Преподаване без принуда

(Пътеводител в очарователния свят на математиката)

Тогава математиката трябва да се преподава така, че да подреди ума. (М. В. Ломоносов)

И така, как преподавате математика?

Този въпрос интересува мнозина.

Първата стъпка е премахване на пропуските от миналото. Ако сте пропуснали (не сте разбрали, не сте учили по принцип и т.н.) някоя тема, рано или късно определено ще стъпите на този рейк. С класически резултат... Така работи математиката.

Независимо дали учите нова тема, или повторете старото - овладейте математическите определения и термини! Моля, обърнете внимание, че не казвам „научете“, а казвам „овладейте“. Това са различни неща. Трябва да разберете например какво е знаменател, дискриминант или арксинус на просто, дори примитивно ниво. Какво е това, защо е необходимо и как да се справим с него. Животът ще стане по-лесен.

Ако ви попитам как да използвате устройство за преминаване на гъста затворена среда, ще ви е неудобно да отговорите, нали? И ако разберете, че това устройство е обикновена врата? Всъщност някак си е по-забавно.

И, разбира се, трябва да решим. Ако не знаете как да решите, няма проблем. Трябва да опитате да решите, опитайте. Всеки веднъж се провали. Но тези, които опитваха и опитваха, макар и неправилно, с грешки, сега знаят как да решат. А тези, които не са опитали, не са учили, никога не са научили.

Ето три компонента на отговора на въпроса: „Как да уча математика?“ Елиминирайте пропуските, овладейте термините на разбираемо ниво и решавайте задачите смислено.

Ако математиката ви изглежда като джунгла от някакви правила, формули, изрази, в които е невъзможно да се ориентирате, тогава ще ви утеша. Там има пътеки и пътеводни звезди! Ще се установите, ще свикнете и ще започнете да се възхищавате на тези диви места...

Математика училищен курсне решава сложни примери, защото не знае как. Тя може да реши нещо като 5x = 10 много добре, квадратно уравнениечрез дискриминанта, и същата проста от тригонометрията, логаритмите и т.н. И цялата сила на математиката е насочена към опростяване на сложни изрази. Ето защо са необходими правила и формули за различни трансформации. Те ни позволяват да напишем оригиналния израз в различна удобна за нас форма, без да променяме същността му.

"Математиката е изкуството да наричаш различни неща с едно и също име." (А. Поанкаре)

Например 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Това е едно и също число 8! Записва се само в различни форми. Кой тип да изберем зависи от нас! В съответствие със задачата и здравия разум.

Основната пътеводна светлина в математиката е способността да се трансформират изрази. Почти всяко решение започва с трансформиране на оригиналния израз. С помощта на правила и формули, които изобщо не са толкова налудничави, колкото си мислите.

Често казваме: „Всички формули работят отляво надясно и отдясно наляво.“ Да кажем, (a + b) почти всеки ще го напише като a + 2ab + b. Но не всеки (за съжаление) ще разбере, че x + 2x + 1 може да бъде записано като (x + 1) . Но това е, което трябва да можете! Трябва да знаете формулите с поглед! Умейте да ги разпознавате в изрази, шифровани от хитри учители, да идентифицирате части от формули и, ако е необходимо, да ги доведете до завършени.

Преобразуването на изрази в началото е малко неприятно. Изисква работа. В началния етап трябва да проверите, където е възможно, правилността на обратното преобразуване. След като ги разложите на множители, умножете ги обратно и дайте подобни. Получихме оригиналния израз - ура! След като намерите корените на уравнението, заменете ги в оригиналния израз. Вижте какво стана. И така нататък.

Затова ви каня невероятен святматематика. Нека започнем нашето пътуване, като се запознаем с дробите, това е може би най-много уязвимо мястоповечето ученици.

Късмет!

Урок 1.

Видове дроби. Трансформации.

Който знае дроби, той е силен и смел в математиката!

Има три вида дроби.

1. Обикновени дроби , Например: , , , .

Понякога вместо хоризонтална линия поставят наклонена черта: 1/2, 3/7, 19/5. Лентата, както хоризонтална (vinculium), така и наклонена (solidus), означава една и съща операция: деление на горното число (числител) на долното число (знаменател). Това е всичко! Вместо линия е напълно възможно да поставите знак за разделяне - две точки. 1/2 = 1:2.

Когато е възможно пълно разделяне, това трябва да се направи. Така че вместо дробта 32/8 е много по-приятно да напишете числото 4. Т.е. 32 е просто разделено на 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Дори не говоря за дробта 4/1, която също е равна на 4. И ако не се дели на цяло, оставяме го като дроб. Понякога трябва да извършите обратната операция. Преобразувайте цяло число във дроб. Но повече за това по-късно.

2. Десетични знаци , например: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. Смесени числа , Например: , , , .

Смесените числа практически не се използват в гимназията. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Но определено трябва да можете да направите това! Иначе ще попаднете на такъв номер в проблем и ще замръзнете... От нищото. Но ние ще запомним тази процедура!

Най-универсалните са обикновените дроби. Да започнем с тях. Между другото, ако една дроб съдържа всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всички действия с дробни изрази не се различават от действията с обикновени дроби!

Така че, давай! Цялото разнообразие от трансформации на дроби се осигурява от едно единствено свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Запомнете: ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число, дробта не се променя. Тези:

Имаме ли нужда от всички тези трансформации? - ти питаш. И как! Сега ще видите сами. Първо, нека използваме основното свойство на дробите, за да намалим дробите. Изглежда елементарно нещо. Разделете числителя и знаменателя на едно и също число и това е! Невъзможно е да направите грешка! Но... човекът е творческо същество. Можете да сгрешите навсякъде! Особено ако трябва да съкратите не дроб от формата 5/10, а дробен рационален израз.

Обикновено ученикът не мисли за разделянето на числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Той просто зачерква всичко еднакво горе и долу! Ето къде дебне типична грешка, гаф, ако щете.

Например, трябва да опростите израза: .

Какво правим? Задраскайте коефициента a отгоре и степента отдолу! Получаваме: .

Всичко е точно. Но наистина се разделихте цял числителИ целият знаменателНа множител а.Ако сте свикнали просто да зачертавате, тогава в бързината можете да зачеркнете буквата a в израза и да получите отново. Това, което би било категорично погрешно: непростима грешка. Защото тук цял числителна и вече не е споделено! Тази фракция не може да бъде намалена.

Когато съкращавате, трябва да разделите целия числител и целия знаменател!

Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. Как мога да продължа да работя с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, повдигнете на квадрат!? И ако не ви мързи, внимателно го намалете с пет, и с още пет, че дори... докато се редуцира. Да вземем 3/8! Много по-хубаво, нали?

Основното свойство на дробите ви позволява да преобразувате дроби в десетични и обратно, без калкулатор! Това е важно в DH, нали?

С десетичните дроби всичко е просто. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула цяло двадесет и пет стотни. Затова пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обикновена дроб: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Например 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.

Ами ако целите числа не са нула? Всичко е наред. В числителя записваме цялата дроб без запетаи, а в знаменателя - това, което се чува. Например: 3.17. Това е три цяло и седемнадесет стотни. В числителя записваме 317, а в знаменателя - 100. Получаваме 317/100. Нищо не е намалено, това означава всичко. Това е отговорът. От всичко казано полезно заключение: Всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб.

Но някои хора не могат да направят обратното преобразуване от обикновена в десетична без калкулатор. И е необходимо! Как ще напишеш отговора!? Прочетете внимателно и овладейте този процес.

Каква е характеристиката на десетичната дроб? Неговият знаменател винаги е 10, или 100, или 1000, или 10 000 и т.н. Ако вашата дроб има този знаменател, няма проблем. Например 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. Ами ако решението доведе до 1/2? И отговорът трябва да бъде написан в десетична...

Помним основно свойство на дроб! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. Всичко, между другото! Освен нула, разбира се. Така че нека използваме този имот в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малкото е по-добре, разбира се...)? На 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя по 5. Но тогава числителят също трябва да бъде умножен по 5. Получаваме 1/2 = 0,5. Това е всичко.

Но знаменателите може да са различни. Например дробта 3/16. След това можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите с ъгъл, както са учили в началното училище. Получаваме 0,1875.

А има и много лоши знаменатели. Например, няма начин да превърнете дробта 1/3 в добър десетичен знак. Както на калкулатора, така и при делене на ъгъл получаваме 0,3333333... Оттук още един полезен извод. Не всяка дроб се преобразува в десетична!

И така, разбрахме обикновени и десетични дроби. Остава само да се справим със смесени числа. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направим? Можеш да хванеш някой петокласник и да го попиташ. Но петокласник не винаги ще бъде наблизо ... Ще трябва да го направите сами. Не е трудно. Трябва да умножите знаменателя на дробната част по цялата част и да добавите числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновената дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но в действителност всичко е просто. Нека разгледаме един пример.

Да предположим, че сте видели число в задачата с ужас:

Разсъждаваме спокойно, без паника. Цялата част е 1. Единица. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Броим: числител. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Това е всичко. Изглежда още по-просто в математическа нотация:

Лесно? Тогава си осигурете успех! Преобразувайте тези смесени числа , , в обикновени дроби. Трябва да получите 10/3, 23/10 и 21/4.

Е, това е на практика всичко. Спомнихте си видовете дроби и разбрахте как да ги преобразувате от един вид в друг. Остава въпросът: защо правите това? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?

Всеки пример сам подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновените дроби, десетичните дроби и дори смесените числа са смесени заедно, ние преобразуваме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако е написано например 0,8 + 0,3, тогава го броим така, без превод. Защо се нуждаем от допълнителна работа? Ние избираме пътя на решението което ни е удобно!

Ако задачата е изцяло десетични знаци, но хм... някои страшни, отидете на обикновени, опитайте ги! Може би всичко ще се получи. Например, ще трябва да поставите на квадрат числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте свикнали да използвате калкулатор! Освен че трябва да умножите числата в колона, трябва да помислите и къде да поставите запетаята! Определено няма да работи в главата ви! Ами ако преминем към обикновена дроб? 0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е като за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж с 5. Получаваме 5/40. Все още се свива! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Лесно го повдигаме на квадрат (в ума си!) и получаваме 1/64. Всичко!

Нека обобщим нашия урок.

1. Има три вида дроби: обикновени, десетични и смесени числа.

2. Десетичните знаци и смесените числа винаги могат да бъдат преобразувани в дроби. Обратният превод не винаги е възможен.

3. Изборът на типа дроби за работа със задача зависи от самата задача. В присъствието на различни видоведроби в една задача, най-надеждното нещо е да преминете към обикновените дроби.

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да направите грешка, когато изчислявате в главата си.

2. В примери с различни видове дроби се преминава към обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме разделяне през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.

Сега се опитайте да приложите теорията на практика.

Така че, нека го решим в режим на изпит! Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния пример. И едва след това погледнете отговорите.

Решихте ли? Търсим отговори, които отговарят на вашите. Отговорите са записани по ред, далеч от изкушението, така да се каже...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не... Търпението и работата ще смелят всичко.

Рационалните изрази и дроби са крайъгълният камък на целия курс по алгебра. Тези, които се научат да работят с такива изрази, да ги опростят и разложат на множители, по същество ще могат да решат всеки проблем, тъй като трансформирането на изрази е неразделна част от всяко сериозно уравнение, неравенство или дори проблем с думи.

В този видео урок ще разгледаме как правилно да използваме формули за съкратено умножение, за да опростим рационални изрази и дроби. Нека се научим да виждаме тези формули там, където на пръв поглед няма нищо. В същото време ще повторим такава проста техника като факторизиране на квадратен трином чрез дискриминант.

Както вероятно вече се досещате от формулите зад мен, днес ще изучаваме формули за съкратено умножение или по-точно не самите формули, а тяхното използване за опростяване и намаляване на сложни рационални изрази. Но преди да преминем към решаване на примери, нека разгледаме по-отблизо тези формули или да ги запомним:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разлика на квадратите;
$((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ е квадрат на сумата;
$((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — разлика на квадрат;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ е сборът от кубове;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ е разликата на кубовете.

Бих искал също да отбележа, че нашата училищна образователна система е устроена по такъв начин, че с изучаването на тази тема, т.е. рационални изрази, както и корени, модули, всички ученици имат един и същ проблем, който сега ще обясня.

Факт е, че в самото начало на изучаването на формули за съкратено умножение и съответно действия за намаляване на дроби (това е някъде в 8-ми клас), учителите казват нещо подобно: „Ако нещо не ви е ясно, тогава не безпокой се, ние ще ти помогнем.” Ще се връщаме към тази тема повече от веднъж, със сигурност в гимназията. Ще разгледаме това по-късно." Е, тогава, в края на 9-10 клас, същите учители обясняват на същите ученици, които все още не знаят как да решават рационални дроби, нещо подобно: „Къде беше предходните две години? Това се учеше по алгебра в 8 клас! Какво неясно може да има тук? Толкова е очевидно!“

Подобни обяснения обаче не улесняват обикновените ученици: те все още са имали бъркотия в главите си, така че точно сега ще разгледаме два прости примера, въз основа на които ще видим как да изолираме тези изрази в реални проблеми , което ще ни доведе до съкратени формули за умножение и как след това да приложим това за трансформиране на сложни рационални изрази.

Редуциране на прости рационални дроби

Задача No1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Първото нещо, което трябва да научим, е да избираме точни квадрати и повече в оригиналните изрази високи градуси, въз основа на които след това можем да приложим формули. Нека да разгледаме:

Нека пренапишем нашия израз, като вземем предвид тези факти:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Отговор: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Проблем No2

Да преминем към втората задача:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Тук няма какво да опростявам, защото числителят съдържа константа, но аз предложих тази задача точно за да се научите как да разлагате на множители полиноми, съдържащи две променливи. Ако вместо това имахме полинома по-долу, как бихме го разширили?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Нека решим уравнението и намерим $x$, който можем да поставим на мястото на точките:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Можем да пренапишем тринома, както следва:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\наляво(x-1 \вдясно)\наляво(x+6 \вдясно)\]

Научихме как да работим с квадратен тричлен - затова трябваше да запишем този видео урок. Но какво ще стане, ако освен $x$ и константа има и $y$? Нека ги разглеждаме като друг елемент от коефициентите, т.е. Нека пренапишем нашия израз, както следва:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Нека напишем разширението на нашата квадратна конструкция:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Така че, ако се върнем към оригиналния израз и го пренапишем, като вземем предвид промените, получаваме следното:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Какво ни дава такъв рекорд? Нищо, защото не може да се намали, не се умножава или дели по нищо. Въпреки това, веднага щом тази фракция се окаже интегрална частПовече ▼ сложен израз, такова разлагане ще ви бъде полезно. Ето защо, веднага щом видите квадратен тричлен (няма значение дали е обременен с допълнителни параметри или не), винаги се опитвайте да го факторизирате.

Нюанси на решението

Запомнете основните правила за преобразуване на рационални изрази:

Всички знаменатели и числители трябва да бъдат разложени или чрез формули за съкратено умножение, или чрез дискриминант.
Трябва да работите по следния алгоритъм: когато търсим и се опитваме да изолираме формулата за съкратено умножение, тогава първо се опитваме да преобразуваме всичко във възможно най-високата степен. След това изваждаме общата степен от скобата.
Много често ще срещнете изрази с параметър: други променливи ще се появят като коефициенти. Намираме ги с помощта на формулата за квадратично разширение.

И така, след като видите рационални дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да разделите числителя и знаменателя на линейни изрази, като използвате формулите за съкратено умножение или дискриминант.

Нека да разгледаме няколко от тези рационални изрази и да се опитаме да ги разделим на множители.

Решаване на по-сложни примери

Задача No1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Пренаписваме и се опитваме да разложим всеки термин:

Нека пренапишем целия си рационален израз, като вземем предвид тези факти:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Отговор: $-1$.

Проблем No2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Нека да разгледаме всички фракции.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\ляво(x-2 \дясно))^(2))\]

Нека пренапишем цялата структура, като вземем предвид промените:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \ляво(x-2 \дясно))\]

Отговор: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Нюанси на решението

И така, какво научихме току-що:

Не всеки квадратен трином може да бъде разложен на множители; по-специално, това се отнася за непълния квадрат на сбора или разликата, които много често се намират като части от кубове сбор или разлика.
Константи, т.е. обикновените числа, които нямат променливи, също могат да действат като активни елементи в процеса на разширяване. Първо, те могат да бъдат извадени от скоби, и второ, самите константи могат да бъдат представени под формата на степени.
Много често след разлагането на всички елементи възникват противоположни конструкции. Тези дроби трябва да се редуцират изключително внимателно, защото при зачертаването им отгоре или отдолу се появява допълнителен множител $-1$ - това е именно следствие от това, че са противоположни.

Решаване на сложни проблеми

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Нека разгледаме всеки термин поотделно.

Първа дроб:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Можем да пренапишем целия числител на втората дроб, както следва:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Сега нека да разгледаме знаменателя:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]

Нека пренапишем целия рационален израз, като вземем предвид горните факти:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Отговор: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Нюанси на решението

Както видяхме още веднъж, непълните квадрати на сумата или непълните квадрати на разликата, които често се срещат в реални рационални изрази, обаче, не се плашете от тях, защото след трансформиране на всеки елемент те почти винаги се анулират. Освен това в никакъв случай не трябва да се страхувате от големи конструкции в крайния отговор - напълно възможно е това да не е вашата грешка (особено ако всичко е факторизирано), но авторът е имал предвид такъв отговор.

В заключение бих искал да обсъдя още един сложен пример, който вече не е пряко свързан с рационалните дроби, но съдържа всичко, което ви очаква на реални контролни и изпити, а именно: разлагане на множители, привеждане към общ знаменател, привеждане на подобни членове. Точно това ще направим сега.

Решаване на сложен проблем за опростяване и трансформиране на рационални изрази

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Първо, нека разгледаме и отворим първата скоба: в нея виждаме три отделни дроби с различни знаменатели, така че първото нещо, което трябва да направим, е да приведем и трите дроби към общ знаменател, а за да направим това, всяка от тях трябва да бъде факторизиран:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно)\]

Нека пренапишем цялата ни конструкция, както следва:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \дясно))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Това е резултатът от изчисленията от първата скоба.

Нека се заемем с втората скоба:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(x+2 \ надясно)\]

Нека пренапишем втората скоба, като вземем предвид промените:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Сега нека запишем цялата оригинална конструкция:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Отговор: $\frac(1)(x+2)$.

Нюанси на решението

Както виждате, отговорът се оказа съвсем разумен. Обърнете внимание обаче: много често по време на такива мащабни изчисления, когато единствената променлива се появява само в знаменателя, учениците забравят, че това е знаменателят и трябва да е в долната част на дробта и записват този израз в числителя - това е груба грешка.

Освен това бих искал да обърна специално внимание на това как се формализират такива задачи. При всякакви сложни изчисления всички стъпки се изпълняват една по една: първо броим отделно първата скоба, след това втората отделно и едва накрая комбинираме всички части и изчисляваме резултата. По този начин се застраховаме от глупави грешки, внимателно записваме всички изчисления и в същото време не губим допълнително време, както може да изглежда на пръв поглед.

В VIII тип училище учениците се запознават със следните преобразувания на дроби: изразяване на дроби в по-големи дроби (6. клас), изразяване на неправилни дроби като цяло или смесено число (6. клас), изразяване на дроби в еднакви дроби (7. клас), изразяване на смесено число като неправилна дроб (7. клас).

Изразяване на неправилна дроб с цяло или смесено число

Изучаване от този материалтрябва да започнете със задачата: вземете 2 равни кръга и разделете всеки от тях на 4 равни дяла, пребройте броя на четвъртите дялове (фиг. 25). След това се предлага тази сума да се напише като дроб. След това са четвъртите удари

Поставят се един до друг и учениците са убедени, че са образували цял кръг. Следователно към четири четвърти той добавя -

отново последователно и учениците записват:

Учителят насочва вниманието на учениците към факта, че във всички разгледани случаи те са взели неправилна дроб и в резултат на преобразуването са получили или цяло, или смесено число, т.е. те са изразили неправилната дроб като цяло или смесено число. След това трябва да се стремим да гарантираме, че учениците самостоятелно определят каква аритметична операция може да бъде извършена тази трансформация. Ярки примери, водещи до отговора на въпроса са: Заключение: до

За да изразите неправилна дроб като цяло или смесено число, трябва да разделите числителя на дробта на знаменателя, да запишете частното като цяло число, да запишете остатъка в числителя и да оставите знаменателя същия. Тъй като правилото е тромаво, изобщо не е необходимо учениците да го учат наизуст. Те трябва да могат последователно да съобщават стъпките, включени в извършването на дадена трансформация.

Преди да запознаете учениците с изразяването на неправилна дроб с цяло или смесено число, е препоръчително да преговорите с тях делението на цяло число на цяло число с остатък.

Консолидирането на нова трансформация за учениците се улеснява чрез решаване на проблеми от практическо естество, например:

„В една ваза има девет четвъртинки портокал. Колко цели портокала могат да се направят от тези части? Колко четвъртини ще останат?“

Изразяване на цели и смесени числа като неправилни дроби

Запознаването на учениците с тази нова трансформация трябва да бъде предшествано от решаване на проблеми, например:

„2 парчета плат с еднаква дължина, оформени като квадрат, бяха разрязани на 4 равни части. От всяка такава част беше ушит шал. Колко шала получихте? .

След това учителят кара учениците да изпълнят следната задача: „Вземете цял кръг и друга половина от кръг, равен по размер на първия. Разрежете целия кръг наполовина. Колко половини имаше? Запишете: беше кръг, стана кръг.

По този начин, въз основа на визуална и практическа основа, разглеждаме още редица примери. В разглежданите примери учениците са помолени да сравнят оригиналното число (смесено или цяло число) и числото, получено след преобразуване (неправилна дроб).

За да запознаете учениците с правилото за изразяване на цяло число и смесено число като неправилна дроб, трябва да насочите вниманието им към сравняване на знаменателите на смесеното число и неправилната дроб, както и как се получава числителят, напр. :

ще бъде 15/4. В резултат на това се формулира правило: за да изразите смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цяло число, да добавите числителя към продукта и да запишете сумата като числител, като оставите знаменателя непроменен.

Първо, трябва да обучите учениците да изразяват единица като неправилна дроб, след това всяко друго цяло число, указващо знаменателя, и едва след това смесено число -

Основно свойство на дроб 1

Концепцията за неизменността на дроб при едновременно увеличаване или намаляване на нейните членове, т.е. числителя и знаменателя, се придобива от учениците VIII училищаедин вид с голяма трудност. Тази концепция трябва да бъде въведена чрез визуални и дидактически материали и е важно учениците не само да наблюдават дейностите на учителя, но и активно да работят с тях. дидактически материали въз основа на наблюдения и практическа дейност стигнаха до определени изводи и обобщения.

Например, учителят взема цяла ряпа, разделя я на 2 равни части и пита: „Какво получихте, когато разделихте цяла ряпа на две? (2 половини.) Покажете ряпата. Нарежете (разделете) половината ряпа на още 2 равни части. Какво ще получим? Нека напишем: Нека сравним числителите и знаменателите на тези дроби. В колко часа

пъти увеличи ли се числителят? Колко пъти се е увеличил знаменателят? Колко пъти са се увеличили и числителят, и знаменателят? Дробта промени ли се? Защо не се е променило? Как станаха акциите: по-големи или по-малки? Увеличил ли се е броят на акциите или е намалял?

След това всички ученици разделят кръга на 2 равни части, всяка половина се разделя на още 2 равни части, всяка четвърт на още 2 равни части и т.н. и записват: и т.н. След това

установете колко пъти са се увеличили числителят и знаменателят на дробта и дали дробта се е променила. След това начертайте отсечка и я разделете последователно на 3, 6, 12 равни частии запиши:

При сравняване на дроби оказва се, че

Числителят и знаменателят на дробта се увеличават еднакъв брой пъти, но дробта не се променя.

След като разгледат няколко примера, учениците трябва да бъдат помолени да отговорят на въпроса: „Ще се промени ли дробта, ако числителят

Някои знания по темата „Обикновени дроби“ са изключени от учебната програма по математика в поправителните училища от тип VIII, но се съобщават на учениците в училищата за деца със закъснение умствено развитие, в изравнителните часове за деца, които имат затруднения в ученето на математика. В този учебник параграфите, които предоставят методи за изучаване на този материал, са обозначени със звездичка (*).

и умножете знаменателя на дробта по същото число (увеличете със същия брой пъти)?“ Освен това трябва да помолите учениците сами да дадат примери.

Подобни примери са дадени, когато се обмисля намаляване на числителя и знаменателя с еднакъв брой пъти (числителят и знаменателят са разделени на едно и също число). Например кръг се разделя на 8 равни части, вземат се 4 осми от кръга,

След като увеличат дяловете, те вземат четвъртите, те ще бъдат 2. След като увеличат дяловете, те вземат вторите. Те ще бъдат сравнени последователно

числители и знаменатели на тези дроби, отговаряйки на въпросите: „Колко пъти се намаляват числителят и знаменателят? Ще се промени ли дробта?*.

Добър пътеводителса ивици, разделени на 12, 6, 3 равни части (фиг. 26).

Въз основа на разгледаните примери учениците могат да заключат: дробта няма да се промени, ако числителят и знаменателят на дробта се разделят на едно и също число (намалени с еднакъв брой пъти). След това се дава обобщено заключение - основното свойство на дробта: дробта няма да се промени, ако числителят и знаменателят на дробта се увеличат или намалят с еднакъв брой пъти.

Намаляване на дроби

Първо е необходимо да подготвим учениците за това преобразуване на дроби. Както знаете, намаляването на дроб означава да разделите числителя и знаменателя на дробта на едно и също число. Но делителят трябва да е число, което дава на отговора несъкратима дроб.

Месец до месец и половина преди учениците да бъдат запознати с намаляването на дроби, се извършва подготвителна работа - те трябва да назоват два отговора от таблицата за умножение, които се делят на едно и също число. Например: „Назовете две числа, които се делят на 4.“ (Първо учениците разглеждат 1 в таблицата и след това назовават тези числа по памет.) Те назовават както числата, така и резултатите от разделянето им на 4. След това учителят предлага на учениците дроби, 3

например изберете делител за числителя и знаменателя (основата за извършване на такова действие е таблицата за умножение).

каква маса да гледам? На какво число могат да се разделят 5 и 15?) Оказва се, че когато числителят и знаменателят на една дроб се разделят на едно и също число, размерът на дробта не се е променил (това може да се покаже на лента, сегмент, кръг), само дробите са станали по-големи: Видът на дробите е станал по-прост. Учениците се водят до извода за правилата за съкращаване на дроби.

Учениците от VIII тип често се затрудняват при избора най-голямото число, което дели както числителя, така и знаменателя на дробта. Следователно често се наблюдават грешки от такова естество като 4/12 = 2/6, т.е. ученикът не е намерил най-голямата обща

делител за числата 4 и 12. Следователно в началото можете да разрешите постепенно деление, т.е., но в същото време да попитате с какво число са били разделени първо числителят и знаменателят на дробта, с какво число след това и след това с какво число числителят и знаменателят може да бъде незабавно разделен на дроби Въпроси като този помагат на учениците постепенно да намерят най-големия общ множител на числителя и знаменателя на дроб.

Привежданедроби към най-малък общ знаменател*

Намаляването на дробите до най-малкия общ знаменател не трябва да се разглежда като цел сама по себе си, а като трансформация, необходима за сравняване на дроби и след това за извършване на операциите за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Учениците вече са запознати със сравняването на дроби с еднакви числители, но различни знаменатели и с еднакви знаменатели, но различни числители. Те обаче все още не знаят как да сравняват дроби с различни числители и знаменатели.

Преди да обясните на учениците значението на новата трансформация, е необходимо да повторите преминатия материал, като изпълните например следните задачи:

Сравнете дроби 2/5,2/7,2/3 Кажете правилото за сравняване на дроби с

еднакви числители.

Сравнете дроби Кажете правилото за сравняване на дроби

с еднакви знаменатели.

Сравнете дроби За учениците е трудно да сравняват дроби

са различни, защото имат различни числители и знаменатели. За да сравните тези дроби, трябва да направите числителите или знаменателите на тези дроби равни. Обикновено знаменателите се изразяват в равни дроби, тоест свеждат дробите до най-малкия общ знаменател.

Учениците трябва да бъдат запознати с начина на изразяване на дроби с равни части.

Първо се разглеждат дроби с различни знаменатели, но такива, при които знаменателят на една дроб се дели без остатък на знаменателя на друга дроб и следователно може да бъде и знаменател на друга дроб.

Например в дробите знаменателите са числата 8 и 2.

За да изразите тези дроби на равни части, учителят предлага да умножите по-малкия знаменател последователно по числата 2, 3, 4 и т.н. и правете това, докато получите резултат, равен на знаменателя на първата дроб. Например умножете 2 по 2 и ще получите 4. Знаменателите на двете дроби отново са различни. След това умножаваме 2 по 3, получаваме 6. Числото 6 също не е подходящо. Умножаваме 2 по 4, получаваме 8. В този случай знаменателите са еднакви. За да не се променя дробта, числителят на дробта също трябва да се умножи по 4 (въз основа на основното свойство на дробта). Нека получим дроб. Сега дробите са изразени в равни дроби. Техен

Лесно е да сравнявате и извършвате действия с тях.

Можете да намерите числото, по което трябва да умножите по-малкия знаменател на една от дробите, като разделите по-големия знаменател на по-малкия. Например, ако разделите 8 на 2, ще получите числото 4. Трябва да умножите както знаменателя, така и числителя на дробта по това число. Това означава, че за да изразите няколко дроби на равни части, трябва да разделите по-големия знаменател на по-малкия, да умножите частното по знаменателя и числителя на дробта с по-малки знаменатели. Дадени са например дроби.За да приведем тези дроби

към най-малкия общ знаменател, имате нужда от 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Дробта ще приеме формата . Тогава 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Дробта ще приеме формата Следователно дробите ще приемат съответната форма, т.е. ще бъдат изразени

nymi в равни части.

Провеждат се упражнения, които ви позволяват да развиете умения за намаляване на дроби до общ най-малък знаменател.

Например, трябва да го изразите в равни части от фракцията

За да не забравят учениците частното, което се получава от разделянето на по-голям знаменател на по-малък, е препоръчително.

запишете дроб с по-малък знаменател. Например и

След това разглеждаме дроби, в които по-големият знаменател не се дели на по-малкия и следователно не е

общи за тези дроби. Например знаменател 8 не е такъв

се дели на 6. В този случай по-големият знаменател 8 ще бъде последователно умножен по числата в числовата серия, започвайки с 2, докато получим число, което се дели без остатък и на двата знаменателя 8 и 6. За да за да останат равни на данните, числителите трябва съответно да се умножат по едни и същи числа. На-

3 5 пример, така че дробите tg и * да са изразени в равни пропорции,

по-големият знаменател на 8 се умножава по 2 (8x2=16). 16 не се дели на 6, което означава, че умножаваме 8 по следващото число 3 (8x3=24). 24 се дели на 6 и 8, което означава, че 24 е общият знаменател за тези дроби. Но за да останат равни дробите, техните числители трябва да се увеличат толкова пъти, колкото се увеличават знаменателите, 8 се увеличава 3 пъти, което означава, че числителят на тази дроб 3 ще се увеличи 3 пъти.

Дробта ще приеме формата Знаменател 6, увеличен 4 пъти. Съответно числителят на 5-та дроб трябва да се увеличи 4 пъти. Дробите ще имат следната форма:

Така подвеждаме учениците до общ извод (правило) и ги запознаваме с алгоритъма за изразяване на дроби с равни части. Например, дадени са две дроби ¾ и 5/7

1. Намерете най-малкия общ знаменател: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 се дели на 4 и 7. 28 е най-малкият общ знаменател
държач на фракция

2. Намерете допълнителни множители: 28:4=7,

3. Нека ги запишем върху дроби:

4. Умножете числителите на дробите с допълнителни фактори:
3x7=21, 5x4=20.

Получаваме дроби с еднакви знаменатели. Това означава

Намалихме дробите до общ най-малък знаменател.

Опитът показва, че е препоръчително учениците да се запознаят с преобразуването на дроби, преди да изучават различни аритметични действия с дроби. Например, препоръчително е да научите съкращаване на дроби или замяна на неправилна дроб с цяло или смесено число, преди да научите събирането и изваждането на дроби с подобни знаменатели, тъй като получената сума или разлика

Ще трябва да направите едно или и двете преобразувания.

Най-добре е да изучавате намаляването на дроб до най-малкия общ знаменател с учениците преди темата „Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели“ и замяната на смесено число с неправилна дроб преди темата „Умножение и деление на дроби с цели числа“.

Събиране и изваждане на обикновени дроби

1. Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Проучване, проведено от Алишева Т.В. 1, показва целесъобразността да се използва аналогия със събиране и изваждане, вече позната на учениците, когато се изучават операциите за събиране и изваждане на обикновени дроби с еднакви знаменатели

числа, получени в резултат на измерване на количества, и изучаване на действия с помощта на дедуктивен метод, т.е. „от общото към конкретното“.

Първо се повтаря събирането и изваждането на числата с имената на мерките за стойност и дължина. Например 8 рубли. 20 k.± 4 r. 15 к. Когато извършвате устно добавяне и изваждане, трябва да добавите (извадите) първо рубли, а след това копейки.

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - първо се добавят (изваждат) метри, а след това сантиметри.

Когато събирате и изваждате дроби, имайте предвид общслучай: извършване на тези действия със смесени числа (знаменателите са еднакви): В този случай трябва да: „Събирате (изваждате) целите числа, след това числителите, а знаменателят остава същият.“ Това общо правило важи за всички случаи на събиране и изваждане на дроби. Постепенно се въвеждат специални случаи: събиране на смесено число с дроб, след това смесено число с цяло. След това се разглеждат по-трудни случаи на изваждане: 1) от смесено число на дроб: 2) от смесено число на цяло:

След като усвоят тези доста прости случаи на изваждане, учениците се запознават с по-трудни случаи, когато се изисква трансформация на умаляваното: изваждане от една цяла единица или от няколко единици, например:

В първия случай единицата трябва да бъде представена като дроб със знаменател, равен на знаменателя на субтрахенда. Във втория случай вземаме едно от цяло число и също го записваме под формата на неправилна дроб със знаменател на субтрахенда, получаваме смесено число в умаленото. Изваждането се извършва съгласно общото правило.

Накрая се разглежда най-трудният случай на изваждане: от смесено число и числителят на дробната част е по-малък от числителя в субтрахенда. В този случай е необходимо да промените умаленото, така че да може да се приложи общото правило, т.е. в умаленото да вземете една единица от цялото и да я разделите

в пети, получаваме и също, получаваме пример

ще приеме следната форма: вече можете да приложите към неговото решение

общо правило.

Използването на дедуктивния метод за преподаване на събиране и изваждане на дроби ще помогне на учениците да развият способността да обобщават, сравняват, диференцират и включват отделни случаи на изчисления в обща системапознаване на операции с дроби.

Статията говори за трансформацията на рационални изрази. Нека разгледаме видовете рационални изрази, техните трансформации, групиране и поставяне в скоби на общия множител. Нека се научим да представяме дробни рационални изрази под формата на рационални дроби.

Определение и примери за рационални изрази

Определение 1

Изрази, които са съставени от числа, променливи, скоби, степени с операциите събиране, изваждане, умножение, деление с наличието на дробна черта се наричат рационални изрази.

Например, имаме това 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Тоест, това са изрази, които не са разделени на изрази с променливи. Изучаването на рационалните изрази започва в 8 клас, където те се наричат дробни рационални изрази.Особено внимание се обръща на дробите в числителя, които се преобразуват по правилата за преобразуване.

Това ни позволява да преминем към преобразуване на рационални дроби с произволна форма. Такъв израз може да се разглежда като израз с наличието на рационални дроби и цели числа със знаци за действие.

Основни видове преобразувания на рационални изрази

Рационалните изрази се използват за извършване на идентични трансформации, групиране, привеждане на подобни и извършване на други операции с числа. Целта на такива изрази е опростяване.

Пример 1

Преобразувайте рационалния израз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Решение

Може да се види, че такъв рационален израз е разликата между 3 x x y - 1 и 2 x x y - 1. Забелязваме, че техният знаменател е идентичен. Това означава, че намаляването на подобни термини ще приеме формата

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Отговор: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Пример 2

Преобразувайте 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

Решение

Първоначално изпълняваме действията в скоби 3 · x − x = 2 · x. Ние представяме този израз във формата 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Стигаме до израз, който съдържа операции с една стъпка, тоест има събиране и изваждане.

Отърваваме се от скобите, като използваме свойството за деление. Тогава получаваме, че 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Групираме числови фактори с променливата x, след което можем да извършваме операции със степени. Разбираме това

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Отговор: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

Пример 3

Преобразувайте израз от формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Решение

Първо трансформираме числителя и знаменателя. След това получаваме израз от формата (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 и действията в скобите се извършват първи. В числителя се извършват операции и се групират факторите. Тогава получаваме израз във формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Преобразуваме формулата за разликата на квадратите в числителя, след което получаваме това

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Отговор: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Рационално представяне на дроби

Алгебричните дроби най-често се опростяват, когато се решават. Всяко рационално се свежда до това различни начини. Необходимо е да се извършат всички необходими операции с полиноми, за да може рационалният израз в крайна сметка да даде рационална дроб.

Пример 4

Представете като рационална дроб a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Решение

Този израз може да бъде представен като 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Умножението се извършва предимно според правилата.

Трябва да започнем с умножение, тогава получаваме това

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Представяме получения резултат с оригиналния. Разбираме това

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Сега нека направим изваждането:

а + 5 а · а - 3 - а - 5 а + 3 · а = а + 5 · а + 3 а · (а - 3) · (а + 3) - (а - 5) · (а - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

След което е очевидно, че оригиналният израз ще приеме формата 16 a 2 - 9.

Отговор: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Пример 5

Изразете x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x като рационална дроб.

Решение

Даденият израз е записан като дроб, числителят на която съдържа x x + 1 + 1, а знаменателят 2 x - 1 1 + x. Необходимо е да се направят трансформации x x + 1 + 1 . За да направите това, трябва да съберете дроб и число. Получаваме, че x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

От това следва, че x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Получената дроб може да се запише като 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

След разделянето стигаме до рационална част от формата

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Можете да разрешите това по различен начин.

Вместо да делим на 2 x - 1 1 + x, ние умножаваме по обратното му 1 + x 2 x - 1. Нека приложим разпределителното свойство и да намерим това

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Отговор: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

дроби

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Дробите не са голяма неудобство в гимназията. За момента. Докато не срещнете степени с рационални показателида логаритми. И там... Натискате и натискате калкулатора и той показва пълен дисплей на някои числа. Трябва да мислиш с главата си като в трети клас.

Нека най-накрая да разберем дробите! Е, колко можеш да се объркаш в тях!? Освен това всичко е просто и логично. Така, какви са видовете дроби?

Видове дроби. Трансформации.

Има три вида дроби.

1. Обикновени дроби , Например:

Понякога вместо хоризонтална линия те поставят наклонена черта: 1/2, 3/4, 19/5, добре и т.н. Тук често ще използваме този правопис. Извиква се горното число числител, нисък - знаменател.Ако постоянно бъркате тези имена (случва се...), кажете си фразата: " Зззззпомня! Ззззззнаменател - погледнете zzzzzвиж, всичко ще бъде zzzz запомнено.)

Тирето, хоризонтално или наклонено, означава разделениегорното число (числител) към дъното (знаменател). Това е всичко! Вместо тире е напълно възможно да поставите знак за разделяне - две точки.

Когато е възможно пълно разделяне, това трябва да се направи. Така че вместо фракцията „32/8“ е много по-приятно да напишете числото „4“. Тези. 32 просто се дели на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Дори не говоря за дробта "4/1". Което също е само "4". И ако не е напълно делимо, оставяме го като дроб. Понякога трябва да извършите обратната операция. Преобразувайте цяло число във дроб. Но повече за това по-късно.

2. Десетични знаци , Например:

Именно в тази форма ще трябва да запишете отговорите на задачи „Б“.

3. Смесени числа , Например:

Най-универсален обикновени дроби. Да започнем с тях. Между другото, ако една дроб съдържа всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всичко действията с дробни изрази не се различават от действията с обикновените дроби!

Основното свойство на дробта.

Така че да тръгваме! Като начало ще ви изненадам. Цялото разнообразие от трансформации на дроби се осигурява от едно единствено свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Помня: Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат (делят) по едно и също число, дробта не се променя.Тези:

Ясно е, че можете да продължите да пишете до посиняване. Не позволявайте на синусите и логаритмите да ви объркват, ние ще се занимаваме с тях по-нататък. Основното нещо е да разберете, че всички тези различни изрази са същата фракция . 2/3.

Имаме ли нужда от всички тези трансформации? И как! Сега ще видите сами. Като начало нека използваме основното свойство на дроб за намаляване на дроби. Изглежда елементарно нещо. Разделете числителя и знаменателя на едно и също число и това е! Невъзможно е да направите грешка! Но... човекът е творческо същество. Можете да сгрешите навсякъде! Особено ако трябва да съкратиш не дроб като 5/10, а дробен израз с всякакви букви.

Как правилно и бързо да намалите дроби, без да правите допълнителна работа, можете да прочетете в специалния раздел 555.

Един нормален ученик не си прави труда да раздели числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Той просто зачерква всичко еднакво горе и долу! Тук се крие типична грешка, гаф, ако щете.

Например, трябва да опростите израза:

Тук няма какво да мислите, задраскайте буквата „а“ отгоре и „2“ отдолу! Получаваме:

Всичко е точно. Но наистина се разделихте цялото числител и цялото знаменателят е "а". Ако сте свикнали просто да зачерквате, тогава в бързината можете да зачеркнете „а“ в израза

и го вземете отново

Което би било категорично невярно. Защото тук цялоточислителят на "а" е вече не е споделено! Тази фракция не може да бъде намалена. Между другото, подобно намаление е хм... сериозно предизвикателство за учителя. Това не се прощава! Помниш ли? Когато намалявате, трябва да разделите цялото числител и цялото знаменател!

Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. Как мога да продължа да работя с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, повдигнете на квадрат!? И ако не ви мързи, внимателно го намалете с пет, с още пет и дори... докато се съкращава, накратко. Да вземем 3/8! Много по-хубаво, нали?

Основното свойство на дробта ви позволява да преобразувате обикновени дроби в десетични и обратно без калкулатор! Това е важно за Единния държавен изпит, нали?

Как да конвертирате дроби от един вид в друг.

С десетичните дроби всичко е просто. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула цяло двадесет и пет стотни. Затова пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обичайната фракция: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Като 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.

Ами ако целите числа не са нула? Всичко е наред. Записваме цялата дроб без никакви запетаив числителя, а в знаменателя - чутото. Например: 3.17. Това е три цяло и седемнадесет стотни. В числителя записваме 317, а в знаменателя - 100. Получаваме 317/100. Нищо не е намалено, това означава всичко. Това е отговорът. Елементарно Уотсън! От всичко казано полезно заключение: всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб .

Но някои хора не могат да направят обратното преобразуване от обикновена в десетична без калкулатор. И е необходимо! Как ще запишете отговора на Единния държавен изпит!? Прочетете внимателно и овладейте този процес.

Каква е характеристиката на десетичната дроб? Нейният знаменател е Винагиструва 10, или 100, или 1000, или 10 000 и така нататък. Ако вашата обикновена дроб има знаменател като този, няма проблем. Например 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. Ами ако отговорът на задачата в раздел „Б” се окаже 1/2? Какво ще напишем в отговор? Десетичните знаци са задължителни...

Помним основно свойство на дроб ! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. Всичко, между другото! Освен нула, разбира се. Така че нека използваме този имот в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малкото е по-добре, разбира се...)? На 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя (това е наснеобходимо) с 5. Но тогава числителят също трябва да се умножи по 5. Това вече е математикаискания! Получаваме 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Това е всичко.

Срещат се обаче всякакви знаменатели. Ще срещнете например дробта 3/16. Опитайте да разберете по какво да умножите 16, за да получите 100 или 1000... Не работи ли? След това можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите с ъгъл, на лист хартия, както са учили в началното училище. Получаваме 0,1875.

А има и много лоши знаменатели. Например, няма начин да превърнете дробта 1/3 в добър десетичен знак. И на калкулатора, и на лист хартия получаваме 0,3333333... Това означава, че 1/3 е точна десетична дроб не превежда. Същото като 1/7, 5/6 и т.н. Много са, непреводими. Това ни води до друго полезно заключение. Не всяка дроб може да се преобразува в десетична !

Между другото, това полезна информацияза самотест. В раздел "Б" трябва да запишете десетична дроб в отговора си. И имате, например, 4/3. Тази дроб не се преобразува в десетична. Това означава, че сте направили грешка някъде по пътя! Върнете се и проверете решението.

И така, разбрахме обикновени и десетични дроби. Остава само да се справим със смесени числа. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направим? Можеш да хванеш шестокласник и да го попиташ. Но шестокласник не винаги ще бъде под ръка ... Ще трябва да го направите сами. Не е трудно. Трябва да умножите знаменателя на дробната част по цялата част и да добавите числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновената дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но в действителност всичко е просто. Нека разгледаме един пример.

Да предположим, че сте били ужасени да видите числото в проблема:

Спокойно, без паника, мислим. Цялата част е 1. Единица. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Преброяваме числителя. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Това е всичко. Изглежда още по-просто в математическа нотация:

Чисто ли е? Тогава си осигурете успех! Преобразувайте в обикновени дроби. Трябва да получите 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратната операция - преобразуване на неправилна дроб в смесено число - рядко се изисква в гимназията. Е, ако е така... И ако не сте в гимназията, можете да разгледате специалния раздел 555. Между другото, там ще научите и за неправилните дроби.

Е, това е на практика всичко. Спомнихте си видовете дроби и разбрахте как прехвърлянето им от един тип в друг. Въпросът остава: За какво направи го? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?

Аз отговарям. Всеки пример сам подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновените дроби, десетичните дроби и дори смесените числа са смесени заедно, ние преобразуваме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако пише нещо като 0,8 + 0,3, тогава го броим по този начин, без превод. Защо се нуждаем от допълнителна работа? Ние избираме решението, което е удобно нас !

Ако задачата е само десетични дроби, но хм... някакви лоши, отидете на обикновени и опитайте! Виж, всичко ще се нареди. Например, ще трябва да поставите на квадрат числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте свикнали да използвате калкулатор! Освен че трябва да умножите числата в колона, трябва да помислите и къде да поставите запетаята! Определено няма да работи в главата ви! Ами ако преминем към обикновена дроб?

0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е като за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж с 5. Получаваме 5/40. О, все още намалява! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Лесно го повдигаме на квадрат (в ума си!) и получаваме 1/64. Всичко!

Нека обобщим този урок.

1. Има три вида дроби. Общи, десетични и смесени числа.

2. Десетични знаци и смесени числа Винагиможе да се преобразува в обикновени дроби. Обратно прехвърляне не винагина разположение.

3. Изборът на типа дроби за работа със задача зависи от самата задача. Ако в една задача има различни видове дроби, най-надеждното е да преминете към обикновени дроби.

Сега можете да практикувате. Първо преобразувайте тези десетични дроби в обикновени дроби:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Трябва да получите отговори като този (в бъркотия!):

Нека приключим тук. В този урок опреснихме паметта си върху ключови точки за дробите. Случва се обаче да няма нищо специално за опресняване...) Ако някой напълно е забравил или все още не го е усвоил... Тогава можете да отидете на специален раздел 555. Всички основни неща са разгледани подробно там. Много изведнъж разбере всичкозапочват. И те решават дроби в движение).