Факторизация. Прости и съставни числа Разлагане на прости множители 6

Какво означава факторинг? Как да го направим? Какво можете да научите от разлагането на число на прости множители? Отговорите на тези въпроси са илюстрирани с конкретни примери.

Дефиниции:

Число, което има точно два различни делителя, се нарича просто.

Число, което има повече от два делителя, се нарича съставно.

Разширяване естествено числода се разложи означава да се представи като произведение на естествени числа.

Да разложим естествено число на прости множители означава да го представим като произведение на прости числа.

Бележки:

• При разлагането на просто число единият множител е равен на единица, а другият е равен на самото число.
• Няма смисъл да говорим за факторизиращо единство.
• Едно съставно число може да бъде разложено на фактори, всеки от които е различен от 1.

Когато разлагате големи числа на прости множители, използвайте означение в колона:

	Най-малкото просто число, което се дели на 216 е 2. Разделяме 216 на 2. Получаваме 108.
	Полученото число 108 се дели на 2. Да направим разделянето. Резултатът е 54.
	Според теста за делимост на 2 числото 54 се дели на 2. След разделянето получаваме 27.
	Числото 27 завършва с нечетната цифра 7. То Не се дели на 2. Следващото просто число е 3. Разделяме 27 на 3. Получаваме 9. Най-малко просто число Числото, на което е разделено 9, е 3. Три е самото себе си просто число, дели се на себе си и на единица. Нека разделим 3 на себе си. В крайна сметка получихме 1.

• Едно число се дели само на тези прости числа, които са част от неговото разлагане.
• Едно число се дели само на онези съставни числа, чието разлагане на прости множители се съдържа изцяло в него.

Нека да разгледаме примери:

Намерете частното от деленето на числото a на числото b, ако тези числа се разложат на прости множители, както следва: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Физкултурен салон. 2006 г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Образование, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика за 5-6 клас. - М .: ZSh MEPhI, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - М .: ZSh MEPhI, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас гимназия. - М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.

1. Интернет портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет портал Math-portal.ru ().

Домашна работа

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Други задачи: No133, No144.

Всяко естествено число, с изключение на едно, има два или повече делителя. Например числото 7 се дели без остатък само на 1 и 7, тоест има два делителя. А числото 8 има делители 1, 2, 4, 8, тоест цели 4 делителя наведнъж.

Каква е разликата между простите и съставните числа?

Числата, които имат повече от два делителя, се наричат ​​съставни числа. Числата, които имат само два делителя: единица и самото число, се наричат ​​прости числа.

Числото 1 има само едно деление, а именно самото число. Едното не е нито просто, нито съставно число.

• Например числото 7 е просто, а числото 8 е съставно.

Първите 10 прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Числото 2 е единственото четно просто число, всички останали прости числа са нечетни.

Числото 78 е съставно, тъй като освен на 1 и себе си, то се дели и на 2. При разделяне на 2 получаваме 39. Тоест 78 = 2*39. В такива случаи те казват, че числото е разложено на фактори 2 и 39.

Всяко съставно число може да се разложи на два фактора, всеки от които е по-голям от 1. Този трик няма да работи с просто число. Така стоят нещата.

Разлагане на число на прости множители

Както беше отбелязано по-горе, всяко съставно число може да се разложи на два фактора. Да вземем, например, числото 210. Това число може да се разложи на два фактора 21 и 10. Но числата 21 и 10 също са съставни, нека ги разложим на два фактора. Получаваме 10 = 2*5, 21=3*7. И в резултат на това числото 210 беше разложено на 4 фактора: 2,3,5,7. Тези числа вече са прости и не могат да бъдат разширени. Тоест разложихме числото 210 на прости множители.

Когато съставните числа се разлагат на прости множители, те обикновено се записват във възходящ ред.

Трябва да се помни, че всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители и по уникален начин, до пермутация.

• Обикновено, когато се разлага число на прости множители, се използват критерии за делимост.

Нека разложим числото 378 на прости множители

Ще запишем числата, като ги разделим с вертикална черта. Числото 378 се дели на 2, тъй като завършва на 8. При разделяне получаваме числото 189. Сборът от цифрите на числото 189 се дели на 3, което означава, че самото число 189 се дели на 3. Резултатът е 63.

Числото 63 също се дели на 3, според делимостта. Получаваме 21, числото 21 отново може да бъде разделено на 3, получаваме 7. Седем се дели само на себе си, получаваме едно. Това завършва разделянето. Вдясно след линията са простите множители, на които е разложено числото 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Всичко започва с геометричната прогресия. На първата лекция за редовете (вижте раздел 18.1. Основни определения) доказахме, че тази функция е сумата от редицата , и редът се събира към функцията at
. Така,

.

Нека изброим няколко разновидности на тази серия. Замяна х На - х , получаваме

при подмяна х На
получаваме

и др.; Районът на конвергенция на всички тези серии е един и същ:
.

2.
.

Всички производни на тази функция в точката х =0 са равни
, така изглежда сериалът

.

Областта на сближаване на тази серия е цялата цифрова ос (пример 6 от раздел 18.2.4.3. Радиус на сходимост, интервал на сходимост и област на сходимост на степенен ред), Ето защо
при
. Като следствие, остатъчният член на формулата на Тейлър
. Така че серията се сближава с
във всяка точка х .

3.
.

Тази серия се сближава абсолютно при

, и неговият сбор е наистина равен
. Остатъчният член на формулата на Тейлър има формата
, Където
или
е ограничена функция и
(това е общият термин на предишното разширение).

4.
.

Това разширение може да се получи, подобно на предишните, чрез последователно изчисляване на производни, но ние ще продължим по различен начин. Нека разграничим предишната серия термин по термин:

Сходимостта към функция по цялата ос следва от теоремата за член по член диференциране на степенен ред.

5. Докаже независимо, че на цялата числена ос, .

6.
.

Серията за тази функция се нарича биномен ред. Тук ще изчислим производни.

… Серията Maclaurin има формата

Ние търсим интервала на конвергенция: следователно интервалът на конвергенция е
. Няма да изучаваме остатъчния член и поведението на реда в краищата на интервала на сходимост; оказва се, че когато
Сериите се събират абсолютно и в двете точки
, при
редът условно се събира в точка
и се разминава в точката
, при
се разминава в двете точки.

7.
.

Тук ще използваме факта, че
. Тъй като след интегриране член по член,

Областта на конвергенция на тази серия е полуинтервалът
, сходимост към функция във вътрешни точки следва от теоремата за интегриране член по член на степенен ред, в точката х =1 - от непрекъснатостта както на функцията, така и на сумата от степенните редове във всички точки, произволно близки до х =остава 1. Имайте предвид, че приемането х =1, ще намерим сумата на серията .

8. Интегрирайки серията член по член, получаваме разширение за функцията
. Извършете всички изчисления сами, напишете района на конвергенция.

9. Нека запишем разширението на функцията
съгласно формулата на биномния ред с
: . Знаменател
представено като , двоен факториел
означава произведението на всички естествени числа със същата четност като , не повече . Разширението се свежда до функцията at
. Интегрирайки го термин по член от 0 до х , ще получим. Оказва се, че този ред се свежда до функцията на целия интервал
; при х =1 получаваме друго красиво представяне на числото :
.

18.2.6.2. Решаване на задачи, включващи серийно разширение на функции.Повечето задачи, в които трябва да разширите елементарна функция в степенен ред
, се решава чрез използване на стандартни разширения. За щастие, всяка основна елементарна функция има свойство, което ви позволява да направите това. Нека да разгледаме няколко примера.

1. Разширете функцията
по степени
.

Решение. . Поредицата се сближава в
.

2. Разширете функцията
по степени
.

Решение.
. Зона на конвергенция:
.

3. Разширете функцията
по степени
.

Решение. . Поредицата се сближава в
.

4. Разширете функцията
по степени
.

Решение. . Поредицата се сближава в
.

5. Разширете функцията
по степени
.

Решение. . Област на конвергенция
.

6. Разширете функцията
по степени
.

Решение. Разлагането в поредица от прости рационални дроби от втори тип се получава чрез почленно диференциране на съответните разширения на дроби от първи тип. В този пример. Освен това, чрез диференциране по термин, можем да получим разширения на функциите
,
и т.н.

7. Декомпозирайте функцията
по степени
.

Решение. Ако рационална дробне е проста, тя първо се представя като сбор от прости дроби:
, и след това продължете както в пример 5: където
.

Естествено, този подход не е приложим, например, за декомпозиране на функцията по степени х . Тук, ако трябва да получите първите няколко члена от серията на Тейлър, най-лесният начин е да намерите стойностите в точката х =0 изискван брой първи производни.

Този онлайн калкулатор е предназначен да факторизира функция.

Например разложете на множители: x 2 /3-3x+12. Нека го запишем като x^2/3-3*x+12. Можете също да използвате това обслужване, където всички изчисления се записват във формат Word.

Например, разложете на термини. Нека го запишем като (1-x^2)/(x^3+x) . За да видите напредъка на решението, щракнете върху Показване на стъпките. Ако трябва да получите резултата във формат Word, използвайте това обслужване.

Забележка: числото "пи" (π) се записва като пи; квадратен корен като sqrt, например sqrt(3), допирателната tg се записва tan. За да видите отговора, вижте Алтернатива.

1. Ако е даден прост израз, например 8*d+12*c*d, тогава разлагането на израза означава представяне на израза под формата на множители. За да направите това, трябва да намерите общи фактори. Нека запишем този израз като: 4*d*(2+3*c) .
2. Представете продукта под формата на два бинома: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Тук вече трябва да намерите няколко общи фактора: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Изваждаме (x+7z) и получаваме: (x+7z)(x + 3y) .

Вижте също Деление на полиноми с ъгъл(всички стъпки на разделяне са показани в колона)

Полезно при изучаване на правилата за факторизиране ще бъде формули за съкратено умножение, с помощта на които ще стане ясно как да отворите скоби с квадрат:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи за факторизиране

1. Използване на формули за съкратено умножение.
2. Намиране на общ множител.