Позволявам Л – линейно пространство над полето Р . Позволявам А1, а2, …, ан (*) крайна система от вектори от Л . вектор IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× Ан (16) се нарича Линейна комбинация от вектори ( *), или казват, че векторът IN линейно изразено чрез система от вектори (*).
Определение 14. Системата от вектори (*) се нарича Линейно зависима , ако и само ако съществува ненулев набор от коефициенти a1, a2, … , такъв, че a1× A1 +a2× A2 + … + an× Ан = 0. Ако a1× A1 +a2× A2 + … + an× Ан = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, тогава се извиква системата (*). Линейно независим.
Свойства на линейна зависимост и независимост.
10. Ако система от вектори съдържа нулев вектор, то тя е линейно зависима.
Действително, ако в системата (*) векторът A1 = 0, Това е 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .
20. Ако система от вектори съдържа два пропорционални вектора, то тя е линейно зависима.
Позволявам A1 = Л×a2. След това 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× А N= 0.
30. Крайна система от вектори (*) за n ³ 2 е линейно зависима тогава и само ако поне един от нейните вектори е линейна комбинация от останалите вектори на тази система.
Þ Нека (*) е линейно зависим. Тогава има ненулев набор от коефициенти a1, a2, …, an, за който a1× A1 +a2× A2 + … + an× Ан = 0 . Без загуба на общност можем да приемем, че a1 ¹ 0. Тогава съществува A1 = ×a2× A2 + … + ×an× А N. И така, вектор A1 е линейна комбинация от останалите вектори.
Ü Нека един от векторите (*) е линейна комбинация от останалите. Можем да приемем, че това е първият вектор, т.е. A1 = B2 А2+ … + млрд А N, следователно (–1)× A1 + b2 А2+ … + млрд А N= 0 , т.е. (*) е линейно зависим.
Коментирайте. Използвайки последното свойство, можем да дефинираме линейната зависимост и независимост на безкрайна система от вектори.
Определение 15. Векторна система А1, а2, …, ан , … (**) е наречен Линейно зависим, Ако поне един от неговите вектори е линейна комбинация от някакъв краен брой други вектори. В противен случай се извиква системата (**). Линейно независим.
40. Крайна система от вектори е линейно независима тогава и само ако нито един от нейните вектори не може да бъде линейно изразен по отношение на останалите й вектори.
50. Ако една система от вектори е линейно независима, то всяка нейна подсистема също е линейно независима.
60. Ако някаква подсистема на дадена система от вектори е линейно зависима, то цялата система също е линейно зависима.
Нека са дадени две системи от вектори А1, а2, …, ан , … (16) и В1, В2, …, Вs, … (17). Ако всеки вектор от система (16) може да бъде представен като линейна комбинация от краен брой вектори от система (17), тогава се казва, че системата (17) е линейно изразена чрез система (16).
Определение 16. Двете векторни системи се наричат Еквивалентен , ако всеки от тях е линейно изразен през другия.
Теорема 9 (основна теорема за линейна зависимост).
Нека бъде – две крайни системи от вектори от Л . Ако първата система е линейно независима и линейно изразена през втората, тогава н£s.
Доказателство.Нека се преструваме, че н> С.Според условията на теоремата
|
|
Тъй като системата е линейно независима, равенството (18) Û X1=x2=…=xN= 0.Нека заместим тук изразите на векторите: …+=0 (19). Следователно (20). Условия (18), (19) и (20) очевидно са еквивалентни. Но (18) е изпълнено само когато X1=x2=…=xN= 0.Нека намерим кога равенството (20) е вярно. Ако всичките му коефициенти са нула, то очевидно е вярно. Приравнявайки ги на нула, получаваме система (21). Тъй като тази система има нула, тогава тя |
(21)става Тъй като броят на уравненията е по-голям от броя на неизвестните, системата има безкрайно много решения. Следователно, той има ненулево X10, x20, …, xN0. За тези стойности равенството (18) ще бъде вярно, което противоречи на факта, че системата от вектори е линейно независима. Така че нашето предположение е погрешно. следователно н£s.
Последица.Ако две еквивалентни системи от вектори са крайни и линейно независими, тогава те съдържат еднакъв брой вектори.
Определение 17. Векторната система се нарича Максимална линейно независима система от вектори Линейно пространство Л , ако е линейно независим, но при добавяне към него произволен вектор от Л , който не е включен в тази система, той става линейно зависим.
Теорема 10. Всякакви две крайни максимални линейно независими системи от вектори от Л Съдържат същия брой вектори.
Доказателствоследва от факта, че всеки две максимални линейно независими системи от вектори са еквивалентни .
Лесно е да се докаже, че всяка линейно независима система от пространствени вектори Л може да се разшири до максимална линейно независима система от вектори в това пространство.
Примери:
1. В множеството на всички колинеарни геометрични вектори всяка система, състояща се от един ненулев вектор, е максимално линейно независима.
2. В множеството от всички копланарни геометрични вектори всеки два неколинеарни вектора съставляват максимална линейно независима система.
3. В множеството от всички възможни геометрични вектори на тримерното евклидово пространство всяка система от три некомпланарни вектора е максимално линейно независима.
4. В множеството на всички полиноми степените не са по-високи от нС реални (комплексни) коефициенти, система от полиноми 1, x, x2, …, xnЕ максимално линейно независим.
5. В множеството от всички полиноми с реални (комплексни) коефициенти примери за максимална линейно независима система са
а) 1, x, x2, ... , xn, ... ;
б) 1, (1 – х), (1 – х)2, … , (1 – х)Н, ...
6. Набор от размерни матрици М´ не линейно пространство (проверете това). Пример за максимална линейно независима система в това пространство е матричната система E11= , E12 =, …, EМн = .
Нека е дадена система от вектори C1, c2, …, вж (*). Извиква се подсистемата от вектори от (*). Максимално линейно независим Подсистемасистеми ( *) , ако е линейно независим, но при добавяне на всеки друг вектор от тази система към него, той става линейно зависим. Ако системата (*) е крайна, тогава всяка от нейните максимални линейно независими подсистеми съдържа същия брой вектори. (Докажете го сами). Броят на векторите в максималната линейно независима подсистема на системата (*) се нарича Ранг Тази система. Очевидно еквивалентните системи от вектори имат еднакви рангове.
Вектори, техните свойства и действия с тях
Вектори, действия с вектори, линейно векторно пространство.
Векторите са подредена колекция от краен брой реални числа.
Действия: 1. Умножаване на вектор по число: ламбда*вектор x=(ламбда*x 1, ламбда*x 2 ... ламбда*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. Събиране на вектори (принадлежат към едно и също векторно пространство) вектор x + вектор y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n-мерен (линейно пространство) вектор x + вектор 0 = вектор x
Теорема. За да бъде линейно зависима система от n вектора, n-мерно линейно пространство, е необходимо и достатъчно един от векторите да бъде линейна комбинация от останалите.
Теорема. Всеки набор от n+ първи вектори на n-мерно линейно пространство от явления. линейно зависими.
Събиране на вектори, умножение на вектори с числа. Изваждане на вектори.
Сумата от два вектора е вектор, насочен от началото на вектора към края на вектора, при условие че началото съвпада с края на вектора. Ако векторите са дадени чрез техните разширения в базисни единични вектори, тогава при добавяне на вектори се добавят съответните им координати.
Нека разгледаме това на примера на декартова координатна система. Позволявам
Нека покажем това
От фигура 3 става ясно, че 
Сумата от всеки краен брой вектори може да бъде намерена с помощта на правилото на многоъгълника (фиг. 4): за да се конструира сумата от краен брой вектори, достатъчно е да се комбинира началото на всеки следващ вектор с края на предишния и конструирайте вектор, свързващ началото на първия вектор с края на последния.
Свойства на операцията за събиране на вектори:
В тези изрази m, n са числа.
Разликата между векторите се нарича вектор. Вторият член е вектор, противоположен на вектора по посока, но равен на него по дължина.
Така операцията за изваждане на вектори се заменя с операция за събиране
Вектор, чието начало е в началото и краят в точка A (x1, y1, z1), се нарича радиус вектор на точка A и се означава просто. Тъй като неговите координати съвпадат с координатите на точка А, неговото разлагане в единични вектори има формата
Вектор, който започва в точка A(x1, y1, z1) и завършва в точка B(x2, y2, z2), може да бъде написан като 
където r 2 е радиус векторът на точка B; r 1 - радиус вектор на точка А.
Следователно, разширяването на вектора в единични вектори има формата
Дължината му е равна на разстоянието между точките А и В
УМНОЖЕНИЕ
Така че в случай на равнинна задача, произведението на вектор от a = (ax; ay) от числото b се намира по формулата
a b = (ax b; ay b)
Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2) по 3.
3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
И така, в случай на пространствена задача, произведението на вектора a = (ax; ay; az) от числото b се намира по формулата
a b = (ax b; ay b; az b)
Пример 1. Намерете произведението на вектора a = (1; 2; -5) по 2.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
Точково произведение на вектори и 
където е ъгълът между векторите и ; ако едно от двете, тогава
От дефиницията на скаларното произведение следва, че 
където, например, е големината на проекцията на вектора върху посоката на вектора.
Скаларен квадратен вектор:
Свойства на точковия продукт:
Точково произведение в координати
Ако 
Че 
Ъгъл между векторите
Ъгъл между векторите - ъгълът между посоките на тези вектори (най-малък ъгъл).
Кръстосано произведение (Кръстосано произведение на два вектора.) -това е псевдовектор, перпендикулярен на равнина, конструиран от два фактора, който е резултат от двоичната операция „векторно умножение“ върху вектори в триизмерното евклидово пространство. Продуктът не е нито комутативен, нито асоциативен (той е антикомутативен) и е различен от точковия продукт на векторите. В много инженерни и физични задачи трябва да можете да конструирате вектор, перпендикулярен на два съществуващи - векторното произведение предоставя тази възможност. Кръстосаното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на векторите - дължината на кръстосаното произведение на два вектора е равна на произведението на техните дължини, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.
Кръстосаното произведение се дефинира само в тримерни и седеммерни пространства. Резултатът от векторно произведение, подобно на скаларно произведение, зависи от метриката на евклидовото пространство.
За разлика от формулата за изчисляване на вектори на скаларно произведение от координати в тримерна правоъгълна координатна система, формулата за кръстосаното произведение зависи от ориентацията на правоъгълната координатна система или, с други думи, нейната „хиралност“
Колинеарност на вектори.
Два ненулеви (не равни на 0) вектора се наричат колинеарни, ако лежат на успоредни прави или на една права. Приемлив, но непрепоръчителен синоним са „паралелни“ вектори. Колинеарните вектори могат да бъдат еднакво насочени („съпосочни“) или противоположно насочени (във последния случай понякога се наричат „антиколинеарни“ или „антипаралелни“).
Смесено произведение на вектори ( а, б, в)- скаларно произведение на вектор a и векторно произведение на вектори b и c:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
понякога се нарича троен точков продукт на вектори, очевидно защото резултатът е скаларен (по-точно, псевдоскаларен).
Геометрично значение: Модулът на смесения продукт е числено равен на обема на паралелепипеда, образуван от векторите (a,b,c) .
Имоти
Смесеният продукт е косо симетричен по отношение на всички свои аргументи: т.е. д. пренареждането на всеки два фактора променя знака на произведението. От това следва, че смесеното произведение в дясната декартова координатна система (в ортонормална база) е равно на детерминантата на матрица, съставена от вектори и:
Смесеният продукт в лявата декартова координатна система (в ортонормална база) е равен на детерминантата на матрицата, съставена от вектори и взета със знак минус:
В частност,
Ако всеки два вектора са успоредни, тогава с всеки трети вектор те образуват смесен продукт, равен на нула.
Ако три вектора са линейно зависими (т.е. компланарни, лежащи в една и съща равнина), тогава тяхното смесено произведение е равно на нула.
Геометрично значение - Смесеното произведение е равно по абсолютна стойност на обема на паралелепипеда (виж фигурата), образуван от векторите и; знакът зависи от това дали тази тройка вектори е дясна или лява.
Копланарност на вектори.
Три вектора (или повече) се наричат копланарни, ако те, сведени до общ произход, лежат в една и съща равнина
Свойства на копланарност
Ако поне един от трите вектора е нула, тогава трите вектора също се считат за компланарни.
Тройка вектори, съдържаща двойка колинеарни вектори, е компланарна.
Смесено произведение на копланарни вектори. Това е критерий за копланарност на три вектора.
Копланарните вектори са линейно зависими. Това също е критерий за копланарност.
В тримерното пространство 3 некомпланарни вектора образуват основа
Линейно зависими и линейно независими вектори.
Линейно зависими и независими векторни системи.Определение. Векторната система се нарича линейно зависими, ако има поне една нетривиална линейна комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор. В противен случай, т.е. ако само тривиална линейна комбинация от дадени вектори е равна на нулевия вектор, векторите се извикват линейно независими.
Теорема (критерий за линейна зависимост). За да бъде една система от вектори в линейно пространство линейно зависима, е необходимо и достатъчно поне един от тези вектори да е линейна комбинация от останалите.
1) Ако сред векторите има поне един нулев вектор, тогава цялата система от вектори е линейно зависима.
Всъщност, ако, например, , тогава, ако приемем, имаме нетривиална линейна комбинация .▲
2) Ако сред векторите някои образуват линейно зависима система, то цялата система е линейно зависима.
Наистина, нека векторите , , са линейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор. Но тогава, ако приемем 
, ние също получаваме нетривиална линейна комбинация, равна на нулевия вектор.
2. Основание и измерение. Определение. Система от линейно независими вектори 
векторно пространство се нарича базаот това пространство, ако всеки вектор от може да бъде представен като линейна комбинация от вектори на тази система, т.е. за всеки вектор има реални числа 
такова, че равенството е в сила Това равенство се нарича векторно разлаганеспоред основата и числата са наречени координати на вектора спрямо основата(или в основата) .
Теорема (за уникалността на разширението по отношение на основата). Всеки вектор в пространството може да бъде разширен в базис по единствения начин, т.е. координати на всеки вектор в основата се определят еднозначно.
Позволявам Ле произволно линейно пространство, a аз Î л,- неговите елементи (вектори).
Определение 3.3.1.Изразяване , Където , - произволни реални числа, наречени линейна комбинация вектори a 1 , a 2 ,…, a н.
Ако векторът Р = , тогава те казват, че Р разложени на вектори a 1 , a 2 ,…, a н.
Определение 3.3.2.Линейна комбинация от вектори се нарича нетривиален, ако сред числата има поне едно различно от нула. В противен случай се нарича линейната комбинация тривиален.
Определение 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a нсе наричат линейно зависими, ако съществува нетривиална линейна комбинация от тях, така че
= 0 .
Определение 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,…, a нсе наричат линейно независими, ако равенството = 0 е възможно само в случай, че всички числа л 1, л 2,…, л нса едновременно равни на нула.
Забележете, че всеки ненулев елемент a 1 може да се разглежда като линейно независима система, тъй като равенството л a 1 = 0 възможно само ако л= 0.
Теорема 3.3.1.Необходимо и достатъчно условие за линейната зависимост a 1 , a 2 ,…, a не възможността за разлагане на поне един от тези елементи на останалите.
Доказателство. Необходимост. Нека елементите a 1 , a 2 ,…, a нлинейно зависими. Означава, че = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, л нразличен от нула. Нека за сигурност л 1 ¹ 0. Тогава
т.е. елемент a 1 се разлага на елементи a 2 , a 3 , …, a н.
Адекватност. Нека елемент a 1 се разложи на елементи a 2 , a 3 , …, a н, т.е. a 1 = . Тогава = 0 , следователно има нетривиална линейна комбинация от вектори a 1 , a 2 ,…, a н, равен 0 , така че те са линейно зависими .
Теорема 3.3.2. Ако поне един от елементите a 1 , a 2 ,…, a ннула, тогава тези вектори са линейно зависими.
Доказателство . Позволявам а н= 0 , след това = 0 , което означава линейната зависимост на тези елементи.
Теорема 3.3.3. Ако сред n вектора има p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Доказателство. Нека за определеност елементите a 1 , a 2 ,…, a стрлинейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, такава че = 0 . Посоченото равенство ще се запази, ако добавим елемента към двете му части. Тогава + = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, л.празличен от нула. Следователно векторите a 1 , a 2 ,…, a нса линейно зависими.
Следствие 3.3.1.Ако n елемента са линейно независими, тогава всеки k от тях е линейно независим (k< n).
Теорема 3.3.4. Ако векторите a 1 , a 2 ,…, a н- 1 са линейно независими, а елементите a 1 , a 2 ,…, a н- 1, а n са линейно зависими, тогава векторъта n може да се разшири във вектори a 1 , a 2 ,…, a н- 1 .
Доказателство.Тъй като по условие a 1 , a 2 ,…, а н- 1, а н са линейно зависими, тогава има нетривиална линейна комбинация от тях = 0 , и (в противен случай векторите a 1 , a 2 ,…, a ще се окажат линейно зависими н- 1). Но тогава векторът
Q.E.D.
Векторната система се нарича линейно зависими, ако има числа, сред които поне едно е различно от нула, така че равенството https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.
Ако това равенство е изпълнено само в случай, когато всички , тогава системата от вектори се нарича линейно независими.
Теорема.Векторната система ще линейно зависимитогава и само ако поне един от неговите вектори е линейна комбинация от останалите.
Пример 1.Полином 
е линейна комбинация от полиноми https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Полиномите представляват линейно независима система, тъй като полиномът https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Пример 2.Матричната система, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> е линейно независима, тъй като линейна комбинация е равна на нулева матрица само в случай, когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависима.
Решение.
Нека направим линейна комбинация от тези вектори https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" височина=" 22">.
Приравнявайки същите координати на еднакви вектори, получаваме https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Накрая получаваме
И
Системата има уникално тривиално решение, така че линейна комбинация от тези вектори е равна на нула само в случай, че всички коефициенти са равни на нула. Следователно тази система от вектори е линейно независима.
Пример 4.Векторите са линейно независими. Какви ще бъдат векторните системи?
а).
;
б).
?
Решение.
а).Нека направим линейна комбинация и да я приравним към нула
Използвайки свойствата на операциите с вектори в линейното пространство, пренаписваме последното равенство във формата
Тъй като векторите са линейно независими, коефициентите при трябва да са равни на нула, т.е..gif" width="12" height="23 src=">
Получената система от уравнения има уникално тривиално решение 
.
От равенството (*) изпълнява се само когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независим;
б).Нека направим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Прилагайки подобни разсъждения, получаваме
Решавайки системата от уравнения по метода на Гаус, получаваме
или
Последната система има безкраен брой решения https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. По този начин има не- нулев набор от коефициенти, за които важи равенството (**)
. Следователно системата от вектори – линейно зависими.
Пример 5Система от вектори е линейно независима, а система от вектори е линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
В равенство (***) . Наистина, при , системата ще бъде линейно зависима.
От връзката (***)
получаваме 
или 
Нека обозначим 
.
Получаваме 
Задачи за самостоятелно решаване (в класната стая)
1. Система, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.
2. Система, състояща се от един вектор А, е линейно зависим тогава и само ако, а=0.
3. Система, състояща се от два вектора, е линейно зависима тогава и само ако векторите са пропорционални (т.е. единият от тях се получава от другия чрез умножение по число).
4. Ако добавите вектор към линейно зависима система, ще получите линейно зависима система.
5. Ако един вектор се премахне от линейно независима система, тогава получената система от вектори е линейно независима.
6. Ако системата Се линейно независим, но става линейно зависим при добавяне на вектор b, след това вектора bлинейно изразени чрез системни вектори С.
° С).Система от матрици , , в пространството на матрици от втори ред.
10. Нека системата от вектори а,б,° Свекторното пространство е линейно независимо. Докажете линейната независимост на следните векторни системи:
а).а+b, b, c.
б).а+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–произволно число
° С).а+b, a+c, b+c.
11. Позволявам а,б,° С– три вектора на равнината, от които може да се образува триъгълник. Тези вектори ще бъдат ли линейно зависими?
12. Дадени са два вектора a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Намерете още два четириизмерни вектора a3 иa4така че системата a1,a2,a3,a4беше линейно независим .
Въведено от нас линейни операции върху векториправят възможно създаването на различни изрази за векторни величинии ги трансформирайте, като използвате свойствата, зададени за тези операции.
Въз основа на даден набор от вектори a 1, ..., a n, можете да създадете израз на формата
където a 1, ... и n са произволни реални числа. Този израз се нарича линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n. Числата α i, i = 1, n, представляват линейни комбинирани коефициенти. Набор от вектори също се нарича система от вектори.
Във връзка с въведеното понятие за линейна комбинация от вектори възниква проблемът да се опише множество от вектори, което може да се запише като линейна комбинация от дадена система от вектори a 1, ..., a n. Освен това възникват естествени въпроси за условията, при които съществува представяне на вектор под формата на линейна комбинация и за уникалността на такова представяне.
Определение 2.1.Векторите a 1, ... и n се наричат линейно зависими, ако има набор от коефициенти α 1 , ... , α n такива, че
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
и поне един от тези коефициенти е различен от нула. Ако посоченият набор от коефициенти не съществува, тогава се извикват векторите линейно независими.
Ако α 1 = ... = α n = 0, тогава очевидно α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Имайки това предвид, можем да кажем следното: вектори a 1, ... и n са линейно независими, ако от равенството (2.2) следва, че всички коефициенти α 1 , ... , α n са равни на нула.
Следващата теорема обяснява защо новата концепция се нарича терминът "зависимост" (или "независимост") и предоставя прост критерий за линейна зависимост.
Теорема 2.1.За да бъдат векторите a 1, ... и n, n > 1, линейно зависими е необходимо и достатъчно единият от тях да е линейна комбинация от останалите.
◄ Необходимост. Да приемем, че векторите a 1, ... и n са линейно зависими. Съгласно дефиниция 2.1 на линейната зависимост, в равенството (2.2) отляво има поне един ненулев коефициент, например α 1. Оставяйки първия член от лявата страна на равенството, преместваме останалите в дясната страна, като променяме знаците им, както обикновено. Разделяйки полученото равенство на α 1, получаваме
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
тези. представяне на вектор a 1 като линейна комбинация от останалите вектори a 2, ..., a n.
Адекватност. Нека, например, първият вектор a 1 може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Прехвърляйки всички членове от дясната страна наляво, получаваме a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, т.е. линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n с коефициенти α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, равна на нулев вектор.В тази линейна комбинация не всички коефициенти са нула. Според дефиниция 2.1 векторите a 1, ... и n са линейно зависими.
Дефиницията и критерият за линейна зависимост са формулирани така, че да предполагат наличието на два или повече вектора. Можем обаче да говорим и за линейна зависимост на един вектор. За да реализирате тази възможност, вместо „векторите са линейно зависими“, трябва да кажете „системата от вектори е линейно зависима“. Лесно се вижда, че изразът „система от един вектор е линейно зависима“ означава, че този единичен вектор е нула (в линейна комбинация има само един коефициент и той не трябва да бъде равен на нула).
Концепцията за линейна зависимост има проста геометрична интерпретация. Следващите три твърдения изясняват това тълкуване.
Теорема 2.2.Два вектора са линейно зависими тогава и само ако те колинеарен.
◄ Ако векторите a и b са линейно зависими, то единият от тях, например a, се изразява чрез другия, т.е. a = λb за някакво реално число λ. Съгласно определение 1.7 върши работавектори на число, векторите a и b са колинеарни.
Нека сега векторите a и b са колинеарни. Ако и двете са нула, тогава е очевидно, че са линейно зависими, тъй като всяка линейна комбинация от тях е равна на нулевия вектор. Нека един от тези вектори не е равен на 0, например вектор b. Нека означим с λ отношението на дължините на векторите: λ = |a|/|b|. Колинеарни вектори могат да бъдат еднопосоченили противоположно насочени. В последния случай променяме знака на λ. Тогава, проверявайки Определение 1.7, се убеждаваме, че a = λb. Съгласно теорема 2.1 векторите a и b са линейно зависими.
Забележка 2.1.В случай на два вектора, като се вземе предвид критерият за линейна зависимост, доказаната теорема може да бъде преформулирана по следния начин: два вектора са колинеарни тогава и само ако единият от тях е представен като произведение на другия с число. Това е удобен критерий за колинеарност на два вектора.
Теорема 2.3.Три вектора са линейно зависими тогава и само ако те компланарен.
◄ Ако три вектора a, b, c са линейно зависими, то съгласно теорема 2.1 единият от тях, например a, е линейна комбинация от останалите: a = βb + γc. Нека съберем началото на векторите b и c в точка A. Тогава векторите βb, γс ще имат общо начало в точка A и по според правилото на успоредника техният сбор етези. вектор a ще бъде вектор с начало A и край, който е връх на успоредник, изграден върху компонентни вектори. По този начин всички вектори лежат в една и съща равнина, т.е. копланарни.
Нека векторите a, b, c са компланарни. Ако един от тези вектори е нула, тогава той очевидно ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно е всички коефициенти на линейна комбинация да бъдат равни на нула. Следователно можем да приемем, че и трите вектора не са нула. Съвместим започнана тези вектори в обща точка O. Нека техните краища са съответно точки A, B, C (фиг. 2.1). През точка C начертаваме прави, успоредни на прави, минаващи през двойки точки O, A и O, B. Означавайки точките на пресичане като A" и B", получаваме успоредник OA"CB", следователно OC" = OA" + OB". Вектор OA" и ненулев вектор a = OA са колинеарни и следователно първият от тях може да се получи чрез умножаване на втория по реално число α:OA" = αOA. По същия начин OB" = βOB, β ∈ R. В резултат на това получаваме, че OC" = α OA + βOB, т.е. вектор c е линейна комбинация от вектори a и b. Съгласно теорема 2.1 векторите a, b, c са линейно зависими.
Теорема 2.4.Всеки четири вектора са линейно зависими.
◄ Провеждаме доказателството по същата схема, както в теорема 2.3. Да разгледаме произволни четири вектора a, b, c и d. Ако един от четирите вектора е нула, или сред тях има два колинеарни вектора, или три от четирите вектора са компланарни, тогава тези четири вектора са линейно зависими. Например, ако векторите a и b са колинеарни, тогава можем да направим тяхната линейна комбинация αa + βb = 0 с ненулеви коефициенти и след това да добавим останалите два вектора към тази комбинация, като вземем нули като коефициенти. Получаваме линейна комбинация от четири вектора, равни на 0, в които има ненулеви коефициенти.
По този начин можем да приемем, че сред избраните четири вектора нито един вектор не е нула, няма два колинеарни и няма три копланарни. Нека изберем точка O като тяхно общо начало, тогава краищата на векторите a, b, c, d ще бъдат някои точки A, B, C, D (фиг. 2.2). През точка D начертаваме три равнини, успоредни на равнините OBC, OCA, OAB и нека A", B", C" са точките на пресичане на тези равнини съответно с правите OA, OB, OS. Получаваме паралелепипед OA" C "B" C" B"DA", а векторите a, b, c лежат на ръбовете му, излизащи от върха O. Тъй като четириъгълникът OC"DC" е успоредник, тогава OD = OC" + OC". От своя страна сегментът OC" е диагонален успоредник OA"C"B", така че OC" = OA" + OB" и OD = OA" + OB" + OC" .
Остава да се отбележи, че двойките вектори OA ≠ 0 и OA" , OB ≠ 0 и OB" , OC ≠ 0 и OC" са колинеарни и следователно е възможно да се изберат коефициентите α, β, γ така, че OA" = αOA, OB" = βOB и OC" = γOC. Накрая получаваме OD = αOA + βOB + γOC. Следователно векторът OD се изразява чрез другите три вектора и всичките четири вектора, съгласно теорема 2.1, са линейно зависими.
