Намерете общо решение на нехомогенна система от линейни уравнения. Как се решава система от уравнения? Методи за решаване на системи от уравнения

Решение. А= . Нека намерим r(A). защото матрицаИ има ред 3x4, тогава най-високият ред на минори е 3. Освен това всички минори от трети ред са равни на нула (проверете сами). Средства, r(A)< 3. Возьмем главный основен минор = -5-4 = -9 ≠ 0. Следователно r(A) =2.

Нека помислим матрица СЪС = .

Малка терца поръчка ≠ 0. Така че r(C) = 3.

Тъй като r(A) ≠ r(C) , тогава системата е непоследователна.

Пример 2.Определете съвместимостта на система от уравнения

Решете тази система, ако се окаже, че е последователна.

Решение.

A = , C = . Очевидно е, че r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Тъй като detC = 0, тогава r(C)< 4. Нека помислим незначителен трети поръчка, разположен в горния ляв ъгъл на матрицата A и C: = -23 ≠ 0. Така че r(A) = r(C) = 3.

Номер неизвестен в система n=3. Това означава, че системата има уникално решение. В този случай четвъртото уравнение представлява сумата от първите три и може да бъде игнорирано.

Според формулите на Крамерполучаваме x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Матричен метод. Метод на Гаус

система нлинейни уравненияс ннеизвестните могат да бъдат решени матричен методпо формулата X = A -1 B (при Δ ≠ 0), което се получава от (2) чрез умножаване на двете части по A -1.

Пример 1. Решете система от уравнения

матричен метод (в раздел 2.2 тази система е решена с помощта на формулите на Cramer)

Решение. Δ = 10 ≠ 0 A = - неизродена матрица.

= (проверете това сами, като направите необходимите изчисления).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Отговор: .

От практична гледна точкаматричен метод и формули Крамерса свързани с голямо количество изчисления, така че се дава предпочитание Метод на Гаус, което се състои в последователно елиминиране на неизвестни. За целта системата от уравнения се свежда до еквивалентна система с триъгълна разширена матрица (всички елементи под главния диагонал са равни на нула). Тези действия се наричат ​​движение напред. От получената триъгълна система променливите се намират чрез последователни замествания (обратно).

Пример 2. Решете системата по метода на Гаус

(По-горе тази система беше решена с помощта на формулата на Крамър и матричния метод).

Решение.

Директен ход. Нека запишем разширената матрица и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до триъгълна форма:

~ ~ ~ ~ .

Получаваме система

Обратно движение.От последното уравнение намираме х 3 = -6 и заместете тази стойност във второто уравнение:

х 2 = - 11/2 - 1/4х 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

х 1 = 2 -х 2 + х 3 = 2+4-6 = 0.

Отговор: .

2.5. Общо решение на система от линейни уравнения

Нека е дадена система от линейни уравнения = b i(аз=). Нека r(A) = r(C) = r, т.е. системата е колаборативна. Всеки минор от порядък r, различен от нула, е основен минор.Без загуба на общност ще приемем, че базисният минор се намира в първите r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) редове и колони на матрица A. След като отхвърлихме последните m-r уравнения на системата, записваме a съкратена система:

който е еквивалентен на оригиналния. Нека назовем неизвестните x 1 ,….x rосновен и x r +1 ,…, x rбезплатно и преместете членовете, съдържащи свободни неизвестни, в дясната страна на уравненията на съкратената система. Получаваме система по отношение на основните неизвестни:

което за всеки набор от стойности на свободни неизвестни x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rима само едно решение x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),открити по правилото на Крамър.

Съответно решениесъкратената и следователно оригиналната система има формата:

X(C 1 ,…, C n-r) = - общо решение на системата.

Ако в общото решение присвоим някои числени стойности на свободните неизвестни, получаваме решение на линейната система, наречено частично решение.

Пример. Установете съвместимост и намерете общо решение на системата

Решение. А = , C = .

Така как r(A)= r(C) = 2 (вижте това сами), тогава оригиналната система е последователна и има безкраен брой решения (тъй като r< 4).

Нека анализираме два вида решения на системи от уравнения:

1. Решаване на системата чрез метода на заместване.
2. Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.

За да се реши системата от уравнения по метода на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Експрес. От всяко уравнение изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решете полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.

Разрешавам система по член по член метод на събиране (изваждане).трябва да:
1. Изберете променлива, за която ще направим еднакви коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравнения, което води до уравнение с една променлива.
3. Решете полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.

Решението на системата са пресечните точки на графиките на функциите.

Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.

Пример #1:

Нека решим по метода на заместване

Решаване на система от уравнения чрез метода на заместване

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)

1. Експресирайте
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, което означава, че е най-лесно да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y

2. След като сме го изразили, заместваме 3+10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1

3. Решете полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете скобите)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y, нека намерим x, в първата точка, където сме го изразили, заместваме y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Обичайно е да пишем точки на първо място пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)

Пример #2:

Нека решим с помощта на метода на събиране (изваждане) член по член.

Решаване на система от уравнения чрез метода на събиране

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)

1. Избираме променлива, да кажем, че избираме x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Извадете второто от първото уравнение, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Намерете x. Заместваме намереното y във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6

Пресечната точка ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)

Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн безплатно. Без майтап.

Системите от уравнения се използват широко в икономическия сектор за математическо моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнение чрез начертаването му ще изглежда като права линия, всички точки на която са решения на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава намиране на стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство или установяване, че подходящи стойности на x и y не съществуват.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или не съществува решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака за равенство има стойност или е изразена чрез функция, такава система е разнородна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите; те могат да бъдат колкото желаете.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графични и матрични методи, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаване на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на използване на конкретен метод

Решаването на примери за системи от линейни уравнения в общообразователната програма за 7. клас е съвсем просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери на системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшето образование.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива по отношение на втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем решение на пример за система от линейни уравнения от клас 7, използвайки метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решаването на този пример е лесно и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решаването чрез заместване също е неподходящо.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

Когато се търсят решения на системи, използващи метода на добавяне, уравненията се добавят член по член и се умножават по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.

Прилагането на този метод изисква практика и наблюдение. Решаването на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне, когато има 3 или повече променливи, не е лесно. Алгебричното добавяне е удобно за използване, когато уравненията съдържат дроби и десетични знаци.

Алгоритъм за решение:

1. Умножете двете страни на уравнението по определено число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата изисква намиране на решение за не повече от две уравнения; броят на неизвестните също не трябва да бъде повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава за въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да решите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за 3 системи от уравнения. Методът се състои в построяването на графики на всяко уравнение, включено в системата, върху координатната ос. Координатите на пресечните точки на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Нека да разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, за всяка линия са конструирани две точки, стойностите на променливата x са избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x са намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

Следният пример изисква намиране на графично решение на система от линейни уравнения: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при конструирането става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали една система има решение или не; винаги е необходимо да се построи графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален вид таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица от една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична матрица; такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като матрични числа; едно уравнение е един ред от матрицата.

За матричен ред се казва, че е ненулев, ако поне един елемент от реда не е нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| е детерминантата на матрицата. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, просто трябва да умножите диагоналните елементи един по друг. За опцията „три по три“ има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в работата.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение ви позволява да намалите тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливи, а b n са свободни членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решения на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решения чрез заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението по метода на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да намали системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания се намира стойността на една променлива в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, докато 3 и 4 са съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решаването на някое от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците в средното училище, но е един от най-интересните начини за развиване на изобретателността на децата, записани в програми за напреднали в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване изчисленията обикновено се извършват, както следва:

Коефициентите на уравненията и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.

Първо, запишете матрицата, с която ще работите, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и необходимите алгебрични операции продължават до постигане на резултата.

Резултатът трябва да бъде матрица, в която един от диагоналите е равен на 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до единична форма. Не трябва да забравяме да извършваме изчисления с числа от двете страни на уравнението.

Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате с изброяване на множество неизвестни.

Безплатното използване на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи са с приложен характер. Някои методи за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.

Където х* - едно от решенията на нехомогенната система (2) (например (4)), (E−A+A)образува ядрото (нулево пространство) на матрицата А.

Нека направим скелетно разлагане на матрицата (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Където Q n×n−r- рангова матрица (Q)=n−r, С n−r×n-рангова матрица (S)=n−r.

Тогава (13) може да се запише в следния вид:

x=x*+Q·k, ∀ к ∈ Рн-р.

Където k=Sz.

Така, процедура за намиране на общо решениесистеми от линейни уравнения, използващи псевдообратна матрица, могат да бъдат представени в следната форма:

1. Изчисляване на псевдообратната матрица А + .
2. Изчисляваме конкретно решение на нехомогенната система от линейни уравнения (2): х*=А + b.
3. Проверяваме съвместимостта на системата. За да направите това, ние изчисляваме А.А. + b. Ако А.А. + b≠b, тогава системата е непоследователна. В противен случай продължаваме процедурата.
4. Нека да го разберем E−A+A.
5. Извършване на разлагане на скелета E−A + A=Q·S.
6. Изграждане на решение

x=x*+Q·k, ∀ к ∈ Рн-р.

Решаване на система от линейни уравнения онлайн

Онлайн калкулаторът ви позволява да намерите общото решение на система от линейни уравнения с подробни обяснения.

Днес разглеждаме метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Можете да прочетете какви са тези системи в предишната статия, посветена на решаването на същите SLAE с помощта на метода на Cramer. Методът на Гаус не изисква никакви специфични познания, имате нужда само от внимание и последователност. Въпреки факта, че от математическа гледна точка училищното обучение е достатъчно за прилагането му, учениците често срещат трудности при овладяването на този метод. В тази статия ще се опитаме да ги сведем до нищо!

Метод на Гаус

М Метод на Гаус– най-универсалният метод за решаване на SLAE (с изключение на много големи системи). За разлика от това, което беше обсъдено по-рано, той е подходящ не само за системи, които имат едно решение, но и за системи, които имат безкраен брой решения. Тук има три възможни варианта.

1. Системата има еднозначно решение (детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула);
2. Системата има безкраен брой решения;
3. Няма решения, системата е несъвместима.

Така че имаме система (нека има едно решение) и ще я решим с помощта на метода на Гаус. Как работи?

Методът на Гаус се състои от два етапа - прав и обратен.

Директен ход на метода на Гаус

Първо, нека напишем разширената матрица на системата. За да направите това, добавете колона с безплатни членове към основната матрица.

Цялата същност на метода на Гаус е да доведе тази матрица до стъпаловидна (или, както се казва, триъгълна) форма чрез елементарни трансформации. В тази форма трябва да има само нули под (или над) главния диагонал на матрицата.

Какво можеш да правиш:

1. Можете да пренареждате редовете на матрицата;
2. Ако има равни (или пропорционални) редове в матрица, можете да премахнете всички освен един от тях;
3. Можете да умножите или разделите низ с произволно число (с изключение на нула);
4. Нулевите редове се премахват;
5. Можете да добавите низ, умножен по число, различно от нула, към низ.

Метод на обратен Гаус

След като трансформираме системата по този начин, едно неизвестно Xn става известен и можете да намерите всички останали неизвестни в обратен ред, замествайки вече известните x в уравненията на системата, до първото.

Когато интернет е винаги под ръка, можете да решите система от уравнения по метода на Гаус на линия.Просто трябва да въведете коефициентите в онлайн калкулатора. Но трябва да признаете, много по-приятно е да осъзнаете, че примерът е решен не от компютърна програма, а от вашия собствен мозък.

Пример за решаване на система от уравнения по метода на Гаус

А сега - пример, за да стане всичко ясно и разбираемо. Нека е дадена система от линейни уравнения и трябва да я решите по метода на Гаус:

Първо записваме разширената матрица:

Сега нека направим трансформациите. Спомняме си, че трябва да постигнем триъгълен вид на матрицата. Нека умножим първия ред по (3). Умножете втория ред по (-1). Добавете втория ред към първия и получете:

След това умножете 3-тия ред по (-1). Нека добавим третия ред към втория:

Нека умножим първия ред по (6). Нека умножим втория ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

Voila - системата е приведена в подходящ вид. Остава да открием неизвестните:

Системата в този пример има уникално решение. Ще разгледаме решаването на системи с безкраен брой решения в отделна статия. Може би в началото няма да знаете откъде да започнете да трансформирате матрицата, но след подходяща практика ще хванете цаката и ще разбиете SLAE с помощта на метода на Гаус като ядки. И ако изведнъж попаднете на SLA, което се окаже твърде твърд орех, свържете се с нашите автори! можете като оставите заявка в Кореспондентския офис. Заедно ще решим всеки проблем!