Паралелограмът е половината от произведението на неговите диагонали. Площта на паралелограма. Задачи за самостоятелно решаване

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 образува ъгъл от 60° с основата, а вторият диагонал образува ъгъл от 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Приложете теоремата на синусите към триъгълника AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сбора от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е φ.

1. Нека преброим две различни
начини на неговата площ.

S ABCD \u003d AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки съотношението между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека направим система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на паралелограма, то d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на паралелограма са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 o. Намерете площта на паралелограма.

Решение.

1. От триъгълника AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме отношението за триъгълника AOD.

Ние отчитаме това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Изваждайки първото уравнение от второто, получаваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Забележка:В тази и в предишната задача няма нужда да решаваме системата изцяло, като се предвижда, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 15 sin VAD. Следователно sin VAD = 4/5.

2. Намерете cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Според условието на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът BD ще бъде по-малък, ако ъгълът BAD е остър. Тогава cos BAD = 3 / 5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Отговор: 145.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решите геометричен проблем?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Теорема 1.Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината:

Теорема 2.Диагоналите на трапец го разделят на четири триъгълника, два от които са подобни, а другите два имат еднаква площ:

Теорема 3.Площта на паралелограма е равна на произведението на основата и височината, спусната до дадената основа, или на произведението на двете страни и синуса на ъгъла между тях:

Теорема 4.В паралелограма сумата от квадратите на диагоналите е равна на сумата от квадратите на страните му:

Теорема 5.Площта на произволен изпъкнал четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях:

Теорема 6.Площта на четириъгълник, описан около окръжност, е равна на произведението на полупериметъра на този четириъгълник и радиуса на дадения кръг:

Теорема 7.Четириъгълник, чиито върхове са средните точки на страните на произволен изпъкнал четириъгълник, е успоредник, чиято площ е равна на половината от площта на оригиналния четириъгълник:

Теорема 8.Ако диагоналите на изпъкнал четириъгълник са взаимно перпендикулярни, тогава сумите от квадратите на противоположните страни на този четириъгълник са:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Статията е публикувана с подкрепата на фирма "ДКРОСТ". Пързалки за деца, къщички, пясъчници и много други - производство и продажба на детски площадки на едро и дребно. Най-ниски цени, отстъпки, кратки срокове за изработка, заминаване и консултация със специалист, осигуряване на качество. Можете да научите повече за компанията, да разгледате продуктовия каталог, цени и контакти на уебсайта, който се намира на адрес: http://dkrost.ru/.

Доказателства на някои теореми

Доказателство на теорема 2. Нека ABCD е даден трапец, AD и BC неговите основи, O пресечната точка на диагоналите AC и BD на този трапец. Нека докажем, че триъгълниците AOB и COD имат еднаква площ. За да направите това, нека пуснем перпендикуляри BP и CQ от точки B и C на права AD. Тогава площта на триъгълника ABD е

И площта на триъгълника ACD е

Тъй като BP = CQ, тогава S∆ABD = S∆ACD . Но площта на триъгълника AOB е разликата между площите на триъгълниците ABD и AOD, а площта на триъгълника COD е разликата между площите на триъгълниците ACD и AOD. Следователно площите на триъгълниците AOB и COD са равни, което трябваше да се докаже.

Доказателство на теорема 4. Нека ABCD е паралелограм, AB = CD = а, AD = BC = b,
AC = d1 , BD = d2 , ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Нека приложим косинусовата теорема към триъгълника ABD:

Прилагайки сега косинусовата теорема към триъгълника ACD, получаваме:

Като добавим равенства член по член, получаваме това Q.E.D.

Доказателство на теорема 5. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, E пресечната точка на диагоналите му, AE = а, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказателство на теорема 6. Нека ABCD е произволен четириъгълник, описан около окръжност, O е центърът на тази окръжност, OK, OL, OM и ON са перпендикулярите, изпуснати от точка O към правите AB, BC, CD и AD, съответно. Ние имаме:

където r е радиусът на окръжността и p е полупериметърът на четириъгълника ABCD.

Доказателство на теорема 7. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, K, L, M и N са средните точки на страните AB, BC, CD и AD, съответно. Тъй като KL е средната линия на триъгълник ABC, правата KL е успоредна на правата AC и По същия начин, правата MN е успоредна на правата AC и Следователно KLMN е успоредник. Помислете за триъгълник KBL. Площта му е равна на една четвърт от площта на триъгълник ABC. Площта на триъгълник MDN също е равна на една четвърт от площта на триъгълник ACD. следователно,

по същия начин,

Означава, че

откъдето следва, че

Доказателство на теорема 8. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни, нека E е пресечната точка на неговите диагонали,
AE= а, BE = b, CE = c, DE = d. Приложете Питагоровата теорема към триъгълници ABE и CDE:
AB2=AE2+BE2= а 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
следователно,
AB2+CD2= а 2 + b2 + c2 + d2 .
Прилагайки сега Питагоровата теорема към триъгълници ADE и BCE, получаваме:
AD2=AE2+DE2= а 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
откъдето следва, че
AD2+BC2= а 2 + b2 + c2 + d2 .
Следователно AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , което трябваше да се докаже.

Разрешаване на проблем

Задача 1. Близо до окръжността с основни ъгли α и β е описан трапец. Намерете съотношението на площта на трапеца към площта на окръжността.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD неговите основи, DK и CM перпендикулярите, спуснати от точки C и D към права AB. Желаното съотношение не зависи от радиуса на окръжността. Следователно приемаме, че радиусът е 1. Тогава площта на окръжността е π, намираме площта на трапеца. Тъй като триъгълникът ADK е правоъгълен триъгълник,

По същия начин, от правоъгълен триъгълник BCM намираме, че Тъй като окръжност може да бъде вписана в даден трапец, тогава сумите на противоположните страни са равни:
AB + CD = AD + BC,
къде намираме

Значи площта на трапеца е

и желаното съотношение е
Отговор:

Задача 2. В изпъкнал четириъгълник ABCD ъгълът A е 90°, а ъгълът C не надвишава 90°. Перпендикулярите BE и DF се изпускат от върхове B и D до диагонал AC. Известно е, че AE = CF. Докажете, че ъгъл C е прав ъгъл.

Доказателство. Тъй като ъгъл А е 90°,
и ъгъл C не надвишава 90°, тогава точки E и F лежат върху диагонал AC. Без да губим общността, можем да приемем, че AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Достатъчно е да докажем, че α + β + γ + δ = π. Защото

откъдето получаваме това, което трябваше да се докаже.

Задача 3. Периметърът на равнобедрен трапец, описан около окръжност, е p. Намерете радиуса на тази окръжност, ако е известно, че острият ъгъл в основата на трапеца е α.
Решение. Нека ABCD е даден равнобедрен трапец с основи AD и BC, нека BH е височината на този трапец от връх B.
Тъй като окръжност може да бъде вписана в даден трапец, тогава

следователно,

От правоъгълен триъгълник ABH намираме,

Отговор:

Задача 4. Даден е трапец ABCD с основи AD и BC. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка O, а правите AB и CD се пресичат в точка K. Права KO пресича страните BC и AD съответно в точки M и N, а ъгълът BAD е 30°. Известно е, че в трапецовете ABMN и NMCD може да се впише окръжност. Намерете съотношението на площите на триъгълник BKC и трапец ABCD.

Решение. Както знаете, за произволен трапец линията, свързваща пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на разширенията на страничните страни, разделя всяка от основите наполовина. Така че BM = MC и AN = ND. Освен това, тъй като кръгът може да бъде вписан в трапецовете ABMN и NMCD, тогава
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
От това следва, че AB = CD, тоест трапецът ABCD е равнобедрен. Желаното съотношение на площите не зависи от мащаба, така че можем да приемем, че KN = x, KM = 1. От правоъгълните триъгълници AKN и BKM получаваме, че Пренаписвайки вече използваното по-горе отношение
BM + AN = AB + MN ⇔

Трябва да изчислим съотношението:

Тук сме използвали факта, че площите на триъгълниците AKD и BKC са свързани като квадратите на страните KN и KM, т.е. като x2.

Отговор:

Задача 5.В изпъкнал четириъгълник ABCD точките E, F, H, G са средните точки на страните съответно AB, BC, CD, DA, а O е пресечната точка на отсечките EH и FG. Известно е, че EH = а, FG = b, Намерете дължините на диагоналите на четириъгълника.

Решение. Известно е, че ако свържете последователно средните точки на страните на произволен четириъгълник, ще получите успоредник. В нашия случай EFHG е успоредник и O е пресечната точка на неговите диагонали. Тогава

Приложете косинусовата теорема към триъгълника FOH:

Тъй като FH е средната линия на триъгълник BCD, тогава

По същия начин, прилагайки косинусовата теорема към триъгълник EFO, получаваме това

Отговор:

Задача 6.Страните на трапец са 3 и 5. Известно е, че в трапец може да се впише окръжност. Средната линия на трапеца го разделя на две части, чието съотношение на площите е равно на Намерете основите на трапеца.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB = 3 и CD = 5 - неговите страни, точки K и M - средни точки на страните AB и CD, съответно. Нека за определеност AD > BC, тогава площта на трапеца AKMD ще бъде по-голяма от площта на трапеца KBCM. Тъй като KM е средната линия на трапеца ABCD, трапецоидите AKMD и KBCM имат еднакви височини. Тъй като площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината, тогава е вярно следното равенство:

Освен това, тъй като окръжност може да бъде вписана в трапеца ABCD, тогава AD + BC = AB + CD = 8. Тогава KM = 4 като средна линия на трапеца ABCD. Нека BC = x, тогава AD = 8 - x. Ние имаме:
Така че BC = 1 и AD = 7.

Отговор: 1 и 7.

Задача 7. Основата AB на трапец ABCD е два пъти по-дълга от основата CD и два пъти по-дълга от страничната страна AD. Дължината на диагонала AC е а, а дължината на страничната страна BC е равна на b. Намерете площта на трапеца.

Решение. Нека E е пресечната точка на разширенията на страните на трапеца и CD = x, тогава AD = x, AB = 2x. Сегментът CD е успореден на сегмента AB и два пъти по-къс, така че CD е средната линия на триъгълник ABE. Следователно CE = BC = b и DE = AD = x, откъдето AE = 2x. Така че триъгълникът ABE е равнобедрен (AB = AE) и AC е неговата медиана. Следователно AC също е височината на този триъгълник и следователно

Тъй като триъгълникът DEC е подобен на триъгълник AEB с коефициент на подобие, тогава

Отговор:

Задача 8. Диагоналите на трапеца ABCD се пресичат в точка E. Намерете площта на триъгълника BCE, ако дължините на основите на трапеца са AB = 30, DC = 24, дължините на страните AD = 3 и ъгълът DAB е 60 °.

Решение. Нека DH е височината на трапеца. От триъгълник ADH намираме това

Тъй като височината на триъгълник ABC, изпуснат от връх C, е равна на височината DH на трапеца, имаме:

Отговор:

Задача 9. В трапец средната линия е 4, а ъглите при една от основите са 40° и 50°. Намерете основите на трапеца, ако отсечката, свързваща средните точки на основите, е 1.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD неговите основи (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Нека разширим страните DA и CB до пресечната точка в точка E. Да разгледаме триъгълник ABE, където ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
следователно ∠AEB = 90°. Медианата EM на този триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: EM = AM. Нека EM = x, тогава AM = x, DN = 4 – x. Следователно според условието на задачата MN = 1
EN = x + 1. От сходството на триъгълниците AEM и DEN имаме:

Това означава, че AB = 3 и CD = 5.

Отговор: 3 и 5.

Задача 10. Изпъкнал четириъгълник ABCD е описан около окръжност с център в точка O, докато AO = OC = 1, BO = OD = 2. Намерете периметъра на четириъгълника ABCD.

Решение. Нека K, L, M, N са точките на допир на окръжността със страните съответно AB, BC, CD, DA, r - радиусът на окръжността. Тъй като допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, начертан до точката на контакт, триъгълниците AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO са правоъгълни. Прилагайки теоремата на Питагор към тези триъгълници, получаваме това

Следователно AB = BC = CD = DA, тоест ABCD е ромб. Диагоналите на ромба са перпендикулярни един на друг, а точката на тяхното пресичане е центърът на вписаната окръжност. Оттук лесно намираме, че страната на ромба е равна и следователно периметърът на ромба е равен на

Отговор:

Задачи за самостоятелно решаване

C-1.Равнобедрен трапец ABCD е описан около окръжност с радиус r. Нека E и K са точките на допира на тази окръжност със страните на трапеца. Ъгълът между основата AB и страната AD на трапеца е 60°. Докажете, че EK е успоредна на AB и намерете площта на трапеца ABEK.
C-2.В трапец диагоналите са 3 и 5, а отсечката, свързваща средните точки на основите, е 2. Намерете площта на трапеца.
C-3. Възможно ли е да се опише кръг около четириъгълник ABCD, ако ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4.В трапеца ABCD (AB е основата) стойностите на ъглите DAB, BCD, ADC, ABD и ADB образуват аритметична прогресия (в реда, в който са записани). Намерете разстоянието от връх C до диагонала BD, ако височината на трапеца е h.
C-5.Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около която е описана окръжност. Съотношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е Намерете ъглите на трапеца.
C-6.Площта на правоъгълника ABCD е 48, а дължината на диагонала е 10. В равнината, в която се намира правоъгълникът, е избрана точка O, така че OB = OD = 13. Намерете разстоянието от точка O до върха на най-отдалечения от него правоъгълник.
C-7. Периметърът на паралелограма ABCD е 26. Ъгълът ABC е 120°. Радиусът на окръжност, вписана в триъгълник BCD е Намерете дължините на страните на успоредника, ако е известно, че AD > AB.
C-8.Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност с център в точка O. Радиус OA е перпендикулярен на радиус OB, а радиус OC е перпендикулярен на радиус OD. Дължината на перпендикуляра, спуснат от точка C към правата AD, е 9. Дължината на отсечката BC е половината от дължината на отсечката AD. Намерете площта на триъгълник AOB.
C-9.В изпъкнал четириъгълник ABCD върховете A и C са противоположни, а дължината на страната AB е 3. Ъгъл ABC е ъгъл BCD е Намерете дължината на страната AD, ако знаете, че площта на четириъгълника е

C-10.Изпъкналият четириъгълник ABCD има диагонали AC и BD. Известно е, че
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, а разстоянието между пресечната точка на симетралите на триъгълник ABD и точката на пресичане на ъглополовящите на триъгълник ACD е Намерете дължината на страната BC.
C-11.Нека M е пресечната точка на диагоналите на изпъкнал четириъгълник ABCD, в който страните AB, AD и BC са равни. Намерете ъгъла CMD, ако е известно, че DM = MC,
и ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12.В четириъгълник ABCD знаем, че ∠A = 74°, ∠D = 120°. Намерете ъгъла между симетралите на ъгли B и C.
C-13.В четириъгълник ABCD може да бъде вписан кръг. Нека K е пресечната точка на неговите диагонали. Известно е, че AB > BC > KC, а периметърът и площта на триъгълника BKC са съответно 14 и 7. Намерете DC.
C-14.В трапец, описан около окръжност, е известно, че BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Намерете AB, ако площта на трапец ABCD е 10.
C-15.В трапеца ABCD с основи AB и CD е известно, че ∠CAB = 2∠DBA. Намерете площта на трапеца.
C-16.В паралелограма ABCD знаем, че AC = а, ∠CAB = 60°. Намерете площта на паралелограма.
S-17. В четириъгълник ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка K. Точките L и M са съответно средните точки на страните BC и AD. Отсечката LM съдържа точка K. Четириъгълникът ABCD е такъв, че в него може да бъде вписана окръжност. Намерете радиуса на тази окръжност, ако AB=3 и LK:KM=1:3.
C-18.Изпъкналият четириъгълник ABCD има диагонали AC и BD. В този случай ∠BAC =
= ∠BDC, а площта на окръжността, описана около триъгълника BDC, е равна на
а) Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълника ABC.
б) Знаейки, че BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, намерете площта на четириъгълника ABCD.

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (паралелограмен раздел). Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е тук - пишете за него във форума. За да се обозначи действието на извличане на квадратен корен при решаване на задачи, се използва символът √ или sqrt (), а радикалният израз е посочен в скоби.

Теоретичен материал

Обяснения на формулите за намиране на площта на паралелограма:

1. Площта на успоредник е равна на произведението на дължината на едната му страна и височината на тази страна.
2. Площта на успоредника е равна на произведението на двете му съседни страни и синуса на ъгъла между тях
3. Площта на паралелограма е равна на половината от произведението на диагоналите му и синуса на ъгъла между тях

Проблеми за намиране на площта на паралелограма

Решение.
Да означим по-малката височина на успоредника ABCD, спуснат от точка B към по-голямата основа AD като BK.
Намерете стойността на катета на правоъгълен триъгълник ABK, образуван от по-малка височина, по-малка страна и част от по-голяма основа. Според питагоровата теорема:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Нека разширим горната основа на успоредника BC и пуснем височината AN върху него от долната му основа. AN = BK като страни на правоъгълник ANBK. В получения правоъгълен триъгълник ANC намираме катета NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Сега нека намерим по-голямата основа BC на паралелограма ABCD.
BC=NC-NB
След това вземаме предвид, че NB = AK като страни на правоъгълника
BC=12 - 1=11

Площта на паралелограма е равна на произведението на основата и височината на тази основа.
S=ах
S=BC * BK
S=11*9=99

Отговор: 99 см2.

Задача

Решение.
Нека пуснем още един перпендикулярен DK върху диагонала AC.
Съответно, триъгълниците AOB и DKC, COB и AKD са равни по двойки. Една от страните е противоположната страна на успоредника, единият от ъглите е прав, тъй като е перпендикулярен на диагонала, а един от останалите ъгли е вътрешният кръст, лежащ за успоредните страни на успоредника и секущата на диагонала.

По този начин площта на паралелограма е равна на площта на посочените триъгълници. Това е
Спарал = 2S AOB +2S BOC

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката. Където
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Отговор: 56 см2.