Процесите на размножаване и смърт са частен случай на марковски случайни процеси, които въпреки това намират много широко приложение при изследване на дискретни системи със стохастичен характер на функциониране. Процесът на размножаване и смърт е марковски случаен процес, в кое състояние преминава д азважи само в съседни държави д аз- 1 ,д ази д i+1. Процесът на размножаване и смърт е адекватен модел за описание на промените, които настъпват в обема на биологичните популации. Следвайки този модел, процесът се казва, че е в държавата д азако размерът на населението е азчленове. В този случай преходът от държавата д азв състояние д аз+1 съответства на раждането, а преходът от д азв д i-1- смъртни случаи, като се приеме, че обемът на населението може да се промени с не повече от един; това означава, че за процесите на размножаване и смърт не се допускат множество едновременни раждания и/или смърти.
Дискретните процеси на размножаване и смърт са по-малко интересни от непрекъснатите, поради което по-нататък не се разглеждат подробно и основното внимание се обръща на непрекъснатите процеси. Все пак трябва да се отбележи, че за дискретни процеси се извършват почти паралелни изчисления. Преходът на процеса на възпроизводство и смърт от държавата д азобратно в състояние д азе от непосредствен интерес само за дискретни вериги на Марков; в непрекъснатия случай интензивността, с която процесът се връща към текущото състояние, е равна на безкрайност и тази безкрайност е изключена съгласно дефиниция (13).
В случай на процес на размножаване и смърт с дискретно време, вероятностите за преходи между състояния
Тук д азе вероятността на следващата стъпка (по отношение на биологичната популация) да настъпи една смърт, намалявайки размера на популацията до аз-1, при условие че на тази стъпка размерът на популацията е равен на аз. по същия начин, b азе вероятността за раждане на следващата стъпка, което води до увеличаване на размера на популацията до аз+1; 1-д аз -b азпредставлява вероятността нито едно от тези събития да не се случи и размерът на популацията да не се промени на следващата стъпка. Позволени са само тези три възможности. Това е ясно д 0 =0, тъй като смъртта не може да настъпи, ако няма кой да умре.
Въпреки това, противно на интуицията, се предполага, че b 0 >0, което съответства на възможността за раждане, когато в популацията няма нито един член. Въпреки че това може да се разглежда като спонтанно раждане или божествено творение, но в теорията на дискретните системи такъв модел е напълно смислено предположение. А именно моделът е следният: населението е поток от изисквания в системата, смъртта означава напускане на изискване от системата, а раждането съответства на навлизането на ново изискване в системата. Ясно е, че при такъв модел е напълно възможно в свободната система да влезе ново търсене (раждане). Матрицата на вероятностите за преход за общия процес на размножаване и смърт има следната форма:
T=
Ако веригата на Марков е крайна, тогава последният ред на матрицата се записва като ; това съответства на невъзможността за размножаване, след като популацията достигне максималния си размер н.
Матрица Tсъдържа нулеви членове само на главния и два най-близки до него диагонала. Поради тази особена форма на матрицата Tестествено е да се очаква, че анализът на процеса на размножаване и смърт не трябва да създава затруднения.
По-нататък ще разгледаме само непрекъснати процеси на възпроизвеждане и смърт, при които се преминава от състоянието д азвъзможно само в съседни държави д i-1(смърт) и д i+1(раждане). Означаваме с азинтензивност на размножаване; той описва скоростта, с която се извършва възпроизводството в популация от обем аз. По същия начин, чрез азозначават скоростта на смъртност, която определя скоростта, с която настъпва смъртта в обемната популация аз. Имайте предвид, че въведените темпове на размножаване и смърт не зависят от времето, а зависят само от държавата д аз, следователно получаваме непрекъсната хомогенна верига на Марков от типа на възпроизвеждане и смърт. Тези специални обозначения са въведени, защото те водят директно до обозначенията, приети в теорията на дискретните системи. В зависимост от въведената по-рано нотация имаме:
аз = р аз , аз +1 и аз = р аз , аз -1 .
Изискването преходите само към най-близките съседни състояния да бъдат допустими означава, че въз основа на (14), р ii =-( аз + аз). По този начин матрицата на интензитетите на преходите на общия хомогенен процес на възпроизводство и смърт приема формата
Q=
Имайте предвид, че с изключение на главния и диагоналите, съседни на него отдолу и отгоре, всички елементи на матрицата са равни на нула. Съответната графика на интензитетите на прехода е показана на фиг. четири.
По-точно определение на непрекъснат процес на раждане и смърт е следното: процесът е процес на раждане и смърт, ако е хомогенна верига на Марков с много състояния ( д 0 ,д 1 ,д 2 , …), ако раждането и смъртта са независими събития (това следва директно от свойството Марков) и ако са изпълнени следните условия:
Според тези предположения многократни раждания, множество смъртни случаи и едновременни раждания и смъртни случаи за кратък период от време ( T,T+ Δ T) са забранени в смисъл, че вероятността от такива кратки събитияима ред относно(Δ T).
Вероятността за непрекъснат процес на размножаване и смърт в даден момент Tе в състояние д аз(размерът на населението е аз) се определя директно от (16) във формата
За решаване на получената система от диференциални уравнения в нестационарния случай, когато вероятностите П аз (T),аз=0,1,2,…, зависи от времето, необходимо е да се зададе разпределението на началните вероятности П аз (0),аз=0,1,2,…, при T=0. Освен това условието за нормализиране трябва да бъде изпълнено.
Фиг.4. Графика на интензитетите на прехода за процеса на размножаване и смърт.
Нека сега разгледаме най-простия процес на чисто възпроизвеждане, който се определя като процес, за който аз= 0 за всички аз. Освен това, за да опростим допълнително проблема, приемаме, че аз = за всички аз=0,1,2,... . Замествайки тези стойности в уравнения (18), получаваме
За простота, ние също така приемаме, че процесът започва в нулев момент с нулеви термини, тоест:
От тук до П 0 (T) получаваме решението
П 0 (T)=д - T .
Замествайки това решение в уравнение (19) при аз= 1, стигаме до уравнението
.
Решението на това диференциално уравнение очевидно има формата
П 1 (T)= те - T .
.
Това е познатото разпределение на Поасон. По този начин процесът на чисто възпроизвеждане с постоянна интензивност води до поредица от раждания, образуващи Поасонов процес.
Най-голям интерес в практическо отношение представляват вероятностите на състоянията на процеса на размножаване и смърт в стационарно състояние. Ако приемем, че процесът има ергодично свойство, т.е. има граници 
нека да преминем към дефиницията на пределните вероятности П аз .
Уравненията за определяне на вероятностите на стационарния режим могат да бъдат получени директно от (18), като се има предвид, че dP аз (T)/дт= 0 при 
:
Получената система от уравнения се решава, като се вземе предвид условието за нормализиране
Системата от уравнения (21) за стационарното състояние на процеса на размножаване и смърт може да се състави директно от графиката на интензитетите на прехода на фиг. 4, като се прилага принципът на равенство на вероятностните потоци към отделните състояния на процеса. Например, ако вземем предвид държавата д азв стабилно състояние, тогава:
интензивността на потока от вероятности в и
интензивността на потока от вероятности от 
.
В състояние на равновесие тези два потока трябва да са равни и следователно директно получаваме
Но това е именно първото равенство в системата (21). Второто равенство на системата може да се получи по подобен начин. Същите аргументи за запазване на потока, които бяха дадени по-рано, могат да бъдат приложени към потока от вероятности през всяка затворена граница. Например, вместо да изолирате всяко състояние и да напишете уравнение за него, можете да изберете последователност от контури, първият от които покрива състоянието д 0 , второто е държавата д 0 и д 1 и т.н., като всеки път включва следващото състояние в новата граница. Тогава за аз-ти контур (околно състояние д 0 ,д 1 , ...,д аз -1 ), условието за запазване на потока от вероятности може да се запише в следната проста форма:
.
Получената система от уравнения е еквивалентна на тази, получена по-рано. За съставянето на последната система от уравнения е необходимо да се начертае вертикална линия, разделяща съседните състояния, и да се приравнят потоците през получената граница.
Решението на система (23) може да се намери чрез математическа индукция.
При аз=1 имаме:
при аз=2:
при аз=3:
и т.н.
Видът на получените равенства показва, че общото решение на системата от уравнения (23) има вида
или като се има предвид, че по дефиниция продуктът на празен комплектравно на едно
Така че всички вероятности П азза стационарното състояние се изразяват чрез една неизвестна константа П 0 . Равенството (22) дава допълнително условие, което ни позволява да определим П 0 . След това сумиране на всичко аз, за П 0 получаваме:
Нека се обърнем към въпроса за съществуването на стационарни вероятности П аз. За да могат получените изрази да дават вероятности, обикновено се налага изискването, че П 0 > 0. Това очевидно налага ограничение върху коефициентите на умножение и смърт в съответните уравнения. По същество това изисква системата да се изпразва от време на време; това условие за стабилност изглежда доста разумно, ако се обърнем към примери от реалния живот. Дефинираме следните две суми:
Всички държави д азразглежданият процес на възпроизводство и смърт ще бъде ергодичен тогава и само ако С 1
<
и С 2
=
. Само ергодичният случай води до постоянни вероятности П аз ,аз
= 0, 1, 2, … и това е интересният случай. Обърнете внимание, че условията за ергодичност са изпълнени само ако, започвайки от някои аз, всички членове на последователността ( 
) са ограничени до единство, т.е. когато има такива аз 0
(и няколко ОТ<1) такое, что для всехаз 
аз 0
важи следното неравенство: 
1Символ( T) ("o" малко от T) означава произволна функция, която за T0 клони към нула по-бързо от T, т.е. 
.
. Например преходът на обект от здравословно състояние към дефектно, балансът на силите на страните по време на битката и т.н. Оценката на ефективността на такива системи се определя с помощта на вероятностите на всяко състояние по всяко време , . За да се определят вероятностите за състоянието на системата за всеки момент от време, е необходимо да се използват математически модели на марковски процеси с непрекъснато време (непрекъснати марковски процеси).
Когато моделираме състоянието на системи с непрекъснати марковски процеси, вече не можем да използваме вероятности за преход, тъй като вероятността системата да "прескочи" от едно състояние в друго точно в дадения момент е равна на нула (както вероятността всеки индивид стойност на непрекъсната случайна променлива).
Следователно, вместо вероятности за преходвзети под внимание плътност на вероятността за преход :
където е вероятността системата, която е била в състояние в момента, да премине в състоянието след време.
До безкрайно малки от втори ред, от горната формула можем да представим:
Непрекъснат процес на Марков се нарича хомогенен, ако плътността вероятности за преходне зависят от времето (от момента на началото на интервала). В противен случай се нарича непрекъснат процес на Марков разнородни.
Целта на симулацията, както в случая на дискретни процеси, е определянето на вероятностите на състоянията на системата . Тези вероятности се намират чрез интегриране на системата от диференциални уравнения на Колмогоров.
Нека формулираме техника за моделиране според схемата на непрекъснати марковски процеси.
Пример 2.2. Съставете система от диференциални уравнения на Колмогоров за намиране на вероятностите на състоянията на системата, чиято означена графика на състоянието е показана на фиг. 2.3.
Ориз. 2.3.
Решение
Очевидно, .
Следователно всяко от първите три уравнения може да бъде изключено като линейно зависимо.
За решаване на уравненията на Колмогоров е необходимо да се зададат началните условия. За разглеждания пример 2.2 можете да зададете следните начални условия: , .
Хомогенният марковски процес с непрекъснато време може да се тълкува като процес на промяна на състоянията под въздействието на определен поток от събития. Това е плътността вероятности за преходможе да се интерпретира като интензивността на потока от събития, които прехвърлят системата от -тото състояние в -e. Такива потоци от събития са повреда на оборудването, обаждания на телефонната централа, раждане и др.
Когато изучаваме сложни обекти, човек винаги се интересува от: възможен ли е стабилен (стационарен) режим в изследваната система? Тоест как се държи системата, когато ? Има ли граници 
? Като правило, тези гранични стойности са от интерес за изследователя.
Отговор на този въпрос дава теоремата на Марков.
Ако за хомогенен дискретен марковски процес с краен или изброим брой състояния всички , тогава граничните стойности съществуват и техните стойности не зависят от избраното начално състояние на системата.
Приложено към непрекъснатите процеси на Марков, теоремата на Марков се тълкува по следния начин: ако процесът е хомогенен и от всяко състояние е възможно да се премине към всяко друго състояние за крайно време и броят на състоянията е изброим или краен, тогава граничните стойности съществуват и техните стойности не зависят от избраното начално състояние.
Характеристика на модела е наличието на директни и обратни връзки с всяка съседна държава за всички средни държави; първото и последното (екстремни) състояния са свързани само с един "съсед" (съответно със следващото и предишното състояние).
Името на модела - "смърт и размножаване" - се свързва с идеята, че стрелките вдясно означават прехода към състояния, свързани с увеличаване на числото на състоянието ("раждане"), а стрелките вляво - с намаляване на броя на състоянията ("смърт").
Очевидно в този процес съществува стационарно състояние. Не е необходимо да се записват уравненията на Колмогоров, тъй като структурата е правилна, необходимите формули са дадени в справочници, както и в препоръчителната литература.
Ориз. 2.6.
Нива на неуспех;
Интензивност на възстановителните потоци.
Нека средното време за работа на всеки компютър е , а средното време за възстановяване на един компютър 
.
Тогава процент на неуспехедин компютър ще бъде равен на 
, а интензивността на възстановяване на един компютър - 
.
И двата компютъра работят в състояние, следователно:
Един компютър работи, което означава:
В състояние един компютър се възстановява, след което:
И двата компютъра са възстановени до състоянието:
Използваме зависимости (2.2). Вероятност за състоянието, когато и двете машини са здрави:
Вероятност за второто състояние (един компютър работи):
и се изчислява по същия начин. Въпреки че можете да го намерите така:
Пример 2.4. Вражеските предаватели работят в зоната на обединение. Отделът на комуникационните оператори на армейското контраразузнаване търси предаватели по техните радиоизлъчвания. Всеки оператор, след като намери предавателя на врага, следи неговата честота, без да се ангажира с ново търсене. По време на процеса на проследяване честотата може да се загуби, след което операторът търси отново.
Разработване на математически модел за определяне на ефективността на услугата на операторския блок. Ефективността е средният брой открити предаватели за даден период от време.
Решение
Ще приемем, че нашите оператори и вражеските радиооператори са висококвалифицирани и добре обучени. Следователно може да се приеме, че степента на откриване на честотите на вражеския предавател и загубите при проследяване са постоянни. Откриването и загубата на честота зависят само от това колко предавателя са DF в момента и не зависят от това кога е извършено DF. Следователно процесът на откриване и загуба на проследяване на честотата може да се счита за непрекъснат хомогенен процес на Марков.
Изследваното свойство на тази система за пеленгиране е натоварването на операторите, което очевидно съвпада с броя на засечените честоти.
Нека въведем обозначението:
Брой оператори;
Броят на вражеските предаватели, предполагаме;
Среден брой проследяване на оператори;
Среден брой DF предаватели;
Интензивността на пеленгиране на вражеския предавател от един оператор;
Интензивност на потока от проследяване на загуби от оператора;
Текущ брой DF предаватели 
.
В системата за насочване са възможни следните състояния:
Няма предаватели за пеленгация, търсенето се извършва от оператори, вероятността за състоянието е ;
В предишния параграф се уверихме, че знаейки означената графика на системните състояния, можем веднага да напишем алгебрични уравнения за граничните вероятности на състоянията. Така, ако две непрекъснати вериги на Марков имат еднакви графики на състоянието и се различават само по стойностите на интензитета, тогава няма нужда да се намират граничните вероятности на състоянията за всяка от графиките поотделно: достатъчно е да се съставят и решат уравненията за едно от ги в буквална форма и след това заменете съответните стойности за .
За много често срещани форми на графики линейните уравнения се решават лесно в буквална форма.
В този раздел ще се запознаем с една много типична схема на непрекъснати вериги на Марков - така наречената "схема на смъртта и размножаването".
Непрекъсната верига на Марков се нарича „процес на смърт и растеж“, ако нейната графика на състоянието има формата, показана на фиг. 4.38, т.е. всички състояния могат да бъдат включени в една верига, в която всяко от средните състояния е свързано чрез пряка и обратна връзка с всяко от съседните състояния, а крайните състояния - само с едно съседно състояние.
Пример 1. Техническо устройство се състои от три еднакви възела; всеки от тях може да се провали (провали); неуспешният възел веднага започва да се възстановява. Състоянията на системата са номерирани според броя на дефектните възли:
И трите възела работят;
Един възел е повреден (възстановен), два работят;
Два възела се възстановяват, единият е годен за експлоатация;
Всички възли са възстановени.
Графиката на състоянието е показана на фиг. 4.39. От графиката се вижда, че протичащият в системата процес е процес на „смърт и размножаване”.
Схемата на смъртта и размножаването много често се среща в голямо разнообразие от практически проблеми; следователно има смисъл да разгледаме тази схема предварително в общ вид и да решим съответната система от алгебрични уравнения, така че в бъдеще, когато се срещнем с конкретни процеси, протичащи по такава схема, да не решаваме задачата всеки път отново, а да се използва готово решение.
И така, помислете за случаен процес на смърт и размножаване с графиката на състоянието, показана на фиг. 4.40
Нека напишем алгебрични уравнения за вероятностите на състоянието. За първото състояние имаме:
За второто състояние сумите на членовете, съответстващи на входящите и изходящите стрелки, са:
Но поради (8.1) можем да отменим членовете, равни един на друг отдясно и отляво, получаваме:
С една дума, за схемата на смъртта и размножаването термините, съответстващи на стрелките, стоящи една над друга, са равни един на друг:
където k приема всички стойности от 2 до .
И така, граничните вероятности на състоянията във всяка схема на смърт и размножаване удовлетворяват уравненията:
и условието за нормализиране:
Ще решим тази система по следния начин: от първото уравнение (7.3) изразяваме
от втория, като вземем предвид (8.5), получаваме:
от третото, като се вземе предвид (8.6):
Тази формула е валидна за всяко k от 2 до .
Нека да разгледаме неговата структура. Числителят съдържа произведението на всички плътности на вероятността на прехода (интензитети), стоящи при стрелките, сочещи отляво надясно, от началото до тази, която отива към състоянието в знаменателя - произведението на всички интензитети, стоящи при стрелките, отиващи от дясно на ляво, отново от началото и нагоре до стрелката, излизаща от състоянието At, числителят ще съдържа произведението на интензитетите на всички стрелки, вървящи от ляво на дясно, а знаменателят - за всички стрелки, отиващи от дясно на наляво.
И така, всички вероятности се изразяват чрез една от тях: Заместете тези изрази в условието за нормализиране: Получаваме:
Останалите вероятности се изразяват чрез
По този начин проблемът за "смъртта и размножаването" се решава общо: намират се граничните вероятности на състоянията.
Пример 2. Намерете граничните вероятности на състояния за процеса на смърт и размножаване, чиято графика е показана на фиг. 4.41.
Решение По формули (8.8) и (8.9) имаме:
Пример 3. Устройството се състои от три възела; поток на повреда - най-простият, средното време на безотказна работа на всеки възел е Повреденият възел веднага започва да се ремонтира; средното време за ремонт (възстановяване) на възела е p; законът за разпределение на това време е показателен (потокът на възстановяванията е най-простият). Намерете средната производителност на устройството, ако с три работещи възли е 100%, с два - 50%, а с един или по-малко - устройството изобщо не работи.
Решение. Списъкът със състояния на системата и графиката на състоянието вече са дадени в Пример 1 на този параграф. Нека отбележим тази графика, т.е. да поставим съответния интензитет за всяка стрелка (виж Фиг. 4.42).
Знаем, че с обозначена графика на състоянието можем лесно да напишем уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянието, както и да напишем и решим алгебрични уравнения за крайните вероятности. В някои случаи е възможно да се решат последните уравнения предварително, в буквална форма.
По-специално, това може да се направи, ако графиката на състоянието на системата е така наречената "схема на смърт и възпроизвеждане".
Графиката на състоянието за схемата на смъртта и размножаването има формата, показана на фиг. 19.1. Особеността на тази графика е, че всички състояния на системата могат да бъдат начертани в една верига, в която всяко от средните състояния е свързано с права и обратна стрелка с всяко от съседните състояния - дясно и ляво, а крайните състояния - само с една съседна държава. Терминът "схема на смъртта и размножаването" произхожда от биологични проблеми, където промяната в размера на популацията се описва с такава схема.
Схемата на смъртта и възпроизводството много често се среща в различни проблеми на практиката, по-специално - в теорията на опашката, затова е полезно веднъж завинаги да се намерят окончателните вероятности на състоянията за нея.
Да приемем, че всички потоци от събития, които пренасят системата по стрелките на графиката, са най-прости (за краткост ще наричаме системата S и протичащия в нея процес най-проста).
Използвайки графиката на фиг. 19.1 съставяме и решаваме алгебрични уравнения за крайните вероятности на състоянията (съществуването им следва от факта, че е възможно да се преминава от всяко състояние едно към друго, а броят на състоянията е краен).
За първото състояние имаме:
За второто състояние
Поради (19.1) последното равенство се свежда до вида
където k приема всички стойности от 0 до n. По този начин крайните вероятности удовлетворяват уравненията
освен това трябва да вземем предвид условието за нормализиране
Нека решим тази система от уравнения. От първото уравнение (19.2) изразяваме чрез:
От второто, като вземем предвид (19.4), получаваме;
от третото, като се вземе предвид (19.5),
и като цяло за всяко k (от 1 до ):
Нека обърнем внимание на формула (19.7). Числителят съдържа произведението на всички интензитети по стрелките, водещи отляво надясно (от началото до даденото състояние), а знаменателят е произведението на всички интензитети по стрелките, водещи от дясно наляво (от началото до ).
По този начин всички вероятности на състоянието се изразяват чрез една от тях.Нека заместим тези изрази в условието за нормализиране (19.3). Получаваме чрез поставяне в скоби
от тук получаваме израза за:
(вдигнахме скобите на степен -1, за да не пишем двуетажни дроби). Всички други вероятности се изразяват чрез (вижте формули (19.4)-(19.7)). Забележете, че коефициентите при във всеки от тях не са нищо повече от последователни членове на редицата след единица във формула (19.8). И така, чрез изчисление вече сме намерили всички тези коефициенти.
Получените формули са много полезни при решаването на най-простите задачи от теорията на масовото обслужване.
2. Малка формула. Сега извеждаме една важна формула, свързваща (за ограничаващия, стационарен режим) средния брой клиенти в системата за опашка (т.е. обслужени или стоящи на опашка) и средното време, прекарано от клиента в системата.
Нека разгледаме всеки QS (едноканален, многоканален, марковски, немарковски, с неограничена или ограничена опашка) и два потока от събития, свързани с него: потокът от клиенти, пристигащи в QS, и потокът от клиенти, напускащи QS QS.
Ако в системата е установен ограничителен, стационарен режим, тогава средният брой заявки, пристигащи в QS за единица време, е равен на средния брой заявки, които я напускат: и двата потока имат еднаква интензивност.
Нека означим: - броя на заявките, пристигнали в QS преди момента, броя на заявките, напуснали QS преди момента
И двете функции са произволни и се променят рязко (увеличават се с единица) в моментите на пристигане на рекламации и напускане на рекламации.Видът на функциите е показан на фиг. 19.2; и двете линии са стъпаловидни, горната е долната.Очевидно е, че във всеки един момент разликата не е нищо друго освен броя на приложенията в QS. Когато линиите се слеят, в системата няма поръчки.
Помислете за много голям времеви интервал T (мислено разширявайки графиката далеч отвъд чертежа) и изчислете за него средния брой приложения в QS. То ще бъде равно на интеграла на функцията на този интервал, разделен на дължината на интервала T:
Но този интеграл не е нищо друго освен площта на фигурата, оцветена на фиг. 19.2. Нека да разгледаме добре тази рисунка. Фигурата се състои от правоъгълници, всеки от които има височина, равна на единица, и основа, равна на времето на престой в системата от съответния ред (първо, второ и т.н.). Нека означим тези времена като h,
Ако е така, в края на интервала Т някои правоъгълници ще влязат в защрихованата фигура не изцяло, а частично, но за достатъчно голямо Т тези малки неща няма да играят роля. Следователно може да се счита, че
(19.10)
С развитието на ембриона броят на клетките, които изграждат ембриона, се увеличава. Клетъчните деления (смачкване на яйца) в най-ранните етапи на развитие се случват равномерно (синхронно). Но при някои видове по-рано, при други по-късно този синхрон се нарушава и клетките, от които се образуват зачатъците на различни органи, започват да се делят с различна скорост. Тези различия в скоростта на делене могат да се разглеждат като една от първите прояви на тяхната диференциация.
В ембрионите на бозайници, вече след етапа на 16-32 бластомера, повечето от клетките започват да се делят по-бързо и да образуват трофобласт, зачатъкът на бъдещата плацента. Самият бъдещ ембрион се състои само от няколко клетки в тези ранни етапи. Но по-късно в хода на развитието и растежа ембрионът и след това плодът стават многократно по-големи от плацентата.
При земноводните на етап бластула, който се състои от няколко хиляди клетки, бъдещата мезодерма съставлява по-малко от една трета от всички клетки. Но докато се развива, мезодермалните производни - всички мускули, почти целият скелет, кръвоносната система, бъбреците и т.н. - заемат най-малко 80% от общата маса на поповата лъжица.
Особено очевидна е нееднаквата скорост на клетъчно делене в морфогенезата на много безгръбначни. При видове с мозаечно развитие, вече на етап 30–60 клетки, зачатъците на всички основни органи се идентифицират и са представени от много малко клетки (понякога само две). Освен това клетъчните деления във всеки зародиш са строго програмирани. Например ранен ембрион на асцидия съдържа 52 клетки на ектодермата, 10 клетки на ендодермата и само 8 клетки на мезодермата. По време на последващото развитие броят на клетките на ектодермата се увеличава 16 пъти, на ендодермата - 20, а на мезодермата - 50. Поради програмирането на деленията броят на клетките при някои възрастни безгръбначни (например нематоди) е строго постоянен и всеки орган е представени от определен брой клетки. Местоположението на даден орган и мястото, където се делят съставните му клетки, не винаги съвпадат. Често митозите възникват само в специална зона на възпроизвеждане и оттам клетките мигрират към мястото на тяхната диференциация. Вече сме виждали примери от този вид, когато разглеждаме системата от стволови клетки. Същото се случва например с развитието на мозъка.
Програмата на клетъчните деления не винаги е много строга и предопределя точния им брой. По-често е вероятно деленията да настъпят, докато броят на клетките или размерът на даден орган достигне определена стойност. По този начин говорим за два фундаментално различни механизма на регулиране на клетъчното делене.
В единия случай (както при яйцата с мозаечно развитие) изглежда, че се съдържа в самата деляща се клетка, която трябва да "може да брои" своите деления. В другия случай трябва да има някаква "обратна връзка", когато масата на органа или броят на клетките, достигайки определена стойност, започва да забавя по-нататъшното делене.
Оказа се, че броят на деленията в нормалните клетки, които не са се трансформирали в злокачествени, обикновено не е неограничен и обикновено не надвишава 50-60 (повечето клетки се делят по-малко, тъй като ако яйцеклетката е разделена равномерно 60 пъти, тогава броят на клетки в тялото (260) биха били хиляди пъти по-високи, отколкото в действителност). Въпреки това, нито механизмът на такова ограничение на броя на клетъчните деления (наречено на учения, който го е открил, границата на Хейфлик), нито биологичното му значение все още са неясни.
Кой е "сензорът" в системата за регулиране - размерът на органа или броят на клетките? Недвусмислен отговор на този въпрос дават експериментите с получаване на животни с променен плоид - хаплоиден, триплоиден или тетраплоиден. Техните клетки са съответно 2 пъти по-малки или 1,5 или 2 пъти по-големи от нормалните диплоидни клетки. Въпреки това, както размерът на самите животни, така и размерът на техните органи обикновено са нормални, тоест те съдържат повече или по-малко клетки от нормалното. Следователно регулираното количество не е броят на клетките, а масата на органа или целия организъм.
При растенията ситуацията е различна. Клетките на тетраплоидните растения, както и тези на животните, са съответно по-големи от диплоидните. Но размерите на части от тетраплоидни растения - листа, цветя, семена - често се оказват почти 2 пъти по-големи от обикновено. Изглежда, че при растенията „сензорът“ при определяне на броя на клетъчните деления не е размерът на органа, а самият брой клетки.
Механизмите, регулиращи клетъчното делене - клетъчната пролиферация, се изучават много интензивно и от различни ъгли. Един от стимулите за такава дейност на учените е, че разликите между раковите клетки и нормалните клетки в много отношения се състоят в нарушаването на регулацията на клетъчното делене, в излизането на клетките от такава регулация.
Пример за един от механизмите за регулиране на клетъчното делене е поведението на клетките, засети на дъното на флакон с хранителна среда - клетъчна култура. Деленията им при добри условия стават докато покрият цялото дъно и клетките се докоснат една в друга. Следва така нареченото контактно инхибиране или инхибиране в зависимост от клетъчната плътност. Може да се счупи, както направи Ю. М. Василиев, като изчисти малко прозорче на стъклената повърхност от клетките. Клетките се втурват в този прозорец от всички страни, около него преминава вълна от клетъчни деления. Може да се предположи, че и в организма контактите със съседните клетки са механизъм, който задържа клетъчните деления.
При туморните клетки тази регулация е нарушена – те не се подчиняват на контактното инхибиране, а продължават да се делят, натрупани една върху друга. За съжаление те се държат по подобен начин в тялото.
Но контактното инхибиране не е единственият механизъм на регулиране: неговата бариера може да бъде преодоляна дори в напълно нормални клетки. Така, например, чернодробните клетки на младо животно, плътно притиснати една към друга, въпреки това се разделят и черният дроб расте заедно с растежа на цялото животно. При възрастните животни тези деления практически спират. Въпреки това, ако два лоба на черния дроб бъдат отстранени, тогава масовите клетъчни деления ще започнат много бързо в останалия лоб - регенерация на черния дроб. Ако единият бъбрек бъде отстранен, след няколко дни вторият бъбрек ще удвои размера си поради клетъчните деления. Очевидно в тялото има механизми, които могат да стимулират деленето на клетките в органа, да активират растежа му и по този начин да приведат размера на органа в някакво количествено съответствие с размера на целия организъм.
В този случай няма контактни механизми, а някои химични фактори, които могат да бъдат свързани с функцията на черния дроб или бъбреците. Може да се предположи, че недостатъчността на функцията на тези органи, когато част от тях е отстранена или когато растежът им изостава от растежа на целия организъм, нарушава целия метаболизъм в тялото по такъв начин, че предизвиква компенсаторна стимулация. на клетъчните деления в тези органи. Има и други хипотези, обясняващи например подобни явления с действието на специални инхибитори на клетъчното делене - калони, секретирани от самия орган; ако органът е по-малък, тогава има по-малко калони и повече клетъчни деления в този орган. Ако има такъв механизъм, той не работи навсякъде. Например загубата на единия крак сама по себе си не води до увеличаване на размера на другия крак.
Деленията на стволовите и диференциращите кръвни клетки се стимулират, както вече казахме, от хормони като например еритропоетин. Хормоните стимулират клетъчното делене и в много други случаи. Например, стимулирането на растежа на броя на клетките в яйцепровода при пилета се активира от женския полов хормон. Има химични фактори - обикновено това са малки протеини, които не действат като хормони, тоест не се разнасят с кръвта в цялото тяло, а имат по-ограничен ефект върху съседните тъкани. Това са известните в момента фактори на растежа - епидермални и др. Но в повечето случаи специфичните химични фактори, регулиращи клетъчното делене и механизмите на тяхното действие, са ни неизвестни.
Още по-малко знаем за регулацията на клетъчните деления по време на основните процеси на морфогенезата – в ембрионалното развитие. Вече казахме, че тук способността на някои клетки да се делят по-бързо от други е проява на тяхната диференциация. В същото време е невъзможно да не се забележи, че диференциацията и клетъчните деления в известен смисъл се противопоставят, а понякога дори се изключват. В някои случаи това се дължи на невъзможността за делене по време на напреднала, крайна клетъчна диференциация. Може ли например един еритроцит да се дели със своята много специализирана структура, твърда обвивка и почти пълна загуба на повечето клетъчни функции, а при бозайниците също и със загуба на ядрото? Въпреки че нервните клетки поддържат много висока скорост на метаболизма, техният дълъг аксон и дендрити, свързани с други клетки, служат като очевидни пречки за деленето. Ако такова делене се случи в нервна клетка, това би довело до загуба на комуникацията на тази клетка с другите и следователно до загуба на нейната функция.
Следователно обичайната последователност от събития е първо период на клетъчна пролиферация и едва след това диференциация, която има терминален характер. Освен това редица учени предполагат, че точно по време на клетъчното делене хромозомите се "освобождават" за следващия етап на диференциация - на последната митоза преди диференциацията се придава особено значение. Тези идеи все още са до голяма степен спекулативни и нямат добри експериментални основания на молекулярно ниво.
Но и без да знаем специфичните механизми на регулиране на клетъчните деления, ние имаме право да считаме техния програмиран характер за същото проявление на програмата за развитие, както и всички други нейни процеси.
В заключение ще се спрем накратко на явлението, така да се каже, обратното на възпроизвеждането на клетките - тяхната смърт, която в някои случаи на морфогенеза е необходим етап от развитието. Така например, по време на образуването на пръстите в рудиментите на ръката на предните и задните крайници, мезенхимните клетки се събират в плътни нишки, от които след това се образуват хрущялите на фалангите. Сред клетките, останали между тях, настъпва масова смърт, поради което пръстите частично се отделят един от друг. Нещо подобно се случва в диференциацията на пъпката на крилото при птиците. Механизмите на клетъчна смърт в тези случаи - външни за клетките фактори и събития в клетките - остават малко известни. А. С. Умански предполага например, че смъртта на клетката започва с разграждането на нейната ДНК.
Възпроизвеждането на клетките, въпреки цялото си значение, не може да се счита за основен механизъм на морфогенезата: въпреки това участва косвено в създаването на форма, въпреки че такива важни параметри като общата форма на органа и неговия относителен размер могат да бъдат регулирани точно на ниво на клетъчните деления. Програмираната клетъчна смърт играе още по-малка роля в морфогенезата. Те обаче са абсолютно необходими компоненти за нормалното развитие. В регулацията на тези явления участват почти всички компоненти на клетката и нейния генетичен апарат. Това ни показва, че няма прости процеси в развитието. Опитът да разберем напълно някой от тях ни принуждава да се обърнем към основните молекулярни механизми на клетката. И все още има много нерешени неща.
За да се оцени цялата сложност на развитието на многоклетъчен организъм, е необходимо да си представим, че този процес протича, така да се каже, в многоизмерно пространство. Едната ос е дълга верига от етапи в внедряването на генетичната информация - от гена до признака. Втората такава ос може да се нарече целият набор от гени в хромозомите. По време на развитието продуктите на различни гени взаимодействат помежду си. Разгръщането на събитията по две оси образува, така да се каже, мрежа в равнина. Има обаче и трета ос - разнообразието от събития, случващи се в различни части на ембриона. Тези събития могат да се появят относително автономно, както при животни с мозаично развитие. Но частично в тях, но в пълна степен при видовете с регулаторен тип развитие се извършват по-големи или по-малки взаимодействия и винаги сложни движения на клетките между частите на тялото. Възможно е всички те да се разглеждат като една ос само чрез значително опростяване. И накрая, цялото развитие (гаметогенеза, ембриогенеза и постембрионално развитие) се извършва във времева скала, която е напълно различна от времето, измерено по пътя от гена до протеина. По тази (условно четвърта) ос цялата многоизмерна картина се променя радикално - яйцето се превръща в размножаващ се организъм. Тази многоизмерност илюстрира сложността на всички процеси и техните взаимоотношения и трудността за тяхното разбиране.
При някои вируси ролята на наследствено вещество се изпълнява не от ДНК, а от РНК, сходна по структура с нея.
