Класификация на събитията на възможни, вероятни и случайни. Понятия за прости и сложни елементарни събития. Операции върху събития. Класическа дефиниция на вероятността от случайно събитие и неговите свойства. Елементи на комбинаториката в теорията на вероятностите. Геометрична вероятност. Аксиоми на теорията на вероятностите.

Едно от основните понятия на теорията на вероятностите е понятието събитие. Под събитие разбира всеки факт, който може да възникне в резултат на опит или тест. Под опит , или тест , се отнася до изпълнението на определен набор от условия.

Примери за събития:

• - попадение в целта при стрелба с пистолет (опит - продукт на изстрел; събитие - попадение в целта);
• - загуба на два герба при трикратно хвърляне на монета (опит - трикратно хвърляне на монета; събитие - загуба на два герба);
• - появата на грешка в измерването в зададените граници при измерване на разстоянието до целта (опит - измерване на разстояние; събитие - грешка в измерването).

Могат да се дадат безброй подобни примери. Събитията се обозначават с главни букви на латиница азбука A,B,Cи т.н.

Разграничете съвместни събития И несъвместими . Събитията се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото. В противен случай събитията се наричат ​​несъвместими. Например, хвърлят се два зара. Събитие AA е хвърляне на три точки на първия зар, а събитие B е хвърляне на три точки на втория зар. А и Б са съвместни събития.

Нека магазинът получи партида обувки от същия стил и размер, но различни цветове. Събитие А - произволно взета кутия ще съдържа черни обувки, събитие Б - кутията ще съдържа кафяви обувки, А и Б са несъвместими събития.

Събитието се нарича надежден , ако е сигурно, че ще се случи при условията на даден експеримент.

Едно събитие се нарича невъзможно, ако не може да се случи при условията на даден опит. Например, случайът, че стандартна част ще бъде взета от партида стандартни части, е надежден, но нестандартна част е невъзможна.

Събитието се нарича възможен , или случаен , ако в резултат на опит може да се появи, но може и да не се появи. Пример за случайно събитие може да бъде идентифицирането на дефекти на продукта по време на проверка на партида готови продукти, несъответствие между размера на обработения продукт и посочения или повреда на една от връзките в автоматизираната система за управление.

Събитията се наричат еднакво възможно , ако според условията на теста нито едно от тези събития не е обективно по-възможно от останалите. Например, нека един магазин се снабди с електрически крушки (в равни количества) от няколко производствени предприятия. Събития, включващи закупуване на електрическа крушка от някоя от тези фабрики, са еднакво възможни.

Важна концепция е пълна група от събития . Няколко събития в даден експеримент образуват пълна група, ако поне едно от тях със сигурност ще се появи в резултат на експеримента. Например една урна съдържа десет топки, шест от които са червени, четири са бели и пет топки имат номера.

A -- появата на червена топка по време на едно теглене,

B -- появата на бяла топка,

C -- появата на топка с число. Събития A,B,Cобразуват пълна група от съвместни събития.

Нека въведем концепцията за противоположно или допълнително събитие. Под противоположност събитие

AЇ се разбира като събитие, което непременно трябва да се случи, ако някое събитие не се случи

А. Противоположните събития са несъвместими и единствените възможни. Те образуват пълна група от събития.

Планирайте.

1. Случайна променлива (RV) и вероятност за събитие.

2. Закон за разпределение на СВ.

3. Биномиално разпределение (разпределение на Бернули).

4. Поасоново разпределение.

5. Нормално (гаусово) разпределение.

6. Равномерно разпределение.

7. Разпределение на учениците.

2.1 Случайна променлива и вероятност за събитие

Математическата статистика е тясно свързана с друга математическа наука – теорията на вероятностите и се основава на нейния математически апарат.

Теория на вероятностите е наука, която изучава модели, генерирани от случайни събития.

Педагогическите явления са масови явления: те обхващат големи популации от хора, повтарят се от година на година и се случват непрекъснато. Индикаторите (параметри, резултати) на педагогическия процес имат вероятностен характер: едно и също педагогическо въздействие може да доведе до различни последствия (случайни събития, случайни променливи). Въпреки това, когато условията се възпроизвеждат многократно, определени последствия се появяват по-често от други - това е проявата на така наречените статистически закони (изследването на които се извършва от теорията на вероятностите и математическата статистика).

Случайна променлива (RV) е числена характеристика, измерена по време на експеримента и зависима от случаен резултат. SV, реализиран по време на експеримента, сам по себе си е случаен. Всеки SV указва вероятностно разпределение.

Основното свойство на педагогическите процеси и явления е тяхната вероятностна природа (при определени условия те могат да възникнат, да се реализират, но може и да не се появят). За такива явления значителна роляиграе в концепцията за вероятност.

Вероятността (P) показва степента на възможност за дадено събитие, явление, резултат. Вероятността за невъзможно събитие е нуластр = 0, надежден - единстр = 1 (100%). Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1, в зависимост от това колко случайно е събитието.

Ако се интересуваме от събитие А, тогава най-вероятно можем да наблюдаваме, да фиксираме фактите за неговото възникване. Необходимостта от концепцията за вероятността и нейното изчисляване очевидно ще възникне само когато наблюдаваме това събитие не всеки път или осъзнаваме, че то може или не може да се случи. И в двата случая е полезно да се използва понятието честота на възникване на дадено събитие f(A) - като съотношение на броя на случаите на неговото възникване (благоприятни изходи) към общия брой наблюдения. Честотата на възникване на случайно събитие зависи не само от степента на случайност на самото събитие, но и от броя (броя) наблюдения на това SW.

Има два типа SV проби: зависимИ независима. Ако резултатите от измерването на определено свойство в обекти от първата проба не влияят на резултатите от измерването на това свойство в обекти от втората проба, тогава такива проби се считат за независими. Когато резултатите от една проба влияят върху резултатите от друга проба, пробите се вземат предвид зависим. Класическият начин за получаване на зависими измервания е да се измери едно и също свойство (или различни свойства) два пъти на членове на една и съща група.

Събитие A не зависи от събитие B, ако вероятността за събитие A не зависи от това дали се е случило събитие B. Събития A и B са независими, ако P(AB) = P(A)P(B). На практика независимостта на едно събитие се установява от условията на опита, интуицията на изследователя и практиката.

SV може да бъде дискретно (можем да номерираме възможните му стойности), например изпадане от матрица = 4, 6, 2, и непрекъснато (функцията му на разпределение F(x) е непрекъснато), например експлоатационният живот на крушка.

Очаквана стойност - числена характеристика SV, приблизително равна на средната стойност на SV:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 Закон за разпространение на SW

Подчиняват ли се на някакви закони случайните явления? Да, но тези закони се различават от физическите закони, с които сме запознати. Стойностите на SV не могат да бъдат предвидени дори при известни експериментални условия; можем само да посочим вероятностите SV да приеме една или друга стойност. Но като знаем вероятностното разпределение на SV, можем да направим заключения за събитията, в които участват тези случайни променливи. Вярно е, че тези заключения също ще имат вероятностен характер.

Нека някои SV са дискретни, т.е. може да приема само фиксирани стойности X i . В този случай поредицата от вероятностни стойности P(X i) за всички (i=1…n) допустими стойности на това количество се нарича неговия закон за разпределение.

Законът за разпределение на SV е връзка, която установява връзка между възможните стойности на SV и вероятностите, с които тези стойности се приемат. Законът за разпределение напълно характеризира SV.

При конструиране на математически модел за проверка на статистическа хипотеза е необходимо да се въведе математическо предположение за закона за разпределение на SV (параметричен начин за конструиране на модела).

Непараметричният подход за описание на математическия модел (SV няма параметричен закон за разпределение) е по-малко точен, но има по-широк обхват.

Точно както за вероятността от случайно събитие, за закона за разпределение на SV има само два начина да се намери. Или ще изградим диаграма на случайно събитие и ще намерим аналитичен израз (формула) за изчисляване на вероятността (може би някой вече е направил или ще направи това преди вас!), или ще трябва да използваме експеримент и въз основа на честотите от наблюдения, направете някои предположения (изложете хипотези) относно законовите разпределения.

Разбира се, за всяко от “класическите” разпределения тази работа е извършена отдавна – широко известни и много често използвани в приложната статистика са биномиалните и полиномиалните разпределения, геометричните и хипергеометричните, разпределенията на Паскал и Поасон и много други.

За почти всички класически разпределения веднага бяха съставени и публикувани специални статистически таблици, усъвършенствани с увеличаване на точността на изчисленията. Без използването на много томове от тези таблици, без обучение в правилата за използването им, практическото използване на статистиката е невъзможно през последните два века.

Днес ситуацията се промени - няма нужда да съхранявате изчислителни данни с помощта на формули (без значение колко сложни могат да бъдат последните!), Времето за използване на закона за разпределение за практика е намалено до минути или дори секунди. Вече има достатъчен брой различни приложни софтуерни пакети за тези цели.

Сред всички вероятностни разпределения има такива, които се използват особено често в практиката. Тези разпределения са проучени подробно и техните свойства са добре известни. Много от тези разпределения са в основата на цели области на знанието - като теория на опашките, теория на надеждността, контрол на качеството, теория на игрите и т.н.

2.3 Биномиално разпределение (разпределение на Бернули)

Възниква в случаите, когато се задава въпросът: колко пъти се случва определено събитие в поредица от определен брой независими наблюдения (експерименти), извършени при едни и същи условия.

За удобство и яснота ще приемем, че знаем стойността p - вероятността посетител, влизащ в магазина, да се окаже купувач и (1- p) = q - вероятността посетител, влизащ в магазина, да не бъде купувач.

Ако X е броят купувачи от общия брой n посетители, тогава вероятността да има k купувачи сред n посетители е равна на

P(X= k) = , където k=0,1,…n (1)

Формула (1) се нарича формула на Бернули. При голямо числотестове, биномното разпределение има тенденция да бъде нормално.

2.4 Поасоново разпределение

Играе важна роля в редица въпроси във физиката, теорията на комуникацията, теорията за надеждността, теорията на опашките и др. Навсякъде, където произволен брой събития (радиоактивни разпадания, телефонни обаждания, повреди на оборудването, аварии и т.н.) могат да възникнат за определен период от време.

Помислете за най-типичната ситуация, в която възниква разпределението на Поасон. Нека някои събития (покупки в магазина) се случват в произволни моменти. Нека определим броя на появата на такива събития във времевия интервал от 0 до T.

Произволен брой събития, настъпили във времето от 0 до T, се разпределят съгласно закона на Поасон с параметъра l=aT, където a>0 е параметър на задачата, който отразява средната честота на събитията. Вероятността за k покупки за голям интервал от време (например ден) ще бъде

P(Z=k) =

(2)

2.5 Нормално (гаусово) разпределение

Нормалното (гаусово) разпределение заема централно място в теорията и практиката на вероятностно-статистическите изследвания. Като непрекъснато приближение на биномното разпределение, то е разгледано за първи път от A. De Moivre през 1733 г. След известно време нормалното разпределение отново е открито и изследвано от К. Гаус (1809) и П. Лаплас, които стигат до нормалното функция във връзка с работата по теорията грешки при наблюдение.

Непрекъснато произволна стойност хНаречен нормално разпределени, ако неговата плътност на разпределение е равна на

Където

съвпада с математическото очакване на стойността X:
=M(X), параметърът s съвпада със стандартното отклонение на стойността X: s =s(X). Графиката на функцията на нормалното разпределение, както се вижда от фигурата, има формата на куполообразна крива, наречена Гаус, максималната точка има координати (a;

Тази крива с μ=0, σ=1 получи статут на стандарт; тя се нарича единична нормална крива, т.е. всички събрани данни се стремят да бъдат трансформирани, така че кривата на разпределението да е възможно най-близо до тази стандартна крива .

Нормализираната крива е изобретена за решаване на проблеми в теорията на вероятностите, но на практика се оказа, че тя идеално приближава честотното разпределение за голям брой наблюдения за много променливи. Може да се приеме, че без материални ограничения на броя на обектите и времето на експеримента статистическото изследване се свежда до нормална крива.

2.6 Равномерно разпределение

Равномерното разпределение на вероятностите е най-простото и може да бъде дискретно или непрекъснато. Отделен равномерно разпределение– това е разпределение, за което вероятността за всяка от стойностите на SV е една и съща, тоест:

където N е броят на възможните стойности на SV.

Вероятностното разпределение на непрекъснат CB X, вземащо всичките си стойности от сегмента [a; b], се нарича равномерно, ако неговата плътност на вероятността на този сегмент е постоянна и извън нея е равна на нула:

(5)

2.7 Разпределение на учениците

Това разпределение е свързано с нормалното. Ако SV x 1, x 2, … x n са независими и всеки от тях има стандартно нормално разпределение N(0,1), тогава SV има разпределение, наречено разпространение Тест на ученика:

Мнозина, когато се сблъскат с понятието „теория на вероятностите“, се плашат, мислейки, че това е нещо непосилно, много сложно. Но всъщност всичко не е толкова трагично. Днес ще разгледаме основната концепция на теорията на вероятностите и ще научим как да решаваме проблеми, използвайки конкретни примери.

Науката

Какво изучава такъв клон на математиката като „теория на вероятностите“? Тя отбелязва модели и величини. Учените за първи път се интересуват от този въпрос през осемнадесети век, когато изучават хазарта. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Това е всеки факт, който е установен чрез опит или наблюдение. Но какво е опит? Друга основна концепция на теорията на вероятностите. Това означава, че този набор от обстоятелства е създаден не случайно, а с определена цел. Що се отнася до наблюдението, тук самият изследовател не участва в експеримента, а е просто свидетел на тези събития, той по никакъв начин не влияе на случващото се.

събития

Научихме, че основната концепция на теорията на вероятностите е събитие, но не разгледахме класификацията. Всички те попадат в следните категории:

• Надежден.
• Невъзможен.
• Случаен.

Независимо от вида на събитията, наблюдавани или създадени по време на преживяването, всички те са предмет на тази класификация. Предлагаме да се запознаем с всеки от видовете поотделно.

Надеждно събитие

Това е обстоятелство, за което са взети необходимите мерки. За да разберем по-добре същността, по-добре е да дадем няколко примера. Този закон е предмет на физиката, и химията, и икономиката, и висша математика. Теорията на вероятностите включва такава важна концепция като определено събитие. Ето няколко примера:

• Работим и получаваме възнаграждение под формата на заплати.
• Издържахме добре изпитите, издържахме състезанието, за това получаваме награда под формата на допускане до образователна институция.
• Инвестирахме пари в банката, ако трябва, ще си ги върнем.

Такива събития са надеждни. Ако сме изпълнили всички необходими условия, със сигурност ще получим очаквания резултат.

Невъзможни събития

Сега разглеждаме елементи от теорията на вероятностите. Предлагаме да преминем към обяснение на следващия тип събития, а именно невъзможното. Първо, нека да определим най-важното правило - вероятността за невъзможно събитие е нула.

Човек не може да се отклони от тази формулировка, когато решава проблеми. За пояснение, ето примери за такива събития:

• Водата замръзна при температура плюс десет (това е невъзможно).
• Липсата на електричество не влияе по никакъв начин на производството (също толкова невъзможно, колкото и в предишния пример).

Не си струва да даваме повече примери, тъй като описаните по-горе много ясно отразяват същността на тази категория. Невъзможно събитие никога няма да се случи по време на експеримент при никакви обстоятелства.

Случайни събития

При изучаването на елементите трябва да се обърне специално внимание на този конкретен тип събития. Това изучава науката. В резултат на преживяното нещо може да се случи или да не се случи. Освен това тестът може да се провежда неограничен брой пъти. Ярките примери включват:

• Хвърлянето на монета е опит или изпитание, падането на глави е събитие.
• Изваждането на топка от торба на сляпо е изпитание; получаването на червена топка е събитие и т.н.

Може да има неограничен брой такива примери, но като цяло същността трябва да е ясна. За обобщаване и систематизиране на придобитите знания за събитията е дадена таблица. Теорията на вероятностите изучава само последния тип от всички представени.

Закони

Теорията на вероятностите е наука, която изучава възможността за възникване на събитие. Подобно на другите, има някои правила. Съществуват следните закони на теорията на вероятностите:

• Сходимост на последователности от случайни променливи.
• Закон за големите числа.

Когато изчислявате възможността за нещо сложно, можете да използвате набор от прости събития, за да постигнете резултат по по-лесен и бърз начин. Обърнете внимание, че законите на теорията на вероятностите се доказват лесно с помощта на определени теореми. Предлагаме ви първо да се запознаете с първия закон.

Сходимост на последователности от случайни променливи

Имайте предвид, че има няколко типа конвергенция:

• Последователността от случайни променливи се сближава по вероятност.
• Почти невъзможно.
• Средна квадратична конвергенция.
• Конвергенция на разпределението.

Така че, веднага, много е трудно да се разбере същността. Ето определения, които ще ви помогнат да разберете тази тема. Да започнем с първия изглед. Последователността се нарича сходни по вероятност, ако е изпълнено следното условие: n клони към безкрайност, числото, към което клони редицата, е по-голямо от нула и близко до единица.

Да преминем към следващ изглед,почти сигурно. Казва се, че последователността се събира почти сигурнокъм случайна променлива с n клонящо към безкрайност и P клонящо към стойност близка до единица.

Следващият тип е средна квадратична конвергенция. При използване на SC-конвергенция изучаването на векторни случайни процеси се свежда до изследване на техните координатни случайни процеси.

Последният тип остава, нека го анализираме накратко, за да преминем директно към решаването на проблеми. Конвергенцията на разпределението има друго име - „слаба“, по-долу ще обясним защо. Слаба конвергенцияе сходимостта на функциите на разпределение във всички точки на непрекъснатост на ограничителната функция на разпределение.

Определено ще изпълним обещанието: слабата конвергенция се различава от всичко по-горе по това, че случайната променлива не е дефинирана на вероятностното пространство. Това е възможно, тъй като условието се формира изключително с помощта на функции на разпределение.

Закон за големите числа

Отлични помощници в доказването на този закон ще бъдат теореми на теорията на вероятностите, като например:

• Неравенството на Чебишев.
• Теорема на Чебишев.
• Обобщена теорема на Чебишев.
• Теорема на Марков.

Ако разгледаме всички тези теореми, тогава този въпрос може да се проточи за няколко десетки листа. Основната ни задача е да приложим теорията на вероятностите на практика. Предлагаме ви да направите това точно сега. Но преди това, нека разгледаме аксиомите на теорията на вероятностите, те ще бъдат основните помощници при решаването на проблеми.

Аксиоми

Вече се запознахме с първия, когато говорихме за невъзможно събитие. Нека си припомним: вероятността от невъзможно събитие е нула. Дадохме много ярък и запомнящ се пример: сняг падна при температура на въздуха тридесет градуса по Целзий.

Второто е следното: определено събитие се случва с вероятност равна на единица. Сега ще покажем как да напишем това с помощта на математически език: P(B)=1.

Трето: Случайно събитие може да се случи или да не се случи, но възможността винаги варира от нула до едно. Колкото по-близка е стойността до единица, толкова по-големи са шансовете; ако стойността се доближава до нула, вероятността е много ниска. Нека напишем това на математически език: 0<Р(С)<1.

Нека разгледаме последната, четвърта аксиома, която звучи така: вероятността за сумата от две събития е равна на сумата от техните вероятности. Записваме го на математически език: P(A+B)=P(A)+P(B).

Аксиомите на теорията на вероятностите са най-простите правила, които не са трудни за запомняне. Нека се опитаме да решим някои задачи въз основа на знанията, които вече сме придобили.

Лотариен билет

Първо, нека да разгледаме най-простия пример - лотария. Представете си, че сте купили един билет за лотария за късмет. Каква е вероятността да спечелите поне двадесет рубли? Общо в тиража участват хиляда билета, един от които има награда от петстотин рубли, десет от тях имат по сто рубли, петдесет имат награда от двадесет рубли и сто имат награда от пет. Вероятностните проблеми се основават на намирането на възможността за късмет. Сега заедно ще анализираме решението на горната задача.

Ако използваме буквата А, за да обозначим печалба от петстотин рубли, тогава вероятността да получим А ще бъде равна на 0,001. Как го получихме? Просто трябва да разделите броя на „щастливите“ билети на общия им брой (в този случай: 1/1000).

B е печалба от сто рубли, вероятността ще бъде 0,01. Сега действахме на същия принцип като в предишното действие (10/1000)

C - печалбата е двадесет рубли. Намираме вероятността, тя е равна на 0,05.

Не се интересуваме от останалите билети, тъй като техният награден фонд е по-малък от посочения в условието. Нека приложим четвъртата аксиома: Вероятността да спечелите поне двадесет рубли е P(A)+P(B)+P(C). Буквата P обозначава вероятността за настъпване на дадено събитие, ние вече ги намерихме в предишни действия. Остава само да съберем необходимите данни и отговорът, който получаваме, е 0,061. Това число ще бъде отговорът на въпроса на задачата.

тесте карти

Проблемите в теорията на вероятностите могат да бъдат по-сложни; например, нека вземем следната задача. Пред вас има тесте от тридесет и шест карти. Вашата задача е да изтеглите две карти подред, без да разбърквате стека, първата и втората карта трябва да са аса, боята няма значение.

Първо, нека намерим вероятността първата карта да бъде асо, за това разделяме четири на тридесет и шест. Оставят го настрана. Изваждаме втората карта, тя ще бъде асо с вероятност три тридесет и пети. Вероятността за второто събитие зависи от това коя карта сме изтеглили първа, чудим се дали е било асо или не. От това следва, че събитие B зависи от събитие A.

Следващата стъпка е да намерим вероятността за едновременно възникване, тоест умножаваме A и B. Техният продукт се намира по следния начин: умножаваме вероятността за едно събитие по условната вероятност за друго, което изчисляваме, като приемаме, че първото настъпи събитие, тоест изтеглихме асо с първата карта.

За да стане всичко ясно, нека дадем обозначение на такъв елемент като събития. Изчислява се, като се приема, че събитие А е настъпило. Изчислява се, както следва: P(B/A).

Нека продължим с решаването на нашия проблем: P(A * B) = P(A) * P(B/A) или P(A * B) = P(B) * P(A/B). Вероятността е равна на (4/36) * ((3/35)/(4/36). Изчисляваме чрез закръгляване до най-близката стотна. Имаме: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Вероятността да изтеглим два аса подред е девет стотни.Стойността е много малка, от което следва, че вероятността събитието да се случи е изключително малка.

Забравен номер

Предлагаме да анализираме още няколко варианта на задачи, които се изучават от теорията на вероятностите. Вече видяхте примери за решаване на някои от тях в тази статия.Нека се опитаме да разрешим следния проблем: момчето забрави последната цифра от телефонния номер на своя приятел, но тъй като обаждането беше много важно, започна да набира всичко едно по едно . Трябва да изчислим вероятността той да се обади не повече от три пъти. Решението на проблема е най-просто, ако са известни правилата, законите и аксиомите на теорията на вероятностите.

Преди да разгледате решението, опитайте се да го решите сами. Знаем, че последната цифра може да бъде от нула до девет, тоест общо десет стойности. Вероятността да получите правилния е 1/10.

След това трябва да разгледаме опциите за произхода на събитието, да предположим, че момчето е познало правилно и веднага е написало правилното, вероятността за такова събитие е 1/10. Втори вариант: първото повикване пропуска, а второто е в целта. Нека изчислим вероятността от такова събитие: умножете 9/10 по 1/9 и в резултат получаваме също 1/10. Третият вариант: първото и второто обаждане се оказват на грешен адрес, само с третото момчето стига там, където иска. Ние изчисляваме вероятността от такова събитие: 9/10, умножено по 8/9 и 1/8, което води до 1/10. Други варианти според условията на задачата не ни интересуват, така че просто трябва да съберем получените резултати, накрая имаме 3/10. Отговор: вероятността момчето да се обади не повече от три пъти е 0,3.

Карти с числа

Пред вас има девет карти, на всяка от които е написано число от едно до девет, числата не се повтарят. Слагат се в кутия и се разбъркват старателно. Трябва да изчислите вероятността, че

• ще се появи четно число;
• двуцифрен.

Преди да преминем към решението, нека уговорим, че m е броят на успешните случаи, а n е общият брой опции. Нека намерим вероятността числото да е четно. Няма да е трудно да изчислим, че има четири четни числа, това ще бъде нашето m, има общо девет възможни варианта, тоест m=9. Тогава вероятността е 0,44 или 4/9.

Нека разгледаме втория случай: броят на опциите е девет и изобщо не може да има успешни резултати, тоест m е равно на нула. Вероятността изтеглената карта да съдържа двуцифрено число също е нула.

комбинаторна статистика на вероятностни събития

Теорията на вероятностите е клон на математиката, който изучава модели на случайни явления. Случайните явления са явления с несигурен изход, които възникват, когато определен набор от условия се възпроизвежда многократно. Формирането и развитието на теорията на вероятностите е свързано с имената на такива велики учени като: Кардано, Паскал, Ферма, Бернули, Гаус, Чебишев, Калмогоров и много други. Моделите на случайни явления са открити за първи път през 16-17 век. използвайки примера на хазартни игри като зарове. Законите за раждането и смъртта също са известни от много дълго време. Например, известна ли е вероятността новороденото да е момче? 0,515. През 19-20в. голям брой закономерности са открити във физиката, химията, биологията и др. В момента методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни клонове на естествените науки и технологиите: в теорията на надеждността, теорията на масовото обслужване, теоретичната физика, геодезията, астрономията, теорията на стрелбата , теория на грешките при наблюдение, теория на автоматичното управление, обща теория на комуникациите и много други теоретични и приложни науки. Теорията на вероятностите служи и за обосноваване на математическата и приложна статистика, която от своя страна се използва при планиране и организиране на производството, при анализ на технологични процеси, превантивен и приемо-предавателен контрол на качеството на продукцията и за много други цели. През последните години методите на теорията на вероятностите все повече навлизат в различни области на науката и технологиите, допринасяйки за техния прогрес.

Пробен период. Събитие. Класификация на събитията

Тестът е многократно възпроизвеждане на същия набор от условия, при които е направено наблюдение. Резултатът от качествен тест е събитие. Пример 1: Урна съдържа цветни топки. От урната се взема една топка за късмет. Тест – изваждане на топка от урна; Събитие е появата на топка с определен цвят. A. 2: Наборът от взаимно изключващи се резултати от едно изпитване се нарича набор от елементарни събития или елементарни резултати. Пример 2: Зарът се хвърля веднъж. Тестът е хвърляне на зар; Събитие - загуба на определен брой точки. Наборът от елементарни резултати е (1,2,3,4,5,6). Събитията се обозначават с главни букви на латинската азбука: A 1, A 2,..., A, B, C,... Наблюдаваните събития (явления) могат да се разделят на следните три вида: надеждни, невъзможни, случайни. A. 3: Едно събитие се нарича надеждно, ако в резултат на теста то определено ще се случи. A. 4: Едно събитие се нарича невъзможно, ако в резултат на теста то никога няма да се случи. A. 5: Събитие се нарича случайно, ако в резултат на тест може да се случи или да не се случи. Пример 3: Тест - топката се хвърля нагоре. Събитие A = (топката ще падне) - надеждно; Събитие B=(топката ще виси във въздуха) - невъзможно; Събитие C=(топката ще падне върху главата на хвърлящия) е произволно. Случайните събития (явления) могат да бъдат разделени на следните видове: съвместими, несъвместими, противоположни, еднакво възможни. A. 6: Две събития се наричат ​​съвместни, ако по време на един тест появата на едно от тях не изключва появата на другото. A. 7: Две събития се наричат ​​несъвместими, ако по време на един тест появата на едно от тях изключва появата на другото. Пример 4: Монета се хвърля два пъти. Събитие А - (Гербът изпадна за първи път); Събитие Б - (Гербът падна за втори път); Събитие C - (За първи път глави). Събития A и B са съвместими, A и C са несъвместими. A. 8: Няколко събития образуват пълна група в даден тест, ако са несъвместими по двойки и в резултат на теста определено ще се появи едно от тези събития. Пример 5: Момче хвърля монета в ротативка. Събитие A = (момче печели); Събитие B=(момчето няма да спечели); A и B - образуват пълна група от събития. A. 9: Две несъвместими събития, които образуват пълна група, се наричат ​​противоположни. Посочено е събитието, противоположно на събитие А. Пример 6. Произвежда се един изстрел по мишената. Събитие А - хит; Събитието е пропуск.

Класификация на събитията на възможни, вероятни и случайни. Понятия за прости и сложни елементарни събития. Операции върху събития. Класическа дефиниция на вероятността от случайно събитие и неговите свойства. Елементи на комбинаториката в теорията на вероятностите. Геометрична вероятност. Аксиоми на теорията на вероятностите.

Класификация на събитията

Едно от основните понятия на теорията на вероятностите е понятието събитие. Под събитиеразбира всеки факт, който може да възникне в резултат на опит или тест. Под опит, или тест, се отнася до изпълнението на определен набор от условия.

Примери за събития:

– поразяване на целта при стрелба с пистолет (опит – извършване на изстрел; събитие – попадение в целта);
– загуба на две емблеми при хвърляне на монета три пъти (опит – хвърляне на монета три пъти; събитие – загуба на две емблеми);
– поява на грешка при измерване в определени граници при измерване на обхвата до цел (опит – измерване на обхват; събитие – грешка на измерване).

Могат да се дадат безброй подобни примери. Събитията се обозначават с главни букви на латинската азбука и др.

Разграничете съвместни събитияИ несъвместими. Събитията се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото. В противен случай събитията се наричат ​​несъвместими. Например, хвърлят се два зара. Събитието е загуба на три точки на първия зар, събитието е загуба на три точки на втория зар. и - съвместни събития. Нека магазинът получи партида обувки от същия стил и размер, но различни цветове. Събитие - кутия, взета на случаен принцип, ще съдържа черни обувки, събитие - кутията ще съдържа кафяви обувки и - несъвместими събития.

Събитието се нарича надежден, ако е сигурно, че ще се случи при условията на даден експеримент.

Едно събитие се нарича невъзможно, ако не може да се случи при условията на даден опит. Например, случайът, че стандартна част ще бъде взета от партида стандартни части, е надежден, но нестандартна част е невъзможна.

Събитието се нарича възможен, или случаен, ако в резултат на опит може да се появи, но може и да не се появи. Пример за случайно събитие може да бъде идентифицирането на дефекти на продукта по време на проверка на партида готови продукти, несъответствие между размера на обработения продукт и посочения или повреда на една от връзките в автоматизираната система за управление.

Събитията се наричат еднакво възможно, ако според условията на теста нито едно от тези събития не е обективно по-възможно от останалите. Например, нека един магазин се снабди с електрически крушки (в равни количества) от няколко производствени предприятия. Събития, включващи закупуване на електрическа крушка от някоя от тези фабрики, са еднакво възможни.

Важна концепция е пълна група от събития. Няколко събития в даден експеримент образуват пълна група, ако поне едно от тях със сигурност ще се появи в резултат на експеримента. Например една урна съдържа десет топки, шест от които са червени, четири са бели и пет топки имат номера. - появата на червена топка по време на едно теглене, - появата на бяла топка, - появата на топка с номер. Събитията образуват пълна група от съвместни събития.

Нека въведем концепцията за противоположно или допълнително събитие. Под противоположностПод събитие се разбира събитие, което непременно трябва да се случи, ако някое събитие не се случи. Противоположните събития са несъвместими и единствено възможни. Те образуват пълна група от събития. Например, ако партида от произведени продукти се състои от добри и дефектни продукти, тогава когато един продукт бъде премахнат, той може да се окаже или добро събитие, или дефектно събитие.

Операции върху събития

При разработването на апаратура и методология за изучаване на случайни събития в теорията на вероятностите концепцията за сумата и произведението на събитията е много важна.

Сумата или обединението на няколко събития е събитие, състоящо се от настъпването на поне едно от тези събития.

Сборът на събитията се посочва, както следва:

Например, ако едно събитие е поразяване на целта с първия изстрел, събитие - с втория, тогава събитието е поразяване на целта като цяло, без значение с кой изстрел - с първия, втория или и с двата.

Продуктът или пресечната точка на няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.

Продуктът на събитията е означен

Например, ако събитието е попадение в мишената при първия изстрел и събитието при втория, тогава събитието е, че целта е била поразена и при двата изстрела.

Понятията сума и продукт на събитията имат ясна геометрична интерпретация. Нека събитието се състои в попадение в точката в региона , събитието - в попадение в региона , тогава събитието се състои в попадение в точката в областта, защрихована на фиг. 1, а събитието - когато точка удари областта, защрихована на фиг. 2.

Класическата дефиниция на вероятността от случайно събитие

За количествено сравнение на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие.

Вероятността за събитие е число, което е израз на мярка за обективната възможност за настъпване на събитие.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникални, еднакво възможни и несъвместими случаи към броят.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след като се вземат предвид различните резултати от теста, да се намери набор от единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой , броят на случаите, благоприятни за това събитие и след това извършете изчислението по формула (1.1).

От формула (1.1) следва, че вероятността за събитие е неотрицателно число и може да варира от нула до единица в зависимост от дела на благоприятния брой случаи от общия брой случаи:

Свойства на вероятността

Имот 1. Ако всички случаи са благоприятни за дадено събитие, тогава това събитие определено ще се случи. Следователно разглежданото събитие е надеждно и вероятността за неговото възникване е , тъй като в този случай

Имот 2. Ако няма нито един благоприятен случай за дадено събитие, тогава това събитие не може да се случи в резултат на опит. Следователно въпросното събитие е невъзможно и вероятността за възникването му е , тъй като в този случай:

Имот 3. Вероятността за възникване на събития, образуващи пълна група, е равна на единица.

Имот 4. Вероятността за настъпване на противоположното събитие се определя по същия начин като вероятността за настъпване на събитието:

където е броят на случаите, благоприятстващи настъпването на обратното събитие. Следователно вероятността за възникване на противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността за възникване на събитието:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи без прибягване до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Пример 1. При набиране на телефонен номер абонатът забрави една цифра и я набра произволно. Намерете вероятността да бъде набран правилният номер.

Решение. Да обозначим събитието, което се състои в набиране на необходимия номер. Абонатът може да набере всяка от 10-те цифри, така че общият брой възможни резултати е 10. Тези резултати са единствено възможни (трябва да се набере една от цифрите) и еднакво възможни (цифрата се набира произволно). Само един резултат благоприятства събитието (има само едно задължително число). Необходимата вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитието, към броя на всички резултати:

Елементи на комбинаториката

В теорията на вероятностите често се използват разположения, пермутации и комбинации. Ако е даден набор, тогава разположение (комбинация)на елементите от е всяко подредено (неподредено) подмножество от елементите на множеството. При поставяне се извиква пренарежданеот елементи.

Нека например ни е даден набор. Разположенията на трите елемента от този набор от две са , , , , , ; комбинации - , , .

Две комбинации се различават в поне един елемент, а разположенията се различават или в самите елементи, или в реда, в който се появяват. Броят на комбинациите от елементи по се изчислява по формулата

е броят на поставянията на елементи от ; - брой пермутации на елементи.

Пример 2. В партида от 10 части има 7 стандартни. Намерете вероятността сред 6 произволно взети части да има точно 4 стандартни.

Решение. Общият брой на възможните резултати от теста е равен на броя на начините, по които 6 части могат да бъдат извлечени от 10, т.е. той е равен на броя на комбинациите от 10 елемента по 6. Броят на резултатите, които благоприятстват събитието (сред 6 взети части точно 4 стандартни) се определя, както следва: 4 стандартни части могат да бъдат взети от 7 стандартни части по начини; докато останалите детайли трябва да са нестандартни; можете да вземете 2 нестандартни части от нестандартни части по начини. Следователно броят на благоприятните резултати е . Първоначалната вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват събитието, към броя на всички резултати:

Статистическа дефиниция на вероятността

Формула (1.1) се използва за директно изчисляване на вероятностите от събития само когато опитът е сведен до схема от случаи. На практика класическата дефиниция на вероятността често е неприложима по две причини: първо, класическата дефиниция на вероятност предполага, че общият брой случаи трябва да е краен. Всъщност често не е ограничен. Второ, често е невъзможно резултатите от експеримента да се представят под формата на еднакво възможни и несъвместими събития.

Честотата на възникване на събития по време на повтарящи се експерименти има тенденция да се стабилизира около някаква постоянна стойност. Така с разглежданото събитие може да се свърже определена постоянна стойност, около която се групират честотите и която е характеристика на обективната връзка между набора от условия, при които се провеждат експериментите, и събитието.

Вероятността за случайно събитие е числото, около което се групират честотите на това събитие с увеличаване на броя на опитите.

Това определение на вероятността се нарича статистически.

Предимството на статистическия метод за определяне на вероятността е, че той се основава на реален експеримент. Същественият му недостатък обаче е, че за определяне на вероятността е необходимо да се извършат голям брой експерименти, които много често са свързани с материални разходи. Статистическото определяне на вероятността от дадено събитие, въпреки че доста пълно разкрива съдържанието на това понятие, не дава възможност реално да се изчисли вероятността.

Класическата дефиниция на вероятността разглежда пълната група от краен брой еднакво възможни събития. На практика много често броят на възможните резултати от теста е безкраен. В такива случаи класическата дефиниция на вероятността не е приложима. Но понякога в такива случаи можете да използвате друг метод за изчисляване на вероятността. За определеност се ограничаваме до двумерния случай.

Нека на равнината е дадена определена област от площ , която съдържа друга област от площ (фиг. 3). Точка се хвърля в зоната на случаен принцип. Каква е вероятността точка да попадне в региона? Предполага се, че произволно хвърлена точка може да удари всяка точка в региона и вероятността да се удари която и да е част от региона е пропорционална на площта на частта и не зависи от нейното местоположение и форма. В този случай вероятността да уцелите зоната, когато хвърлите произволна точка в зоната, е

По този начин, в общия случай, ако възможността за произволна поява на точка в определена област на линия, равнина или в пространството се определя не от позицията на тази област и нейните граници, а само от нейния размер, т.е. дължина , площ или обем, тогава вероятността произволна точка да попадне в определен регион се определя като съотношението на размера на този регион към размера на целия регион, в който може да се появи дадена точка. Това е геометричната дефиниция на вероятността.

Пример 3. Кръгла цел се върти с постоянна ъглова скорост. Една пета от целта е боядисана в зелено, а останалата част е бяла (фиг. 4). Произвежда се изстрел към целта, така че уцелването на целта е надеждно събитие. Необходимо е да се определи вероятността за попадение в целевия сектор, оцветен в зелено.

Решение. Нека обозначим „изстрелът попадна в сектора, оцветен в зелено“. Тогава . Вероятността се получава като съотношението на площта на зелено оцветената част на целта към цялата площ на целта, тъй като уцелването на всяка част от целта е еднакво възможно.

Аксиоми на теорията на вероятностите

От статистическата дефиниция на вероятността за случайно събитие следва, че вероятността за събитие е числото, около което са групирани експериментално наблюдаваните честоти на това събитие. Следователно аксиомите на теорията на вероятностите са въведени по такъв начин, че вероятността за събитие има основните свойства на честотата.

Аксиома 1. Всяко събитие съответства на определено число, което отговаря на условието и се нарича негова вероятност.