- 1. Група Зцели числа с операцията събиране.
- 2. Група от всички сложни корени от степен нот едно с операцията умножение. Тъй като цикличното число е изоморфизъм
групата е циклична и елементът е генериращ.
Виждаме, че цикличните групи могат да бъдат крайни или безкрайни.
3. Нека е произволна група и произволен елемент. Множеството е циклична група с генериращ елемент g. Тя се нарича циклична подгрупа, генерирана от елемента g, и нейният ред е редът на елемента g. Според теоремата на Лагранж редът на даден елемент е делител на реда на групата. Дисплей
действа по формулата:
очевидно е хомоморфизъм и образът му съвпада с. Преобразуването е сюрективно тогава и само ако групата Ж- циклични и жнегов съставен елемент. В този случай ще наричаме стандартния хомоморфизъм за цикличната група Жс избрана образуваща ж.
Прилагайки теоремата за хомоморфизма в този случай, получаваме важно свойство на цикличните групи: всяка циклична група е хомоморфен образ на групата З .
Във всяка група Жможе да се определи степениелемент с целочислени показатели:
Имотът издържа
Това е очевидно, ако . Да разгледаме случая, когато . Тогава
Останалите случаи се третират по същия начин.
От (6) следва, че
Освен това по дефиниция. По този начин правомощията на даден елемент образуват подгрупа в групата Ж.Нарича се циклична подгрупа, генерирана от елемент,и се обозначава с .
Възможни са два принципно различни случая: или всички степени на един елемент са различни, или не. В първия случай подгрупата е безкрайна. Нека разгледаме втория случай по-подробно.
Позволявам ,; Тогава. Най-малко от естествени числа T,за което се нарича в този случай в ределемент и се означава с .
Изречение 1. Ако , Че
Доказателство. 1) Разделяне мНа Пс остатък:
След това, по дефиницията на реда
Поради предишното
Последица. Ако mo подгрупата съдържа n елемента.
Доказателство.Наистина ли,
и всички изброени елементи са различни.
В случай, че няма такъв естествен T,че (т.е. възниква първият от случаите, описани по-горе), се смята . Забележи, че; редовете на всички останали елементи от групата са по-големи от 1.
В адитивната група не говорим за мощности на елемент , и за него кратни,които се означават с . В съответствие с това редът на елемента от адитивната група е Ж-- е най-малкото естествено число T(ако има такива) за които
ПРИМЕР 1.Характеристиката на едно поле е редът на всеки ненулев елемент в неговата адитивна група.
ПРИМЕР 2. Очевидно е, че в крайна група редът на всеки елемент е краен. Нека покажем как се изчисляват редовете на елементите на една група Заместването се нарича цикълдължина и се означава с ако се пренарежда циклично
и оставя всички останали числа на място. Очевидно редът на дължината на цикъла е равен на Р.Циклите се наричат независим,ако сред числата, които действително пренареждат, няма общи; в такъв случай . Всяко заместване може да бъде уникално разложено на продукт от независими цикли. Например,
което е ясно показано на фигурата, където действието на заместване е изобразено със стрелки. Ако заместването се разложи на произведение от независими цикли на дължина , Че
ПРИМЕР 3.Поръчка комплексно число c в група е ограничено тогава и само ако това число е корен от някаква степен на единица, което от своя страна възниква тогава и само ако a е съизмеримо с c, т.е. .
ПРИМЕР 4.Нека намерим елементи от краен ред в групата движения на равнината. Нека бъде. За всяка точка
циклично пренаредени чрез движение , така че техният център на тежестта Оотносително неподвижен. Следователно - или завъртане с ъгъл на видимост около точката О, или отражение спрямо някаква права линия, минаваща през нея О.
ПРИМЕР 5. Нека намерим реда на матрицата
като елемент от групата. Ние имаме
Така. Разбира се, този пример е специално подбран: вероятността редът на произволно избрана матрица да бъде краен е нула.
Предложение 2. Ако , Че
Доказателство.Позволявам
Така. Ние имаме
Следователно, .
Определение 1 . Група ЖНаречен цикличен,ако такъв елемент съществува , Какво . Всеки такъв елемент се нарича генериращ елементгрупи Ж.
ПРИМЕР 6.Адитивната група от цели числа е циклична, защото се генерира от елемента 1.
ПРИМЕР 7.Адитивна група от извадки по модул не цикличен, защото е генериран от елемента .
ПРИМЕР 8.Мултипликативна група от сложни корени n-та степенот 1 е циклично. Всъщност тези корени са числа
Това е ясно . Следователно групата се генерира от елемента.
Лесно е да се види, че в безкрайна циклична група единствените генериращи елементи са и. Така в групата Z единствените генериращи елементи са 1 и -- 1.
Брой елементи на крайната група Жя извика в реди се обозначава с. Редът на крайна циклична група е равен на реда на нейния генериращ елемент. Следователно от твърдение 2 следва
Изречение 3 . Елемент от циклична група от ред n генерира тогава и само ако
ПРИМЕР 9.Пораждащите елементи на една група се наричат примитивни корени нта степен на 1. Това са корените на вида , Където. Например примитивни корени на 12-та степен от 1 са.
Цикличните групи са най-простите групи, които можете да си представите. (В частност, те са абелеви.) Следната теорема дава тяхното пълно описание.
Теорема 1. Всяка безкрайна циклична група е изоморфна на група. Всяка крайна циклична група от ред n е изоморфна на група.
Доказателство. Ако е безкрайна циклична група, то по формула (4) преобразуването е изоморфизъм.
Нека е крайна циклична група от ред П.Помислете за картографирането
тогава картографирането е добре дефинирано и биективно. Имот
следва от същата формула (1). Следователно това е изоморфизъм.
Теоремата е доказана.
За да се разбере структурата на една група, познаването на нейните подгрупи играе важна роля. Всички подгрупи на цикличната група могат лесно да бъдат описани.
Теорема 2. 1) Всяка подгрупа на циклична група е циклична.
2) В циклична група от ред н редът на всяка подгрупа разделя н и за всеки делител q на числото н има точно една подгрупа от ред q.
Доказателство. 1) Нека е циклична група и н-- нейната подгрупа, различна от (Подгрупата за идентичност очевидно е циклична.) Обърнете внимание, че ако за някое, тогава и . Позволявам T-- най-малкото от естествените числа, за които . Нека докажем това . Позволявам . Да разделим Да сеНа Tс остатък:
откъдето, по силата на определението за число Tследва, че и следователно, .
2) Ако , тогава предишното разсъждение се прилага за (в този случай ), показва че . При което
И не единствената подгрупа на реда рв група Ж.Обратно ако р-- произволен делител на числа ПИ , след това подмножество Н,определена от равенство (9), е подгрупа от ред р. Теоремата е доказана.
Последица . В циклична група от прост ред всяка нетривиална подгрупа съвпада с цялата група.
ПРИМЕР 10.В група всяка подгрупа има формата where.
ПРИМЕР 11.В група n-ти коренистепени на 1 всяка подгрупа е група от корени q-степен 1, където.
Крайни групи
Група (полугрупа) се нарича крайна, ако се състои от краен брой елементи. Броят на елементите на една крайна група се нарича негов в ред. Всяка подгрупа на крайна група е крайна. И ако нÍ Ж– подгрупа на групата Ж, след това за всеки елемент АÎ Жняколко На={х: х=ч◦а, за всякакви чÎ з) е наречен ляв cosetЗа Жотносително н. Ясно е, че броят на елементите в Наравен на поръчката н. (Определението може да се формулира по подобен начин един Н– десен coset по отношение на н).
Важното е, че за която и да е подгрупа нгрупи Жвсеки два леви (десни) косета според нсъвпадат или не се пресичат, следователно всяка група може да бъде представена като обединение на несвързани леви (десни) косети от н.
Наистина, ако два класа N aИ Hb, Където а, bÎ Ж, имат общ елемент х, тогава има TÎ зтакова, че х = T◦а. И тогава левият клас е за х: N x={г: г=ч◦х= ч◦(T◦а) = (ч◦T)◦а} Í H a, Но а=T ‑1 ◦хИ N a={г: г=ч◦а= ч◦(T ‑1 ◦х) = (ч◦T ‑1)◦х} Í Hx. Оттук N x=N a. По същия начин може да се покаже, че N x=N b. И следователно N a=N b. Ако класовете N aИ HbНямам общи елементи, тогава те не се пресичат.
Това разделяне на група на леви (десни) класове се нарича разлагане на групата на подгрупа H.
Теорема 2.6.1. Редът на крайна група се разделя на реда на всяка от нейните подгрупи.
Доказателство. защото Же крайна група, тогава всяка от нейните подгрупи е такава нима краен ред. Помислете за разлагането на група на подгрупа н. Във всеки косет в това разлагане броят на елементите е еднакъв и равен на реда н. Следователно, ако н– групов ред Ж, А к– ред на подгрупи н, Че н=м× к, Където м– брой косети съгл нв груповото разлагане Ж.
Ако за някой елемент аÎ Ж Þ N a=един Н(леви и десни класове по подгрупа нсъвпадат), тогава нНаречен нормален делителгрупи Ж.
Изявление: Ако Же комутативна група, тогава всяка нейна подгрупа не нормален делител Ж.
Поради асоциативния характер на действието в група (полугрупа), можем да говорим за „продукт“ от три елемента ( А◦b◦° С) =(А◦b)◦° С = А◦(b◦° С). По същия начин концепцията за сложен продукт на нелементи: А 1 ◦А 2 ◦…◦и н = ◦ и н = = ◦.
работа неднакви елементи на група се нарича елементна степени е обозначен a n=. Това определение има смисъл за всеки естествен н. За всеки групов елемент аÎ Жобозначавам А 0 =д– неутрален елемент на групата Ж. И отрицателни сили на елемент а ‑ ндефиниран като ( а ‑1)нили ( a n) -1 , където а-1 – обратен елемент към А. И двете определения а ‑ нсъвпадат, защото a n◦(а ‑1)н = (А◦А◦ ¼◦ А)◦(а ‑1 ◦а‑1◦ ¼◦ а ‑1) = А◦А◦¼◦( А◦а ‑1)◦а-1 ◦¼◦ а ‑1 =e n =д. По този начин, ( а ‑1)н = (a n) ‑1 .
В адитивна група аналогът на степента на даден елемент е a nще нкратното му, обикновено означавано на, което не трябва да се приема като произведение нНа А, тъй като нÎℕ и може би нÏ Ж. Че. на⇋, къде нОℕ и 0 А=д⇋0 и (- н)а = ‑(на) = н(‑а) за всеки естествен н, Където (- а) – обратно на аÎ Ж.
Лесно е да се покаже това с избраната нотация за всякакви цели числа мИ ни за всеки аÎ Жса изпълнени известните свойства: А) в мултипликативна нотация a n ◦a m = a n + mИ ( a n)м = a nm; b) в адитивна нотация на+ма = (н+м)аИ н(ма)=(nm)а.
Помислете за подмножество от групата Ж, съставен от всички степени на произволен елемент жÎ Ж. Нека го обозначим A g. По този начин, A g ={ж 0 , ж 1 , ж ‑1 , ж 2 , ж-2,¼). очевидно, A gе подгрупа на групата Ж, защото за всякакви елементи х,приÎ A gследва, че ( х◦при)Î A g, и за всеки елемент хÎ A gще има х‑1 О A g, Освен това, ж 0 =дÎ A g.
Подгрупа A gНаречен циклична подгрупагрупи Ж, генериран от елемента ж. Тази подгрупа винаги е комутативна, дори самата тя Жне е комутативен. Ако групата Жсъвпада с една от своите циклични подгрупи, тогава се нарича циклична група, генериран от елемента ж.
Ако всички мощности на елемент жса различни, тогава групата ЖНаречен безкраенциклична група и елементът ж– елемент безкраен ред.
Ако сред елементите на една циклична група има равни, напр. g k=g mпри к>м, Че g k‑m=д; и обозначаване к-мпрез н, получаваме g n=д, нÎℕ.
Най-нисък естествен показател нтакова, че g n=д, Наречен ред на елемент g, и самия елемент жНаречен елемент от краен ред.
Такъв елемент винаги ще се намери в крайна група, но може да бъде и в безкрайна група.
Групи, чиито елементи имат краен ред, се наричат периодичен.
Тъй като всеки елемент от крайна група има краен ред, всички крайни групи са периодични. Освен това всички циклични подгрупи на крайна група са периодични, тъй като са крайни и всеки елемент от краен ред нгенерира циклична група от същия ред н, състоящ се от елементи ( ж 0 , ж 1 , ж 2 ¼, g n-1 ). Наистина, ако броят на елементите беше равен на някои к<н, Тогава g k=д=g n, което противоречи на избора н, като най-малката степен такава, че g n=д; от друга страна, к>нсъщо невъзможно, защото в този случай ще има идентични елементи.
Изявление: 1) всички степени ж 0 , ж 1 , ж 2 ¼, g n-1 са различни, т.к ако имаше равни, напр. g i=g j (аз>й), Че g i - j=д, Но ( аз‑й)<н, и по дефиниция н -най-малката степен е такава, че g n=д.
2) Всяка друга степен ж, положителен или отрицателен, равен на един от елементите ж 0 , ж 1 , ж 2 ¼, g n-1, защото всяко цяло число кможе да се представи с израза: к=nq+r, Където р,rÎℤ и 0£ r<н, r– остатък и g k=g nq + r= g nq° g r= (g n)р° g r= e q° g r= g r.
1) Всяка група има уникален елемент от първи ред ( д), генерирайки циклична подгрупа от първи ред, състояща се от един елемент д.
2) Разгледайте групата замествания С 3, състоящ се от елементите: , , , , , . Поръчка С 3 =6. Ред на елементите Ае равно на 2, защото . Ред на елементите bсъщо е равно на 2, защото . Ред на елементите се равно на 3, защото И . Ред на елементите fсъщо е равно на 3, защото И . И накрая, ред де равно на 2, защото . По този начин, циклични подгрупи С 3 генерирани от елементи д, а, b, д, ° СИ f, съответно равни: ( д}, {д, а}, {д, b}, {д, д}, {д, ° С, f) И ( д, f, ° С), където последните две съвпадат. Обърнете внимание също, че редът на всяка циклична подгрупа разделя реда на групата без остатък. Следната теорема е вярна.
Теорема 2.7.1. (Лагранж) Редът на крайна група се разделя на реда на който и да е от нейните елементи (тъй като редът на елемента и редът на генерираната от него циклична подгрупа съвпадат).
От това също следва, че всеки елемент от крайна група, когато е повдигнат на степен от порядъка на групата, дава единицата на групата. (Защото g m=g nk=e k=д, Където м– групова поръчка, н– ред на елементите ж, к– цяло число).
В група S има 3 подгрупи н={д, ° С, f) е нормален делител, но подгрупите от 2-ри ред не са нормални делители. Това може лесно да се провери чрез намиране на левия и десния косет по нза всеки елемент от групата. Например за елемент Аляв coset На={e ◦ a, с◦ А, f◦ а} = {А, b, д) и десен coset един Н={a ◦ e, А◦ ° С, А◦ f} = {А, д, b) съвпада. По същия начин за всички останали елементи С 3 .
3) Множеството от всички цели числа със събиране образува безкрайна циклична група с генериращ елемент 1 (или –1), т.к. всяко цяло число е кратно на 1.
4) Помислете за набор от корени н-та сила на единството: E n=. Това множество е група по отношение на операцията за умножение на корени. Всъщност продуктът на всеки два елемента e kИ e mот E n, Където к, м £ н-1 също ще бъде елемент E n, тъй като = = , където r=(k+m) мод нИ r £ н-1; умножение асоциативен, неутрален елемент д=д 0 =1 и за всеки елемент e kима обратно и . Тази група е циклична, нейният генериращ елемент е примитивен корен. Лесно се вижда, че всички степени са различни: , по-нататък за к³ нкорените започват да се повтарят. На комплексната равнина корените са разположени върху окръжност с единичен радиус и я разделят на нравни дъги, както е показано на фигура 11.
Последните два примера по същество изчерпват всички циклични групи. Тъй като следната теорема е вярна.
Теорема 2.7.2. Всички безкрайни циклични групи са изоморфни една на друга. Всички крайни циклични групи от ред нса изоморфни един на друг.
Доказателство. Позволявам ( Ж, ∘) е безкрайна циклична група с генериращ елемент ж. Тогава има биективно картографиране f: ℤ ® Жтака че за всякакви цели числа кИ мтехните изображения f(к) И f(м), равни съответно g kИ g m, са елементи Ж. И при което f(к+м)=f(к)∘f(м), защото g k + м=g k∘ g m.
нека сега ( Ж, ∘) е крайна циклична група от ред нс генериращ елемент ж. След това всеки елемент g kÎ Жединственият начин за съпоставяне на елемент е e kÎ E n(0£ к<н), според правилото f(g k)=e k. И в същото време за всякакви g kИ g mÎ Жследва това f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), защото f(g k∘ g m)=f(g k + м)=f(g r), Където r=(к+м) мод н, И f(g r)=e r=e k× e m. Ясно е, че такова преобразуване е биективно преобразуване.
Група O се нарича циклична, ако всички нейни елементи са степени на един и същ елемент.Този елемент се нарича генератор на цикличната група O. Всяка циклична група е очевидно абелева.
Циклична група е например групата от цели числа чрез събиране. Тази група ще означаваме със символа 2. Нейният генератор е числото 1 (както и числото - 1). Циклична група също е група, състояща се само от един елемент (един).
В произволна група O степените на всеки елемент g образуват циклична подгрупа с генератор g. Редът на тази подгрупа очевидно съвпада с реда на елемента g. Оттук, по силата на теоремата на Лагранж (виж страница 32), следва, че редът на всеки елемент от групата разделя реда на групата (обърнете внимание, че всички елементи на крайна група са елементи от краен ред).
Следователно за всеки елемент g от крайна група от ред равенството е в сила
Това просто наблюдение често е полезно.
Наистина, ако групата O е циклична и нейният генератор, тогава редът на елемента е равен на . Обратно, ако група O има елемент от ред, тогава сред правомощията на този елемент има различни и следователно тези правомощия изчерпват цялата група O.
Следователно виждаме, че една циклична група може да има няколко различни генератора (а именно всеки елемент от реда е генератор).
Задача. Докажете, че всяка група от прост ред е циклична група.
Задача. Докажете, че една циклична група от ред има точно генератори, където е броят на положителните числа, по-малък от и взаимно прости на .
Наред с реда всяка крайна група може да бъде приписана на число - най-малкото общо кратно на редовете на всички нейни елементи.
Задача. Докажете, че за всяка крайна група O числото дели реда на групата.
Очевидно за циклична група числото съвпада с реда. Обратното, най-общо казано, не е вярно. Независимо от това, важи следното твърдение, характеризиращо цикличните групи в класа на крайните абелеви групи:
крайна абелева група O, за която числото е равно на нейния ред, е циклична група.
Наистина, нека
Поръчките на всички възможни неединични елементи на крайна абелева група O са от порядък , и нека е тяхното най-малко общо кратно.
Нека разширим числото в произведение на степени на различни прости числа:
Нека Тъй като едно число по дефиниция е най-малкото общо кратно на числа (1), сред тези числа има поне едно число, което се дели точно на, т.е. има формата , където b е взаимно просто с . Нека това число е редът на елемента g. Тогава елементът има ред (вижте следствие 1) на страница 29).
По този начин за всеки от групата O има поне един елемент на реда.Избирайки по един такъв елемент за всеки, разглеждаме техния продукт. Според твърдението, доказано на страници 29-30, редът на този продукт е равен на произведението на поръчките, т.е. равен на броя. Тъй като последното число по условие е равно на , по този начин се доказва, че има елемент от ред n в групата O. Следователно тази група е циклична група.
Нека сега O е произволна циклична група с генератор и H е някои от нейните подгрупи. Тъй като всеки елемент от подгрупата H е елемент от групата O, той може да бъде представен във формата , където d е някакво положително или отрицателно цяло число (най-общо казано, то не е еднозначно определено). Нека разгледаме множеството от всички положителни числа, за които елементът принадлежи към подгрупата H. Тъй като това множество е непразно (защо?), то съдържа най-малкото число. Оказва се, че всеки елемент h от подгрупата H е мощност на елемента. Наистина, по дефиниция има число d такова, че (числото d може да бъде отрицателно). Разделете (с остатък) числото d на числото
Тъй като , тогава поради минималността на числото остатъкът трябва да е равен на нула. По този начин, .
Това доказва, че елементът е генератор на групата H, т.е. че групата H е циклична. И така, всяка подгрупа на циклична група е циклична група.
Задача. Докажете, че числото е равно на индекса на подгрупата H и следователно дели реда на групата O (ако групата O е крайна).
Отбележете също, че за всеки делител на реда на крайна циклична група Q в групата O има една и само една подгрупа H от ред (а именно подгрупата с генератора
Това означава, че ако крайната циклична група е проста, тогава нейният ред е прост (или единица).
Нека накрая да отбележим, че всяка факторгрупа (следователно всеки хомоморфен образ) на циклична група Q е циклична група.
За доказване е достатъчно да се отбележи, че генераторът на групата е косетът, съдържащ генератора на групата O.
По-специално, всяка частна група от групата от цели числа Z е циклична група. Нека проучим тези циклични групи по-подробно.
Тъй като групата Z е абелева, всяка нейна подгрупа H е нормален делител. От друга страна, според доказаното по-горе, подгрупата H е циклична група. Тъй като факторгрупи по тривиални подгрупи са ни известни, можем да считаме подгрупата H за нетривиална. Нека числото е генератор на подгрупата H. Можем да считаме това число за положително (защо?) и следователно по-голямо от единица.
Подгрупата N. очевидно се състои от всички цели числа, делими на . Следователно, две числа принадлежат към един и същ клас в подгрупата H тогава и само ако тяхната разлика се дели на , т.е. когато са сравними по модул (вижте курса, стр. 277). По този начин косетите в подгрупата H не са нищо повече от класове числа, сравними един с друг по модул.
С други думи, частната група на група Z по подгрупа H е група (чрез добавяне) от класове числа, сравними помежду си по модул. Ще обозначим тази група с Нейният генератор е класът, съдържащ числото 1.
Оказва се, че всяка циклична група е изоморфна или на групата Z (ако е безкрайна), или на една от групите (ако нейният ред е краен).
Наистина, нека е генератор на група O. Нека дефинираме преобразуване от група 2 към група O, задавайки
Определение 1.22. Позволявам Р- Просто число. Група ЖНаречен p-група,ако редът на всеки елемент от групата е равен на някаква степен на просто число Р.
Определение 1.23. Силовски r-подгрупакрайна група Ж p-подгрупа на дадена група се нарича тази, която не се съдържа в по-голяма p-подгрупа на дадена група.
Теорема 1.25. Една крайна абелева група е равна на прякото произведение на нейните силовски p-подгрупи.
Доказателство.Да разгледаме крайна абелева група Жот ред n и нека n =Р"! стр. 2 2 p* 1 k - разширяване на числото Пв произведение на степени на различни прости числа. за 1, 2,..., Да сенека означим с I подгрупата Sylow r и с I подгрупата, генерирана от всички I; За; * азЛесно се доказва, че I, n I, = (e). Следователно аз = (N 1,H 2,...,N k) = N 1 xN 2 x...xN k.Да предположим, че има елемент g e G,така че g g Y. Последствие 2 от теоремата на Лагранж |G| : |g|. Следва, че
|g| = pf"pjf 2 Pk k > g D e Pi - a i D за всяко i = 1, 2, Да се.По следствие от теорема 1.23 има елементи g 1; g2, ..., gkд G,така че = x x... x (g k) и | g,-1 = pf 1 за i = 1, 2, ..., /s. Ако приемем, че g, g I, за някакво g, тогава получаваме p-подгрупа (ги,аз,) Е I, което противоречи на определението за силовска p-подгрупа. Така за всяко i = 1, 2,..., /напр., e дот къде съм g e N.следователно H = Gи теоремата е доказана.
Теорема 1.26. Крайна абелева p-група е равна на прякото произведение на циклични подгрупи.
Доказателство.Нека е дадена крайна абелева p-група Ж.Нека изберем елемент в него Аот максимален ред p", и нека H е максимална подгрупа, такава че (a) n H = (e). Тогава (a, R) = (a) x R. Нека означим Gj = (a) x R.
Нека се преструваме, че G Ф G yОт всички елементи, които не принадлежат на G x , избираме елемент g от минимален ред рР. Ако приемем, че gPg Gbслед това от |gp| = рР- 1, стигаме до противоречие с избора на елемент g. Следователно, gP e G x = (a) x I и има цяло число /c и елемент ч e I, така че gP = a fc /i. Оттук a k= gp/i -1. Ако gcd(/c, p) = 1, тогава gcd(/c, p°9 = 1 и съществуват цели числа u, v, такива че /c + p a v = 1. Тогава
Поради максималност | a = p aимаме gP“ = ди д F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a ~ 1 =/i _u p““ 1 e I, което противоречи на условие (a) p I = (e). Следователно, /s: r.
Позволявам Да се= r/s x. Тогава aP fc i = a k =gPh~ 1,където h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Нека означим gj=a _/c ig. Тогава gf -той Х.Ако приемем, че gj =ar fc "geG] =(a)xN,тогава g е G x , което противоречи на избора на елемент g. Следователно g x g G x и следователно gj g I. Тъй като I е максимална подгрупа с условието (А) n I = (e), след това (a) n (g x , I) ^ (e). Следователно има t, pд Зи елемент hj e I, такъв че e * a t= gf
Ако приемем, че p:p,top=pp 1при някои n,eZи e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, което противоречи на условие (a) n I = = (e). Следователно НОД(n,p) = 1 Hgf =a m /ако 1 . Ако |g x | =pY, тогава НОД(n, p’O = 1 и съществуват u x, v x g Z,така че gsh x -t-pYv x = 1. Следователно g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Отново стигнахме до противоречие. Така че остава да приемем това G - (a) x R. Сега в подгрупата R по подобен начин избираме чрез пряк фактор цикличната подгрупа на максимума в нред и т.н., докато получим разлагане на групата Жв директен продукт на циклични подгрупи. Теоремата е доказана.
Теорема 1.27. Крайна абелева група е равна на прякото произведение на циклични p-подгрупи.
Доказателството следва от теореми 1.25 и 1.26.
За да завършим главата за групите, отбелязваме, че групата може да се разглежда като набор с една двоична операция, която е асоциативна и за всякакви елементи АИ Комерсантуравненията са еднозначно разрешими ax = b uua-b.Този възглед за групата води до две обобщения. От една страна, може да се съсредоточи върху изучаването на значението на асоциативността на операция и това води до концепцията за полугрупа като набор с една асоциативна операция (виж работата). От друга страна, може да се пренебрегне изискването за асоциативност и това води до концепцията за квазигрупа като набор с една двоична операция, по отношение на която гореспоменатите уравнения са еднозначно разрешими. Квазигрупа с идентичност се нарича цикъл (вижте работата). Теорията на полугрупите и теорията на квазигрупите се превърнаха в две независимо развиващи се съществени теории. Не ги споменаваме в основния текст от съображения за „максимално възможен минимум“ обем.
