Дата: 20.11.2014 г

Какво е дериват?

Таблица на производните.

Производната е едно от основните понятия на висшата математика. В този урок ще представим това понятие. Да се ​​опознаем, без строги математически формулировки и доказателства.

Това запознанство ще ви позволи да:

Разбират същността на простите задачи с производни;

Решете успешно тези най-прости задачи;

Подгответе се за по-сериозни уроци по производни.

Първо - приятна изненада.)

Строгото определение на производната се основава на теорията на границите и нещата са доста сложни. Това е разстройващо. Но практическото приложение на производните, като правило, не изисква толкова обширни и дълбоки познания!

За успешното изпълнение на повечето задачи в училище и университета е достатъчно да знаете само няколко термина- да разбере задачата и само няколко правила- да го решим. Това е всичко. Това ме радва.

Да започнем да се запознаваме?)

Термини и обозначения.

В елементарната математика има много различни математически операции. Събиране, изваждане, умножение, степенуване, логаритъм и др. Ако добавите още една операция към тези операции, елементарната математика става по-висока. Тази нова операция се нарича диференциация.Дефиницията и значението на тази операция ще бъдат разгледани в отделни уроци.

Тук е важно да се разбере, че диференцирането е просто математическа операция върху функция. Ние вземаме всяка функция и я трансформираме според определени правила. Резултатът ще бъде нова функция. Тази нова функция се нарича: производна.

Диференциация- действие върху функция.

Производна- резултатът от това действие.

точно както напр. сума- резултатът от събирането. Или частен- резултатът от разделянето.

Познавайки термините, можете поне да разберете задачите.) Формулировките са както следва: намиране на производната на функция; вземете производната; диференциране на функцията; изчисляване на производнаи така нататък. Това е всичко един и същ.Разбира се, има и по-сложни задачи, при които намирането на производната (диференцирането) ще бъде само една от стъпките в решаването на проблема.

Производната се обозначава с тире в горния десен ъгъл на функцията. Като този: y"или f"(x)или S"(t)и така нататък.

Четене igrik удар, ef удар от x, es удар от te,добре, нали разбираш...)

Простото число може също да показва производната на определена функция, например: (2x+3)", (х 3 )" , (sinx)"и т.н. Често производните се обозначават с помощта на диференциали, но ние няма да разглеждаме такова означение в този урок.

Да приемем, че сме се научили да разбираме задачите. Всичко, което остава, е да се научите как да ги решавате.) Нека ви напомня още веднъж: намирането на производната е трансформация на функция по определени правила.Изненадващо, има много малко от тези правила.

За да намерите производната на функция, трябва да знаете само три неща. Три стълба, върху които се крепи всяка диференциация. Ето ги тези три стълба:

1. Таблица на производните (формули за диференциране).

3. Производна на сложна функция.

Да започнем по ред. В този урок ще разгледаме таблицата с производни.

Таблица на производните.

В света има безкраен брой функции. Сред този набор има функции, които са най-важни за практическа употреба. Тези функции се намират във всички закони на природата. От тези функции, като от тухли, можете да конструирате всички останали. Този клас функции се нарича елементарни функции.Именно тези функции се изучават в училище – линейна, квадратна, хипербола и др.

Диференциране на функциите "от нулата", т.е. Въз основа на определението за производна и теорията на границите, това е доста трудоемко нещо. И математиците също са хора, да, да!) Така че те опростиха живота си (и нас). Те пресмятаха производните на елементарни функции преди нас. Резултатът е таблица с производни, където всичко е готово.)

Ето я тази плоча за най-популярните функции. Отляво е елементарна функция, отдясно е нейната производна.

	функция г	Производна на функция y y"
1	C (постоянна стойност)	C" = 0
2	х	x" = 1
3	x n (n - произволно число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	грях х	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	арктан х
	arcctg x
4	ах
	дх
5	дневник ах
	ln x ( a = e)

Препоръчвам да обърнете внимание на третата група функции в тази таблица с производни. Производната на степенна функция е една от най-често срещаните формули, ако не и най-често срещаната! Разбирате ли подсказката?) Да, препоръчително е да знаете таблицата с производни наизуст. Между другото, това не е толкова трудно, колкото може да изглежда. Опитайте се да решите повече примери, самата таблица ще бъде запомнена!)

Намирането на табличната стойност на производната, както разбирате, не е най-трудната задача. Ето защо много често в такива задачи има допълнителни чипове. Или във формулировката на задачата, или в оригиналната функция, която изглежда я няма в таблицата...

Нека да разгледаме няколко примера:

1. Намерете производната на функцията y = x 3

В таблицата няма такава функция. Но има производна на степенна функция в общ вид (трета група). В нашия случай n=3. Така че заместваме три вместо n и внимателно записваме резултата:

(х 3) " = 3 х 3-1 = 3x 2

Това е.

Отговор: y" = 3x 2

2. Намерете стойността на производната на функцията y = sinx в точката x = 0.

Тази задача означава, че първо трябва да намерите производната на синуса и след това да замените стойността х = 0в същата тази производна. Точно в този ред!В противен случай се случва веднага да заменят нула в оригиналната функция... От нас се иска да намерим не стойността на оригиналната функция, а стойността неговата производна.Производната, нека ви напомня, е нова функция.

С помощта на таблета намираме синуса и съответната производна:

y" = (sin x)" = cosx

Заменяме нула в производната:

y"(0) = cos 0 = 1

Това ще бъде отговорът.

3. Разграничете функцията:

Какво, вдъхновява ли?) В таблицата с производни няма такава функция.

Позволете ми да ви напомня, че да диференцирате функция е просто да намерите производната на тази функция. Ако забравите елементарната тригонометрия, търсенето на производната на нашата функция е доста обезпокоително. Масата не помага...

Но ако видим, че нашата функция е двоен ъглов косинус, тогава всичко се подобрява веднага!

Да да! Не забравяйте, че трансформирането на оригиналната функция преди диференциациядоста приемливо! И се случва да направи живота много по-лесен. Използвайки формулата за двоен ъглов косинус:

Тези. нашата сложна функция не е нищо повече от y = cosx. И това е таблична функция. Веднага получаваме:

Отговор: y" = - sin x.

Пример за напреднали и студенти:

4. Намерете производната на функцията:

Разбира се, няма такава функция в таблицата с производни. Но ако си спомняте елементарна математика, операции със степени... Тогава е напълно възможно да опростите тази функция. Като този:

А x на степен една десета вече е таблична функция! Трета група, n=1/10. Пишем директно по формулата:

Това е всичко. Това ще бъде отговорът.

Надявам се, че всичко е ясно с първия стълб на диференциацията - таблицата на производните. Остава да се справим с двата останали кита. В следващия урок ще научим правилата за диференциране.

Представено е доказателството и извеждането на формулата за производната на косинуса - cos(x). Примери за изчисляване на производни на cos 2x, cos 3x, cos nx, косинус на квадрат, куб и на степен n. Формула за производната на косинус от n-ти ред.

Съдържание

Вижте също: Синус и косинус - свойства, графики, формули

Производната по отношение на променливата x от косинус от x е равна на минус синус от x:
(cos x)′ = - sin x.

Доказателство

За да изведем формулата за производната на косинуса, използваме определението за производна:
.

Нека трансформираме този израз, за ​​да го сведем до известни математически закони и правила. За да направим това, трябва да знаем четири свойства.
1) Тригонометрични формули. Ще ни трябва следната формула:
(1) ;
2) Свойство за непрекъснатост на функцията синус:
(2) ;
3) Значението на първата забележителна граница:
(3) ;
4) Свойство на границата на произведението на две функции:
Ако и , тогава
(4) .

Нека приложим тези закони до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме формулата
(1) ;
В нашия случай
; . Тогава
;
;
;
.

Да направим замяна. В , . Използваме свойството на непрекъснатост (2):
.

Нека направим същото заместване и приложим първото забележително ограничение (3):
.

Тъй като ограниченията, изчислени по-горе, съществуват, прилагаме свойство (4):

.

Така получихме формулата за производната на косинуса.

Примери

Нека да разгледаме прости примери за намиране на производни на функции, съдържащи косинус. Нека намерим производни на следните функции:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = защото 3 хи y = cos n x.

Пример 1

Намерете производни на cos 2x, защото 3xИ cosnx.

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = cosnx. След това, като производно на cosnx, заменете n = 2 и n = 3 . И по този начин получаваме формули за производните на защото 2xИ защото 3x .

И така, намираме производната на функцията
y = cosnx .
Нека си представим тази функция на променливата x като сложна функция, състояща се от две функции:
1)
2)
Тогава оригиналната функция е сложна (съставна) функция, съставена от функции и :
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Ние кандидатстваме.
.
Нека заместим:
(P1) .

Сега във формула (A1) заместваме и:
;
.

;
;
.

Пример 2

Намерете производните на косинус на квадрат, косинус на куб и косинус на степен n:
y = cos 2 x; y = защото 3 х; y = cos n x.

В този пример функциите също имат подобен вид. Следователно ще намерим производната на най-общата функция - косинус на степен n:
y = cos n x.
След това заместваме n = 2 и n = 3. И така получаваме формули за производните на косинус на квадрат и косинус на куб.

Така че трябва да намерим производната на функцията
.
Нека го пренапишем в по-разбираема форма:
.
Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Функции, зависещи от променлива: ;
2) Функции, зависещи от променлива: .
Тогава оригиналната функция е сложна функция, съставена от две функции и:
.

Намерете производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Намерете производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.
.
Нека заместим:
(P2) .

Сега нека заместим и:
;
.

;
;
.

Производни от по-висок порядък

Обърнете внимание, че производната на cos xпървият ред може да бъде изразен чрез косинус, както следва:
.

Нека намерим производната от втори ред, използвайки формулата за производната на сложна функция:

.
Тук .

Обърнете внимание, че диференциацията cos xкара неговия аргумент да се увеличи с . Тогава производната от n-ти ред има формата:
(5) .

Тази формула може да бъде доказана по-стриктно с помощта на метода на математическата индукция. Доказателството за n-та производна на синус е представено на страницата „Производна на синус“. За n-тата производна на косинуса доказателството е абсолютно същото. Просто трябва да замените sin с cos във всички формули.

Вижте също: Производно изчисляване- една от най-важните операции в диференциалното смятане. По-долу има таблица за намиране на производни на прости функции. За по-сложни правила за диференциране вижте други уроци:

• Таблица с производни на експоненциални и логаритмични функции

Използвайте дадените формули като референтни стойности. Те ще помогнат при решаването на диференциални уравнения и задачи. На снимката, в таблицата с производни на прости функции, има „мамски лист“ на основните случаи на намиране на производна във форма, която е разбираема за използване, до него има обяснения за всеки случай.

Производни на прости функции

1. Производната на число е нула
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Обяснение:
Производната показва скоростта, с която се променя стойността на функция, когато нейният аргумент се промени. Тъй като числото не се променя по никакъв начин при никакви условия, скоростта на промяната му винаги е нула.

2. Производна на променливаравно на едно
x´ = 1

Обяснение:
С всяко увеличение на аргумента (x) с единица, стойността на функцията (резултатът от изчислението) се увеличава със същото количество. По този начин скоростта на промяна на стойността на функцията y = x е точно равна на скоростта на промяна на стойността на аргумента.

3. Производната на променлива и фактор е равна на този фактор
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Обяснение:
В този случай всеки път, когато аргументът на функцията се промени ( х) неговата стойност (y) нараства в сведнъж. По този начин скоростта на промяна на стойността на функцията по отношение на скоростта на промяна на аргумента е точно равна на стойността с.

Откъдето следва, че
(cx + b)" = c
т.е. диференциалът на линейната функция y=kx+b е равен на наклона на правата (k).

4. Производна по модул на променливаравно на частното на тази променлива спрямо нейния модул
|x|"= x / |x| при условие, че x ≠ 0
Обяснение:
Тъй като производната на променлива (вижте формула 2) е равна на единица, производната на модула се различава само по това, че стойността на скоростта на промяна на функцията се променя на противоположната при пресичане на началната точка (опитайте да начертаете графика на функцията y = |x| и вижте сами. Това е точно каква стойност и връща израза x / |x|. Когато x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - едно. Тоест, за отрицателни стойности на променливата x, с всяко увеличение на аргумента, стойността на функцията намалява с точно същата стойност, а за положителни стойности, напротив, тя се увеличава, но с точно същата стойност .

5. Производна на променлива на степенравно на произведението на число на тази степен и променлива на степен, намалена с единица
(x c)"= cx c-1, при условие че x c и cx c-1 са дефинирани и c ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
За запомняне на формулата:
Преместете степента на променливата надолу като фактор и след това намалете самата степен с единица. Например, за x 2 - двете бяха пред x и тогава намалената мощност (2-1 = 1) просто ни даде 2x. Същото се случи и с x 3 - „преместваме“ тройката надолу, намаляваме я с единица и вместо куб имаме квадрат, тоест 3x 2. Малко "ненаучно", но много лесно за запомняне.

6.Производна на дроб 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Пример:
Тъй като една дроб може да бъде представена като повдигане на отрицателна степен
(1/x)" = (x -1)", тогава можете да приложите формулата от правило 5 от таблицата с производни
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Производна на дроб с променлива с произволна степенв знаменателя
(1 / x c)" = - c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Производна на корена(производно на променлива под квадратен корен)
(√x)" = 1 / (2√x)или 1/2 x -1/2
Пример:
(√x)" = (x 1/2)" означава, че можете да приложите формулата от правило 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Производна на променлива под корена на произволна степен
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Изчисляването на производната често се среща в задачите на Единния държавен изпит. Тази страница съдържа списък с формули за намиране на производни.

Правила за диференциране

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Производна на сложна функция. Ако y=F(u) и u=u(x), тогава функцията y=f(x)=F(u(x)) се нарича сложна функция на x. Равно на y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Производна на неявна функция. Функцията y=f(x) се нарича неявна функция, дефинирана от релацията F(x,y)=0, ако F(x,f(x))≡0.
6. Производна на обратната функция. Ако g(f(x))=x, тогава функцията g(x) се нарича обратна функция на функцията y=f(x).
7. Производна на параметрично дефинирана функция. Нека x и y са определени като функции на променливата t: x=x(t), y=y(t). Те казват, че y=y(x) е параметрично дефинирана функция в интервала x∈ (a;b), ако в този интервал уравнението x=x(t) може да бъде изразено като t=t(x) и функцията y=y(t(x))=y(x).
8. Производна на степенно-експоненциална функция. Намира се чрез взимане на логаритми към основата на натуралния логаритъм.

Съветваме ви да запазите връзката, тъй като тази таблица може да ви е необходима много пъти.

Доказателство и извеждане на формули за производната на натурален логаритъм и логаритъм по основа а. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство на формулата за производната на логаритъм от n-ти ред с помощта на метода на математическата индукция.

Съдържание

Вижте също: Логаритъм - свойства, формули, графика
Натурален логаритъм - свойства, формули, графика

Извеждане на формули за производните на натурален логаритъм и логаритъм по основа а

Производната на натурален логаритъм от x е равна на единица, разделена на x:
(1) (ln x)′ =.

Производната на логаритъма по основа a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по натурален логаритъм от a:
(2) (log a x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Да разгледаме функция, зависеща от променлива x, която е логаритъм спрямо основата:
.
Тази функция е дефинирана в . Нека намерим неговата производна по отношение на променливата x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а)Свойства на логаритъма. Ще ни трябват следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойството на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето една функция, която има граница и тази граница е положителна.
IN)Значението на втората забележителна граница:
(8) .

Нека приложим тези факти до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме свойства (4) и (5).

.

Нека използваме свойството (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, прилагаме свойство (6):
.
Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм. Той се обозначава, както следва:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на натурален логаритъм

Още веднъж записваме формулата за производната на логаритъма по основа а:
.
Тази формула има най-простата форма за натурален логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота натуралният логаритъм се използва много широко в математическия анализ и в други клонове на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез натурален логаритъм, като се използва свойство (6):
.

Производната на логаритъма по отношение на основата може да се намери от формула (1), ако извадите константата от знака за диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъм

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на експонентата:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на натуралния логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратна функция на експоненциала.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратната функция на естествения логаритъм е експоненциалната:
.
Неговата производна се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с произволна буква. Във формула (9) заменете променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на натуралния логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложни функции. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Нека диференцираме това уравнение по отношение на променливата x:
(10) .
Производната на x е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции:
.
Тук . Нека заместим в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на В 2 пъти, В 3 пътиИ lnnx.

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производните на В 2 пътиИ В 3 пъти .

И така, търсим производната на функцията
y = log nx .
Нека си представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Функции, зависещи от променлива: ;
2) Функции, зависещи от променлива: .
Тогава оригиналната функция е съставена от функциите и :
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.
.
Тук го настроихме.

Така открихме:
(11) .
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата за логаритъм на произведението:
.
- това е константа. Производната му е нула. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сумата, имаме:
.

; ; .

Производна на логаритъм от модул x

Нека намерим производната на друга много важна функция - натурален логаритъм на модул x:
(12) .

Да разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Неговата производна се определя по формула (1):
.

Сега нека разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
,
Където .
Но също така намерихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно, за логаритъма с основа а имаме:
.

Производни от по-високи разряди на натурален логаритъм

Помислете за функцията
.
Открихме неговата производна от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Можете да забележите, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава когато n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k. Нека докажем, че това означава, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на променливата x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . Така от предположението, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно формула (14) за производна от n-ти ред е валидна за всяко n.

Производни от по-високи порядъци на логаритъм по основа а

За да намерите производната от n-ти ред на логаритъм по основа a, трябва да я изразите чрез натурален логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-тата производна:
.

Вижте също: