Модели, описани чрез системи от две автономни диференциални уравнения.
Фазова равнина. Фазов портрет. Изоклин метод. Главни изоклини. Устойчивост на стационарното състояние. Линейни системи. Видове особени точки: възел, седло, фокус, център. Пример: химична реакцияпърва поръчка.
Най-интересните резултати за качествено моделиране на свойствата на биологичните системи са получени с помощта на модели на две диференциални уравнения, които позволяват качествено изследване с помощта на метода фазова равнина. Да разгледаме система от две автономни обикновени диференциални уравнения общ изглед
(4.1)
P(x,y), Q(x,y)- непрекъснати функции, дефинирани в някаква област ЖЕвклидова равнина ( x,y ‑ Декартови координати) и имащи в тази област непрекъснати производни от порядък не по-нисък от първия.
Регион Жможе да бъде неограничен или ограничен. Ако променливите x, yимат конкретно биологично значение (концентрации на вещества, брой видове) най-често площта Жпредставлява положителния квадрант на дясната полуравнина:
0 £ х< ¥ ,0 £ г< ¥ .
Концентрациите на веществата или броят на видовете също могат да бъдат ограничени отгоре от обема на съда или площта на местообитанието. Тогава диапазонът от променливи има формата:
0 £ х< x 0 , 0 £ г< y 0 .
Променливи x, yпромяна във времето в съответствие със системата от уравнения (4.1), така че всяко състояние на системата съответства на двойка променливи стойности ( x, y).
|
|
Обратно, всяка двойка променливи ( x, y) съответства на определено състояние на системата.
Помислете за равнина с координатни оси, върху които са нанесени стойностите на променливите x,y. Всяка точка Мтази равнина съответства на определено състояние на системата. Тази равнина се нарича фазова равнина и представлява съвкупността от всички състояния на системата. Точката M(x,y) се нарича представяща или представяща точка.
Нека в началния момент от време t=t 0 координати на представящата точка М 0 (х(T 0), г(T 0)). Във всеки следващ момент във времето Tпредставящата точка ще се измести в съответствие с промените в стойностите на променливите х(T), г(T). Събиране на точки М(х(T), y(t)) на фазовата равнина, чиято позиция съответства на състоянията на системата в процеса на промяна на променливите във времето x(t), y(t)съгласно уравнения (4.1), се нарича фазова траектория.
Наборът от фазови траектории за различни начални стойности на променливите дава лесно видим "портрет" на системата. Строителство фазов портретви позволява да правите заключения за естеството на промените в променливите x, yбез познаване на аналитични решения на оригиналната система от уравнения(4.1).
За да се изобрази фазов портрет, е необходимо да се изгради векторно поле от посоки на системните траектории във всяка точка на фазовата равнина. Задаване на увеличениетод t>0,получаваме съответните увеличения д хИ д гот изрази:
д x=P(x,y)д T,
д y=Q(x,y)д T.
Векторна посока dy/dxв точка ( x, y) зависи от знака на функциите P(x, y), Q(x, y)и може да се даде чрез таблица:
|
P(x,y)>0,Q(x,y)>0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)>0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)>0 |
|
.(4.2)
Решение на това уравнение y = y(x,c), или имплицитно Е(x,y)=c,Където с– константа на интегриране, дава семейството от интегрални криви на уравнение (4.2) - фазови траекториисистема (4.1) на самолета x, y.
Изоклинен метод
За изграждане на фазов портрет те използват метод на изоклина –на фазовата равнина са начертани линии, които пресичат интегралните криви под един определен ъгъл. Уравнението на изоклина може лесно да се получи от (4.2). Да сложим
Където А– определена постоянна стойност. Значение Апредставлява тангенса на ъгъла на наклон на тангентата към фазовата траектория и може да приема стойности от –¥ до + ¥ . Заместване вместо това dy/dxв (4.2) количеството Аполучаваме уравнението на изоклина:
.(4.3)
Уравнение (4.3) определя във всяка точка на равнината уникална допирателна към съответната интегрална крива, с изключение на точката, където P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , в която посоката на тангентата става несигурна, тъй като стойността на производната става несигурна:
.
Тази точка е пресечната точка на всички изоклини - специална точка.В него производните по време на променливите едновременно се нулират хИ г.
Така в една особена точка скоростите на промяна на променливите са нула. следователно сингулярна точкадиференциални уравнения на фазовите траектории (4.2) съответства на стационарно състояние на системата(4.1), а координатите му са стационарните стойности на променливите x, y.
Особен интерес представляват главни изоклини:
dy/dx=0, P(x,y)=0 – изоклина на хоризонтални допирателни и
dy/dx=¥ ,Q(x,y)=0 – изоклина на вертикални тангенти.
Чрез построяване на главните изоклини и намиране на пресечната им точка (x,y), чиито координати отговарят на условията:
по този начин ще намерим пресечната точка на всички изоклини на фазовата равнина, в която посоката на допирателните към фазовите траектории е несигурна. Това - сингулярна точка, което съответства стационарно състояние на системата(фиг. 4.2).
Системата (4.1) има толкова стационарни състояния, колкото пресечни точки на основните изоклини има на фазовата равнина.
Всяка фазова траектория съответства на набор от движения на динамична система, преминаващи през едни и същи състояния и различаващи се едно от друго само в началото на отброяването на времето.
 |
|
Ако условията на теоремата на Коши са изпълнени, тогава през всяка точка в пространството x, y, tима само една интегрална крива. Същото важи, поради автономността, за фазовите траектории: единична фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.
Стабилно състояние
Нека системата е в състояние на равновесие.
Тогава представящата точка се намира в една от сингулярните точки на системата, в която по дефиниция:
.
Дали една особена точка е стабилна или не се определя от това дали представящата точка напуска с малко отклонение от стационарното състояние или не. Във връзка със система от две уравнения, определението за стабилност в езикад, дкакто следва.
Равновесното състояние е стабилно, ако за всеки даден диапазон от отклонения от равновесното състояние (д )можете да посочите района д (д ), заобикалящ равновесното състояние и притежаващ свойството да няма траектория, която да започва вътре в региона д , никога няма да стигне до границата д . (фиг. 4.4)
 |
|
За голям клас системи - груби системи – естеството на чието поведение не се променя с малка промяна във формата на уравненията, информация за вида на поведението в близост до стационарно състояние може да се получи чрез изследване не на оригинала, а на опростено линеаризирансистема.
Линейни системи.
Помислете за система от две линейни уравнения:
.(4.4)
Тук a, b, c, d- константи, x, y- Декартови координати на фазовата равнина.
Ще търсим общо решение във формата:
.(4.5)
Нека заместим тези изрази в (4.4) и намалим с д л T:
(4.6)
Алгебрична система от уравнения (4.6) с неизвестни А, Бима ненулево решение само ако неговата детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестните, е равна на нула:
.
Разширявайки тази детерминанта, получаваме характеристичното уравнение на системата:
.(4.7)
Решаването на това уравнение дава стойностите на степентал 1,2 , за които са възможни ненулеви стойности АИ брешения на уравнение (4.6). Тези значения са
.(4.8)
Ако радикалният израз е отрицателен, тогавал 1,2 комплексно спрегнати числа. Да приемем, че и двата корена на уравнение (4.7) имат ненулеви реални части и че няма кратни корени. Тогава общото решение на система (4.4) може да бъде представено като линейна комбинация от експоненти с експонентил 1 , л 2 :
(4.9)
За да анализираме естеството на възможните траектории на системата във фазовата равнина, използваме линейна хомогенна координатна трансформация,което ще доведе системата до канонична форма:
,(4.10)
което позволява по-удобно представяне на фазовата равнина в сравнение с оригиналната система (4.4). Да въведем нови координатиξ , η по формулите:
(4.1)
От курса на линейната алгебра е известно, че в случай на неравенство до нула реалните частил 1 , л 2 оригиналната система (4.4) винаги може да бъде трансформирана с помощта на трансформации (4.11) до каноничната форма (4.10) и нейното поведение във фазовата равнина може да бъде изследваноξ , η . Нека разгледаме различните случаи, които могат да се представят тук.
Корени λ 1 , λ 2 – валидни и със същия знак
В този случай коефициентите на трансформация са реални, ние се движим от реалната равнинаx,yкъм реалната равнина ξ, η. Разделяйки второто от уравненията (4.10) на първото, получаваме:
.(4.12)
Интегрирайки това уравнение, намираме:
Къде .(4.13)
Нека се съгласим да разбираме под λ 2 коренът на характеристичното уравнение с голям модул, което не нарушава общността на нашите разсъждения. Тогава, тъй като в разглеждания случай корените λ 1 , λ 2 – валидни и със същия знак,а>1 , и имаме работа с интегрални криви от параболичен тип.
Всички интегрални криви (с изключение на оста η , което съответства на ) докоснете в началото на оста ξ, която също е интегралната крива на уравнение (4.11). Началото на координатите е специална точка.
Нека сега разберем посоката на движение на изобразяващата точка по фазовите траектории. Ако λ 1, λ 2 са отрицателни, тогава, както се вижда от уравнения (4.10), |ξ|, |η| намаляват с времето. Представящата точка се доближава до началото на координатите, но никога не го достига. В противен случай това би противоречило на теоремата на Коши, която гласи, че само една фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.
Такава специална точка, през която минават интегрални криви, точно като семейство параболи 
преминава през началото и се нарича възел (фиг. 4.5)
Равновесно състояние на тип възел при λ 1, λ 2 < 0 е стабилен по Ляпунов, тъй като представящата точка се движи по всички интегрални криви към началото на координатите. Това стабилен възел. Ако λ 1, λ 2 > 0, тогава |ξ|, |η| нарастват с времето и представящата точка се отдалечава от началото на координатите. В този случай специалната точка– нестабилен възел .
На фазовата равнина x, y общият качествен характер на поведението на интегралните криви ще се запази, но допирателните към интегралните криви няма да съвпадат с координатните оси. Ъгълът на наклона на тези допирателни ще се определя от съотношението на коефициентите α , β , γ , δ в уравнения (4.11).
Корени λ 1 , λ 2 – са валидни и с различни знаци.
Конвертиране откоординати x,y към координати ξ, η пак истински. Уравненията за каноничните променливи отново имат формата (4.10), но сега знаците на λ 1, λ 2 са различни. Уравнението на фазовите траектории има формата:
Където ,(4.14)
Интегрирайки (4.14), намираме
(4.15)
Това уравнението определя семейство от криви от хиперболичен тип, където и двете координатни оси– асимптоти (при а=1 ще имаме семейство от равностранни хиперболи). Координатните оси в този случай също са интегрални криви– това ще бъдат единствените интегрални криви, минаващи през началото. всекиот които се състои от три фазови траектории: на две движения към състояние на равновесие (или от състояние на равновесие) и от състояние на равновесие. Всички други интегрални криви– са хиперболи, които не минават през началото (фиг. 4.6) Тази специална точка се нарича "седло ». Линиите на ниво в близост до планинско седло се държат подобно на фазовите траектории в близост до седлото.
Нека разгледаме природата на движението на изобразителната точка по фазови траектории близо до равновесното състояние. нека напримерλ 1 >0 , λ 2<0 . Тогава представляващата точка, поставена върху оста ξ , ще се отдалечи от началото и ще се постави върху оста η – ще се приближава за неопределено време до началото на координатите, без да го достигне за крайно време. Където и да е представящата точка в началния момент (с изключение на сингулярната точка и точките на асимптотата η =0), в крайна сметка ще се отдалечи от равновесното състояние, дори ако първоначално се движи по една от интегралните криви към сингулярната точка.
Очевидно е, че особена точка като седло винаги е нестабилна . Само при специално подбрани начални условия на асимптотоη =0 системата ще се приближи до състояние на равновесие. Това обаче не противоречи на твърдението за нестабилността на системата. Ако броим, че всички начални състояния на системата на фазовата равнина са еднакво вероятни, тогава вероятността за такова начално състояние, което съответства на движение в посокатаДа се особена точка е равна на нула. Следователно всяко реално движение ще изведе системата от състоянието на равновесие.Връщам се към координатитеx,y,ще получим същата качествена картина на природата на движението на траекториите около началото на координатите.
Границата между разглежданите случаи на възел и седло е случаятКога един от характерните показатели, напр λ 1 , изчезва, което се случва, когато детерминантата на системата- израз ad-bc=0(виж формула 4.8 ). В този случай коефициентите на десните части на уравнения (4.4) са пропорционални един на друг:
и системата има като свои равновесни състояния всички точки на линията:
Останалите интегрални криви са семейство от успоредни прави линии с ъглов коефициент , по които представляващите точки или се приближават до равновесното състояние, или се отдалечават от него, в зависимост от знака на втория корен на характеристичното уравнение λ 2 = a+d.(фиг.4.7 ) В този случай координатите на равновесното състояние зависят от началната стойност на променливите.
Корени λ 1 , λ 2 – комплексконюгат
В случая наистинахИ гние ще имат сложни конюгати ξ , η (4.10) . Въпреки това, чрез въвеждане на друга междинна трансформация, в този случай също е възможно да се намали разглеждането до истинска линейна хомогенна трансформация. Да сложим:
(4.16)
Където а,б,И u,v – действителни стойности. Може да се покаже, че трансформацията отx,yДа се u,v според нашите допускания е реален, линеен, хомогенен с детерминанта, различна от нула. По силата на уравненията(4.10, 4.16) имаме:
където
(4.17)
Разделяне на второто от уравненията на първото, получаваме:
което е по-лесно за интегриране, ако отидем в полярната координатна система (r, φ ) . След смянаполучаваме откъде:
.(4.18)
По този начин, на фазовата равнинаu, vимаме работа със семейство логаритмични спирали, всяка от които имаасимптотична точка в началото.Особена точка, която е асимптотичната точка на всички интегрални криви, които имат формата на спирали, вложени във всякаприятелю, така се казва фокус ( Фиг.4.8 ) .
Нека разгледаме естеството на движението на изобразяващата точка по фазови траектории. Умножавайки първото от уравненията (4.17) поu, а вторият на vи добавяйки, получаваме:
Където
Позволявам а 1 < 0 (а 1 = Reλ ) . След това представящата точка непрекъснато се приближава до началото на координатите, без да го достига в краен момент. Това означава, че фазовите траектории са усукани спирали и съответстват на затихнали трептенияпроменливи. Това - стабилен фокус .
В случай на стабилен фокус, както и в случай на стабилен възел, е изпълнено не само условието на Ляпунов, но и по-строго изискване. А именно, за всякакви първоначални отклонения, системата с течение на времето ще се върне възможно най-близо до равновесното положение. Такава устойчивост, при която първоначалните отклонения не само не нарастват, но намаляват, клонейки към нула, се нарича абсолютна стабилност .
Ако във формулата (4.18) а 1 >0 , тогава представящата точка се отдалечава от началото и имаме работа с нестабилен фокус . При движение от самолетu,vкъм фазовата равнинах, гспиралите също ще си останат спирали, но ще се деформират.
Нека сега разгледаме случая, когатоа 1
=0
. Фазови траектории на самолетаu, vще има кръгове 
които в самолетаx,yсъответстват на елипси:
По този начин, когатоа 1=0 през специална точкаx= 0, y= 0 не преминава интегрална крива. Такава изолирана особена точка, близо до която интегралните криви са затворени криви, по-специално елипси, вградени една в друга и обхващащи особената точка, се нарича център.
По този начин са възможни шест вида равновесни състояния в зависимост от естеството на корените на характеристичното уравнение (4.7). Изглед на фазови траектории в равнина x, yза тези шест случая е показано на фиг. 4.9.
Ориз. 4.9.Видове фазови портрети в близост до стационарно състояние за система от линейни уравнения (4.4).
Петте вида равновесни състояния са груби; техният характер не се променя с достатъчно малки промени в дясната страна на уравненията (4.4). В този случай промените не само в десните части, но и в техните производни от първи ред трябва да са малки. Шестото състояние на баланс – центърът – не е грубо. При малки промени в параметрите на дясната страна на уравненията, той става стабилен или нестабилен фокус.
Бифуркационна диаграма
Нека въведем следната нотация:
.
(4.11)
Тогава характеристичното уравнение ще бъде написано като:
.
(4.12)
Помислете за равнина с правоъгълни декартови координати с , д и маркирайте върху него областите, съответстващи на един или друг вид равновесно състояние, което се определя от характера на корените на характеристичното уравнение
.(4.13)
Условието за устойчивост на равновесното състояние ще бъде наличието на отрицателна реална част от yл 1 и л 2 . Необходимо и достатъчно условие за това е изпълнението на неравенстватас > 0, д > 0 . В диаграма (4.15) това условие съответства на точки, разположени в първата четвърт на равнината на параметрите. Особена точка ще бъде фокус, акол 1 и л 2 комплекс. Това условие съответства на онези точки от равнината, за които , тези. точки между два клона на параболас 2 = 4 д. Точки на ос с = 0, д>0, съответстват на равновесни състояния от типа център. по същия начин,л 1 и л 2 - са валидни, но с различни знаци, т.е. особена точка ще бъде седло, ако д<0, и т.н. В резултат на това получаваме диаграма на разделянето на равнината на параметрите с, д, в области, съответстващи на различни видове равновесни състояния.
Ориз. 4.10.Бифуркационна диаграма
за система от линейни уравнения 4.4
Ако коефициентите на линейната система a, b, c, dзависят от определен параметър, тогава когато този параметър се промени, стойностите също ще се променятс , д . При преминаване на границите характерът на фазовия портрет се променя качествено. Следователно такива граници се наричат бифуркационни граници – от противоположните страни на границата системата има два топологично различни фазови портрета и съответно два различни типа поведение.
Диаграмата показва как могат да възникнат такива промени. Ако изключим специални случаи - произхода на координатите - тогава е лесно да се види, че седлото може да се трансформира във възел, стабилен или нестабилен при пресичане на ординатната ос. Стабилният възел може да отиде или в седло, или в стабилен фокус и т.н. Имайте предвид, че преходите стабилен възел - стабилен фокус и нестабилен възел - нестабилен фокус не са бифуркации, тъй като топологията на фазовото пространство не се променя. Ще говорим повече за топологията на фазовото пространство и бифуркационните преходи в Лекция 6.
По време на бифуркационни преходи естеството на стабилността на особена точка се променя. Например, стабилен фокус през центъра може да се превърне в нестабилен фокус. Тази бифуркация се нарича Бифуркация на Андронов-Хопфпо имената на учените, които са го изследвали. По време на тази бифуркация в нелинейните системи се ражда граничен цикъл и системата става самоосцилираща (виж Лекция 8).
Пример. Линейна химическа реакционна система
вещество хтече отвън с постоянна скорост, превръща се във вещество Y и със скорост, пропорционална на концентрацията на веществото Y, се отстранява от сферата на реакцията. Всички реакции са от първи порядък, с изключение на притока на вещество отвън, който е от нулев порядък. Реакционната схема изглежда така:
(4.14)
и се описва със системата от уравнения:
(4.15)
Получаваме стационарни концентрации, като приравняваме десните страни на нула:
.(4.16)
Нека разгледаме фазовия портрет на системата. Нека разделим второто уравнение на системата (4.16) на първото. Получаваме:
.(4.17)
Уравнение (4.17) определя поведението на променливите във фазовата равнина. Нека изградим фазов портрет на тази система. Първо, нека начертаем главните изоклини на фазовата равнина. Уравнение на изоклина на вертикални допирателни:
Уравнение на изоклина на хоризонтални допирателни:
Особената точка (стационарно състояние) се намира в пресечната точка на главните изоклини.
Сега нека определим под какъв ъгъл се пресичат координатните оси с интегралните криви.
Ако x= 0, тогава .
По този начин, допирателната на допирателната към интегралните криви y=y(x),пресичаща ординатната ос х=0, е отрицателна в горната полуравнина (не забравяйте, че променливите x, yимат стойности на концентрация и следователно се интересуваме само от горния десен квадрант на фазовата равнина). В този случай тангенсът на допирателния ъгъл се увеличава с разстоянието от началото.
Помислете за оста y= 0. В точката, където тази ос пресича интегралните криви, те се описват от уравнението
При тангенсът на наклона на интегралните криви, пресичащи оста x, е положителен и нараства от нула до безкрайност с увеличаване х.
В .
След това, с по-нататъшно увеличаване, тангенсът на ъгъла на наклона намалява по абсолютна стойност, оставайки отрицателен и клони към -1 при х ® ¥ . Познавайки посоката на допирателните към интегралните криви на главните изоклини и на координатните оси, е лесно да се изгради цялата картина на фазовите траектории.
 |
|
Нека установим естеството на устойчивостта на сингулярната точка по метода на Ляпунов. Характеристичната детерминанта на системата има формата:
.
Разширявайки детерминантата, получаваме характеристичното уравнение на системата: , т.е. И двата корена на характеристичното уравнение са отрицателни. Следователно стационарното състояние на системата е стабилен възел. В този случай концентрацията на веществото хклони към стационарно състояние винаги монотонно, концентрацията на веществото Y може да премине през min или max. Осцилаторните режими са невъзможни в такава система.
Основни понятия и определения:
Нулата на аналитичната функция f(z) е точката „a“, за която f(a)=0.
Нула от порядък „n“ на функция f(z) е точка „a“, ако fn(a)¹0.
Особена точка "a" се нарича изолирана особена точка на функция f(z), ако има околност на тази точка, в която няма особени точки, различни от "a".
Има три вида изолирани особени точки: .
1 подвижни особени точки;
3 по същество особени точки.
Видът на сингулярната точка може да се определи на базата на поведението на дадена функция в намерената сингулярна точка, както и от формата на серията на Лоран, получена за функцията в околността на намерената сингулярна точка.
Определяне вида на особена точка по поведението на функцията в нея.
1. Премахваеми особени точки.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича отстранима, ако има краен предел.
2.Поляци.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича полюс ако 
.
3. По същество особени точки.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича по същество особена точка, ако не съществува нито крайна, нито безкрайна.
Между нулите и полюсите на функцията съществува следната зависимост.
За да бъде точка a полюс от порядък n на функцията f(Z), е необходимо и достатъчно тази точка да бъде нула от порядък n за функцията .
Ако n=1 полюсът се нарича прост.
определение:Изолирана сингулярна точка с недвусмислен характер се нарича:
а) отстраним, ако липсва основната част от разграждането;
б) полюс, ако основната част съдържа краен брой членове;
в) по същество особена точка, ако основната част съдържа безкраен брой членове.
а) Така, в околността на подвижна особена точка, разширението има формата:
той изразява функцията във всички точки на окръжността |z-a| В центъра z=a равенството не е вярно, т.к функцията при z=a има прекъсване, а дясната страна е непрекъсната. Ако стойността на функцията в центъра се промени, като се вземе равна на стойността от дясната страна, тогава празнината ще бъде елиминирана - оттук и името - сменяема. b) В близост до полюс от порядък m, разширението на реда на Лоран има формата: в) В близост до обикновен стълб Удръжки и формули за тяхното изчисляване. Остатъкът на аналитична функция f(z) в изолирана особена точка z 0 е комплексно число, равно на стойността на интеграла Остатъкът на функцията f(z) в изолирана особена точка z 0 се обозначава със символа Res f(z 0) или Res (f(z); z 0). По този начин, Res f(z 0)= Ако поставим n=-1 във формула (22.15.1), получаваме: C -1 = или Res f(z 0)= C -1, тези. остатъкът на функцията f(z) по отношение на особената точка z 0 е равен на коефициента на първия член с отрицателен показател в разлагането на функцията f(z) в редицата на Лоран. Изчисляване на удръжки. Правилни или подвижни особени точки. Очевидно, ако z=z 0 е правилна или отстранима особена точка на функцията f(z), тогава Res f(z 0)=0 (в разширението на Лоран в тези случаи липсва основната част, така че c-1=0) . поляк. Нека точката z 0 е прост полюс на функцията f(z). Тогава редът на Лоран за функцията f(z) в околността на точката z 0 има формата: Оттук Следователно, преминавайки в това равенство до границата при z --z 0, получаваме Res f(z0)= По същество специална точка. Ако точката z 0 е по същество особена точка на функцията f(z), тогава, за да се изчисли остатъкът на функцията в тази точка, коефициентът c-1 в разширението на функцията в редица на Лоран обикновено се определя директно. Класификация на събитията. Сума, произведение на събитията, техните свойства, графично представяне. Събитията са разделени на: 1. Случаен 2. Надежден 3. Невъзможно Надеждно е събитие, което задължително се случва при дадени условия (нощта следва сутринта). Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи (полагане на изпит). Невъзможно събитие е събитие, което няма да се случи при дадени условия (изваждане на зелен молив от кутия само с червени). Определение.Особената точка на функция се нарича изолиран,
ако в някаква околност на тази точка е аналитична функция (т.е. аналитична в пръстен). Класификацията на изолирани сингулярни точки на функция е свързана с поведението на тази функция в околността на сингулярната точка. Определение.Точката се нарича сменяем
особена точка на функция, ако има краен предел на тази функция при . Пример 5.Покажете, че функцията има отстранима особеност в точка. Решение.Спомняйки си първата забележителна граница, изчисляваме Това означава, че в дадена точка дадената функция има отстранима сингулярност. Задача 4.Покажете, че точката е подвижна за . Определение.Точката се нарича полюс
функция, ако тази функция нараства без ограничение при , т.е. Нека обърнем внимание на връзката между понятията нула и полюс на аналитична функция. Нека представим функцията във формата. Ако една точка е проста нула на функция, тогава функцията има прост полюс Ако една точка е нула от ред за функция, тогава за функцията тя е полюс поръчка .
Пример 6.Покажете, че функцията има полюс от трети ред в точка. Решение.Ако приемем, че получаваме. Тъй като клоним към нула, по всеки закон, който имаме . Тогава , а с него и самата функция нараства неограничено. Следователно, , тоест особената точка е полюс. За функцията тази точка очевидно е тройна нула. Това означава, че за тази функция точката е полюс от трети ред. Задача 5.Покажете, че една точка има прост полюс. Определение.Точката се нарича значително специален
точка на функция, ако в тази точка няма нито краен, нито безкраен предел на функцията (поведението на функцията не е дефинирано). Позволявам е по същество особена точка на функцията . Тогава за всяко дадено комплексно число има последователност от точки, сходни към , по които стойностите клонят към: ( теорема на Сохоцки).
Пример 7.Покажете, че функцията в точка има съществена характеристика. Решение.Нека разгледаме поведението на дадената функция в околността на точката. Когато по положителната част на реалната ос (т.е.) имаме и ; ако по отрицателната част на реалната ос (т.е.), тогава и . Това означава, че няма ограничение при. По дефиниция, в дадена точка функцията има съществена сингулярност. Нека разгледаме поведението на функцията при нула от гледна точка на теоремата на Сохотски. Нека е всяко комплексно число, различно от нула и безкрайност. От равенството, което намираме. Ако приемем, получаваме поредица от точки, . Очевидно, . Във всяка точка от тази последователност функцията е равна на , следователно Задача 6.Покажете, че функцията има съществена особеност в точка. Точката в безкрайността винаги се счита за специална за функцията. Точка се нарича изолирана особена точка на функция, ако тази функция няма други особени точки извън определен кръг с център в началото. Класификацията на изолирани особени точки може да бъде разширена до случая. Пример 8.Покажете, че функцията има двоен полюс в безкрайност. Решение.Да разгледаме функцията , където е аналитична функция в околност на точката и . Това означава, че функцията има двойна нула в безкрайност, но тогава за функцията точката е двоен полюс. Пример 9.Покажете, че функцията има съществена сингулярност в безкрайност. Решение.Подобен проблем се разглежда в Проект 7. Нека разгледаме поведението на функцията в близост до точка в безкрайност. Когато по положителната част на реалната ос, а когато по отрицателната част на реалната ос. Това означава, че няма граница на функцията в дадена точка и по силата на определението тази точка е по същество специална. Характерът на сингулярността на функция в точка може да се съди по Главна част
Разширение на Лоран в близост до тази точка. Теорема 1.За да бъде точката сменяем
сингулярна точка на функцията, необходимо и достатъчно е съответното разширение на Лоран не съдържа основната част.
Задача 6.Използвайки разширението на Тейлър на функция в околност на точката, покажете, че тя има отстранима сингулярност при нула. Теорема 2.За да бъде точката полюс
функция е необходима и достатъчна, така че Главна част
съответно разширение на Лоран съдържаше краен брой членове
: Номерът на най-високия отрицателен член определя реда на полюса. В този случай функцията може да бъде представена като където е функция, аналитична в точка, , е редът на полюса. Пример 10.Покажете, че функцията има прости полюси в точки. Решение.Нека разгледаме въпроса. Нека използваме разширението на Лоран на тази функция в околността на тази точка, получено в пример 2: Тъй като в основната част на това разширение най-високата (и единствена) отрицателна степен е равна на единица, тогава точката е прост полюс на тази функция. Този резултат можеше да се получи и по друг начин. Нека го представим във формата и поставим - това е функция, която е аналитична в точка и . Това означава, че по силата на (8) в точката тази функция има прост полюс. Друг начин: разгледайте функция, която има проста нула в точка. Това означава, че в тази точка има прост полюс. По същия начин, ако напишем функцията във формата , където е функция, аналитична в точката и , тогава веднага става ясно, че точката е прост полюс на функцията . Задача 7.Покажете, че функцията има полюс от 2-ри ред в точката и полюс от 4-ти ред в точката. Теорема 3.За да бъде точката значително специален
точка на функцията е необходимо и достатъчно, че Главна част
Разширение на Лоран в близост до точката съдържаше безкраен брой членове
. Пример 11.Определете природата на сингулярността в точка на функцията Решение.В добре познатото косинусово разширение поставяме вместо: Това означава, че разширението на Лоран в околност на точка има формата Тук правилната част е един термин. И основната част съдържа безкраен брой термини, така че точката е по същество специална. Задача 8.Покажете, че в дадена точка функцията има съществена сингулярност. Нека разгледаме някаква функция и напишем нейното разширение на Лоран в точката: Нека направим замяна и точката отива към точката. Сега в близост до безкрайна точка имаме Остава да се въведе ново обозначение. Получаваме където е основната част и е правилната част от разширението на Лоран на функцията в околността на точката в безкрайност. По този начин, в разширението на Лоран на функция в околност на точка, основната част е редица в положителни степени, а правилната част е редица в отрицателни степени. Като вземете предвид това, сменете Въпреки това, дадените критерии за определяне на природата на сингулярност остават валидни за точка в безкрайността. Пример 12.Разберете природата на сингулярността на функцията в точката. , тогава точката може да се окаже неизолирана. Пример 15.Функцията в безкрайна точка има съществена характеристика. Покажете, че точката за функцията не е изолирана особена точка. Решение.Функцията има безкраен брой полюси в нулите на знаменателя, т.е. в точките , . Тъй като , Тогава точката във всеки квартал, на който има полюси, е границата за полюсите. Сериите на Тейлър служат като ефективен инструмент за изучаване на функции, които са аналитични в кръг zol За да се изучават функции, които са аналитични в пръстенна област, се оказва, че е възможно да се конструират разширения в положителни и отрицателни степени (z - zq) на формата които обобщават разширенията на Тейлър. Серия (1), разбирана като сбор от две серии, се нарича серия на Лоран. Ясно е, че областта на сближаване на серия (1) е общата част от областите на сближаване на всяка от серията (2). Да я намерим. Площта на сближаване на първата серия е окръжност, чийто радиус се определя от формулата на Коши-Адамар.Вътре в окръжността на сближаване серия (3) се сближава до аналитична функция и във всеки кръг с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно. Втората серия е степенна серия по отношение на променлива. Серия (5) се сближава в своя кръг на сходимост към аналитичната функция на комплексна променлива m-*oo и във всяка окръжност с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно, което означава, че зоната на сближаване на серия (4) е външната страна на кръга - Ако тогава има обща зона на сближаване на серия (3) и (4) - кръгъл пръстен, в който серия (1) се свежда до аналитична функция. Освен това, във всеки пръстен, той се сближава абсолютно и равномерно. Пример 1. Определяне на областта на сближаване на серията на Rad Laurent Изолирани особени точки и тяхната класификация M Областта на сближаване на първата серия е външната страна на кръга, а областта на сближаване на втората серия е вътрешността на окръжността Така, тази серия се сближава в кръгове. Теорема 15. Всяка функция f (z), недвусмислена и аполитична в кръгов пръстен, може да бъде представена в този пръстен като сума от сходяща серия, чиито коефициенти Cn са еднозначно определени и изчислени по формулите където 7p е окръжност с радиус m. Нека фиксираме произволна точка z вътре в пръстена R. Нека построим окръжности с центрове в точката r, чиито радиуси удовлетворяват неравенствата и разгледаме нов пръстен.Използвайки интегралната теорема на Коши за многосвързана област, ние трансформираме отделно всеки от интегралите в сумата (8). За всички точки £ по протежение на окръжността 7d* е изпълнено съотношението на сумата на равномерно сходящия се ред 1 1. Следователно дробта ^ може да бъде представена във vi- / "/ Чрез умножаване на двете части по непрекъсната функция (O и извършване на почленно интегриране по окръжността, получаваме, че извършваме трансформацията на втория интеграл малко по-различно. За всички точки £ на окръжността ir> връзката е в сила. Следователно дробта ^ може да бъде представена като сума от равномерно сходяща серия. Умножавайки двете страни по непрекъсната функция) и интегрирайки почленно по окръжността 7/, получаваме, че Забележете, че интегрантите във формули (10) и (12) са аналитични функции в кръгов пръстен. Следователно, по силата на теоремата на Коши, стойностите на съответните интеграли няма да се променят, ако заменим кръговете 7/r и 7r/ с който и да е кръг. Това ни позволява да комбинираме формули (10) и (12). Заменяйки интегралите от дясната страна на формула (8) с техните изрази (9) и (11), съответно, получаваме необходимото разширение. Тъй като z е произволно точка на пръстена, следва, че серията ( 14) се свежда към функцията f(z) навсякъде в този пръстен и във всеки пръстен серията се свежда към тази функция абсолютно и равномерно. Нека сега докажем, че разлагането на формата (6) е единствено. Да приемем, че има още едно разширение.Тогава навсякъде вътре в пръстена R ще имаме На окръжността серии (15) се събират равномерно. Нека умножим двете страни на равенството (където m е фиксирано цяло число и интегрираме и двете серии член по член. В резултат на това получаваме от лявата страна, а отдясно - Sch. Така, (4, = St. Тъй като m е произволно число, последното равенство доказва уникалността на разширението.Поредицата (6), чиито коефициенти се изчисляват по формули (7), се нарича серия на Лоран на функцията f(z) в пръстена. набор от членове на тази серия с неотрицателни степени се нарича редовна част от серията на Лоран, а с отрицателни - основната й. Формулите ( 7) за коефициентите на серията на Лоран рядко се използват на практика, тъй като, като правило, те изискват тромави изчисления. Обикновено, ако е възможно, се използват готови разширения на Тейлър на елементарни функции. Въз основа на уникалността на разширението всяка правна техника води до същия резултат. Пример 2. Разгледайте разширенията на функциите в серията на Лоран в различни области, като приемем, че f(r) има две особени точки: Следователно има три пръстеновидни области, центрирани в точката r = 0. Във всяка от тях функцията f(r) е аналитична: a) окръжен пръстен, външен на кръг (фиг. 27). Нека намерим разширенията на Лоран на функцията /(z) във всяка от тези области. Нека представим /(z) като сума от елементарни дроби а) Окръжност Преобразуваме връзката (16) по следния начин Използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, получаваме Заместете намерените разширения във формула (17) : Това разширение е ред на Тейлър на функцията /(z). б) Пръстенът за функцията -r остава конвергентен в този пръстен, тъй като Серия (19) за функцията j^j за |z| > 1 се разминава. Следователно трансформираме функцията /(z) по следния начин: отново прилагайки формула (19), получаваме, че Този ред се сближава за. Замествайки разширенията (18) и (21) във връзка (20), получаваме c) Външността на окръжността за функцията -z за |z| > 2 се разминава и серия (21) за функцията- Нека представим функцията /(z) в следната форма: /<*> Използвайки формули (18) и (19), получаваме ИЛИ 1 Този пример показва, че за една и съща функция f(z) разширението на Лоран, най-общо казано, има различна форма за различни пръстени. Пример 3. Намерете разширението на 8-ма серия на Лоран на функция Серия на Лоран Изолирани сингулярни точки и тяхната класификация в пръстен домейн A Използваме представянето на функцията f(z) в следната форма: и трансформираме втория член Използвайки формула за сумата от членове на геометрична прогресия, получаваме Замествайки намерените изрази във формулата (22), имаме Пример 4. Разширете функцията в серията на Лоран в областта zq = 0. За всеки комплекс имаме Нека това разширението е валидно за всяка точка z Ф 0. В този случай областта на пръстена представлява цялата комплексна равнина с една изхвърлена точка z - 0. Тази област може да бъде дефинирана чрез следната връзка: Тази функция е аналитична в областта От формули ( 13) за коефициентите на серията на Лоран, като се използват същите разсъждения, както в предходния параграф, могат да се получат неравенствата на Куиу. ако функцията f(z) е ограничена в окръжност, където M е константа), тогава изолирани сингулярни точки Точката zo се нарича изолирана сингулярна точка на функцията f(z), ако има пръстеновидно съседство на точката ( това множество понякога се нарича пробита околност на точката 2o), за която функцията f(z) е уникална и аналитична. В самата точка zo функцията е или недефинирана, или не е еднозначна и аналитична. В зависимост от поведението на функцията /(r) при приближаване до точката zo се разграничават три вида особени точки. Изолирана особена точка се нарича: 1) отстранима, ако има ограничена 2) pmusach, ако 3) по същество особена точка, ако функцията f(z) няма граница при Типът на изолираната особена точка е тясно свързан с природата на разширението на Лоран на функцията чрез пунктирания център на . Теорема 16. Изолирана особена точка z0 на функция f(z) е отстранима особена точка тогава и само ако разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на точката zo не съдържа главна част, т.е. има формата Нека zo е подвижна особена точка. Тогава има ограничена, следователно функцията f(z) е ограничена в прокологичен околност на точката z. Поставяме По силата на неравенствата на Коши Тъй като p може да бъде избрано да бъде произволно малко, тогава всички коефициенти при отрицателни степени (z - 20) са равни на нула: Обратно, нека разширението на Лоран на функцията /(r) в околност на точката zq съдържа само правилната част, тоест има формата (23) и следователно е Тейлър. Лесно се вижда, че за z -* z0 функцията /(z) има гранична стойност: Теорема 17. Изолирана особена точка zq на функцията f(z) е отстранима тогава и само ако функцията J(z) е ограничена в някакъв пунктиран квартал на точката zq, Zgmechai не. Нека r е отстранима особена точка на функцията /(r). Ако приемем, че получаваме, че функцията /(r) е аналитична в някакъв кръг с център в точката r. Това определя и името на точката – подвижна. Теорема 18. Изолирана особена точка zq на функция f(z) е полюс тогава и само ако главната част от разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на точката съдържа крайно (и положително) число от ненулеви членове, т.е. има формата 4 Нека z0 е полюс. Оттогава има пунктирана околност на точката z0, в която функцията f(z) е аналитична и различна от нула. Тогава в тази околност е дефинирана аналитична функция и Следователно точката zq е подвижна особена точка (нула) на функцията или където h(z) е аналитична функция, h(z0) Φ 0. Тогава h(zo) Φ 0 също е аналитична, тогава функцията φ е аналитична в околност на точката zq и следователно, откъде получаваме, че Да предположим сега, че функцията f(z) има разширение на формата (24) в пунктирана околност на точката zо. Това означава, че в тази близост функцията f(z) е аналитична заедно с функцията. За функцията g(z) е валидно разширението, от което се вижда, че zq е подвижна особена точка на функцията g(z) и съществува. Тогава функцията при 0 клони към полюса на функцията. Там е друг прост факт. Точката Zq е полюс на функцията f(z) тогава и само ако функцията g(z) = уй може да бъде разширена до аналитична функция в околност на точката zq чрез задаване на g(z0) = 0. Редът на полюса на функцията f(z) се нарича нулев ред на функцията jfa. Следното твърдение следва от теореми 16 и 18. Теорема 19. Изолирана особена точка е по същество особена тогава и само ако главната част от разширението на Лоран в пунктирана околност на тази точка съдържа безкрайно много ненулеви членове. Пример 5. Особената точка на функцията е zo = 0. Имаме изолирани особени точки от серията на Лоран и тяхната класификация. Следователно zo = O е отстранима особена точка. Развиването на функцията /(z) в редица на Лоран в близост до нулевата точка съдържа само правилната част: Пример7. /(z) = Особената точка на функцията f(z) е zq = 0. Нека разгледаме поведението на тази функция на реалната и въображаемата ос: на реалната ос при x 0, на въображаемата ос. Следователно, има не е нито крайна, нито безкрайна граница за f(z) при z -* 0 не съществува. Това означава, че точката r = 0 е по същество особена точка на функцията f(z). Нека намерим разширението на Лоран на функцията f(z) в близост до нулевата точка. За всеки комплекс C имаме Set. Тогава разширението на Лоран съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени на z.
, взети в положителна посока по окръжността L с център в точка z 0, лежаща в областта на аналитичност на функцията f(z) (т.е. в пръстена 0<|z-z0| . (22.15.1)
