Математическо очакване на случаен процес. Случайни променливи. Дискретна случайна величина Математическо очакване. Закон за разпределение на дискретна случайна величина

Случайни (стохастични) процеси са външен шум, флуктуационен шум на изхода на дискриминатора и други RAS устройства, вътрешни смущения в RAS: нестабилност на честотата на PG, нестабилност на устройства с регулируемо времезакъснение и др.

Изследването на RAS при произволни влияния по принцип може да се извърши с помощта на конвенционални методи, определящи качествените параметри на RAS при най-неблагоприятните (максимални) стойности на смущения ( най-лошия случай ).

Въпреки това, тъй като максимална стойностслучайна променлива е малко вероятно и ще се наблюдава рядко, на RAS ще бъдат наложени съзнателно строги изисквания. По-рационални решения могат да бъдат получени чрез разглеждане най-вероятна стойност случайна величина.

Може да се разгледа законът за разпределение на флуктуационните компоненти в линейните RAS нормално (Гаус). Нормалният закон на разпределение е характерен за вътрешните смущения. Когато случаен процес преминава през линейна система, нормалният закон за разпределение остава непроменен . Ако на входа на RAS или в друга точка (например на изхода на дискриминатора) има смущение със закон на разпределение, различен от нормалния и имащ широк спектър С(ω), това смущение е ефективно нормализира теснолентови RAS филтърни елементи.

Случаен процес с нормален закон на разпределение е напълно детерминиран математическо очакване м(T) И корелационна функция Р(τ).

Очаквана стойност (очакване) на случаен процес х(T) представлява някои редовен функция m x(T), около който са групирани всички реализации на даден процес ( – плътност на вероятността). Нарича се още средна стойност за набора (ансамбъл).

m x(T) = М{х(T)} = . (6.1)

Случаен процес ( T) без редовен компонент m x(T) е наречен центриран .

Да се вземе предвид степента на разсейване на случаен процес спрямо средната му стойност m x(T) въведе концепцията вариации :

D x(T) = М{( (T)) 2 } = . (6.2)

Средната стойност на квадрата на случаен процес е свързана с неговото очакване m x(T) и дисперсия D x(T) формула: .

На практика е удобно да се оцени произволен процес с помощта на статистически характеристики х Кв.(T) и s х(T), имащ същото измерение като самия процес.

RMS стойност х Кв.(T) произволен процес:

Стандартно отклонение x sq (t) на случаен процес:

. (6.4)

Очакванията и дисперсията не дават достатъчна представа за природата на отделните реализации на случаен процес. За да се вземе предвид степента на променливост на даден процес или връзката между неговите стойности в различни моменти от време, концепцията за корелация ( автокорелация ) функции.

Корелационна функцияцентриран процес ( T) е равно на

където е двумерната плътност на вероятността.

Корелационната функция е дори : Р(τ ) = Р(–τ ).

Ако функциите на разпределението и плътността на вероятността на даден процес не зависят от времевото изместване на всички времеви аргументи с една и съща стойност, такъв случаен процес се нарича стационарен .

Ако стационарен процес има еднакви стойности средно от комплекта И средно време , такъв случаен процес се нарича ергодичен .

знаейки Р(τ) можем да определим дисперсията на стационарен процес:

Спектрална плътност Сл г(ω) изходен процес г(T) В линейна системаи спектрална плътност С l (ω) на входното влияние са свързани със съотношението:

. (6.7)

Корелационна функция Р(τ) на стационарен случаен процес и неговата спектрална плътност С(ω) са свързани с преобразуването на Фурие, така че анализът често се извършва в честотната област. След като извършихме преобразуването на Фурие за (6.7), получаваме израз за корелационната функция на изходния процес Рай(τ):

Спектрални плътности Сл г(ω) и С l (ω) са двустранно .

Можете да влезете едностранчив спектрална плътност н(f), който е дефиниран само за положителен честоти().

Даден паритет Р(τ) и формулите на Ойлер (6.8) могат да бъдат опростени:

. (6.9)

Качеството на работата на RAS е относително случаен сигнали и смущения се характеризира обща средна квадратична грешка (СКО).

Нека разгледаме обобщен PAC, чиято диаграма е показана на фиг. 2.11. Разглеждаме въздействието λ( T) детерминистично и смущението ξ( T) на изхода на дискриминатора – случаен процес. По формули (2.28)–(2.31) определяме PF за грешката при влияние и смущение.

Като цяло, между процесите на влияние и смущение може да съществува корелация (Връзка). В този случай освен автокорелация трябва да се вземат предвид функциите на формата (6.8) за всеки от процесите кръстосана корелация функции на процесите един спрямо друг. Чрез спектрални плътности комуникационните данни се записват по погрешка, както следва:

След като заместим израз (6.11) във формула (6.8), получаваме съответните дисперсионни компоненти:

Ако няма връзка между процесите, тогава С l x (ω) = С x l (ω) = 0, и също д l x = д x l = 0, а формулата (6.12) е опростена

Очакване на грешка х(T) е подобно на определението в стационарно състояние: .

Ако спектралната плътност S x(ω) се описва с дробна рационална функция по отношение на ω, след което се изчислява D xтой е представен като:

където е полином, съдържащ дори степени азω до 2 н–2 включително; a е полином от степен н, чиито корени лежат в горната полуравнина на комплексната променлива ω.

Интеграли (6.14) могат да бъдат изчислени с помощта на формула (6.15):

, (6.15)

къде н– водещата детерминанта на Хурвиц на формата (4.7), съставена от коефициенти a j, А Q n– детерминант от тип D н, в която на първия ред коеф a jзаменен от b j.

За интеграл (6.15) има таблици със стойности за н ≤ 7.

Стойности при н≤ 4 се определят по формулите:

, , ,

Пример 6.1.Нека определим стандартното отклонение на PLL системата от Пример 4.2.

Нека сигналът λ( T) = 1 + 0,1Tи смущението ξ( T) е бял шум с амплитуда N 0= 1 mV ().

Процентите на грешки за този PAC вече са открити в Пример 5.1.

За PF, грешки, дължащи се на смущение от формула (2.30) след промяна на променливи Р ® азω получаваме ( К 1 = S d , к 0 = к 1 S d , к 1 = k f k и):

След заместване на формула (6.17) в (6.13) ( д l = 0) получаваме:

Сравнявайки (6.18) с израз (6.14), намираме реда и коефициентите на полиномите (6.14): н = 3, б 2 = 0, b 1= –(T 2) 2 , b 0 = 1; а 3 = T f T d, а 2 = T f+ T d , а 1 = 1 + к 0 Т 2, а 0 = к 0 .

След заместване на числовите стойности резултатът е:

m x= 5×10 –4 (1/s), D x= 1,06 × 10 –3 (1/s 2) (при к 0 = 200, S d = 10, к 1 = 20) или

m x= 5×10 –4 (1/s), D x= 0,66 (1/s 2) (с к 0 = 200, S d = 0,4 , к 1 = 500).

От (6.3), (6.4) следва, че х кв.м.≈ s х= 0,032 (1/s) при S d= 10 и при S d = 0,4 х кв.м.≈ s х= 0,81 (1/s).

Пример 6.2.Нека определим RMS отклонението на RAS от Пример 4.5 за същите сигнали: λ( T) = 1 + 0,1Tи ξ( T) = N 0= 1 mV. λ′( T) = λ 1 , λ″( T) = 0

Намираме коефициентите на грешка за даден RAS с помощта на формула (5.19): .

v = 0, d 1 = 0, d 0 = S d, б 3 = T 1 T 2 T 3, б 2 = Т 1 Т 2+Т 2 Т 3+T 1 T 3, b 1 = Т 1 + Т 2 + Т 3, b 0 = 1.

От формули (5.19)–(5.22) получаваме

За PF, грешките, дължащи се на смущението от формула (2.30) след замяна на променливите p ® азω в (6.20) получаваме:

След заместване на формула (6.20) в (6.13) (D l = 0) получаваме:

Сравнявайки (6.21) с израз (6.14), намираме коефициентите на полиномите (6.14): н = 3, б 2 = b 1 = 0, b 0 = 1; а 3 = T 1 T 2 T 3, а 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, а 1 = Т 1 + Т 2 + Т 3, а 0 = S d + 1.

След заместване във формула (6.16) и трансформации получаваме:

След заместване на числовите стойности резултатът е:

m x= (9,2 + 0,9 t)10 –2, D x= 4,2 × 10 –4.

6.2. Графично-аналитичен метод за определяне на дисперсия.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Череповецки държавен университет

Инженерно-икономически институт

Концепцията за случаен процес в математиката

Изпълнява ученик

Група 5 GMU-21

Иванова Юлия

Череповец

Въведение

Главна част

· Дефиниция на случаен процес и неговите характеристики

· Марковски случайни процеси с дискретни състояния

Стационарни случайни процеси

Ергодично свойство на стационарните случайни процеси

Литература

Въведение

Концепцията за случаен процес е въведена през 20 век и се свързва с имената на A.N. Колмогоров (1903-1987), А.Я. Хинчин (1894-1959), E.E. Слуцки (1880-1948), Н. Винер (1894-1965).

Тази концепция днес е една от централните не само в теорията на вероятностите, но и в естествените науки, инженерството, икономиката, организацията на производството и теорията на комуникацията. Теорията на случайните процеси принадлежи към категорията на най-бързо развиващите се математически дисциплини. Няма съмнение, че това обстоятелство до голяма степен се определя от дълбоките му връзки с практиката. 20-ти век не можа да се задоволи с идеологическото наследство, получено от миналото. Наистина, докато физикът, биологът и инженерът се интересуваха от процеса, т.е. промяната във времето на изучаваното явление, теорията на вероятностите, която им предлага като математически апарат, означава само това, че изследваните стационарни състояния.

За изучаване на промените във времето, теория на вероятностите края на XIX- в началото на 20 век няма развити частни схеми, още по-малко общи техники. И необходимостта от създаването им буквално почука на прозорците и вратите на математическата наука. Изследването на Брауновото движение във физиката доведе математиката до прага на създаването на теория за случайните процеси.

Считам за необходимо да спомена още две важни групи изследвания, започнати по различно време и по различни причини.

Първо, тази работа на A.A. Марков (1856-1922) за изследване на верижните зависимости. Второ, произведенията на E.E. Слуцки (1880-1948) върху теорията на случайните функции.

И двете посоки играха много значителна ролявъв формацията обща теорияслучайни процеси.

За тази цел вече беше натрупан значителен изходен материал и необходимостта от изграждането на теория сякаш витаеше във въздуха.

Оставаше да се извърши задълбочен анализ на съществуващите трудове, на идеите и резултатите, изразени в тях, и на негова основа да се извърши необходимият синтез.

Дефиниция на случаен процес и неговите характеристики

Определение: Чрез случаен процес X(t) е процес, чиято стойност за всяка стойност на аргумента t е случайна променлива.

С други думи, случаен процес е функция, която в резултат на тестване може да приеме една или друга специфична форма, неизвестна предварително. За фиксирано t=t 0 X(t 0) е обикновена случайна променлива, т.е. разделслучаен процес в момент t 0.

Примери за случайни процеси:

1. населението на района във времето;

2. броя заявки, постъпили във фирмения ремонтен сервиз във времето.

Случаен процес може да се запише като функция на две променливи X(t,ω), където ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ и ω е елементарно събитие, Ω е пространството на елементарни събития , T е набор от стойности на аргумент t, ≡ е набор от възможни стойности на случайния процес X(t, ω).

Внедряванеслучаен процес X(t, ω) е неслучайната функция x(t), в която се превръща случайният процес X(t) в резултат на тестване (за фиксирано ω), т.е. конкретната форма, взета от случайния процес X(t), негова траектория.

По този начин, случаен процес X(t, ω) съчетава характеристиките на случайна променлива и функция.Ако фиксираме стойността на аргумента t, случайният процес се превръща в обикновена случайна променлива; ако фиксираме ω, тогава в резултат на всеки тест той се превръща в обикновена неслучайна функция. В следващата дискусия ще пропуснем аргумента ω, но той ще бъде приет по подразбиране.

Фигура 1 показва няколко реализации на произволен процес. Нека напречното сечение на този процес за дадено t е непрекъсната случайна променлива. Тогава случайният процес X(t) за дадено t се определя изцяло от вероятността φ(x‚ t). Очевидно е, че плътността φ(x, t) не е изчерпателно описание на случайния процес X(t), тъй като не изразява зависимостта между неговите участъци в различни моменти.

Случайният процес X(t) е съвкупност от всички секции за всички възможни стойности на t, следователно, за да се опише, е необходимо да се разгледа многомерна случайна променлива (X(t 1), X(t 2), . .., X(t n)), състоящ се от всички комбинации на този процес. По принцип има безкраен брой такива комбинации, но за да се опише случаен процес е възможно да се мине с относително малък брой комбинации.

Казват, че има случаен процес поръчкан, ако се определя изцяло от общата плътност на разпределение φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) n на произволни секции на процеса, т.е. плътност на n-мерна случайна променлива (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), където X(t i) е комбинация от случайния процес X(t) в момент t i , i=1, 2 , …, n.

Подобно на случайна променлива, може да се опише случаен процес числови характеристики. Ако за случайна променлива тези характеристики са постоянни числа, тогава за случаен процес - неслучайни функции.

Математическо очакванеслучаен процес X(t) е неслучайна функция a x (t), която за всяка стойност на променливата t е равна на математическото очакване на съответния участък от случайния процес X(t), т.е. a x (t)=M .

Дисперсияслучаен процес X(t) е неслучайна функция D x (t), за всяка стойност на променливата t, равна на дисперсията на съответната комбинация от случайния процес X(t), т.е. D x (t) = D.

Стандартно отклонениеσ x (t) на случаен процес X(t) е аритметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия, т.е. σ x (t) = D x (t).

Математическото очакване на случаен процес характеризира средно аритметичнотраекторията на всички негови възможни реализации и неговата дисперсия или стандартно отклонение - разпространениеизпълнения спрямо средната траектория.

Въведените по-горе характеристики на случаен процес се оказват недостатъчни, тъй като се определят само от едномерен закон за разпределение. Ако случайният процес X 1 (t) се характеризира с бавна промяна в стойностите на реализациите с промяна в t, тогава за случайния процес X 2 (t) тази промяна се случва много по-бързо. С други думи, случайният процес X 1 (t) се характеризира с тясна вероятностна зависимост между неговите две комбинации X 1 (t 1) и X 1 (t 2), докато за случайния процес X 2 (t) тази зависимост между комбинациите X 2 (t 1) и X 2 (t 2) практически липсват. Посочената зависимост между комбинациите се характеризира с корелационна функция.

определение: Корелационна функцияслучаен процес X(t) се нарича неслучайна функция

K x (t 1, t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)

две променливи t 1 и t 2, което за всяка двойка променливи t 1 и t 2 е равно на ковариацията на съответните комбинации X(t 1) и X(t 2) на случайния процес.

Очевидно, за случаен процес X(t 1) корелационната функция K x 1 (t 1, t 2) намалява, тъй като разликата t 2 - t 1 нараства много по-бавно от K x 2 (t 1, t 2) за a случаен процес X (t 2).

Корелационната функция K x (t 1, t 2) характеризира не само степента на струпване линейна зависимостмежду две комбинации, но и разпространението на тези комбинации спрямо математическото очакване a x (t). Следователно се разглежда и нормализираната корелационна функция на случайния процес.

Нормализирана корелационна функцияслучаен процес X(t) се нарича функцията:

P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1)σ x (t 2) (2)

Пример #1

Случайният процес се определя от формулата X(t) = X cosωt, където X е случайна променлива. Намерете основните характеристики на този процес, ако M(X) = a, D(X) = σ 2.

РЕШЕНИЕ:

Въз основа на свойствата на математическото очакване и дисперсията имаме:

a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.

Намираме корелационната функция, използвайки формула (1.)

K x (t 1, t 2) = M[(X cosωt 1 – a cosωt 1) (X cos ωt 2 – a cosωt 2)] =

Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .

Намираме нормализираната корелационна функция, използвайки формула (2.):

P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1)(σ cosωt 2) ≡ 1.

Случайните процеси могат да бъдат класифицирани в зависимост от това дали състоянията на системата, в която протичат, се променят плавно или рязко, дали множеството от тези състояния е крайно (изброимо) или безкрайно и т.н. Сред случайните процеси специално място заема случайният процес на Марков.

Теорема. Случаен процес X(t) е Хилберт тогава и само ако съществува R(t, t^) за всички (t, t^)€ T*T.

Теорията на Хилбертовите случайни процеси се нарича корелационна теория.

Забележете, че множеството T може да бъде дискретно и непрекъснато. В първия случай случайният процес X t се нарича процес с дискретно време, във втория - с непрекъснато време.

Съответно, комбинациите от X t могат да бъдат дискретни и непрекъснати случайни променливи.

Случайният процес се нарича X(t) селективнонеправилна, диференцируема и интегрируема в точка ω€Ω, ако нейната реализация x(t) = x(t, ω) е съответно непрекъсната, диференцируема и интегрируема.

Случайният процес X(t) се нарича непрекъснат: почти, вероятноАко

P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))

IN среден квадрат,Ако

Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0

По вероятност, Ако

Aδ ≥ 0: lim P[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0

Средната квадратична конвергенция също се означава с:

X(t) = lim X(t n)

Оказва се, че от приемствеността на извадката следва непрекъснатост почти сигурно, от непрекъснатостта почти сигурно и в средния квадрат следва непрекъснатост по вероятност.

Теорема. Ако X(t) е случаен процес на Хилберт, непрекъснат в средния квадрат, тогава m x (t) е непрекъсната функция и връзката е в сила

Lim M = M = M .

Теорема. Хилбертов случаен процес X(t) е непрекъснат средноквадратичен, ако и само ако неговата ковариационна функция R(t, t^) в точката (t, t) е непрекъсната.

Хилбертов случаен процес X(t) се нарича диференцируем среден квадрат, ако съществува случайна функция X(t) = dX(t)/dt, така че

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t +∆t € T),

тези. Кога

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0

Ще извикаме произволната функция X(t) средна квадратична производнаслучаен процес X(t) съответно в точка t или върху T.

Теорема. Случайният процес на Хилберт X(t) е диференцируем в средния квадрат в точка t, ако и само ако съществува

δ 2 R(t, t^) / δtδt^ в точка (t, t^). при което:

R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.

Ако случаен процес на Хилберт е диференцируем върху T, тогава неговата средноквадратична производна също е случаен процес на Хилберт; ако примерните траектории на процес са диференцируеми върху T с вероятност 1, тогава с вероятност 1 техните производни съвпадат със средните квадратични производни върху T.

Теорема. Ако X(t) е случаен процес на Хилберт, тогава

M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.

Нека (0, t) е краен интервал, 0

X(t) е случаен процес на Хилберт.

Y n = ∑ X(t i)(t i – t i-1) (n = 1,2, …).

След това случайната променлива

max (t i – t i -1)→0

Наречен интеграл в среден квадратпроцес X(t) върху (0, t) и се означава с:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Теорема . Средноквадратичният интеграл Y(t) съществува тогава и само ако ковариационната функция R(t, t^) на процеса на Хилберт X(t) е непрекъсната върху T×T и интегралът съществува

R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^

Ако средният квадратичен интеграл на функцията X(t) съществува, тогава

M = ∫ Mdτ,

R Y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^

K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^

Тук R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M са ковариационните и корелационните функции на случайния процес Y(t).

Теорема. Нека X(t) е случаен процес на Хилберт с ковариационна функция R(t, t^), φ(t) е реална функция и нека съществува интеграл

∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^

След това има среден квадратичен интеграл

∫ φ(t)X(t)dt.

Случайни процеси:

X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)

Където φ i (t) са дадени реални функции

Vi - случайни величини с характеристики

Наричат се елементарни.

Канонично разширениеслучаен процес X(t) се нарича неговото представяне във формата

Където V i са коефициентите, а φ i (t) са координатните функции на каноничното разширение на процеса X(t).

От отношенията:

M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

K(t, t^) = ∑ D i φ i (t)φ i (t^)

Тази формула се нарича канонично разширениекорелационна функция на случаен процес.

В случая с уравнението

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

Прилагат се следните формули:

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.

По този начин, ако процес X(t) е представен чрез неговото канонично разширение, тогава неговата производна и интеграл също могат да бъдат представени като канонични разширения.

Марковски случайни процеси с дискретни състояния

Случаен процес, протичащ в дадена система S с възможни състояния S 1, S 2, S 3, ... се нарича Марковски, или случаен процес без последствия, ако за всеки момент t 0 вероятните характеристики на процеса в бъдеще (при t>t 0) зависят само от неговото състояние в даден момент t 0 и не зависят от това кога и как системата е стигнала до това състояние; тези. не зависят от поведението му в миналото (при t

Пример за процес на Марков: система S е таксиметър. Състоянието на системата в момент t се характеризира с броя километри (десети от километра), изминати от автомобила до този момент. Нека в момента t 0 броячът покаже S 0 / Вероятността в момента t>t 0 броячът да покаже този или онзи брой километри (по-точно съответния брой рубли) S 1 зависи от S 0, но не зависи от това в кои моменти времето, показанията на измервателния уред са се променили до момента t 0.

Много процеси могат приблизително да се считат за марковски. Например процесът на игра на шах; система S е група от шахматни фигури. Състоянието на системата се характеризира с броя на вражеските фигури, останали на дъската в момент t 0 . Вероятността в момента t>t 0 материалното предимство да бъде на страната на един от противниците зависи преди всичко от състоянието на системата в момента t 0, а не от това кога и в каква последователност фигурите с дъски до време t 0 .

В някои случаи предисторията на разглежданите процеси може просто да бъде пренебрегната и за изследването им да се използват модели на Марков.

Случаен процес на Марков с дискретни състояния и дискретно време (или верига на Марков ) се нарича процес на Марков, в който възможните му състояния S 1, S 2, S 3, ... могат да бъдат изброени предварително, а преходът от състояние към състояние се случва моментално (скок), но само в определени моменти t 0, t 1, t 2, ..., наречени стъпкипроцес.

Нека означим p ij – вероятност за преходслучаен процес (система S) от състояние I до състояние j. Ако тези вероятности не зависят от номера на стъпката на процеса, тогава такава верига на Марков се нарича хомогенна.

Нека броят на състоянията на системата е краен и равен на m. Тогава може да се характеризира преходна матрица P 1 , който съдържа всички вероятности за преход:

p 11 p 12 … p 1m

p 21 p 22 … p 2m

P m1 p m2 … p mm

Естествено, за всеки ред ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.

Нека обозначим p ij (n) като вероятността, че в резултат на n стъпки системата ще премине от състояние I в състояние j. В този случай за I = 1 имаме вероятности за преход, които образуват матрицата P 1, т.е. p ij (1) = p ij

Необходимо е, знаейки вероятностите за преход p ij , да се намери p ij (n) – вероятностите за преминаване на системата от състояние I в състояние j за n стъпки. За целта ще разгледаме междинно (между I и j) състояние r, т.е. ще приемем, че от началното състояние I на k стъпки системата ще премине в междинно състояние r с вероятност p ir (k), след което в останалите n-k стъпкиот междинното състояние r ще премине в крайното състояние j с вероятност p rj (n-k). След това, според формулата за пълна вероятност

P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – равенство на Марков.

Нека се уверим, че знаейки всички вероятности за преход p ij = p ij (1), т.е. матрица P 1 на преход от състояние към състояние в една стъпка, можете да намерите вероятността p ij (2), т.е. матрица P 2 на преход от състояние в състояние в две стъпки. И знаейки матрицата P 2, намерете матрицата P 3 на прехода от състояние към състояние в три стъпки и т.н.

Наистина, поставяйки n = 2 във формулата P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), т.е. k=1 (междинно състояние между стъпките), получаваме

P ij (2) = ∑ p ir (1)p rj (2-1) = ∑ p ir p rj

Полученото равенство означава, че P 2 = P 1 P 1 = P 2 1

Приемайки n = 3, k = 2, по подобен начин получаваме P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 , а в общия случай P n = P 1 n

Пример

Съвкупността от семейства в даден регион може да бъде разделена на три групи:

1. семейства, които нямат автомобил и нямат намерение да го купуват;

2. семейства, които нямат автомобил, но възнамеряват да го закупят;

3. семейства с кола.

Проведеното статистическо изследване показа, че матрицата на прехода за интервал от една година има формата:

(В матрицата P 1 елементът p 31 = 1 означава вероятността семейство, което има кола, също да има такава, а например елементът p 23 = 0,3 е вероятността семейство, което няма автомобил кола, но решава да закупи, ще изпълни намерението си догодина и т.н.)

Намерете вероятността, че:

1. семейство, което не е имало кола и не е планирало да си купи, ще бъде в същата ситуация след две години;

2. семейство, което не е имало кола, но възнамерява да си купи, след две години ще има кола.

РЕШЕНИЕ:Нека намерим матрицата на прехода P 2 след две години:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Тоест търсените вероятности в пример 1) и 2) са съответно равни

p 11 =0.64, p 23 =0.51

След това ще разгледаме Марковски случаен процес с дискретни състояния и непрекъснато време, в която, за разлика от веригата на Марков, разгледана по-горе, моментите на възможни преходи на системата от състояние не са фиксирани предварително, а са случайни.

При анализиране на случайни процеси с дискретни състояния е удобно да се използва геометрична схема – т.нар. график на събитията. Обикновено състоянията на системата се изобразяват с правоъгълници (кръгове), а възможните преходи от състояние в състояние са изобразени със стрелки (ориентирани дъги), свързващи състоянията.

Пример. Изградете графика на състоянието на следния случаен процес: устройството S се състои от два възела, всеки от които може да се повреди в произволен момент от време, след което ремонтът на възела незабавно започва, продължавайки за предварително неизвестно произволно време.

РЕШЕНИЕ.Възможни състояния на системата: S 0 – и двата възела работят; S 1 – първи блок е в ремонт, втори е в експлоатация; S 2 – втори блок е в ремонт, първият работи; S 3 – двата блока са в ремонт.

Стрелка, посока, например от S 0 към S 1, означава преход на системата в момента на повреда на първия възел, от S 1 към S 0 - преход в момента на завършване на ремонта на този възел .

На графиката няма стрелки от S 0 до S 3 и от S 1 до S 2. Това се обяснява с факта, че отказите на възлите се приемат за независими един от друг и, например, вероятностите за едновременен отказ на два възела (преход от S 0 към S 3) или едновременно завършване на ремонта на два възела ( преход от S 3 към S 0) може да се пренебрегне.

Стационарни случайни процеси

стационарен в тесен смисъл, Ако

F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +∆, …, t n +∆)

За произволни

n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.

Тук F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) е n-мерната функция на разпределение на случайния процес X(t).

Извиква се случайният процес X(t). стационарен в широк смисъл, Ако

Очевидно е, че стационарността в тесен смисъл предполага стационарност в широк смисъл.

От формулите:

m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)

(t € T, t^ € T, t + ∆€ T), t^ + ∆€ T)

От това следва, че за процес, който е стационарен в широк смисъл, можем да напишем

m (t) = m x (0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)

По този начин, за процес, който е стационарен в широк смисъл, математическото очакване и дисперсията не зависят от времето и K(t, t^) е функция на формата:

Може да се види, че k(τ) е четна функция и

Тук D е дисперсията на стационарния процес

Х(t), α i (I = 1, n) – произволни числа.

Първо равенство на системата

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

следва от уравнението K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Първо равенство

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 е просто следствие от неравенството на Шварц за участъците X(t), X(t^) на стационарния случаен процес X(t). Последно неравенство:

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

Получава се както следва:

∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2] ≥0

Като се вземе предвид формулата за корелационната функция на производната dX(t)/dt на случаен процес, за стационарен произволна функция X(t) получаваме

K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^

Тъй като

δk(t^ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)

тогава K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.

Тук K 1 (t, t^) и k 1 (τ) са корелационната функция на първата производна на стационарния случаен процес X(t).

За n-тата производна на стационарен случаен процес формулата на корелационната функция има формата:

K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)

Теорема. Стационарен случаен процес X(t) с корелационна функция k(τ) е средно квадратичен непрекъснат в точка t € T тогава и само ако

Lim k(τ) = k(0)

За да го докажем, нека напишем очевидна верига от равенства:

M [|X(t+τ)-X(T)| 2] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =

2D-2k(τ) = 2.

Оттук е очевидно, че условието за непрекъснатост на средния квадрат на процеса X(t) в точката t € T

Lim M[|X(t+τ) – X(t)| 2] = 0

Възниква тогава и само ако Lim k(τ) = k(0)

Теорема. Ако корелационната функция k(τ) на стационарен случаен процес X(t) е непрекъсната в средния квадрат в точката τ=0, тогава тя е непрекъсната в средния квадрат във всяка точка τ € R 1 .

За да докажем това, нека запишем очевидните равенства:

k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =

M(X(t))

След това прилагане на неравенството на Шварц към факторите във фигурната скоба и разглеждане на отношенията:

K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2 ] =

Преминавайки към границата при ∆τ→0 и като вземем предвид условието на теоремата за непрекъснатостта на k(τ) в точката τ=0, както и първото равенство на системата

K(0) = B = σ 2 , намираме

Lim k(τ+∆τ) = k(τ)

Тъй като тук τ е произволно число, теоремата трябва да се счита за доказана.

Ергодично свойство на стационарните случайни процеси

Нека X(t) е стационарен случаен процес за период от време с характеристики

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.

Ергодичното свойство на стационарен случаен процес е, че въз основа на достатъчно дълго изпълнение на процеса може да се прецени неговото математическо очакване, дисперсия и корелационна функция.

Ще наречем по-строго стационарен случаен процес X(t) ергодично в математическото очакване,Ако

Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Теорема

Стационарен случаен процес X(t) с характеристики:

M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T

е ергодично в математическото очакване тогава и само ако

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.

За да го докажем, очевидно е достатъчно да проверим дали равенството е вярно

Нека запишем очевидните отношения

C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.

Ако приемем тук τ = t^ – t, dτ = dt^ и вземем предвид условията (t^ = T) → (τ = T - t),

(t^ = 0)→(τ = -t), получаваме

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ

Поставяйки съответно в първия и втория член на дясната страна на това равенство τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, намираме

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

Прилагайки формулата на Дирихле за двойни интеграли, пишем

С = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ

Във втория член от дясната страна можем да поставим τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, след което ще имаме

От това и от дефиницията на константите става ясно, че равенството

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Справедлива.

Теорема

Ако корелационната функция k(τ) на стационарен случаен процес X(t) удовлетворява условието

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

Тогава X(t) е ергодично в математическото очакване.

Наистина, предвид съотношението

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Можете да запишете

0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ

От това става ясно, че ако условието е изпълнено, тогава

Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0

Сега, като вземем предвид равенството

C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ

И условието Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Ергодичност чрез математическото очакване на стационарния случаен процес X(t), намираме, че изискваното е доказано.

Теорема.

Ако корелационната функция k(τ) на стационарен случаен процес

X(t) е интегрируем и намалява неограничено при τ → ∞, т.е. условието е изпълнено

За произволно ε > 0, тогава X(t) е стационарен случаен процес, ергодичен в математическото очакване.

Наистина, предвид израза

За T≥T 0 имаме

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).

Преминавайки към границата при Т → ∞, намираме

0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.

Тъй като тук ε > 0 е произволна, произволно малка стойност, тогава условието за ергодичност от гледна точка на математическото очакване е изпълнено. Тъй като това следва от условието

При неограниченото намаляване на k(τ), тогава теоремата трябва да се счита за доказана.

Доказаните теореми установяват конструктивни критерии за ергодичност на стационарни случайни процеси.

X(t) = m + X(t), m=const.

Тогава M = m и ако X(t) е ергодичен стационарен случаен процес, тогава условието за ергодичност Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 след прости трансформации може да бъде представено като

Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0

От това следва, че ако X(t) е стационарен случаен процес, ергодичен в математическото очакване, тогава математическото очакване на процеса X(t) = m + X(t) може да бъде приблизително изчислено с помощта на формулата

M = (1/T) ∫ x(t)dt

Тук T е доста дълъг период от време;

x(t) – изпълнение на процеса X(t) на интервала от време.

Можем да разгледаме ергодичността на стационарен случаен процес X(t) по отношение на корелационната функция.

Извиква се стационарен случаен процес X(t). ергодична по корелация функция, Ако

Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0

От това следва, че за стационарен случаен процес X(t), който е ергодичен в корелационната функция, можем да зададем

k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt

при достатъчно голямо Т.

Оказва се, че условието

ограничеността на k(τ) е достатъчна, за да може стационарният нормално разпределен процес X(t) да бъде ергодичен в корелационната функция.

Имайте предвид, че произволният процес се извиква нормално разпределени, ако някоя от функциите му на крайномерно разпределение е нормална.

Необходимо и достатъчно условие за ергодичност на стационарен нормално разпределен случаен процес е отношението

τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0

Литература

1. Н.Ш. Кремер “Теория на вероятностите и математическа статистика” / UNITY / Москва 2007 г.

2. Ю.В. Кожевников “Теория на вероятностите и математическа статистика” / Машиностроене / Москва 2002 г.

3. Б.В. Гнеденко „Курс по теория на вероятностите” / Главна редакция на физико-математическата литература / Москва 1988 г.

Смущенията в комуникационните системи се описват с методите на теорията на случайните процеси.

Една функция се нарича случайна, ако в резултат на експеримент приеме една или друга форма и не е известно предварително каква. Случайният процес е случайна функция на времето. Специфичната форма, която случаен процес приема в резултат на експеримент, се нарича изпълнение на случаен процес.

На фиг. Фигура 1.19 показва набор от няколко (три) реализации на произволния процес , , . Такава колекция се нарича ансамбъл от реализации. При фиксирана стойност на момента от време в първия експеримент получаваме определена стойност, във втория - , в третия - .

Случайният процес е двойствен по природа. От една страна, във всеки конкретен експеримент това се представя от неговата реализация - неслучайна функция на времето. От друга страна, случаен процес се описва от набор от случайни променливи.

Наистина, нека разгледаме случаен процес във фиксиран момент от време.Тогава във всеки експеримент той приема една стойност, като не се знае предварително каква. По този начин случаен процес, разглеждан във фиксирана точка във времето, е случайна променлива. Ако се запишат два момента от време и , тогава във всеки експеримент ще получим две стойности на и . В този случай съвместното разглеждане на тези стойности води до система от две случайни променливи. Когато анализираме случайни процеси в N точки във времето, стигаме до набор или система от N случайни променливи .

Математическо очакване, дисперсия и корелационна функция на случаен процес Тъй като случаен процес, разглеждан във фиксирана точка във времето, е случайна променлива, можем да говорим за математическо очакване и дисперсия на случаен процес:

, .

Точно както при случайна променлива, дисперсията характеризира разпространението на стойностите на случаен процес спрямо средната стойност. Колкото по-голямо е, толкова по-голяма е вероятността от много големи положителни и отрицателни стойности на процеса. По-удобна характеристика е стандартното отклонение (MSD), което има същото измерение като самия случаен процес.

Ако случаен процес описва, например, промяна в разстоянието до обект, тогава математическото очакване е средният диапазон в метри; дисперсията се измерва в квадратни метри, а Sco се измерва в метри и характеризира разпространението на възможните стойности на диапазона спрямо средната.

Средната стойност и дисперсията са много важни характеристики, които ни позволяват да преценим поведението на случаен процес във фиксиран момент от време. Въпреки това, ако е необходимо да се оцени „скоростта“ на промяната в даден процес, тогава наблюденията в даден момент не са достатъчни. За целта се използват две случайни променливи, разглеждани заедно. Точно както при случайните променливи се въвежда характеристика на връзката или зависимостта между и. За случаен процес тази характеристика зависи от два момента във времето и се нарича корелационна функция: .

Стационарни случайни процеси. Много процеси в системите за управление протичат равномерно във времето. Техните основни характеристики не се променят. Такива процеси се наричат стационарни. Точното определение може да се даде по следния начин. Случаен процес се нарича стационарен, ако някоя от неговите вероятностни характеристики не зависи от изместването на началото на времето. За стационарен случаен процес математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение са постоянни: , .

Корелационната функция на стационарен процес не зависи от началото t, т.е. зависи само от разликата във времето:

Корелационната функция на стационарен случаен процес има следните свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Често корелационните функции на процесите в комуникационните системи имат формата, показана на фиг. 1.20.

Ориз. 1.20. Корелационни функции на процеси

Интервалът от време, през който корелационната функция, т.е. големината на връзката между стойностите на случаен процес намалява с M пъти, наречен интервал или време на корелация на случайния процес. Обикновено или. Можем да кажем, че стойностите на случаен процес, които се различават във времето с интервала на корелация, са слабо свързани помежду си.

По този начин познаването на корелационната функция позволява да се прецени скоростта на промяна на случаен процес.

Друга важна характеристика е енергийният спектър на случаен процес. Дефинира се като преобразуване на Фурие на корелационната функция:

Очевидно е вярно и обратното преобразуване:

Енергийният спектър показва разпределението на мощността на произволен процес, като смущение, по честотната ос.

При анализирането на ACS е много важно да се определят характеристиките на произволен процес на изхода на линейна система с известни характеристики на процеса на входа на ACS. Да приемем, че линейната система е дадена от импулсна преходна характеристика. Тогава изходният сигнал в момента се определя от интеграла на Дюамел:

къде е процесът на входа на системата. За да намерим корелационната функция, пишем и след умножението намираме математическото очакване

Тук ще разгледаме накратко основните въпроси на систематизацията (класификацията) на случайните процеси.

Случаен процес, възникващ (преминаващ) във всяка физическа система, представлява случайни преходи на системата от едно състояние в друго. В зависимост от разнообразието на тези условия
от много стойности на аргументи всички случайни процеси са разделени на класове (групи):

1. Дискретен процес (дискретно състояние) с дискретно време.

2. Дискретен процес с непрекъснато време.

3. Непрекъснат процес (непрекъснато състояние) с дискретно време.

4. Непрекъснат процес с непрекъснато време.

В 1-вото 3 случая много дискретно, т.е. аргумент приема дискретни стойности
обикновено
в 1-ви случай набор от произволни функционални стойности
се определят от равенствата:, е дискретно множество
(няколко
краен или изброим).

В третия случай комплектът
несметен, т.е. напречно сечение на случаен процес по всяко време е непрекъсната случайна променлива.

Във 2-ри и 4-ти случай са много непрекъснато, във втория случай множеството от състояния на системата
крайни или изброими, а в четвъртия случай множество
неизброим.

Нека дадем няколко примера за случайни процеси от класове 1-4, съответно:

1. Хокеист може или не може да вкара един или повече голове във вратата на противника по време на мачове, играни в определени моменти (според графика на играта) от времето.

Случаен процес
е броят отбелязани голове до .

2. Случаен процес
- брой гледани филми в кино Звезда

от началото на киното до момента във времето .

3. В определени моменти от време
температурата се измерва
пациент в някой център за лечение.
- е случаен процес от непрекъснат тип с дискретно време.

4. Индикатор за нивото на влажност на въздуха през деня в град А.

Други по-сложни класове случайни процеси също могат да бъдат разгледани. За всеки клас случайни процеси са разработени подходящи методи за тяхното изследване.

Можете да намерите редица разнообразни и интересни примери за случайни потоци в учебниците [V. Feller, част 1.2] и в монографията. Тук ще се ограничим до това.

За случайни процеси се въвеждат и прости функционални характеристики в зависимост от параметъра , подобно на основните числени характеристики на случайни променливи.

Познаването на тези характеристики е достатъчно за решаване на много проблеми (припомнете си, че пълната характеристика на случаен процес се дава от неговия многомерен (крайномерен) закон за разпределение.

За разлика от числените характеристики на случайните величини, в общия случай функционалните характеристики са специфични функции.

4. Математическо очакване и дисперсия на случаен процес

Математическо очакване на случаен процес

дефиниран за всяка фиксирана стойност на аргумент е равно на математическото очакване на съответния участък от случайния процес:

(12)
.

За да обозначим накратко математическото очакване на с.п. се използва и обозначението
.

функция
характеризира поведението на случаен процес средно. Геометричен смисъл на математическото очакване
тълкува се като „средна крива“, около която са разположени кривите на изпълнение (виж фиг. 60).

(виж Фиг. 60 Букви).

Въз основа на свойството на математическото очакване на случайна променлива и като се има предвид, че
случаен процес и
неслучайна функция, получаваме Имотиматематическо очакване произволен процес:

1. Математическото очакване на неслучайна функция е равно на самата функция:
.

2. Неслучаен множител (неслучайна функция) може да се приеме за знак на математическото очакване на случаен процес, т.е.

3. Математическото очакване на сумата (разликата) на два случайни процеса е равно на сумата

(разлики) в математическите очаквания на условията, т.е.

Имайте предвид, че ако коригираме аргумента (параметъра) , тогава преминаваме от случаен процес към случайна променлива (т.е. преминаваме към напречното сечение на случаен процес), можем да намерим m.o. на този процес при този фиксиран

Тъй като, ако участъкът от с.п.
за даденост има непрекъснато р.в. с плътност
тогава неговото математическо очакване може да се изчисли с помощта на формулата

(13)
.

Пример 2.Нека с.п. се определя по формулата, т.е.
с.в.,

Намерете математическото очакване на случаен процес

Решение.Имот 2. имаме

защото
и следователно,
.

Упражнение.Ще използвам равенства, за да изчисля математическото очакване

,
,

и след това, въз основа на формула (13), изчислете интеграла и се уверете, че резултатът е същият.

Забележка.Възползвайте се от равенството

Дисперсия на случаен процес.

Дисперсия на случаен процес
наречена неслучайна функция

дисперсия
с.п. се разглежда, също характеризират разпространението (дисперсията) на възможните стойности на r.p. спрямо неговото математическо очакване.

Наред с дисперсията на сп. стандартното отклонение също се взема предвид

(накратко s.c.o.), което се определя от равенството

(15)

Функционално измерение
равен на размера на с.п.
.

Реализационни стойности на с.п. на всеки се отклонява от математическото очакване
по сума на поръчката
(вижте фигура 60).

Нека отбележим най-простите свойства на дисперсията на случайни процеси.

1. Дисперсия на неслучайна функция
е равно на нула, т.е.

2. Дисперсия на случаен процес
неотрицателни т.е.

3. Дисперсия на произведението на неслучайна функция
към произволна функция
е равно на произведението на квадрата на неслучайната функция и дисперсията на случайната функция, т.е.