Как да намерите периметъра на триъгълник
Можете да се обадите за помощ на Yandex. Въведете в лентата за търсене:
периметър на триъгълник
Yandex ще ви предложи такъв интерфейс, където просто трябва да замените стойностите.
Периметърът е сумата от дължините на всички страни на всеки многоъгълник. Ето защо, без да мислите каква геометрична фигура е пред вас, не се колебайте да измерите дължината на всички страни с владетел и да обобщите. Ето периметъра.
Ако говорим за основите на геометрията, тогава периметърът е сумата от всички страни на триъгълник: P \u003d a + b + c.
Ако обаче говорим за по-сложни геометрични и тригонометрични задачи, когато ни бъдат дадени определени данни, тогава има няколко други формули за изчисляване на периметъра на триъгълник:
Ако са известни радиусът на окръжността, вписана в триъгълника, и нейната площ, тогава периметърът се изчислява по формулата: P=2S/r.
Ако са известни два ъгъла, например amp;#945; и amp;#946;, съседна на едната страна, и дължината на тази страна, тогава формулата за периметъра е следната: P \u003d a + sinamp; amp;#946;)) + sinamp;#946;amp ;#8729;a/(sin(180-amp;#945;-amp;#946;)).
Ако има дължини на съседни страни и ъгъл amp;#946; между тях, тогава периметърът се изчислява по формулата на косинусовата теорема: където a2 и b2 са квадратите на дължините на съседните страни. Изразът под корена е дължината на третата неизвестна страна, изразена чрез косинусовата теорема.
Периметърът на равнобедрен триъгълник е следващ изглед P=2a+b, където a е страните и b е нейната основа.
Периметър на правилен триъгълник: P=3a.
Формулата за периметър за равностранен триъгълник, ако радиусът на вписаната в него окръжност е P=6ramp;#8730;3 или радиусът на описаната окръжност около него е P=3Ramp;#8730;3, където r и R , съответно, са радиусите на вписаната или описаната окръжност.
За равнобедрен триъгълник има формула: P=2R(2sinamp;#945;+sinamp;#946;), където amp;#945; основен ъгъл, amp;#946; ъгъл срещу основата.
Гледайки какво знаете от постановката на проблема.
Най-простият вариант е да добавите дължините на всички страни.
В равностранен триъгълник дължината на страна се умножава по три.
Според формулата P=2S/r, ако S е площта и r е радиусът на вписаната окръжност.
Има и формули за намиране на площта на триъгълник, ако ъглите му са известни.
Ако триъгълникът е равностранен, тогава, за да намерите неговия периметър, трябва да умножите дължината на едната страна по три. И ако триъгълникът е мащабиран, тогава, за да намерите неговия периметър, трябва да добавите дължините на всичките му страни.
За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, умножете дължината на едната страна по три.
За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, трябва да вземете еднаква дължина на една от страните, да умножите по две и да добавите дължината на основата.
Вземете линийка, измерете всяка страна на триъгълника (ако е равностранен, тогава може да се измери само една) и добавете дължините на страните му. В случай на равностранен триъгълник дължината на страната му се умножава по 3.
В ума, в колона, на калкулатор - както можете, в зависимост от математическите способности и наличието или отсъствието на калкулатор.
Намерете периметъра на триъгълник, ако дължината на всяка от страните му е известна, просто трябва да добавите дължините на страните и да получите периметъра: (P=a+b+c).
Още по-лесно за намиране периметър на равностранен триъгълникпросто трябва да умножите дължината на страната му по 3: (P=3a).
Но по-често необходимостта от изчисляване на периметъра възниква, когато дължината на не всичките му страни е известна.
Следователно, ако едната страна на триъгълника c и прилежащите към нея ъгли са известни, тогава формула за изчисляване на периметъраще изглежда така:
Периметърът на триъгълник се намира лесно. Периметърът е дължината на три страни на триъгълник. Необходимо е да се съберат първата страна, втората страна и третата страна - общо дължината на трите страни ще бъде периметърът на триъгълника.
Периметърът е сумата от дължините на страните. Трябва да сумираме дължините на всички страни на триъгълника. Или нещо не съм разбрал? Какви са изходните данни на задачата?
За да намерите периметъра на триъгълник, трябва да съберете дължините на трите му страни. Ако триъгълникът е равнобедрен, тогава можете да умножите дължината на един ръб по 2 и да добавите дължината на основата, така че да получите периметъра на равнобедрен триъгълник.
Предварителна информация
Периметърът на всяка плоска геометрична фигура в равнината се определя като сбор от дължините на всичките й страни. Триъгълникът не е изключение от това. Първо даваме концепцията за триъгълник, както и видовете триъгълници в зависимост от страните.
Определение 1
Триъгълник ще наричаме геометрична фигура, която е съставена от три точки, свързани с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
Точките в Дефиниция 1 ще се наричат върхове на триъгълника.
Определение 3
Отсечките в рамките на Дефиниция 1 ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и 3 страни.
В зависимост от съотношението на страните една към друга триъгълниците се делят на мащабни, равнобедрени и равностранни.
Определение 4
Триъгълникът се нарича мащабен, ако нито една от страните му не е равна на друга.
Определение 5
Ще наречем триъгълник равнобедрен, ако две от страните му са равни една на друга, но не са равни на третата страна.
Определение 6
Триъгълник се нарича равностранен, ако всичките му страни са равни една на друга.
Можете да видите всички видове тези триъгълници на фигура 2.
Как да намерим периметъра на скален триъгълник?
Нека ни е даден мащабен триъгълник с дължини на страните, равни на $α$, $β$ и $γ$.
Заключение:За да намерите периметъра на скален триъгълник, съберете всички дължини на страните му заедно.
Пример 1
Намерете периметъра на скален триъгълник, равен на $34$ cm, $12$ cm и $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Отговор: $57 виж.
Пример 2
Намерете периметъра правоъгълен триъгълник, чиито крака са $6$ и $8$ cm.
Първо, намираме дължината на хипотенузите на този триъгълник, като използваме Питагоровата теорема. Тогава го обозначаваме с $α$
$α=10$ Съгласно правилото за изчисляване на периметъра на скален триъгълник, получаваме
$P=10+8+6=24$ cm
Отговор: $24 виж.
Как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник?
Нека ни е даден равнобедрен триъгълник, чиито дължини на страните ще бъдат равни на $α$, а дължината на основата ще бъде равна на $β$.
По дефиниция на периметъра на апартамент геометрична фигура, разбираме това
$P=α+α+β=2α+β$
Заключение:За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, добавете два пъти дължината на страните му към дължината на основата му.
Пример 3
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако страните му са $12$ cm, а основата му е $11$ cm.
От примера по-горе виждаме това
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Отговор: $35 виж.
Пример 4
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако неговата височина, прекарана към основата, е $8$ cm, а основата е $12$ cm.
Разгледайте фигурата според условието на проблема:
Тъй като триъгълникът е равнобедрен, $BD$ също е медиана, следователно $AD=6$ cm.
По теоремата на Питагор от триъгълника $ADB$ намираме страната. Тогава го обозначаваме с $α$
Според правилото за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник получаваме
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Отговор: $32 вижте.
Как да намерите периметъра на равностранен триъгълник?
Нека ни е даден равностранен триъгълник с дължини на всички страни, равни на $α$.
По дефиниция на периметъра на плоска геометрична фигура получаваме това
$P=α+α+α=3α$
Заключение:За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, умножете дължината на страната на триъгълника по $3$.
Пример 5
Намерете периметъра на равностранен триъгълник, ако страната му е $12$ cm.
От примера по-горе виждаме това
$P=3\cdot 12=36$ cm
Как да намерите периметъра на триъгълник? Всеки от нас си зададе този въпрос, докато учи в училище. Нека се опитаме да си спомним всичко, което знаем за тази удивителна фигура, както и да отговорим на зададения въпрос.
Отговорът на въпроса как да намерите периметъра на триъгълник обикновено е доста прост - просто трябва да изпълните процедурата за добавяне на дължините на всичките му страни. Има обаче някои по-прости методи за желаната стойност.
Съвети
В случай, че радиусът (r) на кръга, вписан в триъгълника, и неговата площ (S) са известни, отговорът на въпроса как да се намери периметърът на триъгълника е доста прост. За да направите това, трябва да използвате обичайната формула:
Ако са известни два ъгъла, да речем, α и β, които са съседни на страната, и дължината на самата страна, тогава периметърът може да се намери с помощта на много, много популярна формула, която изглежда така:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Ако знаете дължините на съседните страни и ъгъла β между тях, тогава, за да намерите периметъра, трябва да използвате Периметърът се изчислява по формулата:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
където b2 и a2 са квадратите на дължините на съседните страни. Коренният израз е дължината на третата страна, която е неизвестна, изразена чрез косинусовата теорема.
Ако не знаете как да намерите периметъра, тогава всъщност няма нищо трудно. Изчислете го по формулата:
където b е основата на триъгълника, а a са неговите страни.
За да намерите периметъра на правилен триъгълник, използвайте най-простата формула:
където a е дължината на страната.
Как да се намери обиколката на триъгълник, ако са известни само радиусите на окръжностите, които са описани около него или вписани в него? Ако триъгълникът е равностранен, тогава трябва да се приложи формулата:
P = 3R√3 = 6r√3,
където R и r са радиусите съответно на описаната и вписаната окръжност.
Ако триъгълникът е равнобедрен, тогава за него се прилага формулата:
P=2R (sinβ + 2sinα),
където α е ъгълът, който лежи в основата, а β е ъгълът, който е срещу основата.
Често за решаване на математически проблеми се изисква задълбочен анализ и специфична способност за намиране и извеждане на необходимите формули, а това, както много хора знаят, е доста трудна работа. Въпреки че някои проблеми могат да бъдат решени само с една формула.
Нека да разгледаме формулите, които са основни за отговор на въпроса как да се намери периметърът на триъгълник, във връзка с най-разнообразните видове триъгълници.
Разбира се, основното правило за намиране на периметъра на триъгълник е следното твърдение: за да намерите периметъра на триъгълник, трябва да съберете дължините на всичките му страни, като използвате подходящата формула:
където b, a и c са дължините на страните на триъгълника, а P е периметърът на триъгълника.
Има няколко специални случая на тази формула. Да приемем, че вашият проблем е формулиран по следния начин: "как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник?" В този случай трябва да използвате следната формула:
P = b + a + √(b2 + a2)
В тази формула b и a са преките дължини на катетите на правоъгълен триъгълник. Лесно е да се досетите, че вместо страната c (хипотенуза) се използва изразът, получен от теоремата на великия учен от древността Питагор.
Ако искате да решите задача, при която триъгълниците са подобни, тогава би било логично да използвате следното твърдение: съотношението на периметрите съответства на коефициента на подобие. Да кажем, че имате два подобни триъгълника - ∆ABC и ∆A1B1C1. След това, за да се намери коефициентът на подобие, е необходимо да се раздели периметърът ΔABC на периметъра ΔA1B1C1.
В заключение може да се отбележи, че периметърът на триъгълник може да се намери с помощта на различни методи, в зависимост от първоначалните данни, които имате. Трябва да се добави, че има някои специални случаи за правоъгълни триъгълници.
Периметърфигурата е сумата от дължините на всичките й страни. Съответно, за да намерите периметъра триъгълник, трябва да знаете каква е дължината на всяка от страните му. За намиране на страните се използват свойствата на триъгълника и основните теореми на геометрията.
Инструкция
1. Ако и трите страни на триъгълника са по-ясно дадени в формулировката на проблема, лесно ги съберете. Тогава периметърът ще бъде: P = a + b + c.
2. Нека са дадени две страни a, b и ъгълът между тях?. Тогава третата страна може да бъде открита чрез косинусовата теорема: c? = а? +b? – 2 a b cos(?). Не забравяйте, че дължината на страната може да бъде само положителна.
3. Специален случай на косинусовата теорема е Питагоровата теорема, която е приложима за правоъгълни триъгълници. Ъгъл? в този случай е 90°. Косинусът на прав ъгъл става единица. Тогава c? = а? +b?.
4. Ако в условието е дадена само една от страните, но ъглите на триъгълника са известни, другите две страни могат да бъдат намерени с помощта на синусовата теорема. Между другото, не всички ъгли могат да бъдат дадени, затова е полезно да запомните, че сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°.
5. Оказва се, че нека е дадена страна а, ъгъл? между a и b, ? между a и c. 3-ти ъгъл? между страните b и c е лесно да се открие от теоремата за сумата от ъглите на триъгълник: ? = 180° - ? –?. Според синусовата теорема a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 R, където R е радиусът на окръжността, описваща триъгълника. За да се намери страна b, е позволено да се изрази от това равенство по отношение на ъгли и страна a: b = a sin(?) / sin(?). Страната c се изразява по подобен начин: c = a sin(?) / sin(?). Ако, да речем, е даден радиусът на описаната окръжност, но не е дадена дължината на никоя страна, проблемът също може да бъде решен.
6. Ако проблемът е даден с площта на фигурата, трябва да напишете формулата за площта на триъгълника през страните. Изборът на формула зависи от това какво друго е известно. Ако в допълнение към площта са дадени две страни, използването на формулата на Heron ще помогне. Площта може също да бъде изразена чрез две страни и синуса на ъгъла между тях: S = 1/2 a b sin (?), където? е ъгълът между страни a и b.
7. В някои задачи могат да се дадат площ и радиус на окръжност, вписана в триъгълник. В този случай формулата r = S / p ще помогне, където r е радиусът на вписания кръг, S е площта, p е полупериметърът на триъгълника. Полупериметърът от тази формула е лесен за изразяване: p = S / r. Остава да намерим периметъра: P = 2 p.
Триъгълникът е многоъгълник с три страни и три ъгъла. Как да изчислим периметъра му?
Инструкция
1. Периметърът на триъгълник е сумата от дължините на всичките му 3 страни.Нека означим страните на триъгълника като a, b, c. Периметърът в математическите формули се обозначава с латинската буква P. Така че, въз основа на правилото, P \u003d a + b + c Да кажем, че нашите страни на триъгълника имат следните дължини: a \u003d 3 cm, b \u003d 4 cm, c \u003d 5 cm добавете дължините на всичките му страни. P = 3 + 4 + 5P = 12 cm Не е трудна задача, чай, нали?
Подобни видеа
Подобни видеа
Една от основните геометрични фигури е триъгълникът. Образува се при пресичане на три отсечки. Тези отсечки образуват страните на фигурата, а точките на тяхното пресичане се наричат върхове. Всеки студент, изучаващ курс по геометрия, трябва да може да намери периметъра на тази фигура. Придобитите умения ще бъдат полезни за мнозина и в зряла възраст, например полезно за студент, инженер, строител,
Съществуват различни начининамерете периметъра на триъгълника. Изборът на необходимата формула зависи от наличните изходни данни. За да напишете тази стойност в математическата терминология, се използва специално обозначение - P. Помислете какво е периметърът, основните методи за изчисляването му за триъгълни фигури от различни видове.
Най-лесният начин да намерите периметъра на фигура е, ако имате данни за всички страни. В този случай се използва следната формула:
Буквата "P" обозначава стойността на самия периметър. От своя страна "a", "b" и "c" са дължините на страните.
Знаейки размера на трите количества, ще бъде достатъчно да се получи тяхната сума, която е периметърът.
Алтернативен вариант
В математическите задачи всички дадени дължини рядко са известни. В такива случаи се препоръчва да се използва алтернативен начин за намиране на желаната стойност. Когато условията определят дължината на две прави, както и ъгъла между тях, изчислението се извършва чрез търсене на третата. За да намерите това число, трябва да извадите корен квадратен по формулата:
.
Периметър от двете страни
За да изчислите периметъра, не е необходимо да знаете всички данни на геометрична фигура. Разгледайте методите на изчисление от двете страни.
Равнобедрен триъгълник
Триъгълникът се нарича равнобедрен, ако поне две от страните му имат еднаква дължина. Те се наричат странични, а третата страна се нарича основа. Еднаквите прави образуват върхов ъгъл. Характеристика на равнобедрен триъгълник е наличието на една ос на симетрия. Оста е вертикална линия, започваща от горния ъгъл и завършваща в средата на основата. В основата си оста на симетрия включва следните понятия:
- ъглополовяща на върха на ъгъла;
- медиана към основа;
- височината на триъгълника;
- среден перпендикуляр.
За да определите периметъра на равнобедрен триъгълник, използвайте формулата.
В този случай трябва да знаете само две количества: основата и дължината на едната страна. Обозначението "2a" предполага умножаване на дължината на страната по 2. Към получената цифра трябва да добавите стойността на основата - "b".
В изключителния случай, когато дължината на основата на равнобедрен триъгълник е равна на неговата странична линия, може да се използва по-прост метод. Изразява се в следната формула:
За да получите резултата, достатъчно е да умножите това число по три. Тази формула се използва за намиране на периметъра на правилен триъгълник.
Полезно видео: задачи по периметъра на триъгълник
Триъгълник правоъгълен
Основната разлика между правоъгълен триъгълник и други геометрични форми от тази категория е наличието на ъгъл от 90 °. На тази основа се определя типът фигура. Преди да определите как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник, струва си да се отбележи, че тази стойност за всяка плоска геометрична фигура е сумата от всички страни. Така че в този случай най-лесният начин да разберете резултата е да сумирате трите стойности.
В научната терминология тези страни, които са в непосредствена близост до прав ъгъл, се наричат "крака", а противоположната на ъгъла от 90º е хипотенузата. Характеристиките на тази фигура са изследвани от древногръцкия учен Питагор. Според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата е равно на суматаквадрати на краката.
.
Въз основа на тази теорема е изведена друга формула, която обяснява как да се намери периметърът на триъгълник при две известни страни. Можете да изчислите периметъра с определената дължина на краката, като използвате следния метод.
.
За да разберете периметъра, като имате информация за размера на единия крак и хипотенузата, трябва да определите дължината на втората хипотенуза. За тази цел се използват следните формули:
.
Също така периметърът на описания тип фигура се определя без данни за размерите на краката.
Ще трябва да знаете дължината на хипотенузата, както и ъгъла, прилежащ към нея. Познавайки дължината на един от краката, ако има ъгъл, съседен на него, периметърът на фигурата се изчислява по формулата:
.
