Определение 1. Числова ос ( числова права, координатна права) Ox е правата, на която е избрана точка O произход (начало на координати)(фиг.1), посока
О → х
посочен като положителна посокаи се маркира сегмент, чиято дължина се приема за единица за дължина.
Определение 2. Отсечка, чиято дължина се приема за единица дължина, се нарича мащаб.
Всяка точка на числовата ос има координата, която е реално число. Координатата на точка O е нула. Координатата на произволна точка A, лежаща върху лъча Ox, е равна на дължината на отсечката OA. Координатата на произволна точка A от цифровата ос, която не лежи на лъча Ox, е отрицателна и по абсолютна стойност е равна на дължината на сегмента OA.
Определение 3. Правоъгълна декартова координатна система Oxy на равнинатаобадете се на две взаимно перпендикуляренчислови оси Ox и Oy с същия мащабИ обща отправна точкав точка O и така, че завъртането от лъч Ox под ъгъл от 90 ° към лъч Oy се извършва в посоката обратно на часовниковата стрелка(фиг. 2).
Забележка. Правоъгълната декартова координатна система Oxy, показана на фигура 2, се нарича дясна координатна система, За разлика от леви координатни системи, при който завъртането на лъча Ox под ъгъл 90° спрямо лъча Oy се извършва по посока на часовниковата стрелка. В това ръководство ние разглеждаме само десни координатни системи, без да го уточнява конкретно.
Ако въведем някаква система от правоъгълни декартови координати Oxy на равнината, тогава всяка точка от равнината ще придобие две координати – абсцисатаИ ордината, които се изчисляват по следния начин. Нека A е произволна точка от равнината. Нека пуснем перпендикуляри от точка А А.А. 1 и А.А. 2 съответно до прави Ox и Oy (фиг. 3).
Определение 4. Абсцисата на точка А е координатата на точката А 1 на числовата ос Ox, ординатата на точка A е координатата на точката А 2 на числовата ос Oy.
Обозначаване Координати (абсциса и ордината) на точкатаА в правоъгълната декартова координатна система обикновено се означава Oxy (фиг. 4). А(х;г) или А = (х; г).
Забележка. Точка О, наречена произход, има координати О(0 ; 0) .
Определение 5. В правоъгълната декартова координатна система Oxy числовата ос Ox се нарича абсцисна ос, а числовата ос Oy се нарича ординатна ос (фиг. 5).
Определение 6. Всяка правоъгълна декартова координатна система разделя равнината на 4 четвъртини (квадранти), чието номериране е показано на фигура 5.
Определение 7. Нарича се равнината, на която е дадена правоъгълна декартова координатна система координатна равнина.
Забележка. Абсцисната ос е зададена в координатната равнина чрез уравнението г= 0, ординатната ос е дадена в координатната равнина от уравнението х = 0.
Твърдение 1. Разстояние между две точкикоординатна равнина
А 1 (х 1 ;г 1) И А 2 (х 2 ;г 2)
изчислено според формулата
доказателство Разгледайте фигура 6.
Функция за изграждане
Предлагаме на вашето внимание услуга за конструиране на графики на функции онлайн, всички права върху които принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.
Предимства на онлайн графики
- Визуално показване на въведените функции
- Изграждане на много сложни графики
- Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
- Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
- Контрол на мащаба, цвета на линията
- Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
- Изграждане на графики на няколко функции едновременно
- График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))
С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на уебсайта е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.
Ако поставите окръжността с единично число върху координатната равнина, тогава можете да намерите координатите на нейните точки. Цифровият кръг е разположен така, че центърът му да съвпада с началото на равнината, т.е. точка O (0; 0).
Обикновено върху окръжността с единица номер се отбелязват точките, съответстващи на началото на окръжността
- четвъртинки - 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
- средни четвъртини - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- трети на четвъртините - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
В координатната равнина, с горното местоположение на единичната окръжност върху нея, можете да намерите координатите, съответстващи на тези точки от окръжността.
Координатите на краищата на кварталите се намират много лесно. В точка 0 на окръжността координатата x е 1, а координатата y е 0. Можем да я означим като A (0) = A (1; 0).
Краят на първото тримесечие ще бъде разположен на положителната ос y. Следователно B (π/2) = B (0; 1).
Краят на втората четвърт е на отрицателната полуос: C (π) = C (-1; 0).
Край на третата четвърт: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Но как да намерим координатите на средните точки на четвъртините? За да направите това, изградете правоъгълен триъгълник. Неговата хипотенуза е сегмент от центъра на окръжността (или началото) до средата на четвъртата окръжност. Това е радиусът на окръжността. Тъй като окръжността е единица, хипотенузата е равна на 1. След това начертайте перпендикуляр от точка на окръжността към която и да е ос. Нека е към оста х. Резултатът е правоъгълен триъгълник, дължините на катетите на който са координатите x и y на точката от окръжността.
Четвърт кръг е 90º. И половин четвърт е 45º. Тъй като хипотенузата е изтеглена към средата на квадранта, ъгълът между хипотенузата и крака, простиращ се от началото, е 45º. Но сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180º. Следователно ъгълът между хипотенузата и другия катет също остава 45º. Това води до равнобедрен правоъгълен триъгълник.
От Питагоровата теорема получаваме уравнението x 2 + y 2 = 1 2. Тъй като x = y и 1 2 = 1, уравнението се опростява до x 2 + x 2 = 1. Решавайки го, получаваме x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Така координатите на точката M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
В координатите на точките на средните точки на другите четвърти ще се променят само знаците, а модулите на стойностите ще останат същите, тъй като десният триъгълник ще бъде само обърнат. Получаваме:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При определяне на координатите на третите части на четвъртините на окръжност се построява и правоъгълен триъгълник. Ако вземем точката π/6 и начертаем перпендикуляр на оста x, тогава ъгълът между хипотенузата и катета, лежащ върху оста x, ще бъде 30º. Известно е, че катет, лежащ срещу ъгъл от 30º, е равен на половината от хипотенузата. Това означава, че сме намерили координатата y, тя е равна на ½.
Познавайки дължините на хипотенузата и един от краката, използвайки питагоровата теорема, намираме другия крак:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Така T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
За точката на втората третина на първата четвърт (π/3) е по-добре да начертаете перпендикуляр на оста към оста y. Тогава ъгълът в началото също ще бъде 30º. Тук координатата x ще бъде равна на ½, а y, съответно, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
За други точки от третото тримесечие знаците и редът на стойностите на координатите ще се променят. Всички точки, които са по-близо до оста x, ще имат координатна стойност на модул x, равна на √3/2. Точките, които са по-близо до оста y, ще имат стойност на модул y, равна на √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Аналитичната геометрия предоставя единни техники за решаване на геометрични проблеми. За да направите това, всички зададени и търсени точки и линии се присвояват на една координатна система.
В една координатна система всяка точка може да се характеризира със своите координати, а всяка права – с уравнение с две неизвестни, чиято графика е тази права. По този начин геометричният проблем се свежда до алгебричен, където всички методи за изчисление са добре развити.
Окръжността е геометрично място на точки с едно специфично свойство (всяка точка от окръжността е на еднакво разстояние от една точка, наречена център). Уравнението на окръжност трябва да отразява това свойство и да отговаря на това условие.
Геометричната интерпретация на уравнението на окръжност е линията на окръжност.
Ако поставите окръжност в координатна система, тогава всички точки на окръжността отговарят на едно условие - разстоянието от тях до центъра на окръжността трябва да бъде същото и равно на окръжността.
Окръжност с център в точка А и радиус Р поставете го в координатната равнина.
Ако централните координати (a;b) , и координатите на всяка точка от окръжността (x;y) , тогава уравнението на окръжността има формата:
Ако квадратът на радиуса на окръжност е равен на сумата от квадратите на разликите между съответните координати на всяка точка от окръжността и нейния център, тогава това уравнение е уравнението на окръжност в равнинна координатна система.
Ако центърът на окръжността съвпада с началото, тогава квадратът на радиуса на окръжността е равен на сбора от квадратите на координатите на всяка точка от окръжността. В този случай уравнението на кръга приема формата:
Следователно всяка геометрична фигура като геометрично място на точки се определя от уравнение, свързващо координатите на нейните точки. Обратно, уравнението, свързващо координатите х И при , дефинирайте права като геометрично място на точки в равнината, чиито координати удовлетворяват това уравнение.
Примери за решаване на задачи за уравнение на окръжност
Задача. Напишете уравнение за даден кръг
Напишете уравнение за окръжност с център в точка O (2;-3) и радиус 4.Решение.
Нека се обърнем към формулата за уравнението на окръжност:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2
Нека заместим стойностите във формулата.
Радиус на кръга R = 4
Координати на центъра на окръжността (според условието)
а = 2
b = -3
Получаваме:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
или
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.
Задача. Една точка принадлежи ли към уравнението на окръжност?
Проверете дали дадена точка принадлежи на A(2;3)уравнение на окръжност (x - 2) 2 +(y+3) 2 = 16 .Решение.
Ако една точка принадлежи на окръжност, тогава нейните координати удовлетворяват уравнението на окръжността.
За да проверите дали точка с дадени координати принадлежи на окръжност, заместете координатите на точката в уравнението на дадената окръжност.
В уравнението ( х - 2) 2 + (г + 3) 2 = 16
Нека заместим според условието координатите на точка A(2;3), т.е
х = 2
y=3
Нека проверим истинността на полученото равенство
(х - 2) 2 + (г + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенството е фалшиво
Така че дадената точка не принадлежидадено уравнение на окръжност.
