Стандартни методи, но стигна до задънена улица с друг пример.
Каква е трудността и къде може да има пречка? Да оставим настрана насапуненото въже, да анализираме спокойно причините и да се запознаем с практическите методи за решение.
Първият и най-важен: в преобладаващата част от случаите, за да се изследва конвергенцията на серия, е необходимо да се приложи някакъв познат метод, но общият термин на серията е пълен с толкова сложна плънка, че изобщо не е очевидно какво да се прави с нея . И се въртите в кръг: първият знак не работи, вторият не работи, третият, четвъртият, петият метод не работи, след това черновите се хвърлят настрана и всичко започва наново. Това обикновено се дължи на липса на опит или пропуски в други раздели на смятането. По-специално, ако бягате граници на последователносттаи повърхностно разглобен функционални граници, тогава ще е трудно.
С други думи, човек просто не вижда необходимото решение поради липса на знания или опит.
Понякога е виновен и „затъмнението“, когато например просто не е изпълнен необходимият критерий за сближаване на серията, но поради невежество, невнимание или небрежност това изпада от поглед. И се получава като в онзи мотор, където професорът по математика решава детска задача с помощта на диви повтарящи се последователности и числови серии =)
В най-добрите традиции, веднага живи примери: редове 
и техните роднини - се разминават, тъй като на теория е доказано граници на последователността. Най-вероятно през първия семестър ще ви избият от душа за коректура от 1-2-3 страници, но сега е напълно достатъчно да се покаже, че не е изпълнено необходимото условие за конвергенция на поредицата, визирайки на известни факти. известен? Ако ученикът не знае, че коренът на n-та степен е изключително силно нещо, тогава, да речем, серията 
постави го в коловоз. Въпреки че решението е като две и две: , т.е. по очевидни причини и двете серии се разминават. Скромният коментар „тези граници са доказани на теория“ (или дори липсата му изобщо) е напълно достатъчен за компенсиране, в края на краищата изчисленията са доста тежки и определено не принадлежат към раздела на цифровите серии.
И след като изучите следващите примери, ще се изненадате само от краткостта и прозрачността на много решения:
Пример 1
Изследвайте конвергенцията на редица
Решение: първо проверете изпълнението необходим критерий за конвергенция. Това не е формалност, а чудесен шанс да се справим с примера на "малкото кръвопролитие".
„Оглед на сцената“ предполага дивергентна серия (случаят на обобщена хармонична серия), но отново възниква въпросът как да се вземе предвид логаритъма в числителя?
Приблизителни примери за задачи в края на урока.
Не е необичайно, когато трябва да извършите двупосочни (или дори трипосочни) разсъждения:
Пример 6
Изследвайте конвергенцията на редица 
Решение: първо, внимателно се справете с безсмислиците на числителя. Последователността е ограничена: . Тогава: 
Нека сравним нашата серия със серия. С оглед на току що получените двойно неравенство, за всички "en" ще се изпълни: 
Сега нека сравним серията с дивергентната хармонична серия.
Знаменател на дроб по-малкознаменателят на дробта, така че самата фракция – Повече ▼дроби (запишете първите няколко члена, ако не са ясни). Така за всеки "en": 
И така, за сравнение, сериалът 
се разминавазаедно с хармоничната серия.
Ако променим малко знаменателя: 
, тогава първата част от разсъжденията ще бъде подобна: 
. Но за да се докаже разминаването на серията, вече е приложим само граничният тест за сравнение, тъй като неравенството е невярно.
Ситуацията със сближаващи се серии е „огледална“, т.е. например за серия могат да се използват и двата критерия за сравнение (неравенството е вярно), а за серия само ограничаващият критерий (неравенството е невярно).
Продължаваме нашето сафари през дивата природа, където стадо грациозни и сочни антилопи се задаваха на хоризонта:
Пример 7
Изследвайте конвергенцията на редица
Решение: необходимият критерий за конвергенция е изпълнен и ние отново задаваме класическия въпрос: какво да правим? Пред нас е нещо, което прилича на конвергентна серия, но тук няма ясно правило - подобни асоциации често са измамни.
Често, но не и този път. Като се използва Критерий за гранично сравнениеНека сравним нашите редове с конвергентните редове. Когато изчисляваме лимита, използваме прекрасен лимит 
, където като безкрайно малъкщандове: 
се сближавазаедно с до .
Вместо да се използва стандартната изкуствена техника на умножение и деление с "три", беше възможно първоначално да се сравни с конвергентна серия.
Но тук е желателно едно предупреждение, че константният множител на общия член не влияе върху сходимостта на серията. И точно в този стил е проектирано решението на следния пример:
Пример 8
Изследвайте конвергенцията на редица
Образец в края на урока.
Пример 9
Изследвайте конвергенцията на редица
Решение: в предишните примери използвахме ограничеността на синуса, но сега това свойство не е в сила. Знаменателят на дроб от по-високо ред на растежотколкото числителя, така че когато аргументът синус и целият общ член безкрайно малък. Необходимото условие за конвергенция, както разбирате, е изпълнено, което не ни позволява да бягаме от работа.
Ще проведем разузнаване: в съответствие с забележителна еквивалентност 
, мислено изхвърлете синуса и вземете серия. Ами нещо такова....
Вземане на решение:
Нека сравним изследваната серия с дивергентната серия. Използваме критерия за гранично сравнение: 
Нека заменим безкрайно малкото с еквивалентното: for 
.
Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че изследваната серия се разминавазаедно с хармоничната серия.
Пример 10
Изследвайте конвергенцията на редица
Това е пример за „направи си сам“.
За планиране на по-нататъшни действия в такива примери умственото отхвърляне на синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса много помага. Но не забравяйте, че тази възможност съществува само когато безкрайно малъкаргумент, не толкова отдавна попаднах на провокативна серия:
Пример 11
Изследвайте конвергенцията на редица 
.
Решение: безполезно е да се използва ограничеността на аркутангенса тук и еквивалентността също не работи. Резултатът е изненадващо прост: 
Учебни серии се разминава, тъй като не е изпълнен необходимият критерий за сходимост на редицата.
Втората причина„Gag on the job“ се състои в прилична изтънченост на общия член, която причинява трудности от техническо естество. Грубо казано, ако разгледаните по-горе серии спадат към категорията „цифри, които познавате“, то тези спадат към категорията „вие решавате“. Всъщност това се нарича сложност в "обичайния" смисъл. Не всеки ще разреши правилно няколко факториела, степени, корени и други обитатели на саваната. Разбира се, факторите създават най-много проблеми:
Пример 12
Изследвайте конвергенцията на редица
Как да повдигна факториел на степен? Лесно. Съгласно правилото за операции със степени е необходимо всеки фактор на продукта да се повдигне на степен:
И, разбира се, внимание и отново внимание, самият знак d'Alembert работи традиционно: 
Така изследваната серия се сближава.
Напомням ви една рационална техника за премахване на несигурността: когато е ясно ред на растежчислител и знаменател - изобщо не е необходимо да страдате и да отваряте скобите.
Пример 13
Изследвайте конвергенцията на редица
Звярът е много рядък, но се намира и би било несправедливо да го заобиколите с обектива на камерата.
Какво е факториел с двоен удивителен знак? Факториелът "навива" произведението на положителен четни числа:
По подобен начин факториелът „навива“ произведението на положителни нечетни числа: 
Анализирайте каква е разликата между
Пример 14
Изследвайте конвергенцията на редица
И в тази задача се опитайте да не се бъркате със степените, прекрасни еквивалентиИ прекрасни граници.
Примерни решения и отговори в края на урока.
Но ученикът може да храни не само тигри - хитрите леопарди също проследяват плячката си:
Пример 15
Изследвайте конвергенцията на редица 
Решение: необходимият критерий за конвергенция, ограничаващият критерий, критериите на Д'Аламбер и Коши изчезват почти моментално. Но най-лошото е, че функцията с неравенствата, която многократно ни е спасявала, е безсилна. Наистина, сравнението с разминаваща се серия е невъзможно, тъй като неравенството 
неправилно - множителят-логаритъм само увеличава знаменателя, намалявайки самата дроб 
по отношение на фракцията. И още един глобален въпрос: защо първоначално сме сигурни, че нашите сериали 
е задължително да се разминава и трябва да се сравнява с някои разминаващи се серии? Той вписва ли се изобщо?
Интегрална функция? Неправилен интеграл 
предизвиква тъжно настроение. Сега, ако имахме спор 
… тогава да. Спри се! Така се раждат идеите. Ние вземаме решение в две стъпки:
1) Първо, изучаваме сходимостта на серията 
. Ние използваме неразделна характеристика:
Интегранд непрекъснатоНа
По този начин, число 
се разминава заедно със съответния неправилен интеграл.
2) Сравнете нашата серия с дивергентната серия 
. Използваме критерия за гранично сравнение:
Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че изследваната серия се разминавазаедно с един до друг 
.
И няма нищо необичайно или креативно в подобно решение - така трябва да се реши!
Предлагам самостоятелно да съставя следния двуход:
Пример 16
Изследвайте конвергенцията на редица 
Ученик с известен опит в повечето случаи веднага вижда дали серията се сближава или се разминава, но се случва хищник умело да се прикрие в храстите:
Пример 17
Изследвайте конвергенцията на редица 
Решение: на пръв поглед изобщо не е ясно как се държи тази серия. И ако имаме мъгла пред себе си, тогава е логично да започнем с груба проверка на необходимото условие за сходимост на редицата. За да елиминираме несигурността, използваме непотопяем метод на умножение и деление с присъединен израз:
Необходимият знак за сближаване не проработи, но извади тамбовския ни другар на бял свят. В резултат на извършените трансформации се получава еквивалентна серия 
, което от своя страна силно наподобява конвергентен ред .
Пишем чисто решение:
Сравнете този ред с конвергентния ред. Използваме критерия за гранично сравнение:
Умножете и разделете на присъединения израз:
Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че изследваната серия се сближавазаедно с до .
Може би някои имат въпрос откъде са дошли вълците на нашето африканско сафари? не знам Сигурно са го донесли. Ще получите следната трофейна кожа:
Пример 18
Изследвайте конвергенцията на редица 
Примерно решение в края на урока
И накрая още една мисъл, която посещава много ученици в отчаяние: вместо дали да се използва по-рядък критерий за сходимост на серията? Знак на Раабе, знак на Абел, знак на Гаус, знак на Дирихле и други непознати животни. Идеята работи, но реални примериизвършва много рядко. Лично аз през всичките години практика съм прибягвал само 2-3 пъти знак на Раабекогато нищо наистина не помогна от стандартния арсенал. Възпроизвеждам изцяло хода на моето екстремно търсене:
Пример 19
Изследвайте конвергенцията на редица
Решение: Без съмнение знак на д'Аламбер. В хода на изчисленията активно използвам свойствата на градусите, както и втора прекрасна граница:
Ето един за вас. Знакът на Д'Аламбер не даде отговор, въпреки че нищо не предвещаваше такъв изход.
След като прегледах ръководството, открих малко известна граница, доказана на теория, и приложих по-силен радикален критерий на Коши:
Ето две за вас. И най-важното, изобщо не е ясно дали серията се сближава или се разминава (изключително рядка ситуация за мен). Необходим знак за сравнение? Без много надежда - дори и по немислим начин да разгадая реда на нарастване на числителя и знаменателя, това пак не гарантира награда.
Пълен д'Аламбер, но най-лошото е, че сериалът трябва да бъде разгадан. Трябва да. Все пак това ще е първият път, когато се отказвам. И тогава си спомних, че изглежда има някои по-мощни знаци. Пред мен вече не беше вълк, не леопард и не тигър. Беше огромен слон, който размахваше голям хобот. Трябваше да взема гранатомет:
Знак на Раабе
Помислете за редица от положителни числа.
Ако има ограничение 
, Че:
а) Подред се разминава. Освен това получената стойност може да бъде нула или отрицателна.
б) Подред се сближава. По-специално, серията се събира за .
в) Кога Знакът на Раабе не дава отговор.
Съставяме границата и внимателно опростяваме фракцията: 
Да, картинката е меко казано неприятна, но вече не се учудих. лопитал правила, и първата мисъл, както се оказа по-късно, се оказа вярна. Но първо, за около час, завъртях и завъртях лимита, използвайки „обичайни“ методи, но несигурността не искаше да бъде премахната. А ходенето в кръг, както показва опитът, е типичен знак, че е избран грешен начин за решаване.
Трябваше да се обърна към руската народна мъдрост: "Ако нищо не помага, прочетете инструкциите." И когато отворих 2-ри том на Фихтенхолц, за моя голяма радост открих изследване на същата поредица. И тогава решението тръгна по модела.
В редица случаи, чрез изследване на коефициентите на редове от формата (C) или може да се установи, че тези редове се събират (може би с изключение на отделни точки) и са редове на Фурие за техните суми (вижте, например, предишния n° ), но във всички тези случаи естествено възниква въпросът
как да намерим сумите на тези редове или по-точно как да ги изразим в окончателен вид чрез елементарни функции, ако изобщо са изразени в такъв вид. Дори Ойлер (а също и Лагранж) успешно използват аналитични функции на комплексна променлива, за да сумират тригонометрични серии в окончателна форма. Идеята зад метода на Ойлер е следната.
Нека приемем, че за определен набор от коефициенти сериите (C) и се събират във функции навсякъде в интервала, изключвайки само отделни точки. Помислете сега за степенна серия със същите коефициенти, подредени по степени на комплексна променлива
По обиколката на единичната окръжност, т.е. при , тази серия се събира по предположение, като се изключват отделни точки:
В този случай, съгласно добре известното свойство на степенните редове, редът (5) със сигурност се събира в, т.е., вътре в единичната окръжност, дефинирайки там определена функция на комплексна променлива. Използването на познатите ни [вж. § 5 от глава XII] разширения елементарни функциикомплексна променлива, често е възможно функцията да се редуцира до тях. Тогава за имаме:
и по теоремата на Абел, веднага щом редът (6) се сближи, сумата му се получава като граница
Обикновено тази граница е просто равна на което ни позволява да изчислим функцията в окончателния й вид
Нека, например, поредицата
Доказаните в предходния абзац твърдения водят до извода, че и двата реда се събират (първият, с изключение на точките 0 и
служат като редове на Фурие за функциите, които дефинират. Но какви са тези функции? За да отговорим на този въпрос, правим серия
По подобие на логаритмичната серия нейната сума се установява лесно:
следователно,
Сега едно лесно изчисление дава:
така че модулът на този израз е , а аргументът е .
и по този начин в крайна сметка
Тези резултати са ни познати и дори някога са били получени с помощта на "сложни" съображения; но в първия случай тръгнахме от функциите и , а във втория - от аналитичната функция.Тук за първи път като отправна точка послужиха самите серии. Читателят ще намери още примери от този вид в следващия раздел.
Още веднъж подчертаваме, че трябва да сте сигурни предварително в сходимостта и реда (C) и за да имате право да определяте сумите им с помощта на граничното равенство (7). Самото съществуване на граница от дясната страна на това равенство все още не ни позволява да заключим, че споменатите редове се събират. За да покажете това с пример, разгледайте серията
Състоянието на Хьолдер.Казваме, че функция $f(x)$ удовлетворява условията на Хьолдер в точка $x_0$, ако има едностранни крайни граници $f(x_0 \pm 0)$ и такива числа $\delta > 0$, $\ alpha \in ( 0,1]$ и $c_0 > 0$, така че $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t )-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$.
Формула на Дирихле.Трансформираната формула на Дирихле се нарича формула от вида:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ където $D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .
Използвайки формулите $(1)$ и $(2)$, записваме частичната сума на реда на Фурие в следния вид:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3)$$
За $f \equiv \frac(1)(2)$ формулата $(3)$ приема следващ изглед: $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac(\sin(n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t) (2))dt=\frac(1)(2), 0
Сходимост на реда на Фурие в точка
Теорема.Нека $f(x)$ е $2\pi$-периодична абсолютно интегрируема функция върху $[-\pi,\pi]$ и удовлетворява условието на Хьолдер в точка $x_0$. Тогава редът на Фурие на функцията $f(x)$ в точката $x_0$ се свежда до числото $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Ако в точката $x_0$ функцията $f(x)$ е непрекъсната, то в тази точка сумата от редицата е равна на $f(x_0)$.
Доказателство
Тъй като функцията $f(x)$ удовлетворява условието на Хьолдер в точка $x_0$, тогава за $\alpha > 0$ и $0< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).
За дадено $\delta > 0$ записваме равенствата $(3)$ и $(4)$. Умножавайки $(4)$ по $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и изваждайки резултата от $(3)$, получаваме $$ \lim\limits_(n \to \infty) (S_n (x_0) - \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) - \\ - \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta)\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$
От условието на Хьолдер следва, че функцията $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\ sin \frac(t)(2)).$$ е абсолютно интегрируем на $$. Наистина, прилагайки неравенството на Хьолдер, получаваме, че за функцията $\Phi(t)$ е валидно следното неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pi c_0t^(\alpha - 1) (6)$, където $\alpha \in (0,1 ]$.
По силата на сравнителния критерий за неправилни интеграли, неравенството $(6)$ предполага, че $\Phi(t)$ е абсолютно интегрируемо върху $.$
По лемата на Риман $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ right )t\cdot dt = 0 .$$
От формулата $(5)$ сега следва, че $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) $$
[Крия]
Следствие 1.Ако $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема върху $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ има производна в точка $x_0$, тогава нейният ред на Фурие се събира в тази точка към $f (x_0) $.
Следствие 2.Ако $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема върху $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ има и двете едностранни производни в точката $x_0$, тогава нейният ред на Фурие се събира в тази точка към $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$
Следствие 3.Ако $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема върху $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворява условието на Хьолдер в точките $-\pi$ и $\pi$, тогава поради към периодичността, сумата от серията Преобразуването на Фурие в точките $-\pi$ и $\pi$ е равно на $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2).$$
Знак Дини
Определение.Нека $f(x)$ е $2\pi$-периодична функция. Точката $x_0$ ще бъде правилна точка на функцията $f(x)$, ако
- 1) има крайни леви и десни граници $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$
- 2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$
Теорема.Нека $f(x)$ е $2\pi$-периодична абсолютно интегрируема функция върху $[-\pi,\pi]$ и точката $x_0 \in \mathbb(R)$ е регулярна точка на функцията $ f(x)$. Нека функцията $f(x)$ удовлетворява условията на Дини в точка $x_0$: съществуват неправилни интеграли $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$
тогава редът на Фурие на функцията $f(x)$ в точката $x_0$ има сумата $f(x_0)$, т.е. $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Доказателство
Частичната сума $S_n(x)$ на реда на Фурие има интегрално представяне $(1)$. И поради равенството $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$
Тогава имаме $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n (t) \, dt. \quad(7)$$
Очевидно теоремата ще бъде доказана, ако докажем, че и двата интеграла във формулата $(7)$ имат граници като $n \to \infty $, равни на $0$. Разгледайте първия интеграл: $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$
Условието на Дини е изпълнено в точката $x_0$: неправилният интеграл $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt .$$
Следователно за всеки $\varepsilon > 0$ съществува $\delta \in (0, h)$, така че $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+ t) -f(x_0+0) \right |)(t)dt
При избраните $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$, интегралът $I_n(x_0)$ може да бъде представен като $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, където
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$
Разгледайте първо $A_n(x_0)$. Използвайки $\left | D_n(t)\десен |
за всички $t \in (0, \delta)$.
Следователно $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt
Нека преминем към оценяване на интеграла $B_n(x_0)$ като $n \to \infty $. За да направим това, въвеждаме функцията $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix)
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0
$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ Получаваме, че $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$, което означава, че за произволен $\varepsilon > 0$, избран по-рано, съществува $N$, така че за всички $n> N$ неравенството $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|
Доказва се точно по същия начин, както вторият интеграл на формулата $(7)$ нулалимит на $n \to \infty $.
[Крия]
ПоследицаАко $2\pi$ периодична функция $f(x)$ е частично диференцируема върху $[-\pi,\pi]$, тогава нейният ред на Фурие във всяка точка $x \in [-\pi,\pi]$ се събира към числото $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
На сегмента $[-\pi,\pi]$ намерете тригонометричния ред на Фурие на функцията $f(x)=\left\(\begin(matrix)
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end(матрица)\right.$
Изследвайте сходимостта на получената серия.
Периодично разширявайки $f(x)$ до цялата реална ос, получаваме функцията $\widetilde(f)(x)$, чиято графика е показана на фигурата.
Тъй като функцията $f(x)$ е нечетна, тогава $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$
$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ pi)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$
$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$
Следователно $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$
Тъй като $(f)"(x)$ съществува за $x\neq k \pi$, тогава $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$
В точките $x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$ функцията $\widetilde(f)(x)$ не е дефинирана и сумата от редовете на Фурие е равна на нула.
Задавайки $x=\frac(\pi)(2)$, получаваме равенството $1 — \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$.
[Крия]
Намерете реда на Фурие на следната $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема върху $[-\pi,\pi]$ функция:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$ и прегледайте резултантната серия за сходимост.
Тъй като $(f)"(x)$ съществува за $ x \neq 2k \pi$, редът на Фурие на функцията $f(x)$ ще се сближи във всички точки на $ x \neq 2k \pi$ към стойността на функцията. Очевидно е, че $f(x)$ е четна функция и следователно нейното разширение в ред на Фурие трябва да съдържа косинуси. \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_( 0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^( \pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac( x)(2)dx \, — \, 2\int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_( 0)^(\pi)\ln \sin \frac(t)(2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ откъдето $a_0= \pi \ln 2$ .
Нека сега намерим $a_n$ за $n \neq 0$. Имаме $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2 ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$
Тук $D_n(x)$ е ядрото на Дирихле, дефинирано от формула (2) и получаваме, че $\pi a_n = \frac(\pi)(n)$ и, следователно, $a_n = \frac(1)(n ) $. Така че $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$
[Крия]
Литература
- Лисенко З.М., бележки от лекции по математически анализ, 2015-2016 г.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс по математически анализ, стр. 581-587
- Демидович Б. П., Сборник от задачи и упражнения по математически анализ, издание 13, преработено, Издателство ЧеРо, 1997 г., стр. 259-267
Времево ограничение: 0
Навигация (само номера на задания)
0 от 5 изпълнени задачи
Информация
Тест върху материала на тази тема:
Вече сте правили теста преди. Не можете да го стартирате отново.
Тестът се зарежда...
Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.
Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:
резултати
Верни отговори: 0 от 5
Твоето време:
Времето изтече
Постигнахте 0 от 0 точки (0 )
Вашият резултат е записан в класацията
- С отговор
- Проверих
Задача 1 от 5
1 .
Брой точки: 1Ако $2\pi$ -периодична и абсолютно интегрируема върху $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ има производна в точката $x_0$, тогава към какво ще се сближи нейният ред на Фурие в тази точка ?
Задача 2 от 5
2 .
Брой точки: 1Ако всички условия на теста на Дини са изпълнени, тогава към какво число се събира редът на Фурие на функцията $f$ в точката $x_0$?
В науката и технологиите често трябва да се занимаваме с периодични явления, т.е. такива, които се възпроизвеждат след определен период от време Tнаречен период. Най-простата от периодичните функции (с изключение на константа) е синусоидална стойност: асин(х+ ), хармонично трептене, където е "честотата", свързана с периода чрез връзката: . От такива прости периодични функции могат да се съставят по-сложни. Очевидно съставните синусоидални величини трябва да бъдат с различни честоти, тъй като добавянето на синусоидални величини със същата честота води до синусоидална величина със същата честота. Ако добавим няколко стойности на формуляра
Например, тук възпроизвеждаме добавянето на три синусоидални величини: . Разгледайте графиката на тази функция
Тази графика е значително различна от синусоида. Това е още по-вярно за сумата от безкрайна серия, съставена от членове от този тип. Нека поставим въпроса: възможно ли е за дадена периодична функция на периода Tпредставят като сбор от краен или поне безкраен набор от синусоидални величини? Оказва се, че по отношение на голям клас функции на този въпрос може да се отговори положително, но това е само ако включим точно цялата безкрайна поредица от такива членове. Геометрично това означава, че графиката на периодична функция се получава чрез наслагване на поредица от синусоиди. Ако разглеждаме всяка синусоидална стойност като определено хармонично колебателно движение, тогава можем да кажем, че това е сложно колебание, характеризиращо се с функция или просто с нейните хармоници (първа, втора и т.н.). Процесът на разлагане на периодична функция на хармоници се нарича хармоничен анализ.
Важно е да се отбележи, че такива разширения често се оказват полезни при изследването на функции, които са дефинирани само в определен краен интервал и изобщо не са генерирани от никакви колебателни явления.
Определение.Тригонометрична серия е серия от формата:
Или 
(1).
Реални числасе наричат коефициенти на тригонометричния ред. Тази поредица може да се напише и така:
Ако серия от вида, представен по-горе, се сближава, тогава нейната сума е периодична функция с период 2p.
Определение.Коефициентите на Фурие на тригонометрична серия се наричат: 
(2)
(3)
(4)
Определение.Близо до Фурие за функция f(x)се нарича тригонометричен ред, чиито коефициенти са коефициентите на Фурие.
Ако редът на Фурие на функцията f(x)се събира към нея във всичките си точки на непрекъснатост, тогава казваме, че функцията f(x)се разширява в ред на Фурие.
Теорема.(Теорема на Дирихле) Ако дадена функция има период от 2p и е непрекъсната на сегмент или има краен брой точки на прекъсване от първи вид, сегментът може да бъде разделен на краен брой сегменти, така че функцията да е монотонна във всеки от тях, тогава редът на Фурие за функцията се събира за всички стойности х, а в точките на непрекъснатост на функцията нейната сума S(x)е равно на , а в точките на прекъсване сумата му е равна на , т.е. средноаритметичната стойност на граничните стойности отляво и отдясно.
В този случай редът на Фурие на функцията f(x)се сближава равномерно на всеки интервал, който принадлежи на интервала на непрекъснатост на функцията.
Функция, която отговаря на условията на тази теорема, се нарича частично гладка на интервала.
Нека разгледаме примери за разширяване на функция в ред на Фурие.
Пример 1. Разгънете функцията в ред на Фурие f(x)=1-x, който има период 2ти дадено на отсечката .
Решение. Нека начертаем тази функция
Тази функция е непрекъсната на сегмента, т.е. на сегмент с дължина период, следователно може да бъде разширена в ред на Фурие, който се събира към него във всяка точка от този сегмент. Използвайки формула (2), намираме коефициента на тази серия: .
Прилагаме формулата за интегриране по части и намираме и използваме съответно формули (3) и (4):
Замествайки коефициентите във формула (1), получаваме 
или .
Това равенство има във всички точки, с изключение на точките и (точките на слепване на графиките). Във всяка от тези точки сумата от серията е равна на средноаритметичната стойност на нейните гранични стойности отдясно и отляво, т.е.
Нека представим алгоритъм за разширяване на функциятав ред на Фурие.
Общата процедура за решаване на поставения проблем е следната.
Решението Navier е подходящо само за изчисляване на плочи, шарнирно закрепени по контура. По-общо е Решението на Леви. Тя ви позволява да изчислите плоча, шарнирно закрепена на две успоредни страни, с произволни гранични условия на всяка от другите две страни.
В правоъгълната плоча, показана на фиг. 5.11, (а), шарнирните ръбове са тези, които са успоредни на оста г. Граничните условия на тези ръбове имат формата
 |
Ориз. 5.11
Очевидно е, че всеки член от безкрайната тригонометрична серия
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; втори частични производни на функцията за отклонение
(5.45)
при х = 0 и х = асъщо са нула, защото съдържат https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
Заместването на (5.46) в (5.18) дава
Умножавайки двете страни на полученото уравнение по , интегрирайки от 0 до аи спомняйки си това
,
трябва да дефинираме функцията Ymтакова линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти
. (5.48)
Ако, за да съкратите обозначението, означете
уравнение (5.48) приема формата
. (5.50)
Общото решение на нехомогенното уравнение (5.50), както е известно от курса на диференциалните уравнения, има формата
Ym(г) = йм (г)+ FM(г), (5.51)
Където йм (г) е частно решение на нехомогенното уравнение (5.50); неговата форма зависи от дясната страна на уравнение (5.50), т.е. всъщност от вида на товара р (х, г);
FM(г)= Am shамy + Bmchамy+y(cm shамy + Dmchамг), (5.52)
общо решение на хомогенното уравнение
Четири произволни константи Am,INм ,° СмИ Дмтрябва да се определи от четирите условия за фиксиране на ръбовете на плочата, успоредни на оста, приложена към плочата постоянен р (х, г) = рдясната страна на уравнение (5.50) приема формата
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5,55)
Тъй като дясната страна на уравнението (5.55) е постоянна, лявата му страна също е постоянна; така че всички производни йм (г) са нула и
, (5.56)
, (5.57)
където е посочено: .
Помислете за чиния прищипанипо ръбове, успоредни на оста х(Фиг. 5.11, (c)).
Гранични условия по ръбовете г = ± b/2
. (5.59)
Поради симетрията на отклонението на плочата около оста ОТНОСНОх, в общото решение (5.52) трябва да се запазят само членове, съдържащи четни функции. Защото ш амге нечетна функция, а сh ам г- равномерно и, с възприетата позиция на оста о, гш амг- дори, в пригл ам ге нечетно, тогава общият интеграл (5.51) в разглеждания случай може да бъде представен като
. (5.60)
Тъй като в (5.44) не зависи от стойността на аргумента г, втората двойка гранични условия (5.58), (5.59) може да се запише като:
Ym = 0, (5.61)
Y¢ м = = 0. (5.62)
амbmш амy + cm(ш амy+yамгл амг)
От (5.60) - (5.63) следва
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5,65)
Умножение на уравнение (5.64) по и уравнение (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
Заместването на (5.66) в уравнение (5.64) ни позволява да получим bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5,68)
С този израз на функцията Yм. , формулата (5.44) за определяне на функцията на отклонение приема формата
(5.69)
Серията (5.69) се сближава бързо. Например за квадратна плоча в центъра й, т.е x=а/2, г = 0
(5.70)
Запазване в (5.70) само на един член от серията, т.е 
, получаваме стойност на отклонение, надценена с по-малко от 2,47%. Имайки предвид, че стр 5 =
306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> Вариационният метод на V..Ritz се основава на вариационния принцип на Лагранж, формулиран в раздел 2.
Нека разгледаме този метод приложен към проблема с огъването на плочата. Представете си извитата повърхност на плочата като ред
, (5.71)
Където фи(х, г) непрекъснати координатни функции, всяка от които трябва да отговаря на кинематични гранични условия; Ciса неизвестни параметри, определени от уравнението на Лагранж. Това уравнение
(5.72)
води до система от н алгебрични уравненияотносно параметрите Ci.
В общия случай енергията на деформация на плочата се състои от огъване U и мембрана U мчасти
, (5.73)
, (5.74)
Където Мх.,Мг. ,Мxy– сили на огъване; нХ., Ню Йорк. , Nxy– мембранни сили. Частта от енергията, съответстваща на напречните сили, е малка и може да се пренебрегне.
Ако u, vИ wса компонентите на действителното изместване, px. , pyИ pzса компонентите на интензитета на повърхностното натоварване, Раз- концентрирана сила, D азсъответното линейно изместване, Мй- фокусиран момент рй- съответстващият му ъгъл на въртене (фиг. 5.12), тогава потенциалната енергия на външните сили може да бъде представена, както следва:
Ако ръбовете на плочата позволяват движение, тогава ръбът се натоварва vn. , мн. , mnt(Фиг. 5.12, (а)) увеличават потенциала на външните сили
 |
|
 |
|
Ориз. 5.12
Тук нИ T– нормален и допирателен към ръбов елемент ds.
IN Декартови координати, като се вземат предвид известните изрази за сили и кривини
, (5.78)
обща потенциална енергия E на правоъгълна плоча с размер а ´ b, под действието само на вертикално натоварване pz
(5.79)
Като пример, помислете за правоъгълна плоча с аспектно съотношение 2 а´ 2 b(фиг. 5.13).
Плочата се затяга по контура и се натоварва с равномерно натоварване
pz = q = const. В този случай изразът (5.79) за енергията E е опростен
. (5.80)
Приеми за w(x, y) ред
който отговаря на контурните условия
 |  |
Ориз. 5.13
Запазете само първия член на поредицата
.
Тогава според (5.80)
.
Минимизиране на енергията E според (5..gif" width="273 height=57" height="57">.
.
Изкривяване на центъра на квадратна плоча с размер 2 А´ 2 А
,
което е с 2,5% повече от точното решение 0,0202 qa 4/д. Имайте предвид, че отклонението на центъра на плочата, поддържана от четири страни, е 3,22 пъти по-голямо.
Този пример илюстрира предимствата на метода: простота и възможност за получаване на добър резултат. Плочата може да има различни очертания, променлива дебелина. Трудностите при този метод, както и при други енергийни методи, възникват при избора на подходящи координатни функции.
5.8. Метод на ортогонализиране
Методът на ортогонализиране, предложен от и се основава на следното свойство на ортогоналните функции йаз. , йй
. (5.82)
Пример за ортогонални функции на интервала ( – стр, стр) може да служи тригонометрични функции cos nxи грях nxза което
Ако една от функциите, например функцията йаз (х) е идентично равно на нула, тогава условието (5.82) е изпълнено за произволна функция йй (х).
За да се реши проблемът с огъването на плочата, уравнението е
може да си представим така
, (5.83)
Където Ее площта, ограничена от контура на плочата; йijса функции, определени така, че да удовлетворяват кинематичните и силовите гранични условия на проблема.
Нека представим приблизителното решение на уравнението за огъване на плочата (5.18) под формата на серия
. (5.84)
Ако решението (5.84) беше точно, тогава уравнение (5.83) щеше да се придържа идентично за всяка система от координатни функции йij. , тъй като в този случай д c2c2 wn – р = 0. Изискваме уравнението д c2c2 wn – рбеше ортогонален на семейството от функции йij, и използваме това изискване за определяне на коефициентите Cij. . Замествайки (5.84) в (5.83), получаваме
. (5.85)
След като извършим някои трансформации, получаваме следната система от алгебрични уравнения за определяне ° Сij
, (5.86)
и чij = чджи.
Методът на Бубнов-Галеркин може да получи следната интерпретация. функция д c2c2 wn – р = 0 по същество е уравнение на равновесие и е проекция на външни и вътрешни сили, действащи върху малък елемент от плочата по посока на вертикалната ос z. Функция за отклонение wnе движение по посока на същата ос, а функциите йijмогат да се считат за възможни движения. Следователно уравнение (5.83) приблизително изразява равенството на нула на работата на всички външни и вътрешни сили върху възможни премествания йij. . По този начин методът на Бубнов-Галеркин е по същество вариационен.
Като пример, разгледайте правоъгълна плоча, захваната по протежение на контура и натоварена с равномерно разпределено натоварване. Размерите на плочата и разположението на координатните оси са същите като на фиг. 5.6.
Гранични условия
при х = 0, х= а: w = 0, ,
при г = 0, г = b: w = 0, .
Избираме приблизителен израз за функцията на отклонение под формата на серия (5.84), където функцията йij
удовлетворява граничните условия; Cijса желаните коефициенти. Ограничено до един член от серията
получаваме следното уравнение
След интеграция
Къде можем да изчислим коефициента СЪС 11
,
което напълно отговаря на коеф СЪС 11. получени по метода
В. Риц -.
Като първо приближение функцията на отклонение е както следва
.
Максимална деформация в центъра на квадратна плоча А ´ А
.
5.9. Приложение на метода на крайните разлики
Обмислете приложението на метода крайни разликиза правоъгълни плочи със сложни контурни условия. Операторът на разликата е аналог на диференциалното уравнение на извитата повърхност на плочата (5.18), за квадратна мрежа, за D х = д г = D приема формата (3.54)
20 wi, й + 8 (wi, й+ 1 + wi, й– 1 + wi– 1, й + wi+ 1, й) + 2 (wi– 1, й– 1 + wi– 1, й+ 1 +
Ориз. 5.14
Като се има предвид наличието на три оси на симетрия на натоварване и деформации на плочата, можем да се ограничим до разглеждането на нейната осма и да определим стойностите на отклонение само в възли 1 ... 10 (фиг. 5.14, (b)) . На фиг. 5.14, (b) показва мрежата и номерирането на възлите (D = а/4).
Тъй като краищата на плочата са прищипани, тогава чрез записване на контурните условия (5.25), (5.26) в крайни разлики
