Определяне на радиуса на вписаната окръжност. Формула за радиуса на окръжност, вписана в триъгълник. Събиране и използване на лична информация

Окръжност, вписана в триъгълник

Съществуване на окръжност, вписана в триъгълник

Нека си припомним дефиницията ъглополовящи .

Определение 1 .Симетрала на ъгъл наречен лъч, разделящ ъгъл на две равни части.

Теорема 1 (Основно свойство на ъглополовяща) . Всяка точка от ъглополовящата е на еднакво разстояние от страните на ъгъла (фиг. 1).

Ориз. 1

Доказателство д , лежащ на ъглополовящата на ъгълаBAC , И DE И DF отстрани на ъгъла (фиг. 1).Прави триъгълници ADF И ADE равен , тъй като имат равни остри ъглиDAF И DAE , и хипотенузата AD - общ. следователно

DF = DE,

Q.E.D.

Теорема 2 (обратно на теорема 1) . Ако някои, тогава той лежи на ъглополовящата на ъгъла (фиг. 2).

Ориз. 2

Доказателство . Да разгледаме произволна точкад , лежаща вътре в ъгълаBAC и разположени на еднакво разстояние от страните на ъгъла. Да се ​​откажем от точкатад перпендикуляри DE И DF отстрани на ъгъла (фиг. 2).Прави триъгълници ADF И ADE равен , тъй като имат равни кракаDF И DE , и хипотенузата AD - общ. следователно

Q.E.D.

Определение 2 . Кръгът се нарича окръжност, вписана в ъгъл , ако това са страните на този ъгъл.

Теорема 3 . Ако окръжност е вписана в ъгъл, то разстоянията от върха на ъгъла до точките на допир на окръжността със страните на ъгъла са равни.

Доказателство . Нека точката д – център на окръжност, вписана в ъгълBAC , и точките д И Е – допирни точки на окръжността със страните на ъгъла (фиг. 3).

Фиг.3

а , b , ° С - страни на триъгълника,
 С -квадрат,

r – радиус на вписаната окръжност,
 стр – полупериметър

.

Вижте изхода на формулата

а – странична страна на равнобедрен триъгълник , 
 b – основа, r – радиус на вписана окръжност

а r – радиус на вписана окръжност

Вижте изхода на формулата

,

Където

,

тогава, в случай на равнобедрен триъгълник, когато

получаваме

което се изискваше.

Теорема 7 . За равенството

Където а – страна на равностранен триъгълник,r – радиус на вписаната окръжност (фиг. 8).

Ориз. 8

Доказателство .

,

тогава, в случай на равностранен триъгълник, когато

b = a,

получаваме

което се изискваше.

Коментирайте . Като упражнение препоръчвам формулата за радиуса на окръжност, вписана в равностранен триъгълник да се изведе директно, т.е. без употреба общи формулиза радиуси на окръжности, вписани в произволен триъгълникили в равнобедрен триъгълник.

Теорема 8 . За правоъгълен триъгълник е в сила следното равенство:

Където а , b – катети на правоъгълен триъгълник, ° С – хипотенуза , r – радиус на вписаната окръжност.

Доказателство . Разгледайте фигура 9.

Ориз. 9

Тъй като четириъгълникътCDOF е , която има съседни страниНАПРАВЕТЕ И НА са равни, тогава този правоъгълник е . следователно

CB = CF = r,

По силата на теорема 3 са верни следните равенства:

Следователно, също като вземем предвид, получаваме

което се изискваше.

Селекция от задачи по темата „Кръг, вписан в триъгълник“.

1.

Окръжност, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя една от страничните страни в точката на съприкосновение на два сегмента, чиито дължини са 5 и 3, считано от върха срещу основата. Намерете периметъра на триъгълника.

2.

3

В триъгълник ABC AC=4, BC=3, ъгъл C е 90º. Намерете радиуса на вписаната окръжност.

4.

Катетите на равнобедрен правоъгълен триъгълник са 2+. Намерете радиуса на окръжността, вписана в този триъгълник.

5.

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен правоъгълен триъгълник, е 2. Намерете хипотенузата c на този триъгълник. Моля, посочете c(–1) във вашия отговор.

Представяме редица задачи от Единния държавен изпит с решения.

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен правоъгълен триъгълник, е равен на . Намерете хипотенузата на този триъгълник. Моля, посочете в отговора си.

Триъгълникът е правоъгълен и равнобедрен. Това означава, че краката му са еднакви. Нека всеки крак е равен. Тогава хипотенузата е равна.

Записваме площта на триъгълника ABC по два начина:

Приравнявайки тези изрази, получаваме това. Тъй като, разбираме това. Тогава.

Ще напишем в отговор.

Отговор:.

Задача 2.

1. В свободно има две страни от 10 cm и 6 cm (AB и BC). Намерете радиусите на описаната и вписаната окръжност
Проблемът се решава самостоятелно с коментар.

Решение:


IN.

1) Намерете:
2) Докажете:и намерете CK
3) Намерете: радиуси на описана и вписана окръжност

Решение:


Задача 6.

Р радиусът на окръжност, вписана в квадрат, е. Намерете радиуса на окръжността, описана около този квадрат.дадени :

намирам: OS=?
Решение: В този случай проблемът може да бъде решен с помощта или на Питагоровата теорема, или на формулата за R. Вторият случай ще бъде по-прост, тъй като формулата за R е извлечена от теоремата.


Задача 7.

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен правоъгълен триъгълник, е 2. Намерете хипотенузатас този триъгълник. Моля, посочете в отговора си.

S – площ на триъгълник

Не знаем нито страните на триъгълника, нито неговата площ. Нека обозначим краката като x, тогава хипотенузата ще бъде равна на:

И площта на триъгълника ще бъде 0,5x 2 .

Средства


Така хипотенузата ще бъде равна на:

Във вашия отговор трябва да напишете:

Отговор: 4

Задача 8.

В триъгълник ABC AC = 4, BC = 3, ъгъл ° Се равно на 90 0. Намерете радиуса на вписаната окръжност.

Нека използваме формулата за радиуса на окръжност, вписана в триъгълник:

където a, b, c са страните на триъгълника

S – площ на триъгълник

Познати са две страни (това са катетите), можем да изчислим третата (хипотенузата), а също и площта.

Според теоремата на Питагор:

Да намерим областта:

По този начин:

Отговор: 1

Задача 9.

Страните на равнобедрен триъгълник са 5, а основата е 6. Намерете радиуса на вписаната окръжност.

Нека използваме формулата за радиуса на окръжност, вписана в триъгълник:

където a, b, c са страните на триъгълника

S – площ на триъгълник

Всички страни са известни, нека изчислим площта. Можем да го намерим с помощта на формулата на Heron:


Тогава

Да разгледаме окръжност, вписана в триъгълник (фиг. 302). Припомнете си, че неговият център O се намира в пресечната точка на ъглополовящите на вътрешните ъгли на триъгълника. Отсечките OA, OB, OC, свързващи O с върховете на триъгълник ABC, ще разделят триъгълника на три триъгълника:

AOV, VOS, SOA. Височината на всеки от тези триъгълници е равна на радиуса и следователно техните площи ще бъдат изразени като

Площта на целия триъгълник S е равна на сумата от тези три области:

където е полупериметърът на триъгълника. Оттук

Радиусът на вписания кръг е равен на съотношението на площта на триъгълника към неговия полупериметър.

За да получим формула за радиуса на описания триъгълник, доказваме следното предложение.

Теорема а: Във всеки триъгълник страната е равна на диаметъра на описаната окръжност, умножен по синуса на срещуположния ъгъл.

Доказателство. Да разгледаме произволен триъгълник ABC и описана около него окръжност, чийто радиус ще означим с R (фиг. 303). Нека A е острия ъгъл на триъгълника. Нека начертаем радиусите OB, OS на окръжността и пуснем перпендикуляра OK от нейния център O към страната BC на триъгълника. Обърнете внимание, че ъгъл a на триъгълник се измерва с половината от дъга BC, за който ъгъл BOC е централен ъгъл. От това става ясно, че. Следователно от правоъгълния триъгълник RNS намираме , или , което трябваше да докажем.

Дадената фиг. 303 и мотивите са свързани с делото остър ъгълтриъгълник; Би било лесно да се извърши доказателството за случаите на прав и тъп ъгъл (читателят ще направи това сам), но можете да използвате теоремата за синусите (218.3). Тъй като трябва да е от къде

Синусовата теорема също е записана на. форма

и сравнението с нотната форма (218.3) дава за

Радиусът на описаната окръжност е равен на съотношението на произведението на трите страни на триъгълника към неговата четворна площ.

Задача. Намерете страните на равнобедрен триъгълник, ако вписаната и описаната окръжност имат радиуси съответно

Решение. Нека напишем формули, изразяващи радиусите на вписаната и описаната окръжност на триъгълник:

За равнобедрен триъгълник със страна и основа площта се изразява с формулата

или, намалявайки дробта с ненулев фактор, имаме

което води до квадратно уравнениеотносително

Има две решения:

Замествайки вместо израза му в някое от уравненията за или R, най-накрая ще намерим два отговора на нашия проблем:

Упражнения

1. Височина на правоъгълен триъгълник, изведена от върха прав ъгъл, delnt хипотенуза в отношение Намерете отношението на всеки от катетите към хипотенузата.

2. Основите на равнобедрен трапец, описан около окръжност, са равни на a и b. Намерете радиуса на окръжността.

3. Два кръга се допират външно. Техните общи допирателни са наклонени към линията на центровете под ъгъл 30°. Дължината на допирателната отсечка между допирателните точки е 108 см. Намерете радиусите на окръжностите.

4. Катетите на правоъгълен триъгълник са равни на a и b. Намерете площта на триъгълник, чиито страни са надморската височина и медианата на дадения триъгълник, изтеглени от върха на правия ъгъл, и сегмента на хипотенузата между точките на тяхното пресичане с хипотенузата.

5. Страните на триъгълника са 13, 14, 15. Намерете проекцията на всяка от тях върху другите две.

6. Страната и надморската височина на триъгълник са известни Намерете страните b и c.

7. Познати са двете страни на триъгълника и медианата.Намерете третата страна на триъгълника.

8. Дадени са две страни на триъгълник и ъгъл a между тях: Намерете радиусите на вписаната и описаната окръжност.

9. Известни са страните на триъгълника a, b, c. На кои са отсечките, на които ги разделят допирните точки на вписаната окръжност със страните на триъгълника?


Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

  • Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

  • Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
  • От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
  • Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
  • Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

  • Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
  • В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Ромбът е успоредник с равни страни. Следователно той наследява всички свойства на успоредник. а именно:

  • Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни.
  • Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите вътрешни ъгли.

Окръжност може да бъде вписана в четириъгълник тогава и само ако сумите на противоположните страни са равни.
Следователно във всеки ромб може да се впише окръжност. Центърът на вписаната окръжност съвпада с центъра на пресичане на диагоналите на ромба.
Радиусът на вписаната окръжност в ромб може да се изрази по няколко начина

1 начин. Радиус на вписаната окръжност в ромб през височината

Височината на ромба е равна на диаметъра на вписаната окръжност. Това следва от свойството на правоъгълника, който се образува от диаметъра на вписаната окръжност и височината на ромба - срещуположните страни на правоъгълника са равни.

Следователно формулата за радиуса на вписан кръг в ромб по отношение на височината:

Метод 2. Радиус на вписаната окръжност в ромб през диагонали

Площта на ромба може да бъде изразена чрез радиуса на вписания кръг
, Където Р– периметър на ромб. Знаейки, че периметърът е сумата от всички страни на четириъгълника, имаме P= 4×a.Тогава
Но площта на ромба също е равна на половината от произведението на неговите диагонали
Приравнявайки десните части на формулите за площ, получаваме следното равенство
В резултат на това получаваме формула, която ни позволява да изчислим радиуса на вписания кръг в ромб през диагоналите

Пример за изчисляване на радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако диагоналите са известни
Намерете радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако е известно, че дължините на диагоналите са 30 cm и 40 cm
Позволявам ABCD- ромб, тогава A.C.И BDнеговите диагонали. AC= 30 см ,BD=40 см
Нека точката ОТНОСНО– е центърът на вписания в ромба ABCDкръг, тогава той ще бъде и пресечната точка на неговите диагонали, разделяйки ги наполовина.


тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, тогава триъгълникът AOBправоъгълен. Тогава по Питагоровата теорема
, заменете предварително получените стойности във формулата

AB= 25 см
Прилагайки изведената по-рано формула за радиуса на описаната окръжност в ромб, получаваме

3 начина. Радиус на вписаната окръжност в ромб през отсечки m и n

Точка Е– точката на контакт на кръга със страната на ромба, която го разделя на сегменти А.Ф.И Б.Ф.. Позволявам AF=m, BF=n.
Точка О– центърът на пресичане на диагоналите на ромба и центъра на вписаната в него окръжност.
Триъгълник AOB– правоъгълен, тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл.
, защото е радиусът, начертан към допирателната точка на окръжността. Следователно НА– височина на триъгълника AOBкъм хипотенузата. Тогава А.Ф.И BFпроекции на краката върху хипотенузата.
Височината в правоъгълен триъгълник, понижена до хипотенузата, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите към хипотенузата.

Формулата за радиуса на вписана окръжност в ромб през сегменти е равна на корен квадратен от произведението на тези сегменти, на които точката на допиране на окръжността разделя страната на ромба

Ако окръжност се намира вътре в ъгъл и докосва страните му, тя се нарича вписана в този ъгъл. Центърът на такъв вписан кръг е разположен на ъглополовяща на този ъгъл.

Ако лежи вътре изпъкнал многоъгълники е в контакт с всичките си страни, се казва, че е вписан в изпъкнал многоъгълник.

Окръжност, вписана в триъгълник

Кръг, вписан в триъгълник, докосва всяка страна на тази фигура само в една точка. В един триъгълник може да се впише само една окръжност.

Радиусът на такъв кръг ще зависи от следните параметри на триъгълника:

  1. Дължини на страните на триъгълника.
  2. Площта му.
  3. Периметърът му.
  4. Измерване на ъгли на триъгълник.

За да се изчисли радиуса на вписаната окръжност в триъгълник, не винаги е необходимо да се знаят всички параметри, изброени по-горе, тъй като те са взаимно свързани чрез тригонометрични функции.

Изчисляване с помощта на полупериметър

  1. Ако са известни дължините на всички страни геометрична фигура(ние ги обозначаваме с буквите a, b и c), тогава ще трябва да изчислите радиуса, като вземете квадратния корен.
  2. При започване на изчисления е необходимо да добавите още една променлива към първоначалните данни - полупериметър (p). Може да се изчисли, като се съберат всички дължини и получената сума се раздели на 2. p = (a+b+c)/2. По този начин формулата за намиране на радиуса може значително да се опрости.
  3. По принцип формулата трябва да включва знака на радикала, под който е поставена фракцията; знаменателят на тази дроб ще бъде стойността на полупериметъра p.
  4. Числителят на тази дроб ще бъде произведението на разликите (p-a)*(p-b)*(p-c)
  5. Така пълната форма на формулата ще бъде представена по следния начин: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Изчисляване, като се вземе предвид площта на триъгълник

Ако знаем площ на триъгълники дължините на всичките му страни, това ще ни позволи да намерим радиуса на окръжността, която ни интересува, без да прибягваме до извличане на корените.

  1. Първо трябва да удвоите размера на площта.
  2. Резултатът се разделя на сумата от дължините на всички страни. Тогава формулата ще изглежда така: r = 2*S/(a+b+c).
  3. Ако използвате стойността на полупериметъра, можете да получите много проста формула: r = S/p.

Изчисляване чрез тригонометрични функции

Ако задачата съдържа дължината на една от страните, размера на срещуположния ъгъл и периметъра, можете да използвате тригонометрична функция- допирателна. В този случай формулата за изчисление ще изглежда така:

r = (P /2- a)* tg (α/2), където r е желаният радиус, P е периметърът, a е дължината на една от страните, α е стойността на противоположната страна и ъгъл.

Радиусът на окръжността, която ще трябва да бъде вписана в правилен триъгълник, може да се намери с помощта на формулата r = a*√3/6.

Окръжност, вписана в правоъгълен триъгълник

Можете да се поберете в правоъгълен триъгълник само един кръг. Центърът на такава окръжност едновременно служи като пресечна точка на всички ъглополовящи. Тази геометрична фигура има някои отличителни черти, които трябва да се вземат предвид при изчисляване на радиуса на вписания кръг.

  1. Първо трябва да построите правоъгълен триъгълник с дадените параметри. Можете да конструирате такава фигура по размера на едната страна и стойностите на два ъгъла или по две страни и ъгъла между тези страни. Всички тези параметри трябва да бъдат посочени в условията на задачата. Триъгълникът се означава като ABC, като C е върха на правия ъгъл. Краката са обозначени с променливи, АИ b, а хипотенузата е променлива с.
  2. За да се изгради класическата формула и да се изчисли радиуса на окръжност, е необходимо да се намерят размерите на всички страни на фигурата, описана в постановката на задачата, и да се изчисли полупериметърът от тях. Ако условията дават размерите на два катета, можете да ги използвате, за да изчислите размера на хипотенузата въз основа на Питагоровата теорема.
  3. Ако условието дава размера на един крак и един ъгъл, е необходимо да се разбере дали този ъгъл е съседен или противоположен. В първия случай хипотенузата се намира с помощта на синусовата теорема: c=a/sinСАВ, във втория случай се прилага косинусовата теорема c=a/cosCBA.
  4. Когато всички изчисления са завършени и стойностите на всички страни са известни, полупериметърът се намира с помощта на формулата, описана по-горе.
  5. Познавайки размера на полупериметъра, можете да намерите радиуса. Формулата е дроб. Неговият числител е произведението на разликите между полупериметъра и всяка страна, а знаменателят е стойността на полупериметъра.

Трябва да се отбележи, че числителят на тази формула е индикатор за площ. В този случай формулата за намиране на радиуса е много по-проста - достатъчно е да разделите площта на полупериметъра.

Възможно е да се определи площта на геометрична фигура, дори ако и двете страни са известни. Сборът от квадратите на тези катети се използва за намиране на хипотенузата, след което се изчислява полупериметърът. Можете да изчислите площта, като умножите стойностите на краката една по друга и разделите резултата на 2.

Ако в условията са дадени дължините както на краката, така и на хипотенузата, радиусът може да се определи с помощта на много проста формула: за това дължините на краката се събират заедно и дължината на хипотенузата се изважда от полученото номер. Резултатът трябва да бъде разделен наполовина.

Видео

В това видео ще научите как да намерите радиуса на окръжност, вписана в триъгълник.