Модулът е едно от онези неща, за които изглежда всеки е чувал, но в действителност никой не разбира. Ето защо днес ще има голям урок, посветен на решаването на уравнения с модули.
Веднага ще ви кажа: урокът ще бъде прост. Като цяло модулите като цяло са сравнително проста тема. „Да, разбира се, лесно е! Това кара мозъка ми да експлодира!" - ще кажат много студенти, но всички тези мозъчни счупвания се дължат на факта, че повечето хора имат не знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърнем глупостите в знание. :)
Малко теория
Така че да тръгваме. Нека започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на едно число е просто същото число, но взето без знака минус. Това е например $\left| -5 \вдясно|=5$. Или $\left| -129,5\вдясно|=129,5$.
Толкова ли е просто? Да, просто. Какъв тогава е модулът на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положително число е равен на самото число: $\left| 5\вдясно|=5$; $\left| 129,5 \вдясно|=129,5$ и т.н.
Оказва се любопитно нещо: различни числа могат да имат един и същ модул. Например: $\left| -5 \вдясно|=\ляво| 5\вдясно|=5$; $\left| -129,5 \вдясно|=\ляво| 129,5 \вдясно|=129,5$. Лесно е да се види какви са тези числа, в които модулите са еднакви: тези числа са противоположни. По този начин ние отбелязваме за себе си, че модулите на противоположните числа са равни:
\[\вляво| -a \вдясно|=\ляво| а\вдясно|\]
Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем - дори положително, дори отрицателно - неговият модул винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойностчисла.
Освен това, ако комбинираме дефиницията на модула за положително и отрицателно число, получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на едно число е равен на самото това число, ако числото е положително (или нула), или равно на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:
Има и нулев модул, но винаги е такъв нула. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.
Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и се опитайте да начертаете неговата графика, ще получите такава „гака“:
Модулна графика и пример за решение на уравнението
От тази снимка можете веднага да видите, че $\left| -m \надясно|=\ляво| m \right|$, а графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата линия $y=a$, която с положителен $a$ ни дава два корена наведнъж: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)
Отвъд чисто алгебрична дефиниция, е геометричен. Да кажем, че има две точки на числовата права: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е просто разстоянието между посочените точки. Или, ако желаете, дължината на сегмента, свързващ тези точки:
Модулът е разстоянието между точките на числовата права От това определение също следва, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - нека да преминем към реални уравнения. :)
Основна формула
Добре, разбрахме дефиницията. Но не стана по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?
Спокойно, само спокойно. Нека започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:
\[\вляво| x\вдясно|=3\]
Значи модулът $x$ е 3. На какво може да бъде равен $x$? Е, ако се съди по дефиницията, $x=3$ ще ни подхожда напълно. Наистина ли:
\[\вляво| 3\вдясно|=3\]
Има ли други номера? Кап изглежда намеква, че има. Например, $x=-3$ — $\left| -3 \вдясно|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.
Така че може би ако потърсим, помислим, ще намерим още числа? Но прекъснете: няма повече числа. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.
Сега нека усложним малко задачата. Нека вместо променливата $x$ функцията $f\left(x \right)$ виси под знака за модул, а отдясно вместо тройката поставяме произволно число $a$. Получаваме уравнението:
\[\вляво| f\ляво(x \вдясно) \вдясно|=a\]
Е, как решаваш? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. изобщо изобщо! Например:
\[\вляво| 2x+1 \вдясно|=5\]
\[\вляво| 10x-5 \вдясно|=-65\]
Нека да разгледаме второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Точно така: защото изисква модулът да бъде равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.
Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има две опции: или има положителен израз под знака на модула и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, или този израз все още е отрицателен, в този случай $\left| 2x+1 \вдясно|=-\ляво(2x+1 \вдясно)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано като:
\[\вляво| 2x+1 \вдясно|=5\Стрелка надясно 2x+1=5\]
И изведнъж се оказва, че изразът на подмодула $2x+1$ наистина е положителен - равен на числото 5. Тоест, можем спокойно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:
Тези, които са особено недоверчиви, могат да се опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че наистина ще има положително число под модула.
Сега нека разгледаме случая с отрицателен подмодулен израз:
\[\left\( \begin(подравняване)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]
Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$ и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина този израз е по-малък от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:
Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството на изчисленията се оказа малко повече, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но по същество нищо не се е променило. Така че може би има някакъв универсален алгоритъм?
Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.
Да се отървем от знака на модула
Нека ни бъде дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от модулния знак според следното правило:
\[\вляво| f\left(x \right) \right|=a\rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Така нашето уравнение с модула се разделя на две, но без модула. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Да започнем с това
\[\вляво| 5x+4 \надясно|=10\Стрелка надясно 5x+4=\pm 10\]
Отделно ще разгледаме кога има десетка с плюс отдясно и отделно кога е с минус. Ние имаме:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Стрелка надясно 5x=6\Стрелка надясно x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Стрелка надясно 5x=-14\Стрелка надясно x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]
Това е всичко! Имаме два корена: $x=1.2$ и $x=-2.8$. Цялото решение отне буквално два реда.
Добре, няма въпрос, нека да разгледаме нещо малко по-сериозно:
\[\вляво| 7-5x \вдясно|=13\]
Отново отворете модула с плюс и минус:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Стрелка надясно -5x=6\Стрелка надясно x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]
Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова отиваме по-далеч и продължаваме с наистина по-трудни задачи.
Променлив десен калъф
Сега помислете за това уравнение:
\[\вляво| 3x-2 \вдясно|=2x\]
Това уравнение е коренно различно от всички предишни. Как? И това, че изразът $2x$ е вдясно от знака за равенство - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.
Как да бъде в такъв случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението е отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.
И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да продължите по същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знака плюс и отделно със знака минус.
Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$:
\[\вляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
По отношение на нашето уравнение получаваме:
\[\вляво| 3x-2 \вдясно|=2x\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]
Е, можем да се справим някак с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заменим корените, които получаваме от първото уравнение и да проверим дали неравенството е валидно или не.
Така че нека решим самото уравнение:
\[\begin(подравняване)& 3x-2=2\Стрелка надясно 3x=4\Стрелка надясно x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]
Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да, и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението. :)
Подозирам, че някой от учениците вече е започнал да се отегчава? Е, помислете за още по-сложно уравнение:
\[\вляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \вдясно|=x-((x)^(3))\]
Въпреки че изглежда зло, всъщност това е едно и също уравнение от формата "модул е равен на функция":
\[\вляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
И се решава по същия начин:
\[\вляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \вдясно|=x-((x)^(3))\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \вдясно), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]
По-късно ще се занимаваме с неравенството - някак си е твърде порочно (всъщност просто, но няма да го решаваме). Засега нека да разгледаме получените уравнения. Помислете за първия случай - това е, когато модулът се разширява със знак плюс:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Е, тук е безсмислено, че трябва да съберете всичко вляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:
\[\begin(подравняване)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]
Изваждайки общия фактор $((x)^(2))$ извън скобата, получаваме много просто уравнение:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Стрелка надясно \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\край(подравняване) \вдясно.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Тук използвахме важно свойство на произведението, заради което разложихме на множители оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.
Сега по същия начин ще се справим с второто уравнение, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:
\[\begin(подравняване)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ляво(-3x+2 \вдясно)=0. \\\край (подравняване)\]
Отново същото нещо: произведението е нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Ние имаме:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1,5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, какво ще влезе в крайния отговор от този набор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение за неравенство:
Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заменим намерените корени и да проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:
\[\begin(align)& x=0\Стрелка надясно x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]
Следователно коренът $x=1.5$ не ни подхожда. И само два корена ще отидат в отговор:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Както можете да видите, дори и в този случай нямаше нищо трудно - уравненията с модули винаги се решават според алгоритъма. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.
Уравнения с два модула
Досега изучавахме само най-простите уравнения - имаше един модул и още нещо. Изпратихме това „нещо друго“ в друга част от неравенството, далеч от модула, така че накрая всичко да се сведе до уравнение като $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или дори по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Но детска градинакрай - време е да помислим за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:
\[\вляво| f\left(x\right) \right|=\left| g\ляво(x \вдясно) \вдясно|\]
Това е уравнение от вида "модулът е равен на модула". Принципно важен момент е липсата на други термини и фактори: само един модул вляво, още един модул вдясно - и нищо повече.
Сега някой би си помислил, че подобни уравнения са по-трудни за решаване от това, което изучавахме досега. Но не: тези уравнения се решават още по-лесно. Ето формулата:
\[\вляво| f\left(x\right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Всичко! Ние просто приравняваме изразите на подмодула, като поставяме пред един от тях знак плюс или минус. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравенства и т.н. Всичко е много просто.
Нека се опитаме да решим този проблем:
\[\вляво| 2x+3 \вдясно|=\ляво| 2x-7 \вдясно|\]
Елементарно Уотсън! Отваряне на модулите:
\[\вляво| 2x+3 \вдясно|=\ляво| 2x-7 \вдясно|\Стрелка надясно 2x+3=\pm \left(2x-7 \вдясно)\]
Нека разгледаме всеки случай поотделно:
\[\begin(подравняване)& 2x+3=2x-7\Стрелка надясно 3=-7\Стрелка надясно \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \вдясно)\Стрелка надясно 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]
Първото уравнение няма корени. Защото кога е $3=-7$? За какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Ударен ли си с камъни? Изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$ и в същото време самото равенство е неправилно. Ето защо няма корени.
С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:
Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение. :)
В резултат на това крайният отговор е: $x=1$.
Е, как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:
\[\вляво| x-1 \вдясно|=\вляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|\]
Отново имаме уравнение като $\left| f\left(x\right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Затова незабавно го пренаписваме, разкривайки знака на модула:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо плюс-минус е от дясната страна, а не от лявата? Успокой се, ще ти обясня всичко. Всъщност, по добър начин, трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:
След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове в една посока от знака за равенство (тъй като уравнението, очевидно, ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ е пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратен израз), това някак изглежда по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ е само пред два термини.
Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:
\[\вляво| x-1 \вдясно|=\вляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|\Стрелка надясно \наляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|=\ляво| x-1 \вдясно|\]
Какво стана? Да, нищо особено: просто сменихте лявата и дясната страна. Една дреболия, която в крайна сметка ще опрости малко живота ни. :)
Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:
\[\begin(подравняване)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Стрелка надясно ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Стрелка надясно ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]
Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Следователно, той има един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. По този начин само две числа ще влязат в крайния отговор:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Мисията изпълнена! Можете да го вземете от рафта и да хапнете пай. Има 2 от тях, средно. :)
Важна забележка. Със същите корени различни опциимодулното разширение означава, че оригиналните полиноми се разлагат на фактори и сред тези фактори задължително ще има общ. Наистина ли:
\[\begin(подравняване)& \left| x-1 \вдясно|=\вляво| ((x)^(2))-3x+2 \вдясно|; \\&\вляво| x-1 \вдясно|=\вляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]
Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (тоест модулът на произведението е равно на продуктамодули), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:
\[\вляво| x-1 \вдясно|=\вляво| x-1 \вдясно|\cdot \left| x-2 \вдясно|\]
Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, тогава можете да извадите този множител от скобата:
\[\begin(подравняване)& \left| x-1 \вдясно|=\вляво| x-1 \вдясно|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\&\вляво| x-1 \вдясно|-\ляво| x-1 \вдясно|\cdot \left| x-2 \вдясно|=0; \\&\вляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]
Е, сега си припомняме, че продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \вдясно|=0, \\& \вляво| x-2 \вдясно|=1. \\\край (подравняване) \вдясно.\]
Така оригиналното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения могат да бъдат решени само с няколко реда. :)
Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много по-сложни задачи от тези, които анализираме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации способността да се намали общата степен на уравнението чрез поставяне на нещо извън скобата може да бъде много, много удобна. :)
Сега бих искал да анализирам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда лудо. Много студенти се „придържат“ към него - дори тези, които вярват, че разбират добре модулите.
Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.
Така че уравнението е:
\[\вляво| x-((x)^(3)) \вдясно|+\ляво| ((x)^(2))+x-2 \вдясно|=0\]
Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим за кои $x$ сумата от два модула е равна на нула. :)
Какъв е проблемът? И проблемът е, че всеки модул е положително число или в краен случай нула. Какво се случва, когато съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:
\[\begin(подравняване)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(подравняване)\]
Последният ред може да ви даде представа: единственият случай, когато сумата на модулите е нула, е ако всеки модул е равен на нула:
\[\вляво| x-((x)^(3)) \вдясно|+\ляво| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]
Кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато изразът на подмодула е равен на нула:
\[((x)^(2))+x-2=0\Стрелка надясно \наляво(x+2 \вдясно)\ляво(x-1 \вдясно)=0\Стрелка надясно \наляво[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(подравняване) \вдясно.\]
По този начин имаме три точки, в които първият модул е зададен на нула: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени и в двата набора. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде крайният отговор.
метод на разделяне
Е, вече разгледахме куп задачи и научихме много трикове. Мислиш ли, че това е? Но не! Сега ще разгледаме крайната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. Какво ще се обсъжда? Нека се върнем малко назад и разгледаме някакво просто уравнение. Например това:
\[\вляво| 3x-5\вдясно|=5-3x\]
По принцип вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартно $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем на това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака на модула. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:
\[\вляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.
Но какво ще стане, ако първоначално изискваме това число да е положително? Например, нека изискваме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от този модул:
По този начин нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно се решава:
Вярно е, че всички тези съображения имат смисъл само при условието $3x-5 \gt 0$ - ние самите въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Така че нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и проверим:
Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, т.к изразът се оказа равен на нула и трябва да бъде строго по-голям от нула. Тъжно. :(
Но това е добре! В крайна сметка има и друга опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:
Очевидно е, че модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: и отляво, и отдясно в оригиналното уравнение ще стърчи един и същ израз:
Чудя се за какво такова $x$ изразът $5-3x$ ще бъде равен на израза $5-3x$? От такива уравнения дори Капитанът очевидно би се задавил със слюнка, но знаем, че това уравнение е тъждественост, т.е. това е вярно за всяка стойност на променливата!
А това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:
С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:
И накрая, остава да разгледаме още един случай: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това директно следва от дефиницията):
Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано по следния начин:
Вече получихме този корен по-горе, когато разглеждахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което ние самите въведохме, за да анулираме модула. :)
По този начин, в допълнение към интервала, ние ще бъдем доволни и от числото, лежащо в самия край на този интервал:
Комбиниране на корени в уравнения с модул Общ краен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Не е много обичайно да видите подобни глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул Е, свикнете: сложността на модула се крие във факта, че отговорите в такива уравнения могат да се окажат напълно непредсказуеми.
Много по-важно е нещо друго: току-що демонтирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:
- Приравнете всеки модул в уравнението към нула. Нека вземем някои уравнения;
- Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата права. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули са уникално разширени;
- Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите.
Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим с корените, получени на първата стъпка? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата права на 3 части:
Разделяне на числова права на интервали с помощта на точки И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:
- Най-ляво: $x \lt 1$ - самата единица не е включена в интервала;
- Централно: $1\le x \lt 5$ - тук един е включен в интервала, но пет не са включени;
- Най-десният: $x\ge 5$ — петте са включени само тук!
Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния край.
На пръв поглед подобен запис може да изглежда неудобен, нелогичен и като цяло някакъв луд. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че този подход е най-надеждният и в същото време не пречи на недвусмислено разкриването на модули. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия / десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ на следващия.
Тук урокът свършва. Изтеглете задачи за независимо решение, тренирайте, сравнете с отговорите - и ще се видим в следващия урок, който ще бъде посветен на неравенствата с модули. :)
Уравнения с модули, методи за решения. Част 1.
Преди да се пристъпи към директно изучаване на техниките за решаване на такива уравнения, е важно да се разбере същността на модула, неговото геометрично значение. Именно в разбирането на дефиницията на модула и неговото геометрично значение се залагат основните методи за решаване на такива уравнения. Така нареченият метод на интервали при отваряне на модулни скоби е толкова ефективен, че с помощта на него е възможно да се реши абсолютно всяко уравнение или неравенство с модули. В тази част ще разгледаме подробно два стандартни метода: метода на интервалите и метода за замяна на уравнение с популация.
Въпреки това, както ще видим, тези методи са винаги ефективни, но не винаги удобни и могат да доведат до дълги и дори не особено удобни изчисления, които естествено изискват повече време за решаването им. Ето защо е важно да се познават онези методи, които значително опростяват решаването на определени структури от уравнения. Квадратура на двете части на уравнение, методът за въвеждане на нова променлива, графичният метод, решаване на уравнения, съдържащи модула под знака на модула. Ще разгледаме тези методи в следващия раздел.
Определение на модула на число. Геометричното значение на модула.
Първо, нека се запознаем с геометричното значение на модула:
номер по модул а (|а|)наричаме разстоянието на числовата права от началото (точка 0) до точката А(а).
Въз основа на това определение, разгледайте някои примери:
|7| е разстоянието от 0 до точка 7, разбира се е 7. → | 7 |=7
|-5| еразстояние от 0 до точката -5 и е равно на: 5. → |-5| = 5
Всички разбираме, че разстоянието не може да бъде отрицателно! Следователно |x| ≥ 0 винаги!
Решете уравнението: |x |=4
Това уравнение може да се чете така: разстоянието от точка 0 до точка x е 4. Да, оказва се, че от 0 можем да се движим както наляво, така и надясно, което означава да се движим наляво на разстояние, равно на 4 ще свършим в точката: -4, а движейки се надясно ще стигнем до точката: 4. Наистина, |-4 |=4 и |4 |=4.
Следователно отговорът е x=±4.
Ако внимателно проучите предишното уравнение, ще забележите, че: разстоянието вдясно по числовата права от 0 до точката е равно на самата точка, а разстоянието вляво от 0 до числото е равно на обратното номер! Разбирайки, че вдясно от 0 са положителни числа, а вляво от 0 са отрицателни, ние формулираме дефиниции на модула на число: модул (абсолютна стойност) на число х(|x|) се нарича самото число х, ако x ≥0, и числото е хако x<0.
Тук трябва да намерим набор от точки на числовата права, разстоянието от 0 до която ще бъде по-малко от 3, нека си представим една числова права, точка 0 върху нея, отидете наляво и пребройте едно (-1), две (- 2) и три (-3), спрете. Допълнителни точки ще отидат, които лежат по-далеч от 3 или разстоянието, до което от 0 е по-голямо от 3, сега отиваме вдясно: едно, две, три, спрете отново. Сега избираме всички наши точки и получаваме интервала x: (-3; 3).
Важно е да видите това ясно, ако все още не се получи, нарисувайте на хартия и вижте, че тази илюстрация е напълно ясна за вас, не бъдете мързеливи и се опитайте да видите в ума си решенията на следните задачи:
|x |=11, x=? |x|=-5, x=?
| х |<8, х-? |х| <-6, х-?
|x|>2, x-? |x|> -3, x-?
|π-3|=? |-x²-10|=?
|√5-2|=? |2x-x²-3|=?
|x²+2|=? |х²+4|=0
|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0
Обърнете внимание на странните задачи във втората колона? Всъщност разстоянието не може да бъде отрицателно, следователно: |x|=-5- няма решения, разбира се, не може да бъде по-малко от 0, следователно: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 са всички числа.
След като научите как бързо да виждате чертежи с решения, прочетете нататък.
По същия начин разликата z 1 - z 2 на комплексните числа z 1 и z 2 съответства на разликата на векторите, съответстващи на числата z 1 и z 2. Модулът на две комплексни числа z 1 и z 2, по дефиниция на модула , е дължината на вектора z 1 - z 2. Нека построим вектор , като сума от два вектора z 2 и (- z 1). Получаваме вектор, равен на вектора. Следователно има дължината на вектора, тоест модулът на разликата на две комплексни числа е разстоянието между точките от комплексната равнина, които съответстват на тези числа.
6. Аргументи на комплексно число. Аргументът на комплексното число z= a + ib е ъгълът между положителната посока на реалната ос и вектора z; стойността на ъгъла се счита за положителна, ако се брои обратно на часовниковата стрелка, и отрицателна, ако се брои по посока на часовниковата стрелка.
За да обозначите факта, че числото j е аргумент на числото z= a+ ib, напишете j=argz или j=arg (a+ib).
За числото z=0 аргументът не е дефиниран. Следователно във всички следващи аргументи, свързани с концепцията за аргумент, ще приемем, че Обърнете внимание, че чрез уточняване на модула и аргумента комплексното число се определя еднозначно; числото z=0 е единственото число, което се определя чрез посочване само на неговия модул.
От друга страна, ако е дадено комплексно число, тогава очевидно модулът на това число винаги се дефинира еднозначно, за разлика от аргумента, който винаги се дефинира двусмислено: ако j е някакъв аргумент на числото z, тогава ъглите j + 2pk също са аргументи на числото z.
От дефиницията на тригонометричните функции следва, че ако j=arg (a+ib), тогава се изпълнява следната система
Пример 4 Колко решения има системата от уравнения
а) Начертайте в една комплексна равнина числата, чиито модули са равни на 3 и 1
намерете модул 1- и: .
Обърнете внимание, че няма точка от по-големия кръг
близо до по-малкия на разстояние, равно на ,
откъдето следва, че системата няма корени.
При изместване с 3 исамо една точка от по-малкия кръг, получаваме, че тази точка пада
друг кръг.
Тази точка ще бъде решението на системата.
в) Начертайте в една комплексна равнина числата, чиито модули са равни на 1.
Обърнете внимание, че когато само две точки са изместени с една наляво, стигаме до една и съща окръжност, което означава, че тези две числа ще бъдат решенията на системата.
7. Алгебрични и тригонометрични форми на комплексно число. Записването на комплексно число z като a + ib се нарича алгебрична формакомплексно число.
Помислете за други форми на писане на комплексни числа. Нека r е модул и j е един от аргументите на комплексното число z= a+ ib, т.е. r = ,j=arg (a+ib). Тогава от формула (5) следва, че и следователно,
Записването на комплексно число във формата се нарича негово тригонометрична форма.
За да се премине от алгебричната форма на комплексното число a + ib към тригонометричната, е достатъчно да се намери неговият модул и един от аргументите.
Пример 5 Какъв набор от точки от комплексната равнина се дава от условието
а) Трябва да изградим точки, които при изместване надолу с ии вдясно от 1 ще се преподава на еднакво разстояние от началото, откъдето
за да построим набор от точки, които отговарят на дадено условие, трябва:
1) построете набор от точки, еднакво отдалечени от началото с 2
2) преместете го с 1 наляво и инагоре
б) Трябва да построим точки, които биха били разположени по-близо до точката - иотколкото да 2i ,Тези точки са посочени на фигурата.
в) Това уравнение е еквивалентно на уравнението
Тоест тези числа ще бъдат премахнати от разстояние
1 вдясно. В този случай, ако второто условие е изпълнено, y ще получи ъгъла, показан на фигурата.
Тоест, това ще бъдат точки, отдалечени от началото на координатите с не повече от 1 и в същото време с изключение на числото 0. Като се вземат предвид второто и третото условие, получаваме:
|
|
|||
е) За да се конструират точки, които отговарят на първото условие, е необходимо да се изместят отстранените точки на разстояние 1,
1 вдясно. В същото време, като вземем предвид други условия, получаваме
желания набор от точки.
Пример 6 Ще бъдат ли следните изрази тригонометричната форма на число
Тригонометричната форма на запис на число ще бъде само израз а), тъй като само тя удовлетворява дефиницията на тригонометричната форма на запис на число (и за всички тригонометрични функции ъглите трябва да са равни, а също и ако изчислите стойността на израз, тогава той трябва да е равен).
8. Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид. Позволявам
По този начин, модулът и произведението на две комплексни числа е равно на произведението на модулите на факторите, а сборът от аргументите на факторите е аргументът на произведението.
Нека тогава
По този начин, модулът на частното на две комплексни числа е равен на частното от модула на делимото и делителя, а разликата между аргументите на делимото и делителя е аргументът на честотата.
9. Възлагане в степен и извличане на корен. Формула (6) за произведението на две комплексни числа може да се обобщи за случая на фактори. Използвайки метода на математическата индукция, е лесно да се покаже, че ако аргументите са числа, съответно, тогава
От тук, като специален случай, се получава формула, която дава правилото за повдигане на комплексно число до положителна степен на цяло число:
По този начин, когато комплексно число се повдига на степен с естествен показател, неговият модул се повишава до степен със същата степен и аргументът се умножава по степента.
Формула (8) се нарича формула на Де Муавър.
Числото се нарича корен на числото w(отбелязано ако
Ако w=0, след това за всяко нуравнението има едно и само едно решение z= 0.
Нека сега. Представете си zи wв тригонометричен вид:
Тогава уравнението ще приеме формата
Две комплексни числа са равни само ако модулите им са равни и аргументите им се различават с кратно на 2 стр.следователно,
По този начин всички решения на уравнението се дават с формулата
Наистина, давайки номера квъв формула (9) са цели числа, различни от 0, 1, …, ( н-1), не получаваме други комплексни числа.
Формула (9) се нарича Втората формула на De Moivre.
По този начин, ако , тогава съществува точно нстепенни корени нот номера w: всички те се съдържат във формула (9).
По-специално, ако =2, тогава уравнението има два корена:
тоест тези корени са симетрични по отношение на произхода.
Също така е лесно да се получи от формула (9), че ако тогава точките, представляващи всички корени на уравнението, са върховете на редовното н-квадрат, вписан в окръжност с център в точка z=0 и радиус .
От горното следва, че символът няма еднозначно значение. Следователно, когато го използвате, трябва ясно да разберете какво се има предвид под това. Например, когато използвате нотация, трябва да се внимава да стане ясно дали това се отнася до двойка комплексни числа ии -i, или един, и ако един, кой.
Пример 7 Запишете в тригонометричен вид:
б) Откъдето тогава.
От тогава откъде
в) От къде тогава.
10. Квадратни уравнения. В училищния курс по алгебра бяха разгледани квадратни уравнения
с реални коефициенти а, б, в.Там беше показано, че ако дискриминантът на уравнение (10) е неотрицателен, тогава решенията на такова уравнение се дават по формулата
Ако , беше казано, че уравнението няма решения.
За да изведем формула (11), използвахме метода за извличане на квадрата на тричлен, последвано от разлагане на лявата страна на линейни фактори:
от която е получена формула (11). Очевидно всички тези изчисления остават валидни дори когато а, б, вса комплексни числа, а корените на уравнението се намират в набора от комплексни числа.
По този начин, в набора от комплексни числа, уравнението
винаги е позволено. Ако уравнението има един корен, уравнението има два корена. Във всички случаи е валидна формулата за корените на квадратното уравнение
където се подразбират всички стойности на корена.
Пример 8 реши уравнението
а) Това уравнение е квадратно.
и следователно хи гзадоволи системата
и хи г
забележи това х
Когато получим:
Нека решим уравнението (*): х 4 +15x 2 -16 =0 е квадратно уравнение по отношение на х 2 , откъдето
Да се върнем към системата:
б) Това уравнение е квадратно.
Според формулата на корените на квадратното уравнение имаме:
За да определим всички стойности, ние задаваме
и следователно хи гзадоволи системата
и хи греални числа. Нека решим системата:
забележи това х=0 не е решение на системата.
Когато получим:
Нека решим уравнението (*): х 4 -16x 2 -225=0 – квадратно уравнение по отношение на х 2 , откъдето
Да се върнем към системата:
Пример 9 реши уравнението
а) Нека , тогава уравнението ще приеме вида:
Откъдето, според теоремата, получаваме обратното на теоремата на Виета
връщайки се към z, получаваме
едно). Забележи това. Използвайки втората формула на De Moivre, получаваме:
следователно,
2). Забележи това. Използвайки втората формула на De Moivre, получаваме:
следователно,
б) Нека преобразуваме уравнението:
Забележи това . Използвайки втората формула на De Moivre, получаваме:
Пример 10. Решете уравнението:
Решаваме уравнението като квадратно по отношение на z 2:D=
Позволявам z=a+ib,тогава , и уравнението има формата
Нека тогава откъде
Нека тогава, което означава, че получаваме, а след това получаваме това
Терминът (модул) в буквален превод от латински означава "мярка". Това понятие е въведено в математиката от английския учен Р. Коутс. И немският математик К. Вайерщрас въвежда знака модул - символ, с който се обозначава това понятие при писане.
Във връзка с
За първи път това понятие се изучава по математика по програмата на 6-ти клас на гимназията. Според една дефиниция модулът е абсолютната стойност на реално число. С други думи, за да разберете модула на реално число, трябва да отхвърлите неговия знак.
Графично абсолютна стойност аозначена като |a|.
Основната отличителна черта на тази концепция е, че тя винаги е неотрицателна стойност.
Числата, които се различават едно от друго само по знак, се наричат противоположни числа. Ако стойността е положителна, тогава нейната противоположност е отрицателна, а нулата е нейната собствена противоположност.
геометрична стойност
Ако разгледаме концепцията за модул от гледна точка на геометрията, тогава тя ще означава разстоянието, което се измерва в единични сегменти от началото до дадена точка. Това определение напълно разкрива геометричното значение на изследвания термин.
Графично това може да бъде изразено по следния начин: |a| = O.A.
Свойства на абсолютна стойност
По-долу ще разгледаме всички математически свойства на това понятие и начини на писане под формата на буквални изрази:
Особености при решаване на уравнения с модул
Ако говорим за решаване на математически уравнения и неравенства, които съдържат модул, тогава трябва да запомните, че за да ги решите, ще трябва да отворите този знак.
Например, ако знакът на абсолютната стойност съдържа някакъв математически израз, тогава преди отварянето на модула е необходимо да се вземат предвид текущите математически дефиниции.
|A + 5| = А + 5ако A е по-голямо или равно на нула.
5-Аако A е по-малко от нула.
В някои случаи знакът може да бъде недвусмислено разширен за всяка стойност на променливата.
Нека разгледаме още един пример. Нека построим координатна линия, върху която маркираме всички числови стойности, чиято абсолютна стойност ще бъде 5.
Първо трябва да начертаете координатна линия, да посочите началото на координатите върху нея и да зададете размера на единичен сегмент. Освен това линията трябва да има посока. Сега на тази права линия е необходимо да се приложи маркировка, която ще бъде равна на стойността на един сегмент.
По този начин можем да видим, че на тази координатна линия ще има две интересни за нас точки със стойности 5 и -5.
номер по модулсамото това число се нарича, ако е неотрицателно, или същото число с противоположен знак, ако е отрицателно.
Например, модулът на 5 е 5, а модулът на -5 също е 5.
Тоест модулът на едно число се разбира като абсолютна стойност, абсолютната стойност на това число, без да се отчита неговият знак.
Обозначава се, както следва: |5|, | х|, |а| и т.н.
правило:
Обяснение:
|5| = 5
То гласи така: модулът на числото 5 е 5.
|–5| = –(–5) = 5
Тя се чете така: модулът на числото -5 е 5.
|0| = 0
Тя се чете така: модулът на нула е нула.
Свойства на модула:
1) Модулът на число е неотрицателно число: |а| ≥ 0 2) Модулите с противоположни числа са равни: |а| = |–а| 3) Квадратът на модула на число е равен на квадрата на това число: |а| 2 = a2 4) Модулът на произведението на числата е равен на произведението на модулите на тези числа: |а · б| = |а| · | б| 6) Модулът на частните числа е равен на съотношението на модулите на тези числа: |а : б| = |а| : |б| 7) Модулът на сбора от числа е по-малък или равен на сбора от техните модули: |а + б| ≤ |а| + |б| 8) Модулът на разликата от числа е по-малък или равен на сбора от техните модули: |а – б| ≤ |а| + |б| 9) Модулът на сбора/разликата на числата е по-голям или равен на модула на разликата между техните модули: |а ± б| ≥ ||а| – |б|| 10) Постоянен положителен фактор може да бъде изваден от знака на модула: |м · а| = м · | а|, м >0 11) Степента на число може да бъде извадена от знака на модула: |а k | = | а| k, ако a k съществува 12) Ако | а| = |б|, тогава а = ± б |
Геометричното значение на модула.
Модулът на числото е разстоянието от нула до това число.
Например, да вземем отново числото 5. Разстоянието от 0 до 5 е същото като от 0 до -5 (фиг. 1). И когато за нас е важно да знаем само дължината на отсечката, тогава знакът няма не само никакъв смисъл, но и никакъв смисъл. Това обаче не е съвсем вярно: ние измерваме разстоянието само с положителни числа - или неотрицателни числа. Нека стойността на делението на нашата скала е 1 см. Тогава дължината на отсечката от нула до 5 е 5 см, от нула до -5 също е 5 см.
На практика разстоянието често се измерва не само от нула – всяко число може да бъде референтна точка (фиг. 2). Но същността на това не се променя. Запис от формата |a – b| изразява разстоянието между точките аи бна числовата права.
Пример 1 . Решете уравнение | х – 1| = 3.
Решение .
Значението на уравнението е, че разстоянието между точките хи 1 е равно на 3 (фиг. 2). Следователно от точка 1 броим три деления наляво и три деления вдясно - и ясно виждаме и двете стойности х:
х 1 = –2, х 2 = 4.
Можем да изчислим.
│х – 1 = 3
│х – 1 = –3
│х = 3 + 1
│х = –3 + 1
│х = 4
│ х = –2.
Отговор : х 1 = –2; х 2 = 4.
Пример 2. Намерете модула на израз:
Решение .
Нека първо разберем дали изразът е положителен или отрицателен. За да направите това, трансформираме израза така, че да се състои от еднородни числа. Да не търсим корена от 5 - доста е трудно. Нека го направим по-лесно: вдигаме 3 и 10 до корена. След това сравняваме величината на числата, които съставляват разликата:
3 = √9. Следователно, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Виждаме, че първото число е по-малко от второто. Това означава, че изразът е отрицателен, тоест отговорът му е по-малък от нула:
3√5 – 10 < 0.
Но според правилото модулът на отрицателно число е същото число с противоположен знак. Имаме отрицателен израз. Следователно е необходимо да промените знака му на обратния. Обратното на 3√5 - 10 е -(3√5 - 10). Нека отворим скобите в него - и получаваме отговора:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Отговор .
