфери чи площини. Хвилі, що мають такі поверхні, називаються відповідно сферичними або плоскими.
Часто при вирішенні завдань про поширення хвиль треба будувати хвильовий фронт для деякого моменту часу хвильовим фронтом, заданим для початкового моменту часу. Це можна зробити, використовуючи принцип Гюйгенса , Сутність якого в наступному.
Нехай хвильовий фронт, що переміщається в однорідному середовищі, займає в даний час положення 1 (рис. 1.4). Потрібно знайти його положення через проміжок часу D t.
 |
Відповідно до принципу Гюйгенса, кожна точка середовища, до якої дійшла хвиля, сама стає джерелом вторинних хвиль (Перше положення принципу Гюйгенса).
Це означає, що з неї, як із центру, починає поширюватися сферична хвиля. Щоб побудувати вторинні хвилі навколо кожної точки вихідного фронту опишемо сфери радіусом D x = V D t, де V -швидкість хвилі . На рис. 1.4 показані такі галузі. Тут кружечки – перерізи сферичних поверхонь площиною креслення.
Вторинні хвилі взаємно гасяться у всіх напрямках, крім напрямків вихідного фронту(друге положення принципу Гюйгенса), тобто, коливання зберігаються тільки на зовнішній вторинних хвиль, що обгинає. Побудувавши цю огинаючу, отримаємо вихідне положення 2 хвильового фронту (штрихова лінія). Положення 1 та 2 хвильового фронту
− у нашому випадку площини.
Принцип Гюйгенса застосовний і до неоднорідного середовища. У цьому випадку значення V,а, отже, і D хнеоднакові у різних напрямах.
Оскільки проходження хвилі супроводжується коливанням частинок середовища, разом із хвилею переміщається у просторі й енергія коливань.
Ті, що біжать хвилями називаються хвилі, які переносять у просторі енергію та імпульс. Перенесення енергії хвилями характеризується Вектор щільності потоку енергії. Напрямок цього вектора збігається з напрямом перенесення енергії, яке модуль називається інтенсивністю хвилі (або щільністю потоку енергії) і є відношенням енергії W, що переноситься хвилею крізь площу S┴ , перпендикулярну променю, до тривалості часу перенесення ∆tта розміру площі:
I = W/(∆t∙S ┴),
звідки чисельно I=W, якщо ∆t=1 і S┴ =1. Одиниця інтенсивності: ват на метр у квадраті (Вт/м 2 ).
Отримаємо вираз інтенсивності хвилі. При концентрації n 0 частинок середовища, кожна з яких має масу m, об'ємна щільність w 0 енергії складається з кінетичної енергії руху частинок середовища та потенційної енергії, що є енергією деформованого обсягу. Об'ємна щільність енергії визначається виразом:
w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2= rw 2 A 2 / 2,
де r = n 0 m. Детальний висновок виразу для об'ємної щільності енергії пружних хвиль наведено у навчальному посібнику. Очевидно, за 1 зкрізь майданчик в 1 м 2 переноситься енергія, що міститься в об'ємі прямокутного паралелепіпеда з основою 1 м 2 і заввишки, чисельно рівної швидкості V(Рис. 1.5) , отже інтенсивність хвилі
I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)
Таким чином, інтенсивність хвилі пропорційна щільності середовища, швидкості, квадрату кругової частоти та квадрату амплітуди хвилі
.
Вектор , модуль якого дорівнює інтенсивності хвилі, а напрямок збігається з напрямом поширення хвилі (і перенесення енергії), визначається виразом.
Ця функція повинна бути періодичною як щодо часу, так і координат (хвиля - це коливання, що поширюється, отже періодично повторюється рух). Крім того, точки, віддалені одна від одної на відстані l, коливаються однаковим чином.
Рівняння плоскої хвилі
Знайдемо вигляд функції x у разі плоскої хвилі, припускаючи, що коливання мають гармонійний характер.
Направимо осі координат так, щоб вісь xзбігалася із напрямом поширення хвилі. Тоді хвильова поверхня буде перпендикулярна до осі x. Оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, зсув x залежатиме лише від хі t: . Нехай коливання точок, що лежать у площині, має вигляд (при початковій фазі)
| (5.2.2) |
Знайдемо вид коливання частинок у площині, що відповідає довільному значенню x. Щоб пройти шлях x, потрібен час.
Отже, коливання частинок у площиніxбудуть відставати за часом наtвід коливань частинок у площині, тобто.
 ,
| (5.2.3) |
– це рівняння плоскої хвилі.
Таким чином, x є зміщеннябудь-яка з точок з координатоюxу момент часуt. При виведенні ми припускали, що амплітуда коливання . Це буде, якщо енергія хвилі не поглинається середовищем.
Такий же вид рівняння (5.2.3) матиме, якщо коливання поширюються вздовж осі yабо z.
Загалом рівняння плоскої хвилізаписується так:
Вирази (5.2.3) та (5.2.4) є рівняння хвилі, що біжить .
Рівняння (5.2.3) описує хвилю, що поширюється у бік збільшення x. Хвиля, що розповсюджується в протилежному напрямку, має вигляд:
.
Рівняння хвилі можна записати в іншому вигляді.
Введемо хвильове число , або у векторній формі:
| , | (5.2.5) |
де – хвильовий вектор, – нормаль до хвильової поверхні.
Оскільки , то 
. Звідси. Тоді рівняння плоскої хвилі
запишеться так:
 .
| (5.2.6) |
Рівняння сферичної хвилі
Вказівки щодо заходів безпеки
За виконання лабораторної роботи
Усередині електровимірювальних приладів, що використовуються в роботі, є змінна мережна напруга 220 В, 50 Гц, що представляє небезпеку для життя.
Найбільш небезпечними місцями є мережевий вимикач, гнізда запобіжників, шнур мережного живлення приладів, з'єднувальні дроти, що знаходяться під напругою.
До виконання лабораторних робіт у навчальній лабораторії допускаються учні, які пройшли навчання за заходами безпеки під час проведення лабораторних робіт з обов'язковим оформленням у журналі протоколів перевірки знань щодо заходів безпеки під час проведення лабораторних робіт.
Перед виконанням лабораторної роботи учням
необхідно:
Засвоїти методику виконання лабораторної роботи, правила її безпечного виконання;
Ознайомитись з експериментальною установкою; знати безпечні методи та прийоми поводження з приладами та обладнанням при виконанні даної лабораторної роботи;
Перевірити якість мережних шнурів; переконатися, що всі струмопровідні частини приладів закриті та недоступні для дотику;
Перевірити надійність з'єднання клем на корпусі приладу із шиною заземлення;
У разі виявлення несправності негайно доповісти викладачеві чи інженеру;
Отримати у викладача допуск до виконання, підтверджуючи цим засвоєння теоретичного матеріалу. Той, хто навчається, не отримав допуск до виконання лабораторної роботи не допускається.
Увімкнення приладів здійснює викладач чи інженер. Тільки після того, як він переконається у справності приладів та правильності їх складання, можна приступати до виконання лабораторної роботи.
При виконанні лабораторної роботи учні повинні:
Не залишати без нагляду увімкнені прилади;
Чи не нахилятися до них близько, не передавати через них якісь предмети і не спиратися на них;
При роботі з грузиками надійно закріплювати їх гвинтами на осях.
заміну будь-якого елемента установки, приєднання чи роз'єднання роз'ємних з'єднань проводити лише за відключеному електроживленні під чітким наглядом викладача чи інженера.
Про всі недоліки, виявлені під час виконання лабораторної роботи, повідомити викладача або інженера
Після закінчення роботи відключення апаратури та приладів від електромережі робить викладач чи інженер.
Лабораторна робота №5
ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ ЗВУКУ У ПОВІТРІ МЕТОДОМ СТОЯЧОЇ ХВИЛИ
Мета роботи:
ознайомитись з основними характеристиками хвильових процесів;
вивчити умови освіти та особливості стоячої хвилі.
Завдання роботи
визначити швидкість звуку повітря методом стоячої хвилі;
визначити для повітря відношення ізобаричної теплоємності до ізохоричної.
Концепція хвилі.
Тіло, що здійснює механічні коливання, передає в навколишнє середовище за рахунок сил тертя або опору теплоту, що посилює безладне рух частинок середовища. Однак у багатьох випадках за рахунок енергії коливальної системи виникає впорядкований рух сусідніх частинок навколишнього середовища – вони починають вимушені коливання щодо свого вихідного положення під дією пружних сил, що зв'язують частинки один з одним. Обсяг простору, у якому відбуваються ці коливання, зростає з часом. Такий процес поширення коливань у середовищі називається хвильовим рухом або просто волною.
У випадку наявність пружних властивостей серед є обов'язковим поширення у ній хвиль. Наприклад, електромагнітні та гравітаційні хвилі поширюються і у вакуумі. Тому у фізиці волнам і називають всякі поширюються в просторі обурення стану речовини або поля. Під обуренням розуміють відхилення фізичних величин від своїх рівноважних станів.
У твердих тілах під обуренням розуміють деформацію, що періодично змінюється, породжену дією періодичної сили і викликає відхилення частинок середовища від положення рівноваги - їх вимушені коливання. При розгляді процесів поширення хвиль у тілах зазвичай відволікаються від молекулярної будови цих тіл і розглядають тіла як суцільне середовище, безперервно розподілене у просторі. Під часткою середовища, що здійснює вимушені коливання, розуміють малий елемент об'єму середовища, розміри якого в той же час набагато більше міжмолекулярних відстаней. Внаслідок дії пружних сил деформація поширюватиметься серед з певною швидкістю, званої швидкістю хвилі.
Важливо відзначити, що частинки середовища не захоплюються хвилею, що рухається. Швидкість їх коливального руху відрізняється від швидкості хвилі. Траєкторія частинок являє собою замкнуту криву, а їх сумарне відхилення за період дорівнює нулю. Тому поширення хвиль не викликає перенесення речовини, хоча при цьому переноситься енергія від джерела коливань до навколишнього простору.
Залежно від того, в якому напрямку відбуваються коливання частинок, говорять про хвилі поздовжньої або поперечної поляризації.
Хвилі називаються поздовжніми, якщо зміщення частинок середовища відбувається вздовж напрямку поширення хвилі (наприклад, при періодичному пружному стисканні або розтягуванні тонкого стрижня вздовж його осі). Поздовжні хвилі поширюються у середовищах, у яких сили пружності виникають при стисканні або розтягуванні (тобто у твердих, рідких та газоподібних).
Якщо частки коливаються у напрямі, перпендикулярному напрямі поширення хвилі, то хвилі називаються поперечними. Вони поширюються лише серед, у яких можлива деформація зсуву (тільки у твердих тілах). Крім того, поперечні хвилі поширюються на вільній поверхні рідини (наприклад, хвилі на поверхні води) або на межі розділу двох рідин, що не змішуються (наприклад, на межі прісної та солоної води).
У газовому середовищі хвилі являють собою області, що чергуються, більш високого і більш низького тиску і щільності. Вони виникають у результаті вимушених коливань частинок газу, що відбуваються з різною фазою у різних точках. Під дією тиску, що змінюється, барабанна перетинка вуха здійснює вимушені коливання, які через унікальну складну систему слухового апарату викликають біоструми, що протікають до мозку.
Рівняння плоскої хвилі. Фазова швидкість
Хвильовою поверхнеюназивають геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери, а відповідна хвиля називається плоскою чи сферичною. Фронтом хвиліназивається геометричне місце точок, до яких на даний час доходять коливання. Фронт хвилі поділяє області простору, що вже залучена до хвильового процесу і ще не залучена. Хвильових поверхонь існує безліч і вони нерухомі, а фронт хвилі один і він переміщається з часом.
Розглянемо плоску хвилю, що розповсюджується вздовж осі х. Нехай частинки середовища, що лежать у площині x= 0 починають в момент t=0 робити коливання за гармонійним законом щодо вихідного становища рівноваги. Це означає, що зміщення частинок від їхнього вихідного положення fзмінюється у часі за законом синуса чи косинуса, наприклад:
де f- Зміщення даних частинок від їх вихідного положення рівноваги в момент часу t, А-максимальне значення усунення (амплітуда); ω – циклічна частота.
Нехтуючи згасанням у середовищі, отримаємо рівняння коливання частинок, розташованих у площині, що відповідає довільному значенню x>0). Нехай хвиля поширюється у напрямку зростання координати х. Щоб пройти шлях від площини x=0 до вказаної площини, хвилі потрібен час
де v-Швидкість переміщення поверхні постійної фази (фазова швидкість).
Тому коливання частинок, що лежать у площині х, почнуться в момент t = τ і будуть відбуватися за таким самим законом, що і в площині х = 0, але з відставанням за часом на величину τ , а саме:
(3)
Інакше висловлюючись, усунення частинок, що у момент t=0 у площині х, у момент tбудуть такими ж, як у площині х=0, але в ранній момент часу
t 1= (4)
З урахуванням (4), вираз (3) перетворюється на:
(5)
Рівняння (5) являє собою рівняння плоскої хвилі, що біжить, що поширюється вздовж позитивного напрямку осі х. З нього можна визначити відхилення частинок середовища від рівноваги у будь-якій точці простору з координатою хі будь-якої миті часу tу разі поширення зазначеної хвилі. Рівняння (5) відповідає випадку, коли частинкам у початковий момент було повідомлено початкову швидкість. Якщо ж у початковий момент частинкам повідомлено відхилення від положення рівноваги без повідомлення швидкості, (5) замість синуса потрібно поставити косинус. Аргумент косинуса чи синуса називають фазою коливання. Фаза визначає стан коливального процесу в даний час (знак і абсолютну величину відносного відхилення частинок від їх положення рівноваги). З (5) видно, що фаза коливань частинок, розташованих у площині хменше відповідної величини для частинок, розташованих у площині х=0, на величину, що дорівнює .
Якщо плоска хвиля поширюється у напрямку спадання х(ліворуч), то рівняння (5) перетворюється на вид:
(6)
Враховуючи що
запишемо (6) у вигляді:
(8)
де Т- період коливання, ν - Частота.
Відстань λ, на яку хвиля поширюється за період Тназивається довжиною хвилі.
Можна також визначити довжину хвилі та як відстань між двома найближчими точками, фази коливань яких відрізняються на 2π (рис.1).
Як зазначено вище, пружні хвилі в газах являють собою області, що чергуються з більш високим і більш низьким тиском і щільністю. Це ілюструється рис 1, на якому представлені для деякого моменту часу усунення частинок (а), їх швидкості (б), тиск або щільність (в) у різних точках простору. Частинки середовища рухаються зі швидкістю 
(Не плутати з фазовою швидкістю v). Ліворуч і праворуч від точок A 1, A 3, A 5та ін швидкості частинок спрямовані до цих точок. Тому в цих точках утворюються максимуми густини (тиску). Праворуч і ліворуч від точок A 2, A 4, A 6та ін швидкості частинок спрямовані від даних точок і в них утворюються мінімуми щільності (тиску).
Зміщення частинок середовища при поширенні в ній хвилі, що біжить, в різні моменти часу представлені на рис. 2. Як видно, є аналогія з хвилями на поверхні рідини. Максимуми та мінімуми відхилень від положення рівноваги переміщуються у просторі з часом із фазовою швидкістю v. З такою ж швидкістю переміщуються максимуми та мінімуми густини (тиску).
Фазова швидкість хвилі залежить від пружних властивостей та щільності середовища. Припустимо, що є довгий пружний стрижень (рис. 3) з площею поперечного перерізу, що дорівнює S, в якому поширюється поздовжнє обурення вздовж осі хз плоским хвильовим фронтом Нехай за проміжок часу від t 0до t 0+Δtфронт переміститься від точки Адо точки Уна відстань АВ = v Δt, де v- Фазова швидкість пружної хвилі. Тривалість проміжку Δtвізьмемо настільки малою, що швидкість руху частинок у всьому обсязі (тобто між перерізами, що проходять перпендикулярно до осі хчерез крапки Аі У) буде однаковою та рівною u. Частинки з точки Аза вказаний проміжок часу перемістяться на відстань u Δt. Частки ж розташовані в точці У, в момент t 0+Δtтільки почнуть рух та їх переміщення до цього моменту часу дорівнюватиме нулю. Нехай початкова довжина ділянки АВдорівнює l. До моменту t 0+Δtвона зміниться на величину u Δtяка і буде величиною деформації Δl. Маса ділянки стрижня між точками Аі Удорівнює Δm =ρSvΔt.Зміна імпульсу цієї маси за проміжок часу від t 0до t 0+Δtодно
Δр = ρSvuΔt(10).
Силу, що діє на масу Δm, можна визначити із закону Гука:
За другим законом Ньютона, або. Прирівняй
ваючи праві частини останнього виразу та виразу (10), отримаємо:
звідки слідує:
Швидкість поширення поперечної хвилі
де G- Модуль зсуву.
Звукові хвилі у повітрі є поздовжніми. Для рідин та газів замість модуля Юнга у формулу (1) входить відношення відхилення тиску ΔΡ до відносної зміни обсягу
(13)
Знак мінус означає, що збільшення тиску (процесу стиснення середовища) відповідає зменшення обсягу та навпаки. Вважаючи зміни обсягу та тиску нескінченно малими, можна записати
(14)
При поширенні хвиль у газах тиск і щільність періодично підвищуються та знижуються (відповідно, при стисканні та розрідженні), внаслідок чого відбувається зміна температури різних ділянок середовища. Стиснення та розрідження відбуваються так швидко, що суміжні ділянки не встигають обмінятися енергією. Процеси, що відбуваються в системі без теплообміну із навколишнім середовищем, називаються адіабатичними. При адіабатичному процесі зміна стану газу описується рівнянням Пуассона
(15)
Параметр γ називають показником адіабати. Він дорівнює відношенню молярних теплоємностей газу при постійному тиску C p і постійному обсязі C v:
Взявши диференціал від обох частин рівності (15), отримуємо
,
звідки слідує:
Підставивши (6) (4), отримаємо для модуля пружності газу
Підставивши (7) до (1), знайдемо швидкість пружних хвиль у газах:
З рівняння Менделєєва-Клапейрона 
можна виразити густину газу
, (19)
де - молярна маса.
Підставляючи (9) (8), отримаємо кінцеву формулу для знаходження швидкості звуку в газі:
де R- універсальна газова постійна, Т- Температура газу.
Вимірювання швидкості звуку - один із найбільш точних методів визначення показника адіабати.
Перетворюючи формулу (10), отримаємо:
Таким чином, для визначення показника адіабати достатньо виміряти температуру газу та швидкість поширення звуку.
Надалі зручніше використовувати у рівнянні хвилі косинус. Враховуючи (19 і 20), рівняння хвилі, що біжить, можна представити у вигляді:
(22)
де - хвильове число, що показує, скільки довжин хвиль укладається з відривом, що дорівнює 2π метрів.
Для хвилі, що біжить, що поширюється проти позитивного напрямку осі х, отримаємо:
(23)
Особливу роль грають гармонійні хвилі (див., наприклад, рівняння (5, 6, 22, 23)). Це пов'язано з тим, що будь-яке коливання, яке поширюється, яка б не була його форма, завжди можна розглядати як результат суперпозиції (складання) гармонійних хвиль з відповідно підібраними частотами, амплітудами і фазами.
Стоячі хвилі.
Особливий інтерес є результатом інтерференції двох хвиль з однаковою амплітудою і частотою, що поширюються назустріч один одному. На досвіді це можна здійснити, якщо на шляху хвилі, що біжить, перпендикулярно до напрямку поширення поставити добре відображає перешкоду. В результаті складання (інтерференції) падаючої та відбитої хвиль виникне так звана стояча хвиля.
Нехай падаюча хвиля описується рівнянням (22), а відбита – рівнянням (23). За принципом суперпозиції сумарне усунення дорівнює сумі зміщень, створюваних обома хвилями. Додавання виразів (22) і (23) дає
Це рівняння, зване рівнянням стоячої хвилі, зручно надалі аналізувати у вигляді:
, (25)
де множник
(26)
є амплітудою стоячої хвилі. Як видно з виразу (26), амплітуда стоячої хвилі залежить від координати точки, але не залежить від часу. У плоскої хвилі, що біжить, амплітуда не залежить ні від координати, ні від часу (при відсутності згасання).
З (27) і (28) випливає, що відстань між сусідніми вузлами, як і відстань між сусідніми пучностями дорівнює , а відстань між сусідніми вузлом і пучністю дорівнює .
З рівняння (25) слід, що це точки середовища, розташовані між двома сусідніми вузлами, коливаються лише у фазі, причому значення фази визначається лише часом. Зокрема, вони досягають максимального відхилення в той самий момент часу. Для хвилі, що біжить як слід з (16), фаза визначається як часом, так і просторовою координатою. У цьому ще одна відмінність між стоячими і хвилями, що біжать. При переході через вузол фаза стоячої хвилі стрибкоподібно змінюється на 180 про.
Зміщення від положення рівноваги для різних моментів часу в стоячій хвилі наведено на рис. 4. За початковий момент часу прийнято момент, коли частинки середовища максимально відхилені від положення рівноваги (крива 1).
І представлені кривими 6, 7, 8 і 9, збігаються з відхиленнями у відповідні моменти першого напівперіоду (тобто крива 6 збігається з кривою 4 і т.д.). Як видно, з моменту усунення частинок знову змінює знак.
При відбитку хвиль межі двох середовищ виникає або вузол, або пучність (залежно від про акустичних опорів середовищ). Акустичним опором середовища називають величину, де. – щільність середовища, - швидкість пружних хвиль серед. Якщо середовище, від якого відбивається хвиля, має вищим акустичним опором, ніж та, у якій ця хвиля порушується, то межі розділу утворюється вузол (рис. 5). В цьому випадку фаза хвилі при відображенні змінюється на протилежну (на 180 °). При відбитті хвилі з середовища з меншим акустичним опором зміна фази коливань немає.
На відміну від хвилі, що біжить, яка переносить енергію, в стоячій хвилі ніякого перенесення енергії немає. Хвиля, що біжить, може рухатися вправо або вліво, а у стоячої хвилі немає напрямку поширення. Під терміном "стояча хвиля" потрібно розуміти особливий коливальний стан середовища, утворений хвилями, що інтерферують.
У момент, коли частинки середовища проходять положення рівноваги, повна енергія частинок захоплених коливанням дорівнює кінетичній. Вона зосереджена на околицях пучностей. Навпаки, у момент, коли відхилення частинок від положення рівноваги максимально, їхня повна енергія є вже потенційною. Вона зосереджена поблизу вузлів. Таким чином, двічі за період відбувається перехід енергії від пучностей до сусідніх вузлів і навпаки. В результаті середній за часом потік енергії у будь-якому перерізі стоячої хвилі дорівнює нулю.
