\(\blacktriangleright\) Двустенен ъгъл– ъгълът, образуван от две полуравнини и правата \(a\), която е тяхната обща граница.
\(\blacktriangleright\) За да намерите ъгъла между равнините \(\xi\) и \(\pi\) , трябва да намерите линейния ъгъл (и пикантенили прав) двустенен ъгъл, образуван от равнините \(\xi\) и \(\pi\) :
Стъпка 1: нека \(\xi\cap\pi=a\) (линията на пресичане на равнините). В равнината \(\xi\) маркираме произволна точка \(F\) и чертаем \(FA\perp a\) ;
Стъпка 2: изпълнете \(FG\perp \pi\) ;
Стъпка 3: според TTP (\(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) – наклонен, \(AG\) – проекция) имаме: \(AG\perp a\) ;
Стъпка 4: Ъгълът \(\angle FAG\) се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от равнините \(\xi\) и \(\pi\) .
Обърнете внимание, че триъгълникът \(AG\) е правоъгълен.
Забележете също, че равнината \(AFG\), конструирана по този начин, е перпендикулярна и на двете равнини \(\xi\) и \(\pi\) . Следователно можем да го кажем по различен начин: ъгъл между равнините\(\xi\) и \(\pi\) е ъгълът между две пресичащи се прави \(c\in \xi\) и \(b\in\pi\), образуващи равнина, перпендикулярна на и \(\xi\ ) и \(\pi\) .
Задача 1 #2875
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Дадена е четириъгълна пирамида, всички ръбове на която са равни, а основата е квадрат. Намерете \(6\cos \alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между неговите съседни странични стени.
Нека \(SABCD\) е дадена пирамида (\(S\) е връх), чиито ръбове са равни на \(a\) . Следователно всички странични лица са равни равностранни триъгълници. Нека намерим ъгъла между лицата \(SAD\) и \(SCD\) .
Нека направим \(CH\perp SD\) . защото \(\триъгълник SAD=\триъгълник SCD\), тогава \(AH\) също ще бъде височината на \(\триъгълник SAD\) . Следователно по дефиниция \(\angle AHC=\alpha\) е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между стените \(SAD\) и \(SCD\) .
Тъй като основата е квадрат, тогава \(AC=a\sqrt2\) . Отбележете също, че \(CH=AH\) е височината на равностранен триъгълник със страна \(a\), следователно \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тогава по косинусовата теорема от \(\триъгълник AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Отговор: -2
Задача 2 #2876
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) се пресичат под ъгъл, чийто косинус е равен на \(0,2\). Равнините \(\pi_2\) и \(\pi_3\) се пресичат под прав ъгъл, а пресечната линия на равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) е успоредна на пресечната линия на равнини \(\pi_2\) и \(\ pi_3\) . Намерете синуса на ъгъла между равнините \(\pi_1\) и \(\pi_3\) .
Нека пресечната линия на \(\pi_1\) и \(\pi_2\) е права линия \(a\), пресечната линия на \(\pi_2\) и \(\pi_3\) е права линия \(b\), а пресечната линия \(\pi_3\) и \(\pi_1\) – права \(c\) . Тъй като \(a\паралел b\) , то \(c\паралел а\паралел b\) (според теоремата от раздела на теоретичния справочник „Геометрия в пространството“ \(\rightarrow\) „Въведение в стереометрията, паралелизъм”).
Нека маркираме точките \(A\in a, B\in b\), така че \(AB\perp a, AB\perp b\) (това е възможно, тъй като \(a\parallel b\) ). Нека маркираме \(C\in c\), така че \(BC\perp c\) , следователно, \(BC\perp b\) . След това \(AC\perp c\) и \(AC\perp a\) .
Наистина, тъй като \(AB\perp b, BC\perp b\) , тогава \(b\) е перпендикулярен на равнината \(ABC\) . Тъй като \(c\паралел a\паралел b\), тогава правите \(a\) и \(c\) също са перпендикулярни на равнината \(ABC\), и следователно на всяка права от тази равнина, в частност , линията \ (AC\) .
Следва, че \(\ъгъл BAC=\ъгъл (\pi_1, \pi_2)\), \(\ъгъл ABC=\ъгъл (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\ъгъл BCA=\ъгъл (\pi_3, \pi_1)\). Оказва се, че \(\триъгълник ABC\) е правоъгълен, което означава \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Отговор: 0,2
Задача 3 #2877
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Дадени са прави \(a, b, c\), пресичащи се в една точка, и ъгълът между всеки две от тях е равен на \(60^\circ\) . Намерете \(\cos^(-1)\alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между равнината, образувана от прави \(a\) и \(c\) и равнината, образувана от прави \( b\ ) и \(c\) . Дайте отговора си в градуси.
Нека правите се пресичат в точка \(O\) . Тъй като ъгълът между всеки две от тях е равен на \(60^\circ\), тогава и трите прави линии не могат да лежат в една и съща равнина. Нека отбележим точката \(A\) на правата \(a\) и да начертаем \(AB\perp b\) и \(AC\perp c\) . Тогава \(\триъгълник AOB=\триъгълник AOC\)като правоъгълник по протежение на хипотенузата и остър ъгъл. Следователно \(OB=OC\) и \(AB=AC\) .
Нека направим \(AH\perp (BOC)\) . След това по теоремата за три перпендикуляра \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Тъй като \(AB=AC\) , тогава \(\триъгълник AHB=\триъгълник AHC\)като правоъгълник по дължината на хипотенузата и крака. Следователно \(HB=HC\) . Това означава, че \(OH\) е ъглополовяща на ъгъла \(BOC\) (тъй като точката \(H\) е на еднакво разстояние от страните на ъгъла).
Обърнете внимание, че по този начин конструирахме и линейния ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от равнината, образувана от правите \(a\) и \(c\), и равнината, образувана от правите \(b\) и \(c \) . Това е ъгълът \(ACH\) .
Нека намерим този ъгъл. Тъй като избрахме точката \(A\) произволно, нека я изберем така, че \(OA=2\) . След това в правоъгълник \(\триъгълник AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Тъй като \(OH\) е ъглополовяща, тогава \(\angle HOC=30^\circ\) , следователно, в правоъгълник \(\триъгълник HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]След това от правоъгълника \(\триъгълник ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Отговор: 3
Задача 4 #2910
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) се пресичат по правата \(l\), на която лежат точките \(M\) и \(N\). Отсечките \(MA\) и \(MB\) са перпендикулярни на правата \(l\) и лежат съответно в равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) и \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Намерете \(3\cos\alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) .
Триъгълникът \(AMN\) е правоъгълен, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), откъдето \ Триъгълникът \(BMN\) е правоъгълен, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), от което \Записваме косинусовата теорема за триъгълника \(AMB\): \ Тогава \ Тъй като ъгълът \(\alpha\) между равнините е остър ъгъл, а \(\angle AMB\) се оказа тъп, тогава \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тогава \
Отговор: 1,25
Задача 5 #2911
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) е паралелепипед, \(ABCD\) е квадрат със страна \(a\), точка \(M\) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката \(A_1\) към равнината \ ((ABCD)\) , освен това \(M\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата \(ABCD\) . Известно е, че \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Намерете ъгъла между равнините \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) . Дайте отговора си в градуси.
Нека построим \(MN\) перпендикулярно на \(AB\), както е показано на фигурата.
Тъй като \(ABCD\) е квадрат със страна \(a\) и \(MN\perp AB\) и \(BC\perp AB\) , тогава \(MN\паралел BC\) . Тъй като \(M\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата, тогава \(M\) е средата на \(AC\), следователно \(MN\) е средната линия и \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) е проекцията на \(A_1N\) върху равнината \((ABCD)\), а \(MN\) е перпендикулярна на \(AB\), тогава, съгласно теоремата за трите перпендикуляра, \ (A_1N\) е перпендикуляр на \(AB \) и ъгълът между равнините \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) е \(\ъгъл A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Отговор: 60
Задача 6 #1854
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
В квадрат \(ABCD\) : \(O\) – пресечната точка на диагоналите; \(S\) – не лежи в равнината на квадрата, \(SO \perp ABC\) . Намерете ъгъла между равнините \(ASD\) и \(ABC\), ако \(SO = 5\) и \(AB = 10\) .
Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник SAO\) и \(\триъгълник SDO\) са равни по две страни и ъгълът между тях (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\ъгъл SOA = \ъгъл SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , защото \(O\) – пресечна точка на диагоналите на квадрата, \(SO\) – обща страна) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\триъгълник ASD\ ) – равнобедрен. Точка \(K\) е средата на \(AD\), тогава \(SK\) е височината в триъгълника \(\триъгълник ASD\), а \(OK\) е височината в триъгълника \( AOD\) \(\Rightarrow\) равнината \(SOK\) е перпендикулярна на равнините \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – линеен ъгъл, равен на желания двустенен ъгъл.
В \(\триъгълник SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – равнобедрен правоъгълен триъгълник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Отговор: 45
Задача 7 #1855
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
В квадрат \(ABCD\) : \(O\) – пресечната точка на диагоналите; \(S\) – не лежи в равнината на квадрата, \(SO \perp ABC\) . Намерете ъгъла между равнините \(ASD\) и \(BSC\), ако \(SO = 5\) и \(AB = 10\) .
Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник SAO\) , \(\триъгълник SDO\) , \(\триъгълник SOB\) и \(\триъгълник SOC\) са равни по две страни и ъгълът между тях (\(SO \perp ABC \) \(\Стрелка надясно\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), защото \(O\) – пресечна точка на диагоналите на квадрата, \(SO\) – обща страна) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \триъгълник ASD\) и \(\триъгълник BSC\) са равнобедрени. Точка \(K\) е средата на \(AD\), тогава \(SK\) е височината в триъгълника \(\триъгълник ASD\), а \(OK\) е височината в триъгълника \( AOD\) \(\ Стрелка надясно\) равнината \(SOK\) е перпендикулярна на равнината \(ASD\) . Точка \(L\) е средата на \(BC\), тогава \(SL\) е височината в триъгълника \(\триъгълник BSC\), а \(OL\) е височината в триъгълника \( BOC\) \(\ Стрелка надясно\) равнина \(SOL\) (известна още като равнина \(SOK\)) е перпендикулярна на равнината \(BSC\) . Така получаваме, че \(\angle KSL\) е линеен ъгъл, равен на желания двустенен ъгъл.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Стрелка надясно\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – височини в еднакви равнобедрени триъгълници, които могат да бъдат намерени с помощта на Питагоровата теорема: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Може да се забележи, че \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) за триъгълник \(\triangle KSL\) важи обратната Питагорова теорема \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – правоъгълен триъгълник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .
Отговор: 90
Подготовката на учениците за полагане на Единния държавен изпит по математика като правило започва с повтаряне на основни формули, включително тези, които ви позволяват да определите ъгъла между равнините. Въпреки факта, че този раздел от геометрията е разгледан достатъчно подробно в него училищна програма, много абсолвенти трябва да повторят основен материал. Разбирайки как да намерят ъгъла между равнините, учениците от гимназията ще могат бързо да изчислят правилния отговор при решаване на задача и да разчитат на получаване на прилични оценки за резултатите от преминаването на единния държавен изпит.
Основни нюанси
За да сте сигурни, че въпросът как да намерите двустенен ъгъл не създава затруднения, препоръчваме да следвате алгоритъм за решение, който ще ви помогне да се справите със задачите на Единния държавен изпит.
Първо трябва да определите правата линия, по която се пресичат равнините.
След това трябва да изберете точка на тази линия и да начертаете два перпендикуляра към нея.
Следващата стъпка е намирането тригонометрична функциядвустенен ъгъл, образуван от перпендикуляри. Най-удобно това става с помощта на получения триъгълник, част от който е ъгълът.
Отговорът ще бъде стойността на ъгъла или неговата тригонометрична функция.
Подготовката за изпитния тест с Школково е ключът към вашия успех
По време на часовете в навечерието на полагането на Единния държавен изпит много ученици се сблъскват с проблема с намирането на определения и формули, които им позволяват да изчислят ъгъла между 2 равнини. Училищният учебник не винаги е под ръка точно когато е необходим. И за да намерите необходимите формули и примери за тяхното правилно приложение, включително за намиране на ъгъла между равнините в интернет онлайн, понякога трябва да отделите много време.
Математическият портал Школково предлага нов подход за подготовка за държавния изпит. Класовете на нашия уебсайт ще помогнат на учениците да идентифицират най-трудните секции за себе си и да запълнят пропуските в знанията.
Подготвихме и ясно представихме всички необходими материали. Основните определения и формули са представени в раздела „Теоретична информация”.
За да разберете по-добре материала, предлагаме също да практикувате подходящите упражнения. В раздела „Каталог“ е представен голям избор от задачи с различна степен на сложност, например на. Всички задачи съдържат подробен алгоритъм за намиране на верния отговор. Списъкът с упражнения на уебсайта непрекъснато се допълва и актуализира.
Докато се упражняват да решават задачи, които изискват намиране на ъгъла между две равнини, учениците имат възможност да запазят всяка задача онлайн като „Любими“. Благодарение на това те ще могат да се връщат към него толкова пъти, колкото е необходимо, и да обсъждат напредъка на неговото решение с учител в училищеили учител.
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
ДВУГЪЛЕН ЪГЪЛ Учител по математика ГОУ средно училище № 10 Еременко М.А.
Основни цели на урока: Въвеждане на понятието двустенен ъгъл и неговия линеен ъгъл.Разгледайте задачи за прилагане на тези понятия.
Определение: Двустенният ъгъл е фигура, образувана от две полуравнини с обща гранична права линия.
Големината на двустенния ъгъл е големината на неговия линеен ъгъл. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - линеен двустенен ъгъл ACD B
Нека докажем, че всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни един на друг. Нека разгледаме два линейни ъгъла AOB и A 1 OB 1. Лъчите OA и OA 1 лежат на едно и също лице и са перпендикулярни на OO 1, така че са еднакви посоки. Лъчите OB и OB 1 също са съвместно насочени. Следователно ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (като ъгли със съпосочни страни).
Примери за двустенни ъгли:
Определение: Ъгълът между две пресичащи се равнини е най-малкият от двустенните ъгли, образувани от тези равнини.
Задача 1: В куб A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и CDD 1. Отговор: 90 o.
Задача 2: В куб A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и CDA 1. Отговор: 45 o.
Задача 3: В куб A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и BDD 1. Отговор: 90 o.
Задача 4: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ACC 1 и BDD 1. Отговор: 90 o.
Задача 5: В куб A ... D 1 намерете ъгъла между равнините BC 1 D и BA 1 D. Решение: Нека O е средата на B D. A 1 OC 1 – линейният ъгъл на двустенния ъгъл A 1 B D C 1.
Задача 6: В тетраедъра DABC всички ръбове са равни, точка M е средата на ребро AC. Докажете, че ∠ DMB е линейният ъгъл на двустенния ъгъл BACD.
Решение: Триъгълниците ABC и ADC са правилни, следователно BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и следователно ∠ DMB е линейният ъгъл на двустенния ъгъл DACB.
Задача 7: От върха B на триъгълника ABC, чиято страна AC лежи в равнината α, е прекаран перпендикуляр BB 1 към тази равнина. Намерете разстоянието от точка B до правата AC и до равнината α, ако AB=2, ∠ВАС=150 0 и двустенният ъгъл ВАСВ 1 е равен на 45 0.
Решение: ABC е тъп триъгълник с тъп ъгъл A, следователно основата на височината BC лежи върху продължението на страната AC. VC – разстоянието от точка B до AC. BB 1 – разстоянието от точка B до равнината α
2) Тъй като AC ⊥BK, то AC⊥KB 1 (по теоремата, обратна на теоремата за три перпендикуляра). Следователно ∠VKV 1 е линейният ъгъл на двустенния ъгъл BASV 1 и ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:
В планиметрията основните обекти са линии, отсечки, лъчи и точки. Лъчите, излизащи от една точка, образуват една от техните геометрични фигури - ъгъл.
Знаем, че линейният ъгъл се измерва в градуси и радиани.
В стереометрията към обектите се добавя равнина. Фигура, образувана от права линия a и две полуравнини с обща граница a, които не принадлежат на една и съща равнина в геометрията, се нарича двустенен ъгъл. Полуравнините са лицата на двустенния ъгъл. Правата a е ребро на двустенен ъгъл.
Двустенният ъгъл, подобно на линейния ъгъл, може да бъде наименуван, измерен и конструиран. Това е, което трябва да разберем в този урок.
Нека намерим двустенния ъгъл върху модела на тетраедър ABCD.
Двустенен ъгъл с ръб AB се нарича CABD, където точките C и D принадлежат на различни лица на ъгъла, а ръбът AB се нарича в средата
Около нас има доста обекти с елементи под формата на двустенен ъгъл.
В много градове в парковете са монтирани специални пейки за помирение. Пейката е направена под формата на две наклонени равнини, събиращи се към центъра.
При изграждането на къщи често се използва така нареченият двускатен покрив. На тази къща покривът е направен под формата на двустенен ъгъл от 90 градуса.
Двустенният ъгъл също се измерва в градуси или радиани, но как да го измерим.
Интересно е да се отбележи, че покривите на къщите лежат на гредите. А обшивката на гредите образува два покривни наклона под определен ъгъл.
Нека прехвърлим изображението върху чертежа. На чертежа, за да се намери двустенен ъгъл, на ръба му се отбелязва точка B. От тази точка се изтеглят два лъча BA и BC, перпендикулярни на ръба на ъгъла. Ъгълът ABC, образуван от тези лъчи, се нарича линеен двустенен ъгъл.
Градусната мярка на двустенния ъгъл е равна на градусната мярка на неговия линеен ъгъл.
Нека измерим ъгъла AOB.
Градусната мярка на даден двустенен ъгъл е шестдесет градуса.
Безкраен брой линейни ъгли могат да бъдат начертани за двустенен ъгъл; важно е да знаете, че всички те са равни.
Нека разгледаме два линейни ъгъла AOB и A1O1B1. Лъчите OA и O1A1 лежат на едно и също лице и са перпендикулярни на правата OO1, така че са еднакви посоки. Лъчите OB и O1B1 също са съвместно насочени. Следователно ъгъл AOB е равен на ъгъл A1O1B1 като ъгли със съпосочни страни.
Така че двустенният ъгъл се характеризира с линеен ъгъл, а линейните ъгли са остри, тъпи и прави. Нека разгледаме модели на двустенни ъгли.
Тъп ъгъл е, ако неговият линеен ъгъл е между 90 и 180 градуса.
Прав ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е 90 градуса.
Остър ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е от 0 до 90 градуса.
Нека докажем едно от важните свойства на линейния ъгъл.
Равнината на линейния ъгъл е перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл.
Нека ъгъл AOB е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. По построение лъчите AO и OB са перпендикулярни на права a.
Равнината AOB минава през две пресичащи се прави AO и OB съгласно теоремата: Равнина минава през две пресичащи се прави и само една.
Правата a е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина, което означава, че въз основа на перпендикулярността на правата и равнината правата a е перпендикулярна на равнината AOB.
За решаване на задачи е важно да можете да построите линеен ъгъл на даден двустенен ъгъл. Построете линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб AB за тетраедър ABCD.
Говорим за двустенен ъгъл, който е образуван първо от ръб AB, едно лице ABD и второ лице ABC.
Ето един начин да го изградите.
Нека начертаем перпендикуляр от точка D към равнината ABC.Отбележете точка M като основа на перпендикуляра. Припомнете си, че в тетраедър основата на перпендикуляра съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на тетраедъра.
Нека начертаем наклонена линия от точка D, перпендикулярна на ръба AB, маркираме точка N като основа на наклонената линия.
В триъгълника DMN отсечката NM ще бъде проекцията на наклонената DN върху равнината ABC. Според теоремата за трите перпендикуляра ръбът AB ще бъде перпендикулярен на проекцията NM.
Това означава, че страните на ъгъла DNM са перпендикулярни на ръба AB, което означава, че построеният ъгъл DNM е търсеният линеен ъгъл.
Нека разгледаме пример за решаване на задача за изчисляване на двустенен ъгъл.
Равнобедреният триъгълник ABC и правилният триъгълник ADB не лежат в една равнина. Отсечката CD е перпендикулярна на равнината ADB. Намерете двустенния ъгъл DABC, ако AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Двустенният ъгъл на DABC е равен на неговия линеен ъгъл. Нека изградим този ъгъл.
Нека начертаем наклонената CM перпендикулярна на ръба AB, тъй като триъгълникът ACB е равнобедрен, тогава точка M ще съвпадне със средата на ръба AB.
Правата CD е перпендикулярна на равнината ADB, което означава, че е перпендикулярна на правата DM, лежаща в тази равнина. А отсечката MD е проекция на наклонената CM върху равнината ADV.
По построение правата AB е перпендикулярна на наклонената CM, което означава, че по теоремата за трите перпендикуляра е перпендикулярна на проекцията MD.
И така, два перпендикуляра CM и DM са открити към ръба AB. Това означава, че те образуват линеен ъгъл CMD на двустенния ъгъл DABC. И всичко, което трябва да направим, е да го намерим от правоъгълния триъгълник CDM.
Така че отсечката SM е медианата и височината на равнобедрения триъгълник ACB, тогава според Питагоровата теорема катетът SM е равен на 4 cm.
От правоъгълния триъгълник DMB според Питагоровата теорема катетът DM е равен на два корена от три.
Косинусът на ъгъл от правоъгълен триъгълник е равен на отношението на съседния катет MD към хипотенузата CM и е равен на три корена от три по две. Това означава, че ъгълът CMD е 30 градуса.
Стереометрия
Глава 9. Прави и равнини в пространството
9.8. Двустенен ъгъл и неговият линеен ъгъл
Една равнина е разделена от лежаща в нея права на две полуравнини.
Определение 1
Фигура, образувана от две полуравнини, излизащи от една права линия, заедно с частта от пространството, ограничена от тези полуравнини, се нарича двустенен ъгъл. Полуравнините се наричат лица, а тяхната обща права се нарича ребро на двустенен ъгъл.
Лицата на двустенния ъгъл разделят пространството на две области: вътрешната област на даден двустенен ъгъл и външната му област.
Определение 2
Два двустенни ъгъла се наричат равни, ако единият от тях може да се комбинира с другия, така че техните вътрешни области да са подравнени.
Определение 3
Ъгълът между два перпендикуляра към ръба на двустенния ъгъл, изтеглени по лицата му от една точка на ръба, се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл.
1 . Ъгълът (), получен, когато двустенен ъгъл е пресечен от равнина, перпендикулярна на неговия ръб, е линейният ъгъл на дадения двустенен ъгъл.
2. Големината на линейния ъгъл не зависи от положението на неговия връх върху ръба, т.е.
3. Линейните ъгли на еднакви двустенни ъгли са равни (следва от определения 2 и 3).
Определение 4
От два двустенни ъгъла този, който има по-голям (по-малък) линеен ъгъл, се нарича по-голям (по-малък). Мерните единици за двустенните ъгли са тези двустенни ъгли, чиито линейни ъгли са равни
Понятие за двустенен ъгъл
За да въведем концепцията за двустенен ъгъл, нека първо си припомним една от аксиомите на стереометрията.
Всяка равнина може да се раздели на две полуравнини на правата $a$, лежащи в тази равнина. В този случай точките, лежащи в една и съща полуравнина, са от едната страна на правата $a$, а точките, лежащи в различни полуравнини, са от противоположните страни на правата $a$ (фиг. 1).
Снимка 1.
Принципът за конструиране на двустенен ъгъл се основава на тази аксиома.
Определение 1
Фигурата се нарича двустенен ъгъл, ако се състои от права и две полуравнини на тази права, които не принадлежат на една и съща равнина.
В този случай се наричат полуравнините на двустенния ъгъл ръбове, а правата, разделяща полуравнините, е двустенен ръб(Фиг. 1).
Фигура 2. Двустенен ъгъл
Градусна мярка на двустенния ъгъл
Определение 2
Нека изберем произволна точка $A$ на ръба. Ъгълът между две прави, лежащи в различни полуравнини, перпендикулярни на ребро и пресичащи се в точка $A$, се нарича линеен двустенен ъгъл(фиг. 3).
Фигура 3.
Очевидно всеки двустенен ъгъл има безкраен брой линейни ъгли.
Теорема 1
Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са равни един на друг.
Доказателство.
Нека разгледаме два линейни ъгъла $AOB$ и $A_1(OB)_1$ (фиг. 4).
Фигура 4.
Тъй като лъчите $OA$ и $(OA)_1$ лежат в една и съща полуравнина $\alpha $ и са перпендикулярни на една и съща права линия, то те са еднакви по посока. Тъй като лъчите $OB$ и $(OB)_1$ лежат в една и съща полуравнина $\beta $ и са перпендикулярни на една и съща права линия, то те са съпосочни. Следователно
\[\ъгъл AOB=\ъгъл A_1(OB)_1\]
Поради произволността на избора на линейни ъгли. Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са равни един на друг.
Теоремата е доказана.
Определение 3
Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на линейния ъгъл на двустенния ъгъл.
Примерни проблеми
Пример 1
Нека са ни дадени две неперпендикулярни равнини $\alpha $ и $\beta $, които се пресичат по правата $m$. Точка $A$ принадлежи на равнината $\beta$. $AB$ е перпендикулярна на права $m$. $AC$ е перпендикулярна на равнината $\alpha $ (точка $C$ принадлежи на $\alpha $). Докажете, че ъгъл $ABC$ е линеен ъгъл на двустенен ъгъл.
Доказателство.
Нека начертаем картина според условията на задачата (фиг. 5).
Фигура 5.
За да го докажете, припомнете си следната теорема
Теорема 2:Права линия, минаваща през основата на наклонена, е перпендикулярна на нея, перпендикулярна на нейната проекция.
Тъй като $AC$ е перпендикулярна на равнината $\alpha $, тогава точка $C$ е проекцията на точка $A$ върху равнината $\alpha $. Следователно $BC$ е проекция на наклонената $AB$. По теорема 2 $BC$ е перпендикулярен на ръба на двустенния ъгъл.
Тогава ъгъл $ABC$ удовлетворява всички изисквания за определяне на линеен двустенен ъгъл.
Пример 2
Двустенният ъгъл е $30^\circ$. Върху едното лице лежи точка $A$, която се намира на разстояние $4$ см от другото лице.Намерете разстоянието от точката $A$ до ръба на двустенния ъгъл.
Решение.
Нека да разгледаме фигура 5.
По условие имаме $AC=4\cm$.
А-приори степенна мяркадвустенен ъгъл, имаме, че ъгълът $ABC$ е равен на $30^\circ$.
Триъгълник $ABC$ е правоъгълен триъгълник. По определение на синуса на остър ъгъл
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
