Как да намерим височината, като знаем страната и ъгъла. Намерете максималната височина на триъгълника. Свойства на минималната височина на триъгълник

При решаване на различни видове задачи, както от чисто математически, така и от приложен характер (особено в строителството), често е необходимо да се определи стойността на височината на определена геометрична фигура. Как да изчислим дадена стойност (височина) в триъгълник?

Ако комбинираме 3 точки по двойки, които не са разположени на една права линия, тогава получената фигура ще бъде триъгълник. Надморската височина е част от права от всеки връх на фигура, която, когато се пресича с противоположната страна, образува ъгъл от 90 °.

Намерете височината в скален триъгълник

Нека определим стойността на височината на триъгълника в случай, когато фигурата има произволни ъгли и страни.

Формулата на Херон

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, където

p - половината от периметъра на фигурата, h(a) - сегмент до страна a, начертан под прав ъгъл към нея,

p=(a+b+c)/2 – изчисляване на полупериметъра.

Ако има площ на фигурата, за да определите нейната височина, можете да използвате съотношението h(a)=2S/a.

Тригонометрични функции

За да определите дължината на сегмент, който образува прав ъгъл в пресечната точка със страна a, можете да използвате следните връзки: ако са известни страна b и ъгъл γ или страна c и ъгъл β, тогава h(a)=b*sinγ или h(a)=c *sinβ.
Където:
γ е ъгълът между страна b и a,
β е ъгълът между страна c и a.

Връзка с радиус

Ако оригиналният триъгълник е вписан в кръг, можете да използвате радиуса на такъв кръг, за да определите височината. Центърът му се намира в точката, където се пресичат всичките 3 височини (от всеки връх) - ортоцентъра, а разстоянието от него до върха (всякакъв) е радиусът.

Тогава h(a)=bc/2R, където:
b, c - 2 други страни на триъгълника,
R е радиусът на окръжността, описваща триъгълника.

Намерете височината в правоъгълен триъгълник

В тази форма на геометрична фигура 2 страни в пресечната точка образуват прав ъгъл - 90 °. Следователно, ако се изисква да се определи стойността на височината в него, тогава е необходимо да се изчисли или размерът на един от краката, или стойността на сегмента, който образува 90 ° с хипотенузата. При определяне:
а, б - крака,
c е хипотенузата,
h(c) е перпендикулярът на хипотенузата.
Можете да направите необходимите изчисления, като използвате следните съотношения:

  • Питагорова теорема:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, тогава h(c)=ab/c .

  • Тригонометрични функции:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Намерете височината в равнобедрен триъгълник

Тази геометрична фигура се отличава с наличието на две страни с еднакъв размер и третата - основата. За да се определи височината, изтеглена към третата, различна страна, на помощ идва питагоровата теорема. С обозначенията
настрана,
в - основа,
h(c) е отсечка до c под ъгъл от 90°, тогава h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).


За да решите много геометрични задачи, трябва да намерите височината на дадена фигура. Тези задачи са от практическо значение. При провеждане строителни работиопределянето на височината помага да се изчисли необходимото количество материали, както и да се определи колко точно са направени склоновете и отворите. Често, за да изградите шаблони, трябва да имате представа за свойствата

Много хора, въпреки добрите оценки в училище, при изграждане на обикновени геометрични фигуривъзниква въпросът как да се намери височината на триъгълник или паралелограм. И е най-трудно. Това е така, защото триъгълникът може да бъде остър, тъп, равнобедрен или прав. Всеки от тях има свои собствени правила за изграждане и изчисление.

Как да намерите височината на триъгълник, в който всички ъгли са остри, графично

Ако всички ъгли на триъгълника са остри (всеки ъгъл в триъгълника е по-малък от 90 градуса), тогава за да намерите височината, направете следното.

  1. Според дадените параметри изграждаме триъгълник.
  2. Нека въведем нотация. A, B и C ще бъдат върховете на фигурата. Ъглите, съответстващи на всеки връх, са α, β, γ. Страните срещу тези ъгли са a, b, c.
  3. Височината е перпендикулярът от върха на ъгъла към противоположната страна на триъгълника. За да намерим височините на триъгълник, построяваме перпендикуляри: от върха на ъгъл α към страна a, от върха на ъгъл β към страна b и т.н.
  4. Точката на пресичане на височината и страната a ще бъде обозначена с H1, а самата височина ще бъде h1. Пресечната точка на височината и страната b ще бъде H2, височината, съответно, h2. За страна c височината ще бъде h3 и пресечната точка H3.

Височина в триъгълник с тъп ъгъл

Сега помислете как да намерите височината на триъгълник, ако е такъв (по-голям от 90 градуса). В този случай височината, изтеглена от тъп ъгъл, ще бъде вътре в триъгълника. Останалите две височини ще бъдат извън триъгълника.

Нека ъглите α и β в нашия триъгълник са остри, а ъгълът γ тъп. След това, за да се конструират височините, излизащи от ъглите α и β, е необходимо да се продължат страните на триъгълника срещу тях, за да се начертаят перпендикуляри.

Как да намерим височината на равнобедрен триъгълник

Такава фигура има две равни страни и основа, докато ъглите в основата също са равни един на друг. Това равенство на страните и ъглите улеснява конструирането на височините и тяхното изчисляване.

Първо, нека нарисуваме самия триъгълник. Нека страните b и c, както и ъглите β, γ са съответно равни.

Сега нека начертаем височина от върха на ъгъла α, означете го h1. За тази височина ще бъде както ъглополовящата, така и медианата.

За основата може да се направи само една конструкция. Например, начертайте медиана - сегмент, свързващ върха на равнобедрен триъгълник и противоположната страна, основата, за да намерите височината и ъглополовящата. И за да изчислите дължината на височината за другите две страни, можете да изградите само една височина. По този начин, за да се определи графично как да се изчисли височината на равнобедрен триъгълник, е достатъчно да се намерят две височини от три.

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Много по-лесно е да се определят височините на правоъгълен триъгълник, отколкото други. Това е така, защото самите крака образуват прав ъгъл, което означава, че са на височина.

За изграждане на третата височина, както обикновено, се изчертава перпендикуляр, свързващ върха прав ъгъли противоположната страна. В резултат на това, за да се направи триъгълник в този случай, е необходима само една конструкция.

Как да намерим най-голямата или най-малката височина на триъгълник? Колкото по-малка е височината на триъгълника, толкова по-голяма е височината, изтеглена към него. Тоест, най-голямата от височините на триъгълника е тази, която е изтеглена към най-малката му страна. - тази, която е изтеглена към най-голямата от страните на триъгълника.

За да намерите максималната височина на триъгълник , мога площ на триъгълникразделено на дължината на страната, към която е изтеглена тази височина (тоест на дължината на най-малката от страните на триъгълника).

Съответно, d Да се ​​намери най-малката височина на триъгълник Разделете площта на триъгълника на дължината на най-дългата му страна.

Задача 1.

Намерете най-малката височина на триъгълник, чиито страни са 7 cm, 8 cm и 9 cm.

дадено:

AC=7cm, AB=8cm, BC=9cm.

Намерете: най-малката височина на триъгълника.

решение:

Най-малката от височините на триъгълника е тази, изтеглена към най-дългата му страна. И така, трябва да намерите височината AF, изтеглена към страната BC.

За удобство на нотацията въвеждаме нотацията

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Височината на триъгълника е равна на частното от удвоената площ на триъгълника, разделено на страната, към която е изтеглена тази височина. може да се намери с помощта на формулата на Херон. Така

Ние изчисляваме:

Отговор:

Задача 2.

Намерете най-дългата страна на триъгълник със страни 1 см, 25 см и 30 см.

дадено:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Да намеря:

най-голямата височина на триъгълник ABC.

решение:

Най-голямата височина на триъгълника се тегли към най-малката му страна.

И така, трябва да намерим височината CD, изтеглена към страната AB.

За удобство обозначаваме

триъгълници.

Основни понятия.

триъгълник- това е фигура, състояща се от три сегмента и три точки, които не лежат на една права линия.

Сегментите се наричат партии, и точките върхове.

Сбор от ъглитриъгълник е равен на 180º.

Височината на триъгълника.

Височина на триъгълнике перпендикуляр, начертан от връх към противоположната страна.

В триъгълник с остър ъгъл височината се съдържа вътре в триъгълника (фиг. 1).

В правоъгълен триъгълник катетите са височините на триъгълника (фиг. 2).

При тъп триъгълник височината минава извън триъгълника (фиг. 3).

Свойства на височината на триъгълника:

Симетрала на триъгълник.

Симетрала на триъгълник- това е сегмент, който разполовява ъгъла на върха и свързва върха с точка от противоположната страна (фиг. 5).

Свойства на бисектриса:


Медиана на триъгълник.

Медиана на триъгълник- това е сегмент, свързващ върха със средата на противоположната страна (фиг. 9а).


Дължината на медианата може да се изчисли по формулата:

2б 2 + 2° С 2 - а 2
м а 2 = ——————
4

където м а- медиана, изтеглена настрани а.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена към хипотенузата, е половината от хипотенузата:

° С
mc = —
2

където mcе медианата, изтеглена към хипотенузата ° С(фиг. 9в)

Медианите на триъгълника се пресичат в една точка (в центъра на масата на триъгълника) и се делят на тази точка в съотношение 2:1, като се брои от върха. Тоест отсечката от върха до центъра е два пъти по-голяма от отсечката от центъра до страната на триъгълника (фиг. 9в).

Трите медиани на триъгълник го разделят на шест триъгълника с еднаква площ.

Средната линия на триъгълника.

Средна линия на триъгълника- това е сегмент, свързващ средните точки на двете му страни (фиг. 10).

Средната линия на триъгълник е успоредна на третата страна и равна на половината от нея.

Външният ъгъл на триъгълника.

външен ъгълтриъгълник е равно на суматадве несъседни вътрешни ъгли(фиг. 11).

Външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки несъседен ъгъл.

Правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник- това е триъгълник, който има прав ъгъл (фиг. 12).

Нарича се страната на правоъгълен триъгълник, противоположна на правия ъгъл хипотенуза.

Другите две страни се наричат крака.


Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник.

1) В правоъгълен триъгълник височината, изтеглена от правия ъгъл, образува три подобни триъгълника: ABC, ACH и HCB (фиг. 14а). Съответно ъглите, образувани от височината, са равни на ъглите A и B.

Фиг.14а

Равнобедрен триъгълник.

Равнобедрен триъгълник- това е триъгълник, в който две страни са равни (фиг. 13).

Тези равни страни се наричат страни, и третият основатриъгълник.

В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни. (В нашия триъгълник ъгъл А равно на ъгъла° С).

В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена към основата, е едновременно ъглополовящата и височината на триъгълника.

Равностранен триъгълник.

Равностранният триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни (фиг. 14).

Свойства на равностранен триъгълник:

Забележителни свойства на триъгълниците.

Триъгълниците имат оригинални свойства, които ще ви помогнат успешно да решите проблеми, свързани с тези форми. Някои от тези свойства са описани по-горе. Но ние ги повтаряме отново, добавяйки няколко други страхотни функции към тях:

1) В правоъгълен триъгълник с ъгли 90º, 30º и 60º, катета б, лежащ срещу ъгъл от 30º, е равен на половината от хипотенузата. Крака повече кракб√3 пъти (фиг. 15 а). Например, ако катета на b е 5, тогава хипотенузата ° Сзадължително равно на 10, а кракът ае равно на 5√3.

2) В правоъгълен равнобедрен триъгълник с ъгли 90º, 45º и 45º хипотенузата е √2 пъти катета (фиг. 15 б). Например, ако краката са 5, тогава хипотенузата е 5√2.

3) Средната линия на триъгълника е равна на половината от успоредната страна (фиг.15 с). Например, ако страната на триъгълник е 10, тогава средната линия, успоредна на нея, е 5.

4) В правоъгълен триъгълник медианата, проведена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата (фиг. 9в): mc= c/2.

5) Медианите на триъгълник, пресичащи се в една точка, се делят на тази точка в съотношение 2:1. Тоест отсечката от върха до точката на пресичане на медианите е два пъти по-голяма от отсечката от пресечната точка на медианите до страната на триъгълника (фиг. 9в)

6) В правоъгълен триъгълник средата на хипотенузата е центърът на описаната окръжност (фиг. 15 д).


Признаци за равенство на триъгълници.

Първият знак за равенство: Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Вторият знак за равенство: ако страната и прилежащите към нея ъгли на един триъгълник са равни на страната и ъглите, прилежащи към нея на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Третият знак за равенство: Ако три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Неравенство на триъгълника.

Във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.

Питагорова теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета:

° С 2 = а 2 + б 2 .

Площ на триъгълник.

1) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата страна и височината, изтеглена към тази страна:

ах
С = ——
2

2) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на всички две от неговите страни и синуса на ъгъла между тях:

1
С = — AB · AC · грях А
2

Триъгълник, описан около окръжност.

Кръг се нарича вписан в триъгълник, ако докосва всичките му страни (фиг.16 а).


Триъгълник, вписан в кръг.

Триъгълник се нарича вписан в окръжност, ако го докосва с всички върхове (фиг. 17 а).

Синус, косинус, тангенс, котангенс остър ъгълправоъгълен триъгълник (фиг. 18).

Синусостър ъгъл х противоположнокатетър към хипотенузата.
Означава се така: гряхх.

косинусостър ъгъл хправоъгълен триъгълник е съотношението съседенкатетър към хипотенузата.
Означава се по следния начин: cos х.

Тангентаостър ъгъл хе съотношението на противоположния крак към съседния крак.
Означава се така: tgх.

Котангенсостър ъгъл хе съотношението на съседния крак към противоположния крак.
Означава се така: ctgх.

правила:

Крак в противоположния ъгъл х, е равно на продуктахипотенуза върху греха х:

b=cгрях х

Крак в непосредствена близост до ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и cos х:

a = c cos х

Крак в противоположния ъгъл х, е равно на произведението на втория крак и tg х:

b = a tg х

Крак в непосредствена близост до ъгъла х, е равно на произведението на втория крак и ctg х:

a = b ctg х.


За всеки остър ъгъл х:

грях (90° - х) = cos х

cos (90° - х) = грях х


Триъгълник) или преминете извън триъгълника при тъп триъгълник.

Енциклопедичен YouTube

    1 / 5

    ✪ ВИСОЧИНА НА СРЕДНАТА БИСЕКТРИСА на триъгълник 7 степен

    ✪ ъглополовяща, медиана, височина на триъгълник. Геометрия 7 клас

    ✪ 7 клас, урок 17, медиани, ъглополовящи и височини на триъгълник

    ✪ Медиана, бисектриса, височина на триъгълник | Геометрия

    ✪ Как да намеря дължината на ъглополовящата, медианата и височината? | Чат с мен #031 | Борис Трушин

    Субтитри

Свойства на точката на пресичане на три височини на триъгълник (ортоцентър)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(За да се докаже самоличността, трябва да се използват формулите

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EC)))

Точката E трябва да се приеме като пресечна точка на двете височини на триъгълника.)

  • Ортоцентъризогонално конюгат към центъра описан кръг .
  • Ортоцентърлежи на същата права като центроида, центъра описан кръги центъра на окръжността девет точки (вижте линията на Ойлер).
  • Ортоцентъростър триъгълник е центърът на окръжност, вписана в неговия ортотриъгълник.
  • Центърът на триъгълник, описан от ортоцентъра с върхове в средата на страните на дадения триъгълник. Последният триъгълник се нарича допълнителен триъгълник по отношение на първия триъгълник.
  • Последното свойство може да се формулира по следния начин: Центърът на окръжност, описана около триъгълник, служи ортоцентърдопълнителен триъгълник.
  • Точки, симетрични ортоцентъртриъгълник по отношение на страните му лежат върху описаната окръжност.
  • Точки, симетрични ортоцентъртриъгълници по отношение на средните точки на страните също лежат върху описаната окръжност и съвпадат с точки, диаметрално противоположни на съответните върхове.
  • Ако O е центърът на описаната окръжност ΔABC, тогава O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
  • Разстоянието от върха на триъгълника до ортоцентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната окръжност до противоположната страна.
  • Всеки сегмент, изтеглен от ортоцентървинаги разполовява окръжността на Ойлер, докато не пресече описаната окръжност. Ортоцентъре центърът на хомотетията на тези две окръжности.
  • Теорема Хамилтън. Три отсечки, свързващи ортоцентъра с върховете на триъгълник с остър ъгъл, го разделят на три триъгълника, имащи същата окръжност на Ойлер (окръжност от девет точки) като оригиналния остроъгълен триъгълник.
  • Следствия от теоремата на Хамилтън:
    • Три отсечки, свързващи ортоцентъра с върховете на триъгълник с остър ъгъл, го разделят на три триъгълник на Хамилтънкато има равни радиусиописани кръгове.
    • Радиусите на описаните окръжности на трите Триъгълници на Хамилтънса равни на радиуса на окръжността, описана около оригиналния остроъгълен триъгълник.
  • В остър триъгълник ортоцентърът лежи вътре в триъгълника; в тъп - извън триъгълника; в правоъгълен - на върха на прав ъгъл.

Свойства на височините на равнобедрен триъгълник

  • Ако в триъгълник две височини са равни, тогава триъгълникът е равнобедрен (теоремата на Щайнер-Лемус), а третата височина е едновременно медиана и ъглополовяща на ъгъла, от който излиза.
  • Обратното също е вярно: в равнобедрен триъгълник две височини са равни, а третата височина е едновременно медиана и ъглополовяща.
  • Равностранният триъгълник има и трите височини равни.

Свойства на основите на височините на триъгълник

  • Основивисочини образуват така наречения ортотриъгълник, който има свои собствени свойства.
  • Окръжността, описана близо до ортотриъгълника, е окръжността на Ойлер. Три средни точки на страните на триъгълника и три средни точки на трите сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на триъгълника, също лежат върху тази окръжност.
  • Друга формулировка на последното свойство:
    • Теорема на Ойлер за окръжност девет точки. Основитри височини произволен триъгълник, средните точки на трите му страни ( основите на нейния вътрешенмедиани) и средните точки на трите сегмента, свързващи върховете му с ортоцентъра, всички лежат на една и съща окръжност (на кръг от девет точки).
  • Теорема. Във всеки триъгълник, линейният сегмент, свързващ основаниядве височинитриъгълник отрязва триъгълник, подобен на дадения.
  • Теорема. В триъгълник, линейният сегмент, свързващ основаниядве височинитриъгълници от двете страни антипаралелентрето лице, с което няма общи точки. През двата му края, както и през два върха на третата спомената страна, винаги е възможно да се начертае кръг.

Други свойства на височините на триъгълника

  • Ако триъгълник универсален (scalene), тогава е вътрешнибисектриса, изтеглена от всеки връх, лежи между вътрешнимедиана и височина, изтеглени от същия връх.
  • Височината на триъгълник е изогонално конюгирана на диаметъра (радиуса) описан кръгизтеглено от същия връх.
  • В триъгълник с остър ъгъл две височиниотрежете от него подобни триъгълници.
  • В правоъгълен триъгълник височина, начертан от върха на правия ъгъл , го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния.

Свойства на минималната височина на триъгълник

Минималната височина на триъгълника има много екстремни свойства. Например:

  • Минималната ортогонална проекция на триъгълник върху линии, лежащи в равнината на триъгълника, има дължина, равна на най-малката от неговите височини.
  • Минималният прав разрез в равнината, през който може да бъде издърпана негъвкава триъгълна плоча, трябва да има дължина, равна на най-малката от височините на тази плоча.
  • При непрекъснато движение на две точки по периметъра на триъгълника една към друга, максималното разстояние между тях по време на движението от първата среща до втората не може да бъде по-малко от дължината на най-малката от височините на триъгълника.
  • Минималната височина в триъгълника винаги е в рамките на този триъгълник.

Основни съотношения

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot)\sin \gamma =c(\cdot)\sin \beta ,)
  • h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot)S)(a)))където S (\displaystyle S)- площ на триъгълник, а (\displaystyle a)- дължината на страната на триъгълника, върху която е спусната височината.
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot)c)(2(\cdot )R)),)където b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot)c)- произведението на страните, R − (\displaystyle R-)радиус на описаната окръжност
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot)c):(a(\cdot )b).)
  • 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), където r (\displaystyle r)е радиусът на вписаната окръжност.
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), където S (\displaystyle S)- площ на триъгълник.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (а))))))))), а (\displaystyle a)- страната на триъгълника, на която пада височината h a (\displaystyle h_(a)).
  • Височината на равнобедрен триъгълник, спуснат до основата: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))
където c (\displaystyle c)- база, а (\displaystyle a)- отстрани.

Теорема за височината на правоъгълен триъгълник

Ако височината в правоъгълен триъгълник ABC е h (\displaystyle h), начертан от върха на прав ъгъл, разделя хипотенузата с дължина c (\displaystyle c)на сегменти m (\displaystyle m)и n (\displaystyle n)съответстващи на краката b (\displaystyle b)и а (\displaystyle a), то следните равенства са верни.