Частни производни и диференциали от по-високи разряди.

Въведение.

Точно както в случая на функции на една променлива, възможно е да се изчислят диференциали с порядък по-висок от първия за функции на няколко променливи.

Освен това за сложни функции диференциалите от по-висок порядък от първия нямат непроменлива форма и изразите за тях са по-тромави. В тази лекция ще разгледаме и геометричния смисъл на общия диференциал на функция на няколко променливи, който се въвежда по аналогия с геометричния смисъл на функция на една реална променлива.

1. Диференциране на неявната функция.

а) Нека е дадено уравнение, което свързва две променливи хИ при. Ако всички членове на това уравнение се прехвърлят в лявата страна, тогава то ще има формата

Уравнението (1) най-общо казано, дефинира една или повече функции
. Например уравнението
дефинира една функция
, и уравнението дефинира две функции
И
.

Ако в разглежданите уравнения вместо призамени намерените функции, те ще се превърнат в идентичности.

определение:Всяка непрекъсната функция, която превръща уравнение в идентичност, се нарича имплицитна функция, дефинирана от уравнението.

Не всяко уравнение дефинира неявна функция. Така че уравнението
не удовлетворява нито една двойка реални числа
и следователно не дефинира неявна функция. Нека формулираме условията, при които уравнението определя неявната функция .

Нека е дадено уравнение (1).

б) Теорема за съществуване на неявна функция.

Ако функцията
и неговите частични производни
И
определени и непрекъснати в някаква околност на точката
и при което
, А
, тогава уравнението определя точките в този квартал
единствената неявна функция, непрекъсната и диференцируема в някакъв интервал, съдържащ точката , и
.

Геометрично това означава, че в близост до точка кривата е графика на непрекъсната и диференцируема функция.

V) Производна на неявна функция.

Нека лявата страна на уравнението удовлетворява условията, посочени в теоремата, тогава това уравнение дефинира имплицитната функция, за която в околността на точката се изпълнява идентичността по отношение на х:
. Тогава
, за всякакви хот квартала х 0 .

Според правилото за диференциране на сложни функции

и следователно,
.

или
(2)

Използвайки тази формула, се намира производната на неявна функция (една променлива).

Пример: х 3 +y 3 -3xy=0

Ние имаме
х 3 +y 3 -3hu, =3x 2 -3у =3u 2 -3x

= -
.

Нека обобщим концепцията за неявно дефинирана функция за случая на функция на няколко променливи.

Уравнение (3) дефинира неявно определена функция, ако тази функция е непрекъсната и превръща уравнението в идентичност, т.е.
(4).

По подобен начин се формулират условията за съществуване и уникалност на неявно зададена функция.

Да намерим И :

= -

= -

Пример:

2x

2у

= -
; = -
.

2. Частни производни от по-високи разряди.

Нека функцията има частни производни

Тези производни, най-общо казано, са функции на независимите променливи хИ при.

Частични производни на частни производни
И
се наричат ​​частни производни от втори ред на функцията.

Всяка частична производна от първи ред и има две частни производни. Така получаваме четири частични производни от втори ред

1. Деривати
И
се наричат ​​смесени производни от втори ред.

2. Възниква въпросът дали резултатът от диференцирането на функция

От реда на диференциране по отношение на различни променливи, т.е. ще

са идентично равни и .

Теоремата е вярна:

Теорема:Ако производните са дефинирани и непрекъснати в точката M(x,y)и някои от околностите му, тогава в този момент

Пример:

Производните от втори ред могат да бъдат диференцирани отново

в какво е х, и от при. Нека получим частни производни от трети ред.

Частната производна от n-ти ред е частната производна на

производна от (n-1)-ви ред.

3. Пълни диференциали от по-високи разряди.

Нека е диференцируема функция; следователно ще я наричаме диференциал от първи ред.

Нека и са диференцируеми функции в точката M(x,y),
И
ще ги разглеждаме като постоянни фактори. Тогава
е функция на 2 променливи хИ при, диференцируеми в точката M(x,y). Диференциалът му изглежда така:

Разлика от диференциал в точката M(x,y)се нарича диференциал от втори ред в тази точка и се обозначава
.

А-приори грешка! Обект не може да бъде създаден от кодове на полета за редактиране.=

грешка! Обект не може да бъде създаден от кодове на полета за редактиране.=

Диференциалът на диференциала от (n-1) ред се нарича диференциал от n-ти ред на функцията

Изразът за символично може да бъде написан като

грешка! Обект не може да бъде създаден от кодове на полета за редактиране.=
=

Пример:

4. Допирателна равнина и нормала към повърхността.

нормално

допирателна равнина

Нека N и N 0 са точки от тази повърхност. Нека начертаем права линия NN 0. Равнината, която минава през точка N 0 се нарича допирателна равнинакъм повърхността, ако ъгълът между секущата NN 0 и тази равнина клони към нула, когато разстоянието NN 0 клони към нула.

Определение. нормалнокъм повърхността в точка N 0 е права линия, минаваща през точка N 0, перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

Във всяка точка повърхността има или само една допирателна равнина, или изобщо я няма.

Ако повърхността е дадена от уравнението z = f(x, y), където f(x, y) е функция, диференцируема в точката M 0 (x 0, y 0), допирателната равнина в точката N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) съществува и има уравнението:

Уравнението на нормалата към повърхността в тази точка е:

Геометричен смисълобщият диференциал на функция на две променливи f(x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличението на приложението (z координати) на допирателната равнина към повърхността при движение от точката (x 0 , y 0) до точката (x 0 +x , 0 +у).

Както можете да видите, геометричният смисъл на общия диференциал на функция на две променливи е пространствен аналог на геометричния смисъл на диференциала на функция на една променлива.

Пример.Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността

в точка M(1, 1, 1).

Уравнение на допирателната равнина:

Нормално уравнение:

Заключение.

Дефинициите и обозначенията, свързани с частни производни от по-високи порядъци, остават в сила за функции, които зависят от три или повече променливи. Възможността за промяна на реда на извършените диференциации също остава валидна, при условие че сравняваните производни са непрекъснати.

Нека е дадена функция на две променливи. Нека да дадем увеличение на аргумента и да оставим аргумента непроменен. Тогава функцията ще получи увеличение, което се нарича частично увеличение по променлива и се обозначава:

По същия начин, фиксирайки аргумента и давайки увеличение на аргумента, получаваме частично увеличение на функцията по променлива:

Количеството се нарича общо нарастване на функцията в точка.

Определение 4. Частната производна на функция на две променливи по отношение на една от тези променливи е границата на съотношението на съответното частично увеличение на функцията към увеличението на дадена променлива, когато последната клони към нула (ако тази граница съществува). Частичната производна се означава по следния начин: или, или.

Така по дефиниция имаме:

Частичните производни на функциите се изчисляват по същите правила и формули като функция на една променлива, като се има предвид, че при диференциране по променлива тя се счита за константа, а при диференциране по променлива се счита за константа .

Пример 3. Намерете частични производни на функции:

Решение. а) За да намерим, ние го считаме за постоянна стойност и го диференцираме като функция на една променлива:

По същия начин, приемайки постоянна стойност, намираме:

Определение 5. Общият диференциал на функция е сумата от произведенията на частните производни на тази функция с увеличенията на съответните независими променливи, т.е.

Като се има предвид, че диференциалите на независимите променливи съвпадат с техните нараствания, т.е. , формулата за общия диференциал може да бъде записана като

Пример 4. Намерете пълния диференциал на функцията.

Решение. Тъй като използвайки общата диференциална формула, която намираме

Частични производни от по-висок порядък

Частичните производни се наричат ​​частни производни от първи ред или първи частни производни.

Определение 6. Частните производни от втори ред на функция са частните производни на частните производни от първи ред.

Има четири частични производни от втори ред. Те се обозначават, както следва:

Частичните производни от 3-ти, 4-ти и по-високи разряди се определят по подобен начин. Например за функция имаме:

Частните производни от втори или по-висок ред, взети по отношение на различни променливи, се наричат ​​смесени частни производни. За функция това са производни. Забележете, че в случая, когато смесените производни са непрекъснати, тогава равенството е в сила.

Пример 5. Намерете частни производни от втори ред на функция

Решение. Частичните производни от първи ред за тази функция се намират в пример 3:

Диференцирайки по отношение на променливите x и y, получаваме

А. Отново ще говорим само за функции на две променливи (но разсъжденията са подходящи и за функции на произволен брой променливи).

Нека имаме функция

и са негови частни производни. Последните, очевидно, също са функции на x и y и следователно също е възможно да се намерят техните частни производни по отношение на x и y.

Частната производна по отношение на частната производна по отношение на се нарича частна производна от втори ред по отношение на и се означава по следния начин:

По подобен начин дефинираме частичната производна от втори ред по отношение на y:

Частната производна по отношение на y на частната производна по отношение на се нарича смесена втора частна производна по отношение на и по отношение на y:

По подобен начин определяме втората частна производна, взета първо по отношение на y и след това по отношение на

Може да се докаже, че за много функции смесената производна не зависи от реда на диференциране, т.е.

Ние няма да даваме (поради сложност) доказателство за това важно свойство, но ще го демонстрираме с пример.

Нека например ни е дадена функция

Разграничаваме го първо по отношение на x, а след това по отношение на

Сега нека разграничим тази функция първо по отношение на y, а след това по отношение на

Както виждаме, резултатът и в двата случая е един и същ.

Ако вземем частни производни по и по отношение на частни производни от втори ред, ще получим частни производни от трети ред

По същия начин дефинираме частични производни от четвърти, пети ред и т.н.

b. Точно както взехме частни производни на частни производни, можем да вземем общата разлика на общата разлика. Резултатът се нарича втори общ диференциал и се обозначава по същия начин като втория диференциал на функция на една променлива, т.е. така:

Третият общ диференциал се нарича общ диференциал на втория общ диференциал и т.н.

° С. Нека сега покажем как вторият общ диференциал се изразява чрез частни производни от втори ред. За общоприетост ще приемем, че y може да зависи от някои други променливи. Нека обозначим за краткост

За да намерим втория общ диференциал, трябва да вземем първия пълен диференциал от първия общ диференциал. Отбелязвайки в същото време, че, както е показано в параграф „e“ на § 3 от тази глава, правилото за диференциране на сбор и продукт също се прилага към общия диференциал, можем да запишем

Тъй като самите p и q са функции на две променливи x и y, тогава

забележи това

Замествайки ги в последната формула, след отваряне на скобите най-накрая получаваме

Ако x и y са независими променливи или линейни функции на някои други променливи, тогава техните втори диференциали са равни на нула;

и формула (8) опростява:

Виждаме, че законът за инвариантност се прилага към втория диференциал само с много големи ограничения: той ще бъде верен само ако x и y са линейни функции на други променливи, във всички останали случаи той не е приложим. Разглеждайки формула (9), виждаме, че тя е много подобна на формулата за квадрат на сумата от две числа. Тази аналогия породи идеята за запис на втория диференциал в следната символна форма:

1°

1°. Частични производни от по-висок порядък. Частични производни от втори редфункции z= f(x,y) се наричат ​​частни производни на неговите частни производни от първи ред.

За производни от втори ред се използва нотацията

Частични производни от порядък по-висок от втори се дефинират и обозначават по подобен начин.

Ако частните производни, които трябва да се изчислят, са непрекъснати, тогава резултатът от многократното диференциране не зависи от реда на диференциране.

Пример. Намерете частните производни от втори ред на функцията.

Решение. Нека първо намерим частичните производни от първи ред:

Сега правим разлика втори път:

Обърнете внимание, че така наречената „смесена“ частична производна може да бъде намерена по друг начин, а именно: .

2°. Диференциали от по-висок порядък. Диференциал от втори редфункции z=f(x, y)се нарича диференциал на диференциала (първи ред) на тази функция d²z=d(dz).

Диференциалите на функция r от порядък по-висок от втория се дефинират по подобен начин, например: d³z=d(d²z)и най-общо казано,.

Ако z=f(x,y),Където хи y са независими променливи, тогава диференциалът от 2-ри ред на функцията r се изчислява по формулата

.

Като цяло символната формула е валидна

,

който формално се разгръща според биномния закон.

Ако z =f(x,y),къде са аргументите x и y тогава са функции на една или повече независими променливи

Ако x и y са независими променливи, d²x =0, d²y =0 и формула (2) става идентична с формула (1).

Пример. Намерете пълните диференциали от 1-ви и 2-ри ред на функцията .

Всяка частична производна (по хи от г) на функция на две променливи е обикновената производна на функция на една променлива за фиксирана стойност на другата променлива:

(Където г= const),

(Където х= const).

Следователно частните производни се изчисляват с помощта на формули и правила за изчисляване на производни на функции на една променлива, като се има предвид константата на другата променлива.

Ако не се нуждаете от анализ на примери и минималната теория, необходима за това, а само от решение на вашия проблем, отидете на онлайн калкулатор за частични производни .

Ако ви е трудно да се концентрирате, за да проследите къде е константата във функцията, тогава в черновата на решението на примера, вместо променлива с фиксирана стойност, можете да замените произволно число - тогава можете бързо да изчислите частичната производна като обикновената производна на функция на една променлива. Просто трябва да запомните да върнете константата (променлива с фиксирана стойност) на нейното място, когато завършвате окончателния дизайн.

Свойството на частните производни, описано по-горе, следва от определението за частни производни, което може да се появи в изпитните въпроси. Следователно, за да се запознаете с определението по-долу, можете да отворите теоретичната справка.

Понятие за непрекъснатост на функцията z= f(х, г) в точка се дефинира подобно на това понятие за функция на една променлива.

функция z = f(х, г) се нарича непрекъснато в точка, ако

Разлика (2) се нарича общо увеличение на функцията z(получава се в резултат на нарастване на двата аргумента).

Нека функцията е дадена z= f(х, г) и точка

Ако функцията се промени zвъзниква, когато само един от аргументите се промени, например, х, с фиксирана стойност на друг аргумент г, тогава функцията ще получи увеличение

наречено частично увеличение на функцията f(х, г) От х.

Имайки предвид промяна на функцията zв зависимост от промяната само на един от аргументите, ние ефективно преминаваме към функция на една променлива.

Ако има ограничена граница

тогава се нарича частична производна на функцията f(х, г) по аргумент хи се обозначава с един от символите

(4)

Частичното увеличение се определя по подобен начин zот г:

и частична производна f(х, г) От г:

(6)

Пример 1.

Решение. Намираме частната производна по отношение на променливата "x":

(гфиксиран);

Намираме частната производна по отношение на променливата "y":

(хфиксиран).

Както можете да видите, няма значение до каква степен променливата е фиксирана: в този случай това е просто определено число, което е фактор (както в случая с обикновената производна) на променливата, с която намираме частната производна . Ако фиксираната променлива не се умножи по променливата, с която намираме частната производна, тогава тази самотна константа, независимо до каква степен, както в случая с обикновената производна, изчезва.

Пример 2.Дадена функция

Намерете частични производни

(по X) и (по Y) и изчислете техните стойности в точката А (1; 2).

Решение. На фиксирана гпроизводната на първия член се намира като производна на степенната функция ( таблица с производни функции на една променлива):

.

На фиксирана хпроизводната на първия член се намира като производна на експоненциалната функция, а вторият - като производна на константа:

Сега нека изчислим стойностите на тези частични производни в точката А (1; 2):

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Пример 3.Намерете частични производни на функция

Решение. С една стъпка намираме

(г х, сякаш аргументът на синуса е 5 х: по същия начин 5 се появява преди знака за функция);

(хе фиксирана и в този случай е множител при г).

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Частните производни на функция на три или повече променливи се дефинират по подобен начин.

Ако всеки набор от стойности ( х; г; ...; T) независими променливи от множеството дсъответства на една конкретна стойност uот много д, Че uнаречена функция на променливи х, г, ..., Tи обозначават u= f(х, г, ..., T).

За функции на три или повече променливи няма геометрична интерпретация.

Частичните производни на функция на няколко променливи също се определят и изчисляват при допускането, че само една от независимите променливи се променя, докато останалите са фиксирани.

Пример 4.Намерете частични производни на функция

.

Решение. гИ zфиксирано:

хИ zфиксирано:

хИ гфиксирано:

Намерете сами частни производни и след това разгледайте решенията

Пример 5.

Пример 6.Намерете частични производни на функция.

Частичната производна на функция на няколко променливи има същото механичното значение е същото като производната на функция на една променлива, е скоростта на промяна на функцията спрямо промяна в един от аргументите.

Пример 8.Количествена стойност на потока Пжелезопътни пътници могат да бъдат изразени чрез функцията

Където П– брой пътници, н– брой жители на кореспондентски пунктове, Р– разстояние между точките.

Частична производна на функция Пот Р, равен

показва, че намаляването на пътникопотока е обратно пропорционално на квадрата на разстоянието между съответните точки с еднакъв брой жители в точки.

Частична производна Пот н, равен

показва, че увеличението на пътникопотока е пропорционално на удвоения брой жители на населените места на същото разстояние между точките.

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Пълен диференциал

Произведението на частна производна и нарастването на съответната независима променлива се нарича частичен диференциал. Частичните диференциали се означават, както следва:

Сумата от частичните диференциали за всички независими променливи дава общия диференциал. За функция на две независими променливи общият диференциал се изразява чрез равенството

(7)

Пример 9.Намерете пълния диференциал на функция

Решение. Резултатът от използването на формула (7):

За функция, която има пълен диференциал във всяка точка от дадена област, се казва, че е диференцируема в тази област.

Намерете сами общия диференциал и след това вижте решението

Точно както в случая на функция на една променлива, диференцируемостта на функция в определена област предполага нейната непрекъснатост в тази област, но не и обратното.

Нека формулираме без доказателство достатъчно условие за диференцируемост на функция.

Теорема.Ако функцията z= f(х, г) има непрекъснати частни производни

в даден регион, тогава той е диференцируем в този регион и диференциалът му се изразява с формула (7).

Може да се покаже, че както в случай на функция на една променлива, диференциалът на функцията е основната линейна част от нарастването на функцията, така и в случай на функция на няколко променливи, общият диференциал е основната, линейна по отношение на нарастванията на независими променливи, част от общото нарастване на функцията.

За функция на две променливи общото нарастване на функцията има формата

(8)

където α и β са безкрайно малки при и .

Частични производни от по-висок порядък

Частни производни и функции f(х, г) сами по себе си са някои функции на едни и същи променливи и от своя страна могат да имат производни по отношение на различни променливи, които се наричат ​​частични производни от по-високи порядъци.