Над полето реални числавсякакви нередуцируем полиномедна променлива има степен 1 или 2, а полином от степен 2 е неприводим върху полето R тогава и само ако има отрицателен дискриминант, например, полиномът е нередуцируем върху полето от реални числа, защото неговият дискриминант е отрицателен.
Критерият на Айзенщайн е тест за нередуцируемостта на полином, кръстен на немския математик Фердинанд Айзенщайн. Въпреки (традиционното) име, това е точно знак, тоест достатъчно условие - но изобщо не е необходимо, както може да се предположи въз основа на математическото значение на думата "критерий".
Теорема (критерий на Айзенщайн). Нека е полином върху факториалния пръстен R ( н>0), и за някакъв нередуцируем елемент стрса изпълнени следните условия:
Не се дели на стр,
Разделена на стр, за всеки азот 0 преди н- 1,
Не се дели на.
Тогава полиномът е неприводим Ечастно пръстеновидно поле Р.
Последица.Над всяко поле от алгебрични числа съществува нередуцируем полином от произволна предварително определена степен; например полином където н>1 и стрЇ някакво просто число.
Нека разгледаме примери за прилагането на този критерий, когато R е пръстен от цели числа и F е поле от рационални числа.
Примери:
Полиномът е неприводим върху Q.
Деленият полином на окръжност е нередуцируем. Всъщност, ако е редуцируем, тогава ние също редуцираме полинома и тъй като всички негови коефициенти, с изключение на първия, са биномни, тоест те се делят на стр, а последният коефициент `амин стри освен това не се дели по критерия на Айзенщайн, противно на предположението.
Следните пет полинома демонстрират някои елементарни свойстванередуцируеми полиноми:
Над пръстена Z от цели числа, първите два полинома са редуцируеми, последните два са нередуцируеми. (Третото изобщо не е полином върху цели числа).
Над полето Q от рационални числа първите три полинома са редуцируеми, а другите два са неприводими.
Над полето R от реални числа първите четири полинома са редуцируеми, но са нередуцируеми. В областта на реалните числа линейните полиноми и квадратичните полиноми без реални корени са нередуцируеми. Например разширяването на полином в областта на реалните числа има формата. И двата фактора в това разширение са нередуцируеми полиноми.
Над поле C комплексни числа, всичките пет полинома са редуцируеми. Всъщност всеки непостоянен полином върху C може да бъде факторизиран във формата:
Където н- степен на полинома, а- водещият коефициент, - корените на полинома. Следователно единствените нередуцируеми полиноми над C са линейни полиноми (основната теорема на алгебрата).
Казва се, че поле F е алгебрично затворено, ако всеки полином с положителна степен върху F има корен във F.
Теорема 5.1 (фундаментална теорема на полиномиалната алгебра).Полето от комплексни числа е алгебрично затворено.
Последица 5 .1.1. По-горе СЪСИма само нередуцируеми полиноми от първа степен.
Следствие 5.1.2. Полином н-та степен по-горе СЪСТо има нсложни корени.
Теорема 5.2. Ако е комплексен корен на полином fс реални коефициенти, тогава комплексно спрегнатото число също е корен f.
Последица 5 .2.1. По-горе РИма нередуцируеми полиноми само от първа или втора степен.
Следствие 5.2.2. Въображаеми корени на полином над Рсе разлагат на двойки комплексни конюгати.
Пример 5.1. Разложете на несводими множители СЪСи отгоре Рполином х 4 + 4.
Решение. Ние имаме
х 4 + 4 =х 4 + 4х 2 + 4 – 4х 2 = (х 2 + 2) 2 – 4х 2 = (х 2 – 2х+ 2)(х 2 + 2х+ 2) –
разширение над Р. След като намерихме комплексните корени на полиноми от втора степен в скоби по обичайния начин, получаваме разширение върху СЪС:
х 4 + 4 = (х – 1 – аз) (х – 1 + аз) (х + 1 – аз) (х + 1 + аз).
Пример 5.2. Конструирайте полином от най-малка степен с реални коефициенти с корени 2 и 1 + аз.
Решение. Съгласно следствие 5.2.2 полиномът трябва да има корени 2, 1 – аз и 1 + аз. Неговите коефициенти могат да бъдат намерени с помощта на формулите на Vieta:
1 = 2 + (1 – аз) + (1 +аз) = 4;
2 = 2(1 – аз) + 2(1 + аз) + (1 – аз)(1 + аз) = 6;
3 = 2(1 – аз)(1 + аз) = 4.
Оттук f =х 3 – 4х 2 + 6х– 4.
Упражнения.
5.1. Разложете на несводими множители СЪСи отгоре Рполиноми:
а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6;
б) х 4 – 10х 2 + 1.
5.2. Конструирайте полином от най-малка степен с реални коефициенти с двоен корен 1 и прост корен 1 – 2 аз.
6. Полиноми над полето на рационалните числа
Теорема 6.1 (критерий на Айзенщайн). Позволявам f = a 0 + а 1 х + ...+ а н х н– полином с цели коефициенти. Ако има такова просто число стр, Какво а 0 , а 1 , … , а н-1 се дели на стр, а нне се дели на стр,а 0 не се дели на стр 2, тогава f не се редуцират над полето от рационални числа.
Упражнение 6.1. Докажете несводимост над Qполиноми:
а) f= 2х 5 + 3х 4 – 9х 3 – 6х+ 3; б) f= 5х 4 + 6х 3 – 18х 2 – 12х + 54.
Теорема 6.2.
Позволявам 
– несъкратима дроб, която е корен на многочлен f
=
а 0 +
а 1 х
+ … +
а н х нс цели коефициенти. Тогава
а 0 стр, а н р;
f(1) p–q,f(–1) p+q.
Тази теорема ни позволява да решим проблема с намирането на рационални корени на полином с цели коефициенти. За да направим това, ние определяме всички делители на свободния член и водещия коефициент и конструираме от тях всички видове несъкратими дроби. Всички рационални корени се съдържат сред тези дроби. За да ги определите, можете да използвате схемата на Хорнер. За да избегнем ненужни изчисления в него, използваме твърдение 2) от теорема 6.2.
Пример 6.1. Намерете рационални корени на полином
f = 2х 4 + 7х 3 + 3х 2 – 15х– 18.
Решение. Записваме всички дроби, чиито числители стр – делителите са 18, а знаменателите р– разделители 2:
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, 
,
,
.
Проверяваме ги по схемата на Хорнер:
|
Коментар |
||||||
|
f(1) = –21 p–q |
||||||
|
f(–1) = –3 p+q |
||||||
|
х 1 = –2 |
||||||
|
х 2 = 3/2 |
||||||
Намиране на корена х 1 = –2 и разделяне на полинома на х+ 2, получаваме полином с нов свободен член –9 (коефициентите му са подчертани). Числителите на останалите корени трябва да бъдат делители на това число и дроби, които не отговарят на това условие, могат да бъдат изключени от списъка. Останалите цели числа се изключват, защото не отговарят на условието f(1)стр – р или f(–1)стр + р. Например за 3 имаме стр = 3, р= 1 и условието не е изпълнено f(1) = –21стр – р(същото като второто условие).
По същия начин, намиране на корена х 2 = 3/2, получихме полином с нов свободен член 3 и водещ коефициент 1 (когато коренът е дробен, коефициентите на получения полином трябва да бъдат намалени). Никое останало число от списъка вече не може да бъде негов корен и списъкът с рационални корени е изчерпан.
Намерените корени трябва да бъдат проверени за множественост.
Ако в процеса на решаване сме стигнали до полином от втора степен и списъкът с дроби все още не е изчерпан, тогава останалите корени могат да бъдат намерени с помощта на обичайните формули като корени на квадратен трином.
Упражнение 6.2. Намерете рационалните корени на полинома
а) х 3 – 6х 2 + 15х– 14;
б) х 5 – 7х 3 – 12х 2 + 6х+ 36;
на 2 х 4 – 11х 3 + 23х 2 – 24х+ 12;
г) 4 х 4 – 7х 2 – 5х– 1.
Едно поле се нарича алгебрично затворено, ако всеки полином над това поле, който не е равен на константа, има поне един корен. От теоремата на Bezout веднага следва, че над такова поле всеки неконстантен полином може да бъде разложен на произведение на линейни множители. В този смисъл алгебрично затворените полета са по-прости по структура от неалгебрично затворените полета. Знаем, че над полето от реални числа не всеки квадратен тричлен има корен, следователно полето ℝ не е алгебрично затворено. Оказва се, че не му достига алгебричното затваряне. С други думи: след като решихме привидно конкретен проблем за уравнение, ние едновременно решихме всички други полиномни уравнения.
ФУНДАМЕНТАЛНА ТЕОРЕМА НА АЛГЕБРАТА.Всеки полином над полето ℂ, който не е равен на константа, има поне един комплексен корен.
РАЗСЛЕДВАНЕ.Можем да разширим всеки полином, който не е равен на константа върху полето от комплексни числа, в произведение на линейни множители:
Ето водещия коефициент на полинома, всички различни комплексни корени на полинома и техните кратности. Равенството трябва да бъде спазено
Доказателството на следствието е проста индукция върху степента на полинома.
В други области ситуацията не е толкова добра по отношение на разложимостта на полиномите. Наричаме полином неприводим, ако, първо, той не е константа и, второ, не може да се разложи на произведение на полиноми от по-ниски степени. Ясно е, че всеки линеен полином (върху всяко поле) е неприводим. Следствието може да бъде преформулирано по следния начин: нередуцируемите полиноми над полето от комплексни числа с водещ единичен коефициент (с други думи: унитарен) се изчерпват от полиноми от формата ().
Разложимостта на квадратен трином е еквивалентна на наличието на поне един корен. Трансформирайки уравнението във форма, заключаваме, че коренът на квадратен тричлен съществува тогава и само ако дискриминантът е квадрат на някакъв елемент от полето K (тук приемаме, че 2≠ 0 в полето K). От тук получаваме
ОФЕРТА.Квадратният трином над поле K, в което 2≠ 0, е неприводим тогава и само ако няма корени в полето K. Това е еквивалентно на факта, че дискриминантът не е квадрат на който и да е елемент от полето K. По-специално , над полето от реални числа квадратният трином Несводим ако и само ако.
Така че в областта на реалните числа има поне два вида нередуцируеми полиноми: линейни и квадратни и отрицателни дискриминанти. Оказва се, че тези два случая изчерпват набора от нередуцируеми полиноми върху ℝ.
ТЕОРЕМА.Можем да разложим всеки полином върху полето от реални числа в произведение от линейни множители и квадратни множители с отрицателни дискриминанти:
Ето всички различни реални корени на полинома, техните кратности, всички дискриминанти са по-малки от нула и всички квадратни триноми са различни.
Първо доказваме лемата
ЛЕММА.Ако за някое, тогава спрегнатото число също е корен на полинома.
Доказателство. Нека и е комплексен корен на полином. Тогава
където използвахме свойствата на mate. Следователно, . Следователно това е коренът на полинома. □
Доказателство на теоремата. Достатъчно е да се докаже, че всеки нередуцируем полином върху полето от реални числа е линеен или квадратичен с отрицателен дискриминант. Нека е нередуцируем полином с единичен водещ коефициент. В случая веднага получаваме за някои реални. Нека се преструваме, че. Нека означим с произволен комплексен корен на този многочлен, който съществува според основната теорема на алгебрата на комплексните числа. Тъй като е нередуцируем, тогава (вижте теоремата на Bezout). Тогава, според лемата, ще има друг корен на полинома, различен от.
Полиномът има реални коефициенти. В допълнение, дели според теоремата на Bezout. Тъй като е нередуцируем и има единичен водещ коефициент, получаваме равенство. Дискриминантът на този полином е отрицателен, тъй като в противен случай той би имал реални корени.□
ПРИМЕРИ. А.Нека разложим полинома на несъкратими множители. Сред делителите на постоянния член 6 търсим корените на многочлена. Уверяваме се, че 1 и 2 са корени. Така полиномът се разделя на. След като разделихме, намираме
Окончателното разширение върху полето, тъй като дискриминантът на квадратния трином е отрицателен и следователно не може да бъде допълнително разширен върху полето от реални числа. Получаваме разширение на същия полином върху полето от комплексни числа, ако намерим комплексните корени на квадратния трином. Те са същността. Тогава
Разширение на този полином върху
B. Нека разширим полетата на реални и комплексни числа. Тъй като този полином няма реални корени, той може да се разложи на два квадратни тринома с отрицателни дискриминанти
Тъй като не се променя, когато се замени с полином, тогава с такава замяна квадратният трином трябва да влезе в и обратно. Оттук. Приравнявайки коефициентите за получаваме По-специално, . След това от връзката (получена чрез заместване извличаме и накрая, . Така че,
Разширение върху полето на реалните числа.
За да разширим този полином върху комплексни числа, решаваме уравнението или. Ясно е, че ще има корени. Получаваме всички различни корени при. следователно
Разгъване върху комплексни числа. Лесен за изчисляване
и получаваме друго решение на задачата за разширяване на полином върху полето от реални числа.
Край на работата -
Тази тема принадлежи към раздела:
Фундаментална и компютърна алгебра
Въведение.. курсът фундаментална и компютърна алгебра е предназначен за студенти от специалност приложна математика..
Ако се нуждаеш допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:
Какво ще правим с получения материал:
Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:
| туит |
Всички теми в този раздел:
Н. И. Дубровин
Spassky Settlement 2012 Съдържание Въведение. 4 Списък със символи и термини. 5 1 Малко за BASIC. 6 2 Наивна теория на множествата. 9
Малко за BASIC
В математиката те се занимават с такива обекти като числа от различно естество (естествени, цели, рационални, реални, комплексни), полиноми на една и няколко променливи, матрици
Наивна теория на множествата
Математическият текст се състои от определения и твърдения. Някои твърдения, в зависимост от тяхната важност и връзка с други твърдения, се наричат един от следните термини:
Декартови продукти
Подредена двойка или просто двойка елементи е една от основните конструкции в математиката. Можете да си го представите като рафт с две места - първо и второ. Много често в математиката не е така
Цели числа
Числата (1,2,3,...), които могат да се получат от единица чрез събиране, се наричат естествени числа и се означават с ℕ. Аксиоматично описание естествени числаможе да е така (виж
Рекурсия
От аксиоми N1-N3 до познатите на всички основно училищеоперации на събиране и умножение на естествени числа, сравнение на естествени числа едно с друго и свойства на формата „от обръщане на местата на термините сумата не
Ред върху множеството от естествени числа Делимост на естествените числа Делимост на цели числа Алгоритъм на Евклид Матрична интерпретация на Евклидовия алгоритъм Елементи на логиката Експресивни форми Матрична алгебра Детерминанти Линейни равнинни трансформации Комплексни числа Построяване на полето от комплексни числа Конюгирани комплексни числа Тригонометрична форма на запис на комплексни числа Комплексен показател Решаване на квадратни уравнения Теорема за отношението на еквивалентност Нередуцируем полином- полином, който не може да се разложи на нетривиални полиноми. Нередуцируемите полиноми са нередуцируеми елементи от полиномния пръстен. Нередуцируем полином върху поле е полином Полином f върху поле F се нарича нередуцируем (прост), ако има положителна степен и няма нетривиални делители (т.е. всеки делител е или свързан с него, или с единица) Изречение 1 Позволявам Р– нередуцируеми и А– произволен полином от пръстена F[x]. Тогава или Рразделя А, или РИ А- взаимно прости. Изречение 2 Позволявам f∈ F[x] и степен f = 1, което означава, че f е нередуцируем полином. Например: 1. Вземете полином x+1 над полето Q. Степента му е 1, което означава, че е нередуцируем. 2. x2 +1 – нередуцируемо, т.к няма корени SLU. Системно решение. Кооперативна, безкооперативна, определена и неопределена системи. Еквивалентни системи Система от линейни уравнения над поле F с променливи x1,...xn е система от вида А 11
х 1
+ … + а 1пх н= б 1
……………………….. а m1х 1
+ … + а мнх н= б м къде и К,б аз∈ F, m е броят на уравненията, а n е броят на неизвестните. Накратко тази система може да се напише по следния начин: ai1x1 + … + a вх н= б аз (i = 1,...m.) Това SLE е условие с n свободни променливи x 1,….хн. SLN се делят на несъвместими (нямат решения) и съвместими (определени и неопределени). Съгласувана система от тип се нарича определена, ако има единствено решение; ако има поне две различни решения, тогава се нарича несигурно. Например: над полето Q x + y = 2 - непоследователна система x – y = 0 - определено съединение (x, y = ½) 2x + 2y = 2 - съвместно неопределено Две системи l.u са еквивалентни, ако множествата от решения на тези системи съвпадат, т.е. всяко решение на една система е едновременно решение на друга. Може да се получи еквивалентна на тази система: 1. заместване на едно от уравненията с това уравнение, умножено по всяко ненулево число. 2. замяна на едно от уравненията със сумата на това уравнение с друго уравнение на системата. Разрешаването на SLE се извършва по метода на Гаус. 45* Елементарни преобразувания на системи от линейни уравнения (slu). Метод на Гаус. Деф.Елементарни трансформации на S.L.U n-xia са следните трансформации: 1. Умножаване на едно от системата от уравнения на системата с ненулев елемент на полето. 2. Добавяне към едно от уравненията на системата на друго уравнение, умножено по полевия елемент. 3. Допълнения към системата или изключване от системата на ненулевото уравнение 0*x1+0*x2+…+0*xn=0 4.
Обръщане на уравнения ВнушениеНека се получи система (**) или система (*) с помощта на крайно число. Елементарни трансформации. Тогава система (**) ~ система (*). (Няма документ) ДепутатКогато пишем система от линейни уравнения, ще използваме матрична нотация. a11 a12 … a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 ………………….... …
Am1 am2 ... amn вn Примери: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1 x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0 3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2 2) 1 0 1 x1=1 0 1 2 x2=2 3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3 0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3 Метод на Гаус ВнушениеНека системата (*) има (a) ако всички свободни членове са равни на 0 всички vk=0 много решения = F n (b) k vk=0 0x1+0x2+...+0xn= vk=0 (няма решения) 2.
не всички aij=0 (a) ако системата има уравнение от вида 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 (b) ако няма такива уравнения b1. Нека елиминираме ненулевите уравнения. Нека намерим най-малкия индекс i1, така че не всички коефициенти да са при xij=0. 0……0……….. …. Втората колона с нули е i1. 0……0…..*=0….. …. 0……0 ...……… … 1. чрез пренареждане на уравненията ще постигнем, че a1i1 = 0 0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(присвояване) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1 A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( стъпил 0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Матрица) 0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… …. 0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 …. След краен брой стъпки получаваме или системата съдържа уравнение от вида 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 или 0……0 1………….. L1 „преден ход на Гаус“ 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. „обратен ход 0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Гаус” 0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... .. .............................. .... ............................................ .. 0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 .. Ще наречем променливите xi1, ...... xik основните, останалите са свободни. k=n => в-сигурен к 2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0 1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1 3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2
Множеството има линейна връзка на реда. Да кажем, че n
Операцията деление не винаги е възможна в областта на естествените числа. Това ни дава право да въведем отношението на делимост: да кажем, че числото n дели числото m, ако m=nk за някакво подходящо k∈
Нека означим с -- пръстена от цели числа. Терминът “пръстен” означава, че имаме работа с множество R, върху което са дадени две операции - събиране и умножение, подчиняващи се на известни закони
Дадена е двойка цели числа (m,n). Ние считаме n за остатък с номер 1. Първата стъпка на Евклидовия алгоритъм е да разделим m на n с остатък и след това да разделим остатъка на новополучения остатък, докато този новополучен
Нека дадем матрична интерпретация на Евклидовия алгоритъм (за матрици вижте следващия параграф). Нека пренапишем последователността от деления с остатък в матрична форма: Заместване във всяко
Математиците се занимават с обекти, като например числа, функции, матрици, прави в равнина и т.н., а също и с твърдения. Изказването е някакъв вид разказ
Изразът ще бъде ли изявление? Не, този запис е изразна форма на една променлива. Ако заместим валидни стойности вместо променлива, получаваме различни твърдения, които
Матричната алгебра върху пръстена R (R е пръстенът от цели числа, полето от рационални числа, полето от реални числа) е най-широко използваната алгебрична система с набор от операции
Детерминантата на квадратна матрица A е нейната числена характеристика, означена с или. Да започнем с детерминантите на матрици с малка размерност 1,2,3: ДЕФИНИЦИЯ. Pu
Известно е, че всяка трансформация на равнината ϕ, запазваща разстоянията, е или паралелна транслация към вектор, или завъртане около точката O на ъгъл α, или симетрия спрямо права
В този раздел изучаваме само една област - областта на комплексните числа ℂ. От геометрична гледна точка това е равнина, а от алгебрична гледна точка е
Всъщност вече сме конструирали полето от комплексни числа в предишния параграф. Поради изключителното значение на полето на комплексните числа, ние представяме неговото директно изграждане. Помислете за пространство с
Полето на комплексните числа ни дава ново свойство - наличието на неидентичен непрекъснат автоморфизъм (изоморфизъм към себе си). Комплексното число се нарича спрегнато към и картата
Нека представим комплексно число като вектор. Дължината на този вектор, т.е. величината се нарича модул на комплексно число и се обозначава. Ще наричаме количеството норма на числото, понякога е по-удобно да използваме e
Правило (2) от параграфа ни дава правото да определим експонентата на чисто имагинерно число: Наистина, така дефинираната функция има следните свойства: &
Линеен полином при винаги има корен. Квадратният трином вече не винаги има корени върху полето от реални числа. Нека е квадратен трином над полето от комплексни числа (). Конвой
Нека “ ” е отношение на еквивалентност в множеството M. За елемент ние го означаваме с класа на еквивалентност. Тогава множеството M се разделя на обединение от класове на еквивалентност; всеки елемент от M at
на променливи над поле е прост елемент от пръстена 
, тоест не може да бъде представено като продукт , където и са полиноми с коефициенти от , различни от константи.
