Какво означава да запишеш под формата на неравенство. Линейни неравенства. Подробна теория с примери. Свойства на числовите неравенства

Тоест, първо се записва променливата, включена в неравенството, след което, използвайки знака за членство ∈, те показват към кой числов интервал принадлежат стойностите на тази променлива. В този случай изразът х∈ [ 2 ; 8 ] показва, че променливата х,включени в неравенството 2 ≤ х≤ 8, приема всички стойности между 2 и 8 включително. За тези стойности неравенството ще бъде вярно.

Обърнете внимание на факта, че отговорът се записва с квадратни скоби, тъй като границите на неравенството 2 ≤ х≤ 8 , а именно числата 2 и 8 принадлежат на множеството решения на това неравенство.

Множеството от решения на неравенството 2 ≤ х≤ 8 може да се представи и с помощта на координатна линия:

Тук границите на числовия интервал 2 и 8 съответстват на границите на неравенството 2 ≤ х х 2 ≤ х≤ 8 .

В някои източници се наричат ​​границите, които не принадлежат на числената празнина отворен .

Те се наричат ​​отворени, тъй като числовият интервал остава отворен поради факта, че неговите граници не принадлежат на този числов интервал. Празният кръг на координатната линия на математиката се нарича перфорирана точка . Да пробиеш точка означава да я изключиш от числовия интервал или от множеството решения на неравенство.

И в случай, че границите принадлежат на числовия интервал, те се извикват затворен(или затворени), тъй като такива граници затварят (затварят) числена празнина. Запълненият кръг на координатната линия също показва, че границите са затворени.

Има разновидности на числови интервали. Нека разгледаме всеки един от тях.

номерен лъч

номерен лъч x ≥ a, където а х-решаване на неравенството.

Нека бъде а= 3 . Тогава неравенството x ≥ aще приеме формата х≥ 3 . Решенията на това неравенство са всички числа, които са по-големи от 3, включително самото число 3.

Начертайте числов лъч, даден от неравенството х≥ 3, на координатната права. За да направите това, маркирайте върху него точка с координата 3 и останалата част зона отдясноподчертайте с тирета. Откроява се дясната страна, тъй като решенията на неравенството х≥ 3 са числа по-големи от 3. И по-големите числа на координатната права са разположени вдясно

х≥ 3 , а областта, отбелязана със щрихи, съответства на набора от стойности х, които са решения на неравенството х≥ 3 .

Точка 3, която е границата на числовия лъч, е показана като запълнен кръг, тъй като границата на неравенството х≥ 3 принадлежи на множеството от неговите решения.

В писмен вид числовата права, дадена от неравенството x ≥ a,

[ а; +∞)

Вижда се, че от едната страна границата е оградена с квадратна скоба, а от другата с кръгла скоба. Това се дължи на факта, че едната граница на числовия лъч му принадлежи, а другата не, тъй като самата безкрайност няма граници и се разбира, че от другата страна няма число, което да затваря този числов лъч.

Като се има предвид, че една от границите на числовата права е затворена, тази празнина често се нарича затворен номерен лъч.

Нека напишем отговора на неравенството х≥ 3 с помощта на нотация на числови лъчи. Имаме променлива ае 3

х ∈ [ 3 ; +∞)

Този израз казва, че променливата хвключени в неравенството х≥ 3, приема всички стойности от 3 до плюс безкрайност.

С други думи, всички числа от 3 до плюс безкрайност са решения на неравенството х≥ 3 . Граница 3 принадлежи на множеството от решения поради неравенството х≥ 3 не е строго.

Затворен числов лъч се нарича също числов интервал, който се дава от неравенството x ≤ a .Решения на неравенството x ≤ a а ,включително самото число а.

Например, ако а х≤ 2 . На координатната линия граница 2 ще бъде изобразена като запълнен кръг, а цялата област ще бъде разположена наляво, ще бъде подчертано с тирета. Този път лявата страна е подчертана, тъй като решенията на неравенството х≤ 2 са числа по-малки от 2. И по-малките числа на координатната права са разположени вляво

х≤ 2 , а пунктираната област съответства на набора от стойности х, които са решения на неравенството х≤ 2 .

Точка 2, която е границата на числовия лъч, е показана като запълнен кръг, тъй като границата на неравенството х≤ 2 принадлежи на множеството от неговите решения.

Нека напишем отговора на неравенството х≤ 2 с помощта на нотация на числови лъчи:

х ∈ (−∞ ; 2 ]

х≤ 2. Границата 2 принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството х≤ 2 не е строго.

Отворен номерен лъч

Отворен номерен лъчсе нарича числов интервал, който се дава от неравенството x > a, където ае границата на това неравенство, х- решение на неравенството.

Отворената числова права е подобна в много отношения на затворената числова права. Разликата е, че границата ане принадлежи на интервала, както и границата на неравенството x > aне принадлежи към множеството от нейните решения.

Нека бъде а= 3 . Тогава неравенството приема формата х> 3 . Решенията на това неравенство са всички числа, които са по-големи от 3, с изключение на числото 3

На координатната права границата на отворения числов лъч, дадена от неравенството х> 3 ще се покаже като празен кръг. Цялата област вдясно ще бъде маркирана със щрихи:

Тук точка 3 съответства на границата на неравенството x > 3 , а областта, маркирана със щрихи, съответства на набора от стойности х, които са решения на неравенството x > 3 . Точка 3, която е границата на отворения числов лъч, е показана като празен кръг, тъй като границата на неравенството x > 3 не принадлежи към множеството от нейните решения.

x > a , обозначен както следва:

(а; +∞)

Скобите показват, че границите на отворения числов лъч не му принадлежат.

Нека напишем отговора на неравенството х> 3, използвайки обозначението на отворен числов лъч:

х ∈ (3 ; +∞)

Този израз казва, че всички числа от 3 до плюс безкрайност са решения на неравенството х> 3 . Граница 3 не принадлежи на множеството от решения поради неравенството х> 3 е строго.

Отворен числов лъч се нарича също числов интервал, който се дава от неравенството х< a , където ае границата на това неравенство, х— решение на неравенството . Решения на неравенството х< a всички числа са по-малки от а ,с изключение на броя а.

Например, ако а= 2 , тогава неравенството приема формата х< 2. На координатната линия граница 2 ще бъде показана като празен кръг, а цялата област вляво ще бъде маркирана със щрихи:

Тук точка 2 съответства на границата на неравенството х< 2 , а областта, отбелязана със щрихи, съответства на набора от стойности х, които са решения на неравенството х< 2. Точка 2, която е границата на отворения числов лъч, е показана като празен кръг, тъй като границата на неравенството х< 2 не принадлежи към множеството от нейните решения.

В писмена форма, отвореният номер лъч, даден от неравенството х< a , обозначен както следва:

(−∞ ; а)

Нека напишем отговора на неравенството х< 2, използвайки обозначението на отворен числов лъч:

х ∈ (−∞ ; 2)

Този израз казва, че всички числа от минус безкрайност до 2 са решения на неравенството х< 2. Граница 2 не принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството х< 2 е строг.

Линеен сегмент

сегмент a ≤ x ≤ b, където аи б х- решение на неравенството.

Нека бъде а = 2 , б= 8 . Тогава неравенството a ≤ x ≤ bприема формата 2 ≤ х≤ 8 . Решения на неравенството 2 ≤ х≤ 8 са всички числа, които са по-големи от 2 и по-малки от 8. Освен това границите на неравенството 2 и 8 принадлежат на множеството от неговите решения, тъй като неравенството 2 ≤ х≤ 8 не е строго.

Начертайте отсечката, дадена от двойното неравенство 2 ≤ х≤ 8 на координатната права. За да направите това, маркирайте точките върху него с координати 2 и 8 и маркирайте областта между тях с щрихи:

≤ х≤ 8 , а пунктираната област съответства на набора от стойности х х≤ 8 . Точки 2 и 8, които са границите на отсечката, са показани като запълнени кръгове, тъй като границите на неравенството 2 ≤ х≤ 8 принадлежат на множеството от неговите решения.

На буквата, отсечката, дадена от неравенството a ≤ x ≤ bобозначен както следва:

[ а; б ]

Квадратните скоби от двете страни показват, че границите на сегмента принадлежатнего. Нека запишем отговора на неравенството 2 ≤ х

х ∈ [ 2 ; 8 ]

Този израз казва, че всички числа от 2 до 8 включително са решения на неравенството 2 ≤ х≤ 8 .

Интервал

интервалсе нарича числов интервал, който се дава от двойното неравенство а< x < b , където аи бса границите на това неравенство, х- решение на неравенството.

Нека бъде а = 2, b = 8. Тогава неравенството а< x < b ще приеме формата 2< х< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Нека изобразим интервала на координатната линия:

Тук точки 2 и 8 съответстват на границите на неравенство 2< х< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений х < х< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < х< 8 не принадлежат множеству его решений.

В писмен вид интервалът, даден от неравенството а< x < b, обозначен както следва:

(а; б)

Скобите от двете страни показват, че границите на интервала не принадлежинего. Нека запишем отговора на неравенство 2< х< 8 с помощью этого обозначения:

х ∈ (2 ; 8)

Този израз казва, че всички числа от 2 до 8, с изключение на числата 2 и 8, са решения на неравенство 2< х< 8 .

Половин интервал

Половин интервалсе нарича числов интервал, който се дава от неравенството a ≤ x< b , където аи бса границите на това неравенство, х- решение на неравенството.

Полуинтервалът се нарича също числов интервал, който се дава от неравенството а< x ≤ b .

Към него принадлежи една от границите на полуинтервала. Оттук и името на този числов интервал.

В ситуацията с полуинтервал a ≤ x< b той (полуинтервалът) принадлежи на лявата граница.

И в ситуацията с половин интервал а< x ≤ b притежава дясната граница.

Нека бъде а= 2 , б= 8 . Тогава неравенството a ≤ x< b приема формата 2 ≤ х < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Начертайте интервала 2 ≤ х < 8 на координатной прямой:

х < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений х, които са решения на неравенството 2 ≤ х < 8 .

Точка 2, която е лява границаполуинтервал, е показан като запълнен кръг, тъй като лявата граница на неравенството 2 ≤ х < 8 принадлежимного от неговите решения.

И точка 8, която е дясна границаполуинтервалът е показан като празен кръг, тъй като дясната граница на неравенството 2 ≤ х < 8 не принадлежи много от неговите решения.

a ≤ x< b, обозначен както следва:

[ а; б)

Вижда се, че от едната страна границата е оградена с квадратна скоба, а от другата с кръгла скоба. Това се дължи на факта, че едната граница на полуинтервала му принадлежи, докато другата не. Нека запишем отговора на неравенството 2 ≤ х < 8 с помощью этого обозначения:

х ∈ [ 2 ; 8)

Този израз казва, че всички числа от 2 до 8, включително числото 2, но с изключение на числото 8, са решения на неравенството 2 ≤ х < 8 .

По същия начин, на координатната линия може да се изобрази полуинтервалът, даден от неравенството а< x ≤ b . Нека бъде а= 2 , б= 8 . Тогава неравенството а< x ≤ b ще приеме формата 2< х≤ 8 . Решенията на това двойно неравенство са всички числа, които са по-големи от 2 и по-малки от 8, с изключение на числото 2, но включващо числото 8.

Начертайте полуинтервал 2< х≤ 8 на координатната права:

Тук точки 2 и 8 съответстват на границите на неравенство 2< х≤ 8 , а пунктираната област съответства на набора от стойности х, които са решения на неравенство 2< х≤ 8 .

Точка 2, която е лява границаполуинтервал, е показан като празен кръг, тъй като лявата граница на неравенството 2< х≤ 8 не принадлежатмного от неговите решения.

И точка 8, която е дясна границаполуинтервал, е показан като запълнен кръг, тъй като дясната граница на неравенството 2< х≤ 8 принадлежимного от неговите решения.

В писмен вид полуинтервалът, даден от неравенството а< x ≤ b, обозначава така: а; б] . Нека запишем отговора на неравенство 2< х≤ 8, използвайки тази нотация:

х ∈ (2 ; 8 ]

Този израз казва, че всички числа от 2 до 8, с изключение на числото 2, но включително числото 8, са решения на неравенство 2< х≤ 8 .

Изображение на числови интервали върху координатната линия

Числовият диапазон може да бъде определен с помощта на неравенство или с помощта на нотация (скоби или квадратни скоби). И в двата случая човек трябва да може да представи този числов интервал на координатната линия. Нека разгледаме няколко примера.

Пример 1. Начертайте числовия интервал, даден от неравенството х> 5

Припомняме, че неравенство на формата х> ае посочен отворен числов лъч. В този случай променливата аравно на 5. Неравенство х> 5 е строго, така че границата 5 ще се показва като празен кръг. Ние се интересуваме от всички ценности х,които са по-големи от 5, така че цялата област вдясно ще бъде подчертана със щрихи:

Пример 2. Начертайте числовия интервал (5; +∞) върху координатната линия

Това е същият диапазон на числата, който изобразихме в предишния пример. Но този път се задава не с помощта на неравенството, а с помощта на нотацията на числовия интервал.

Граница 5 е заобиколена от скоби, което означава, че не принадлежи на празнината. Съответно кръгът остава празен.

Символът +∞ показва, че се интересуваме от всички числа, които са по-големи от 5. Съответно, цялата област вдясно от границата на 5 е маркирана със щрихи:

Пример 3. Начертайте числовия интервал (−5; 1) върху координатната линия.

Кръглите скоби от двете страни означават интервали. Границите на интервала не му принадлежат, така че границите на −5 и 1 ще бъдат показани на координатната линия като празни кръгове. Цялата област между тях ще бъде подчертана със щрихи:

Пример 4. Начертайте числовия интервал, даден от неравенството −5< х< 1

Това е същият диапазон на числата, който изобразихме в предишния пример. Но този път се уточнява не с помощта на интервалната нотация, а с помощта на двойно неравенство.

Неравенство на формата а< x < b , интервалът е зададен. В този случай променливата аравно на −5 и променливата бе равно на единица. Неравенство −5< х< 1 е строго, така че границите на −5 и 1 ще бъдат начертани като празни кръгове. Ние се интересуваме от всички ценности х,които са по-големи от −5, но по-малки от едно, така че цялата област между точките −5 и 1 ще бъде подчертана със щрихи:

Пример 5. Начертайте числови интервали [-1; 2] и

Този път ще начертаем две празнини на координатната линия наведнъж.

Квадратните скоби от двете страни означават сегменти. Границите на отсечката принадлежат на него, така че границите на сегментите [-1; 2] и ще бъдат изобразени на координатната линия като запълнени кръгове. Цялата област между тях ще бъде подчертана със щрихи.

За да видите ясно пропуските [−1; 2] и , първият може да бъде изобразен в горната част, а вторият - в долната. Така че нека го направим:

Пример 6. Начертайте числови интервали [-1; 2) и (2; 5)

Квадратните скоби от едната страна и кръглите скоби от другата означават полуинтервали. Една от границите на полуинтервала му принадлежи, а другата не.

В случай на полуинтервала [-1; 2) лявата граница ще му принадлежи, но дясната не. Това означава, че лявата граница ще бъде показана като запълнен кръг. Дясната граница ще се покаже като празен кръг.

И в случай на полуинтервала (2; 5] само дясната граница ще му принадлежи, но лявата не. Това означава, че лявата граница ще бъде показана като запълнен кръг. Ще бъде показана дясната граница като празен кръг.

Начертайте интервала [-1; 2) в горната част на координатната линия, а интервалът (2; 5] — в долната:

Примери за решаване на неравенства

Неравенство, което чрез идентични трансформации може да се сведе до формата брадва > b(или към гледката брадва< b ), ще се обадим линейно неравенство с една променлива.

В линейно неравенство брадва > b , хе променливата, чиито стойности трябва да бъдат намерени, ае коефициентът на тази променлива, бе границата на неравенството, която в зависимост от знака на неравенството може или да принадлежи на множеството от неговите решения, или да не му принадлежи.

Например, неравенство 2 х> 4 е неравенство на формата брадва > b. В него ролята на променливата аиграе числото 2, ролята на променлива б(гранично неравенство) играе числото 4.

Неравенство 2 х> 4 може да се направи още по-просто. Ако разделим и двете му части на 2, тогава получаваме неравенството х> 2

Полученото неравенство х> 2 също е неравенство на формата брадва > b, тоест линейно неравенство с една променлива. В това неравенство ролята на променливата аединицата играе. По-рано казахме, че коефициент 1 не се записва. Ролята на променливата биграе номер 2.

Въз основа на тази информация нека се опитаме да решим някои прости неравенства. По време на решението ще извършим елементарни трансформации на идентичност, за да получим неравенство на формата брадва > b

Пример 1. Решете неравенството х− 7 < 0

Добавете към двете страни на неравенството числото 7

х− 7 + 7 < 0 + 7

От лявата страна ще остане х, а дясната страна става равна на 7

х< 7

Чрез елементарни трансформации сме намалили неравенството х− 7 < 0 к равносильному неравенству х< 7 . Решениями неравенства х< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когато неравенството се доведе до формата х< a (или x > a), може да се счита за вече решен. Нашето неравенство х− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду х< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Нека напишем отговора с помощта на числов интервал. В този случай отговорът ще бъде отворен числов лъч (припомнете си, че числовият лъч се дава от неравенството х< a и се обозначава като (−∞ ; а)

х ∈ (−∞ ; 7)

На координатната линия граница 7 ще бъде показана като празен кръг, а цялата област вляво от границата ще бъде маркирана със щрихи:

За да проверим, вземаме произволно число от интервала (−∞ ; 7) и го заместваме в неравенството х< 7 вместо переменной х. Вземете например числото 2

2 < 7

Оказа се правилно числово неравенство, което означава, че решението е правилно. Да вземем друго число, например числото 4

4 < 7

Оказа се правилното числово неравенство. Така че решението е правилно.

И тъй като неравенството х< 7 равносильно исходному неравенству х - 7 < 0 , то решения неравенства х< 7 будут совпадать с решениями неравенства х - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство х - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Пример 2. Решете неравенство −4 х < −16

Разделете двете страни на неравенството на −4. Не забравяйте, че при разделянето на двете части на неравенството до отрицателно число, знак за неравенство промени в обратното:

Намалихме неравенството −4 х < −16 к равносильному неравенству х> 4 . Решения на неравенството х> 4 ще бъдат всички числа, които са по-големи от 4. Границата 4 не принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството е строго.

х> 4 на координатната линия и запишете отговора като числов интервал:

Пример 3. Решете неравенството 3y + 1 > 1 + 6г

Пренасрочване 6 гот дясната страна на лявата чрез смяна на знака. И ще прехвърлим 1 от лявата страна в дясната страна, като отново променим знака:

3г− 6г> 1 − 1

Ето подобни термини:

−3г > 0

Разделете двете страни на −3. Не забравяйте, че когато разделите двете части на неравенството на отрицателно число, знакът на неравенството се обръща:

Решения на неравенството г< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства г< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 4. Решете неравенството 5(х− 1) + 7 ≤ 1 − 3(х+ 2)

Нека разширим скобите в двете части на неравенството:

Преместване -3 хот дясната страна на лявата чрез смяна на знака. Ще прехвърлим термините −5 и 7 от лявата страна в дясната страна, като отново променим знаците:

Ето подобни термини:

Разделете двете страни на полученото неравенство на 8

Решения на неравенството са всички числа, които са по-малки от . Границата принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството не е строго.

Пример 5. Решете неравенството

Умножете двете страни на неравенството по 2. Така ще се отървете от дроба от лявата страна:

Сега преместваме 5 от лявата страна на дясната страна, като променим знака:

След като намалим подобни членове, получаваме неравенството 6 х> 1 . Разделете двете части на това неравенство на 6. Тогава получаваме:

Решенията на неравенството са всички числа, по-големи от . Границата не принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството е строго.

Начертайте набора от решения на неравенството върху координатната права и запишете отговора като числов интервал:

Пример 6. Решете неравенството

Умножете двете страни по 6

След като намалим подобни членове, получаваме неравенството 5 х< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Решения на неравенството х< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является х< 6 строгим.

Начертайте множеството от решения на неравенството х< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 7. Решете неравенството

Умножете двете страни на неравенството по 10

В полученото неравенство отворете скобите от лявата страна:

Прехвърляне на членове без хкъм дясната страна

Представяме сходни термини и в двете части:

Разделете двете части на полученото неравенство на 10

Решения на неравенството х≤ 3,5 са всички числа, които са по-малки от 3,5. Границата 3.5 принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството е х≤ 3,5 нестроги.

Начертайте множеството от решения на неравенството х≤ 3,5 на координатната линия и запишете отговора като числов интервал:

Пример 8. Решете неравенство 4< 4х< 20

За да решим такова неравенство, се нуждаем от променлива хсвободен от коефициента 4. Тогава можем да кажем в какъв интервал е решението на това неравенство.

За освобождаване на променлива хот коефициента, можете да разделите члена 4 хпо 4. Но правилото в неравенствата е, че ако разделим член на неравенството на някакво число, тогава същото трябва да се направи и с останалите членове, включени в това неравенство. В нашия случай трябва да разделим на 4 и трите члена на неравенството 4< 4х< 20

Решения на неравенство 1< х< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < х< 5 является строгим.

Начертайте множеството от решения на неравенство 1< х< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 9. Решете неравенството −1 ≤ −2 х≤ 0

Разделете всички членове на неравенството на −2

Получаваме неравенството 0,5 ≥ х≥ 0 . Желателно е да се напише двойно неравенство, така че по-малкият член да се намира отляво, а по-големият - отдясно. Следователно, ние пренаписваме нашето неравенство, както следва:

0 ≤ х≤ 0,5

Решения на неравенството 0 ≤ х≤ 0,5 са всички числа, които са по-големи от 0 и по-малки от 0,5. Границите 0 и 0.5 принадлежат на множеството от решения, тъй като неравенството 0 ≤ х≤ 0,5 не е строго.

Начертайте множеството от решения на неравенството 0 ≤ х≤ 0,5 на координатната права и запишете отговора като числов интервал:

Пример 10. Решете неравенството

Умножете и двете неравенства по 12

Нека отворим скобите в полученото неравенство и представим подобни термини:

Разделете двете страни на полученото неравенство на 2

Решения на неравенството х≤ −0,5 са всички числа, които са по-малки от −0,5. Границата −0.5 принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството х≤ −0,5 е нестрога.

Начертайте множеството от решения на неравенството х≤ −0,5 на координатната права и запишете отговора като числов интервал:

Пример 11. Решете неравенството

Умножете всички части на неравенството по 3

Сега извадете 6 от всяка част от полученото неравенство

Разделяме всяка част от полученото неравенство на −1. Не забравяйте, че когато разделите всички части на неравенството на отрицателно число, знакът на неравенството се обръща:

Решения на неравенството 3 ≤ а≤ 9 са всички числа, които са по-големи от 3 и по-малки от 9. Границите 3 и 9 принадлежат на множеството от решения, тъй като неравенството 3 ≤ а≤ 9 не е строго.

Начертайте множеството от решения на неравенството 3 ≤ а≤ 9 на координатната линия и запишете отговора като числов интервал:

Когато няма решения

Има неравенства, които нямат решения. Такова е например неравенството 6 х> 2(3х+ 1). В процеса на решаване на това неравенство ще стигнем до факта, че знакът за неравенство > не оправдава местоположението му. Да видим как изглежда.

Разширявайки скобите от дясната страна на това неравенство, получаваме 6 х> 6х+ 2 . Пренасрочване 6 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака, получаваме 6 х− 6х> 2 . Даваме подобни членове и получаваме неравенството 0 > 2, което не е вярно.

За по-добро разбиране пренаписваме намаляването на подобни термини от лявата страна, както следва:

Получаваме неравенството 0 х> 2 . От лявата страна е продуктът, който ще бъде равен на нула за всеки х. И нулата не може да бъде по-голяма от числото 2. Оттук и неравенството 0 х> 2 няма решения.

х> 2 , то няма решения и първоначалното неравенство 6 х> 2(3х+ 1) .

Пример 2. Решете неравенството

Умножете двете страни на неравенството по 3

В полученото неравенство прехвърляме члена 12 хот дясната страна на лявата чрез смяна на знака. След това даваме подобни условия:

Дясната страна на полученото неравенство за произволно хще бъде равно на нула. И нулата не е по-малко от -8. Оттук и неравенството 0 х< −8 не имеет решений.

И ако намаленото еквивалентно неравенство е 0 х< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Отговор: няма решения.

Когато има безкрайни решения

Има неравенства, които имат безкраен брой решения. Такива неравенства стават верни за всеки х .

Пример 1. Решете неравенството 5(3х− 9) < 15х

Нека разширим скобите от дясната страна на неравенството:

Пренасрочете 15 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака:

Ето подобни термини от лявата страна:

Получаваме неравенството 0 х< 45 . От лявата страна е продуктът, който ще бъде равен на нула за всеки х. А нулата е по-малко от 45. Значи решението на неравенството 0 х< 45 е произволно число.

х< 45 има безкраен брой решения, тогава първоначалното неравенство 5(3х− 9) < 15х има същите решения.

Отговорът може да бъде записан като числов интервал:

х ∈ (−∞; +∞)

Този израз казва, че решенията на неравенството 5(3х− 9) < 15х са всички числа от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Пример 2. Решете неравенството: 31(2х+ 1) − 12х> 50х

Нека разширим скобите от лявата страна на неравенството:

Да пренасрочим 50 хот дясната страна на лявата чрез смяна на знака. И ние ще прехвърлим член 31 от лявата страна в дясната страна, като отново променим знака:

Ето подобни термини:

Получаваме неравенството 0 x >-31 . От лявата страна е продуктът, който ще бъде равен на нула за всеки х. И нулата е по-голяма от −31. Така че решението на неравенството 0 х< −31 е произволно число.

И ако намаленото еквивалентно неравенство е 0 x >−31 има безкраен брой решения, тогава първоначалното неравенство 31(2х+ 1) − 12х> 50х има същите решения.

Нека запишем отговора като числов интервал:

х ∈ (−∞; +∞)

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Неравенството е другата страна на равенството. Материалът на тази статия дава дефиниция на неравенството и първоначална информация за него в контекста на математиката.

Концепцията за неравенство, подобно на концепцията за равенство, се свързва с момента на сравнение на два обекта. Докато равенството означава „едно и също“, неравенството, напротив, показва разликите в обектите, които се сравняват. Например и са едни и същи обекти или равни. и - обекти, които се различават един от друг или не са еднакви.

Неравенството на обектите се определя от семантичното натоварване в думите по-горе - отдолу (неравенство на базата на височина); по-дебел - по-тънък (неравенство на базата на дебелината); по-дълго - по-късо (неравенство на базата на дължина) и т.н.

Може да се говори както за равенството-неравенство на обектите като цяло, така и за сравняването на техните индивидуални характеристики. Да предположим, че са дадени два обекта: и . Без съмнение тези обекти не са еднакви, т.е. като цяло те не са равни: въз основа на размера и цвета. Но в същото време можем да твърдим, че техните форми са равни - и двата обекта са кръгове.

В контекста на математиката семантичното натоварване на неравенството се запазва. В този случай обаче говорим за неравенството на математическите обекти: числа, стойности на изрази, стойности на количества (дължина, площ и т.н.), вектори, фигури и т.н.

Не равни, повече, по-малко

В зависимост от целите на задачата, самият факт на изясняване на неравенството на обектите може да бъде ценен, но обикновено след установяване на факта на неравенството се изяснява коя стойност е по-голяма и коя по-малка.

Значението на думите „повече“ и „по-малко“ ни е интуитивно познато от самото начало на живота ни. Очевидно е умението да се определи превъзходството на даден обект по отношение на размери, количество и т.н. Но в крайна сметка всяко сравнение ни води до сравнение на числа, които определят някои характеристики на сравняваните обекти. По същество установяваме кое число е по-голямо и кое по-малко.

Прост пример:

Пример 1

Сутринта температурата на въздуха беше 10 градуса по Целзий; в два часа следобед тази цифра беше 15 градуса. Въз основа на сравнението на естествени числа можем да кажем, че стойността на температурата сутринта е по-малка от стойността й в два часа следобед (или в два часа следобед температурата се повишава, става по-висока от температурата сутринта).

Записване на неравенства с помощта на знаци

Има общоприети обозначения за записване на неравенства:

Определение 1

• знакът "не е равно", който е зачеркнат знак "равно": ≠. Този знак се намира между неравни обекти. Например: 5 ≠ 10 пет не е равно на десет;
• по-голямо от знака: > и по-малко от знака:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | казва, че сегмент A B е по-голям от сегмент C D ;
• знак по-голям или равен: ≥ и знак по-малък или равен: ≤ .

По-долу ще анализираме тяхното значение по-подробно. Нека дадем определение на неравенствата чрез формата на тяхното записване.

Определение 2

неравенства- алгебрични изрази, които имат смисъл и се записват със знаците ≠ , > ,< , ≤ , ≥ .

Строги и нестроги неравенства

Признаци на строги неравенстваса знаците по-голямо и по-малко от: > и< Неравенства, составленные с их помощью – строги неравенства.

Признаци на нестроги неравенства- това са знаците "по-голямо или равно на" и "по-малко или равно на": ≥ и ≤. Изготвените с тяхна помощ неравенства са − нестроги неравенства.

Обсъдихме по-горе как се прилагат строги неравенства. Защо се използват нестроги неравенства? На практика такива неравенства могат да се използват за дефиниране на случаи, описани с думите „не повече“ и „не по-малко“. Фразата "не повече" означава по-малко или същото - това ниво на сравнение съответства на знака "по-малко или равно на" ≤ . От своя страна „не по-малко“ означава същото или повече и това е знакът „по-голямо или равно на“ ≥. По този начин нестрогите неравенства, за разлика от строгите, правят възможно обектите да бъдат равни.

Истински и фалшиви неравенства

Истинско неравенство- неравенството, което отговаря на горното значение на неравенството. Иначе е така неверен.

Ето няколко прости примера за илюстрация:

Пример 2

Неравенството 5 ≠ 5 е невярно, защото всъщност числата 5 и 5 са ​​равни.

Или това сравнение:

Пример 3

Да предположим, че S е площта на определена фигура, в този случай S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Близки по значение на термина „истинско неравенство“ са изразите „справедливо неравенство“, „има неравенство“ и т.н.

Свойства на неравенствата

Нека опишем свойствата на неравенствата. Очевиден факт е, че един обект не може да бъде неравен на себе си и това е първото свойство на неравенството. Второто свойство звучи така: ако първият обект не е равен на втория, тогава вторият не е равен на първия.

Нека опишем свойствата, съответстващи на знаците по-голямо или по-малко от:

Определение 5

• антирефлексност. Това свойство може да се изрази по следния начин: за всеки обект k, неравенствата k > k и k< k неверны;
• антисиметрия. Това свойство казва, че ако първият обект е по-голям или по-малък от втория, тогава вторият обект е съответно по-малък или по-голям от първия. Пишем: ако m > n, тогава n< m . Или: если m < n , то n >м
• транзитивност. В буквална нотация посоченото свойство ще изглежда така: ако е посочено, че a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b и b > c, което означава a > c . Това свойство е интуитивно и естествено: ако първият обект е по-голям от втория, а вторият е по-голям от третия, тогава става ясно, че първият обект е дори повече от третия.

Знаците на нестроги неравенства също имат някои свойства:

Определение 6

• рефлексивност: a ≥ a и a ≤ a (това включва и случая, когато a = a);
• антисиметрия: ако a ≤ b, тогава b ≥ a. Ако a ≥ b , тогава b ≤ a ;
• транзитивност: ако a ≤ b и b ≤ c , тогава очевидно a ≤ c . И също така: ако a ≥ b и b ≥ c, тогава a ≥ c.

Двойно, тройно и т.н. неравенства

Свойството на транзитивност прави възможно записването на двойни, тройни и т.н. неравенства, които по същество са вериги от неравенства. Например: двойно неравенство - e > f > g или тройно неравенство k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Обърнете внимание, че е удобно да се записват неравенствата като вериги, които включват различни знаци: равни, неравни и знаци за строги и нестроги неравенства. Например х = 2< y ≤ z < 15 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства на икони Повече ▼ (> ), или по-малък (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени нестроги.икона не е равно (≠ ) стои самостоятелно, но трябва да решавате и примери с такава икона през цялото време. И ние ще го направим.)

Самата икона няма много ефект върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на крайния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Както ще видим по-долу, в примерите. Има някакви шеги...

Неравенствата, както и равенствата, са верен и неверен.Тук всичко е просто, без трикове. Да кажем 5 > 2 е правилното неравенство. 5 < 2 е неправилно.

Такава подготовка работи за неравенства всякакъв види просто до ужас.) Просто трябва да извършите правилно две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е типично, косите в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повторят. Тези действия се наричат ​​така:

Идентичност трансформации на неравенства.

Трансформациите на идентичност на неравенствата са много подобни на идентичните трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите се изплъзват покрай главата и ... пристигнаха.) Ето защо ще подчертая тези разлики по-специално. И така, първата идентична трансформация на неравенствата:

1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете части на неравенството. Всякакви. Знакът на неравенството няма да се промени.

На практика това правило се прилага като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната част (и обратно) със смяна на знака. С промяна в знака на термина, а не с неравенство! Правилото един към един е същото като правилото за уравнения. Но следните идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги подчертавам в червено:

2. И двете части на неравенството могат да се умножат (разделят) по същотоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.

3. И двете части на неравенството могат да се умножат (разделят) по същотоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че едно уравнение може да се умножи/дели по всичко. И за произволно число, и за израз с x. Стига да не е нула. Той, уравнението, не е нито горещ, нито студен от това.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

Добър пример за дълга памет. Пишем неравенство, което не предизвиква съмнения:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Има ли възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете части на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Заблуждаване на народа! Но щом знакът на неравенството се обърне, всичко си идва на мястото:

15 < -6

За лъжите и измамата - не просто се кълна.) "Забравих да променя знака за неравенство..."- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това несериозно и неусложнено правило е наранило толкова много хора! Които са забравили ...) Така че се кълна. Може би помни...)

Тези, които са особено внимателни, ще забележат, че неравенството не може да се умножи по израз с x. Уважавайте внимателно!) А защо не? Отговорът е прост. Не знаем знака на този израз с x. Тя може да бъде положителна, отрицателна... Следователно не знаем какъв знак за неравенство да сложим след умножението. Промяна или не? Неизвестен. Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване / разделяне на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички идентични трансформации на неравенствата. Нека ви напомня отново, че работят за всякаквинеравенства. И сега можете да преминете към конкретни типове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейни неравенства се наричат ​​неравенства, в които x е в първа степен и няма деление на x. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се разрешават тези неравенства? Те са много лесни за решаване! А именно: с помощта намаляваме най-обърканото линейно неравенство направо към отговора.Това е цялото решение. Ще подчертая основните моменти на решението. За да избегнем глупави грешки.)

Решаваме това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме по същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Обърнете специално внимание на знака за неравенство!

Първата стъпка е най-често срещаната. С x - наляво, без x - вдясно ... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на прехвърлените членове.

Знакът за неравенство се запазва:

х-5х > -5-3

Представяме подобни.

Знакът за неравенство се запазва:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете части на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът на неравенството ще бъде обърнат:

х < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

Внимание! Точка 2 е начертана бяла, т.е. небоядисани. Празен отвътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарисувах я толкова здрава нарочно. Такава точка (празна, не здрава!)) в математиката се нарича перфорирана точка.

Останалите числа по оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Извънредните числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да ... Просто трябва да запомните, че увеличаването на числата върви по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надяснодвойки и числата 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Когато се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнително число в неравенството и си мислим: "Две е по-малко от две? Разбира се, че не!" Точно. Неравенство 2 < 2 погрешно.Двойката не е добра за отговор.

Достатъчен ли е единичен? със сигурност. По-малко ... И нулата е добра, и -17, и 0,34 ... Да, всички числа, които са по-малко от две, са добри! И дори 1,9999 .... Поне малко, но по-малко!

Така че маркираме всички тези числа върху оста на числата. Как? Тук има опции. Първият вариант е люпене. Задържаме курсора на мишката върху снимката (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на топките x, които съответстват на условието x, е засенчена < 2 . Това е всичко.

Нека разгледаме втория вариант във втория пример:

х ≥ -0,5

Начертайте ос, маркирайте числото -0,5. Като този:

Забелязахте ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисана. Това означава, че -0,5 включени в отговора.Тук, между другото, проверка и объркване на някого. Ние заместваме:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0,5 не е нищо повече от -0,5! Има още икона...

Всичко е наред. При нестрого неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И се равнявагодни и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста, остава да отбележим всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам диапазона от подходящи стойности на x окови(от думата дъга) вместо излюпване. Задръжте курсора на мишката над снимката и вижте този лък.

Няма особена разлика между люпене и арки. Правете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте ръцете. При по-сложни задачи излюпването е по-малко очевидно. Може да се объркате.

Ето как се начертават линейни неравенства по оста. Преминаваме към следващата сингулярност на неравенствата.

Напишете отговор за неравенствата.

Беше добре в уравненията.) Намерихме x и написахме отговора, например: x = 3. При неравенствата има две форми на писане на отговори. Едно - под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:

х< 2.

Това е пълен отговор.