Сума от ъгли на n-ъгълник Теорема. Сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180 o (n-2). Доказателство. От някакъв връх на изпъкнал n-ъгълник изчертаваме всичките му диагонали. Тогава n-ъгълникът ще бъде разделен на n-2 триъгълника. Във всеки триъгълник сборът от ъглите е 180° и тези ъгли съставляват ъглите на n-ъгълника. Следователно сумата от ъглите на n-ъгълник е 180 o (n-2).
Вторият начин за доказване на теоремата. Сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180 o (n-2). Доказателство 2. Нека O е вътрешна точка на изпъкнал n-ъгълник A 1 ...A n. Нека го свържем с върховете на този многоъгълник. Тогава n-ъгълникът ще бъде разделен на n триъгълника. Във всеки триъгълник сборът от ъглите е 180 градуса. Тези ъгли съставляват ъглите на n-ъгълника и още 360 градуса. Следователно сумата от ъглите на n-ъгълник е 180 o (n-2).
Упражнение 3 Докажете, че сборът от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на 360 градуса. Доказателство. Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на 180° минус съответния вътрешен ъгъл. Следователно сумата от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равна на 180 o n минус сумата от вътрешните ъгли. Тъй като сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равна на 180 o (n-2), тогава сумата от външните ъгли ще бъде равна на 180 o n o (n-2) = 360 o.
Упражнение 4 Колко са ъглите на правилен: а) триъгълник; б) четириъгълник; в) петоъгълник; г) шестоъгълник; д) осмоъгълник; е) десетоъгълник; ж) дванадесетоъгълник? Отговор: а) 60 o; б) 90 o; в) 108 o; г) 120 o; д) 135°; е) 144°; ж) 150°.
Упражнение 12* Кое най-голямото число остри ъглиможе да има изпъкнал n-ъгълник? Решение. Тъй като сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е равна на 360 градуса, тогава изпъкналият многоъгълник не може да има повече от три тъпи ъгъла, следователно не може да има повече от три вътрешни остри ъгъла. Отговор. 3.
Счупен
Определение
прекъсната линия, или накратко, прекъсната линия, е крайна последователност от сегменти, така че един от краищата на първия сегмент служи като край на втория, другият край на втория сегмент служи като край на третия и т.н. В този случай съседните сегменти не лежат на една и съща права линия. Тези сегменти се наричат връзки на прекъснатата линия.
Видове полилиния
Прекъснатата линия се нарича затворен, ако началото на първия сегмент съвпада с края на последния.
Прекъснатата линия може да се пресича, да се докосва или да се припокрива. Ако няма такива особености, тогава се нарича такава прекъсната линия просто.
Многоъгълници
Определение
Проста затворена начупена линия заедно с част от равнината, ограничена от нея, се нарича многоъгълник.
Коментирайте
Във всеки връх на многоъгълник неговите страни определят определен ъгъл на многоъгълника. Тя може да бъде или по-малко разширена, или по-разширена.
Имот
Всеки многоъгълник има ъгъл по-малък от $180^\circ$.
Доказателство
Нека е даден многоъгълник $P$.
Нека начертаем някаква права линия, която не го пресича. Ще го преместим успоредно на многоъгълника. В даден момент за първи път ще получим права $a$, която има поне една обща точка с многоъгълника $P$. Многоъгълникът лежи от едната страна на тази права (някои от точките му лежат на права $a$).
Правата $a$ съдържа поне един връх на многоъгълника. Две от страните му, разположени от едната страна на правата $a$, се събират в нея (включително и в случая, когато една от тях лежи на тази права). Това означава, че в този връх ъгълът е по-малък от разгънатия.
Определение
Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако лежи от едната страна на всеки ред, съдържащ неговата страна. Ако многоъгълник не е изпъкнал, той се нарича неизпъкнал.
Коментирайте
Изпъкнал многоъгълник е пресечната точка на полуравнини, ограничени от прави, които съдържат страните на многоъгълника.
Свойства на изпъкнал многоъгълник
Изпъкнал многоъгълник има всички ъгли, по-малки от $180^\circ$.
Отсечка, свързваща произволни две точки от изпъкнал многоъгълник (в частност всеки от неговите диагонали), се съдържа в този многоъгълник.
Доказателство
Нека докажем първото свойство
Вземете произволен ъгъл $A$ на изпъкнал многоъгълник $P$ и неговата страна $a$, излизаща от върха $A$. Нека $l$ е права, съдържаща страна $a$. Тъй като многоъгълникът $P$ е изпъкнал, той лежи от едната страна на правата $l$. Следователно неговият ъгъл $A$ също лежи от едната страна на тази права. Това означава, че ъгъл $A$ е по-малък от развития ъгъл, тоест по-малък от $180^\circ$.
Нека докажем второто свойство
Вземете произволни две точки $A$ и $B$ от изпъкналия многоъгълник $P$. Многоъгълникът $P$ е пресечната точка на няколко полуравнини. Отсечката $AB$ се съдържа във всяка от тези полуравнини. Следователно той също се съдържа в многоъгълника $P$.
Определение
Диагонал на многоъгълникнарича сегмент, свързващ неговите несъседни върхове.
Теорема (за броя на диагоналите на n-ъгълник)
Броят на диагоналите на изпъкнал $n$-ъгълник се изчислява по формулата $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Доказателство
От всеки връх на n-ъгълник е възможно да начертаете $n-3$ диагонали (не можете да начертаете диагонал към съседни върхове или към самия този връх). Ако преброим всички такива възможни сегменти, тогава ще има $n\cdot(n-3)$ от тях, тъй като има $n$ върхове. Но всеки диагонал ще се брои два пъти. По този начин броят на диагоналите на n-ъгълник е равен на $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Теорема (за сумата от ъглите на n-ъгълник)
Сумата от ъглите на изпъкнал $n$-ъгълник е $180^\circ(n-2)$.
Доказателство
Помислете за $n$-ъгълника $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Нека вземем произволна точка $O$ вътре в този многоъгълник.
Сборът от ъглите на всички триъгълници $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ е равен на $180^\circ\cdot n$.
От друга страна, тази сума е сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълника и общия ъгъл $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Тогава сумата от ъглите на разглеждания $n$-ъгълник е равна на $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Последица
Сумата от ъглите на неизпъкнал $n$-ъгълник е $180^\circ(n-2)$.
Доказателство
Да разгледаме многоъгълника $A_1A_2\ldots A_n$, чийто единствен ъгъл $\angle A_2$ не е изпъкнал, т.е. $\angle A_2>180^\circ$.
Нека означим сумата от неговия улов като $S$.
Нека свържем точките $A_1A_3$ и разгледаме многоъгълника $A_1A_3\ldots A_n$.
Сумата от ъглите на този многоъгълник е:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\ъгъл A_2+\ъгъл 1+\ъгъл 2=S-\ъгъл A_2+180^\circ-\ъгъл A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \ъгъл A_1A_2A_3+\ъгъл A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Следователно $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Ако оригиналният многоъгълник има повече от един неизпъкнал ъгъл, тогава описаната по-горе операция може да се извърши с всеки такъв ъгъл, което ще доведе до доказване на твърдението.
Теорема (за сумата от външни ъгли на изпъкнал n-ъгълник)
Сумата от външните ъгли на изпъкнал $n$-ъгълник е $360^\circ$.
Доказателство
Външният ъгъл при върха $A_1$ е равен на $180^\circ-\angle A_1$.
Сумата от всички външни ъгли е равна на:
$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.
Вътрешен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от две съседни страни на многоъгълник. Например, ∠ ABCе вътрешен ъгъл.
Външен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от едната страна на многоъгълника и продължението на другата страна. Например, ∠ L.B.C.е външен ъгъл.
Броят на ъглите на един многоъгълник винаги е равен на броя на неговите страни. Това важи както за вътрешни, така и за външни ъгли. Въпреки че за всеки връх на многоъгълник могат да бъдат построени два равни външни ъгъла, винаги се взема предвид само един от тях. Следователно, за да намерите броя на ъглите на всеки многоъгълник, трябва да преброите броя на неговите страни.
Сума от вътрешни ъгли
Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е равна на произведението от 180° и броя на страните минус две.
с = 2д(н - 2)
Където се сумата от ъглите, 2 д- два прави ъгъла (т.е. 2 90 = 180 °), и н- брой страни.
Ако рисуваме отгоре Амногоъгълник А Б В Г Д Евсички възможни диагонали, след което го разделяме на триъгълници, чийто брой ще бъде два по-малък от страните на многоъгълника:
Следователно сумата от ъглите на многоъгълника ще бъде равна на сумата от ъглите на всички получени триъгълници. Тъй като сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180° (2 д), тогава сумата от ъглите на всички триъгълници ще бъде равна на произведението 2 дпо тяхното количество:
с = 2д(н- 2) = 180 4 = 720°
От тази формула следва, че сумата от вътрешните ъгли е постоянна стойности зависи от броя на страните на многоъгълника.
Сума от външни ъгли
Сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 360° (или 4 д).
с = 4д
Където се сумата от външните ъгли, 4 д- четири прави ъгъла (т.е. 4 90 = 360°).
Сумата от външните и вътрешните ъгли във всеки връх на многоъгълника е 180° (2 д), тъй като те са съседни ъгли. Например, ∠ 1 и ∠ 2 :
Следователно, ако многоъгълник има нпартии (и нвърхове), след това сумата от външни и вътрешни ъгли за всички нвърховете ще бъдат равни на 2 дн. Така че от тази сума 2 днза да получите само сумата от външните ъгли, трябва да извадите сумата от вътрешните ъгли от нея, тоест 2 д(н - 2):
с = 2дн - 2д(н - 2) = 2дн - 2дн + 4д = 4д
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
